2026年高考數學一輪培優練習（新高考）數列求和（學生版+解析）

第六章數列

§6.5數列求和

【考情分析?探規律】

考點3年考情(2021-2024)命題趨勢

2024?全國甲卷、2024?天津熟練掌握裂項相消求

2023?北京卷、2023?全國甲卷和和錯位相減求和，該內容是

2023?新課標II卷、2022?天津新高考卷的常考內容，常考查

數列求和

2022?全國新II卷、2022?新高考全國I卷裂項相消求和、錯位相減求

2021?全國新I卷、2021?浙江卷和、奇偶并項求和，需重點綜

2021?全國新II卷合復習。

【知識梳理】

1.數列求和的幾種常用方法

(1)公式法

直接利用等差數列、等比數列的前〃項和公式求和.

①等差數列的前〃項和公式：

22-

②等比數列的前〃項和公式：

幾q=l,

ai(-qn)_?i-QnQ〃,1

(F^"，"L

(2)分組求和法與并項求和法

①分組求和法

若一個數列是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用

分組求和法，分別求和后相加減.

②并項求和法

一個數列的前〃項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和.形如〃〃=(-1)7(〃)

類型，可采用兩項合并求解.

(3)錯位相減法

如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那

么這個數列的前〃項和即可用此法來求，如等比數列的前〃項和公式就是用此法

推導的.

（4）裂項相消法

把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其

和.

常見的裂項技巧

n+r

③1—1

J(2n-l)(2n+l)2

④一1

標+ln+1

⑤11

n(n+l)(n+2)2[n(n+l)(n+l)(n+2)

點撥】

n(〃+1)

1.1+2+3+4+…+〃=

n(〃+1)(2〃+1)

2.12+2?+...+/=

6

3.裂項求和常用的三種變形

【隨堂練習】

i.思考辨析（在括號內打y”或“X”）

（1）若數列伍”｝為等比數列，且公比不等于1,則其前〃項和￡=寫吧.（）

1q

⑵當論2時，合產物五一）

⑶求乂=〃+2/+3/+...+〃/時，只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據錯位相減

法求和.（）

（4）若數列0,〃2一出，…，小一小T是首項為1,公比為3的等比數列，則數列｛恁｝的通

3H—1

項公式是小=丁.（）

2.已知數列｛小｝滿足0=2,小+而M=（—1）",則數列數/前2025項和為（）

A.-lOilB-1012C.1013D.1014

35=2+2+?+~+/等于（）

A2n-n-l口2n+1-n-2

A.—^~B.---

2n-n+l2n+1-n+2

4.在數列｛a〃｝中，0=2,%+[=?,+,則通項公式a”=

n（Jn+l）------------------------

【必練核心題型】

題型一分組求和與并項求和

【典例】1.設數列｛〃〃｝的前〃項和為S,數列｛〃〃｝滿足①+2=『-2]對數，且

（2—為奇數,

0=2,42=1,則S20等于（）

A.1023B.1124C.2146D.2145

【典例】2.已知數列｛〃”｝是等差數列，0=tan225。，〃5=13m,設S“為數列｛（一

1）%〃｝的前〃項和，則S2O26等于（）

A.2026B-2026

C.3039D-3039

【變式訓練】

變式1.已知數列｛0｝滿足m=2義(一2尸|+〃一2.求數列｛〃〃｝的前〃項和S”.

題型二裂項相消法求和

【典例】1.已知數列｛外｝的前〃項和為S”，且S“=2a〃-2(〃￡N").

⑴求數列｛小｝的通項公式；

(2)若bn=log2a2〃-1,Cn=，求證；Cl+C2+C3H-----hCn<^.

如4+12

【變式訓練】

變式1.(2025安順模擬)記S〃為數列｛〃〃｝的前〃項和，已知0=1,且V〃￡N。a?Sn

⑴求｛〃〃｝的通項公式；

(2)設瓦=?2Hl'I｛d｝的前，項和為7；,求攻的最小值.

題型三錯位相減法求和

【典例】1.(2025?貴陽模擬)已知數列｛〃〃｝滿足m且山=一條設｛〃〃｝

的前〃項和為7；,5=3”?扇.

(1)證明：｛d｝是等差數列；

⑵求Tn.

【變式訓練】

變式1.已知數列｛a〃｝滿足閉=1且a,尸絲叱『(〃￡?4)且〃》2).

2On-1+2

(1)設兒求證：數列｛兒)是等差數列；

QnT

(2)記&=3+1)?3〃s,求數列｛Cn)的前n項和Sn.

【限時訓練】(限時：60分鐘)

1.(12分)(2025?南通模擬)設數列｛小｝的前〃項和為工，若工一/="+1,〃￡N”.

(1)求0，。2,并證明:數列小｝是等差數列；(6分)

(2)求520.(6分)

2.(12分)已知數列｛小｝滿足出=10,%+1=3小一2.

(1)求｛〃“)的通項公式；(5分)

(2)若兒,記數列｛仇｝的前〃項和為〃，求證：丁〃<"(7分)

(an+2)an8

3.(13分)已知數列｛〃〃｝的首項ai=a(aW0),前n項和為S”，且滿足S?^\—S=—

n4a”+1

N*).

(1)判斷數列｛^—1｝是否為等比數列；(6分)

(2)若見=3,記數歹的前〃項和為〃，求〃.(7分］

【尖子生加餐特訓】

4.（13分）已知在數列｛〃〃｝中，0=1,冊+L（〃+1）知=1.

（1）求數列｛〃”｝的通項公式；（6分）

⑵若數列｛兒｝滿足^=sinQan+1）+cos（7w?）,求數列的｝的前2026項和72026.（7分）

第六章數列

§6.5數列求和

【考情分析-探規律】

考點3年考情(2021—2024)命題趨勢

2024?全國甲卷、2024?天津熟練掌握裂項相消求

2023?北京卷、2023?全國甲卷和和錯位相減求和，該內容是

2023?新課標II卷、2022?天津新高考卷的常考內容，常考查

數列求和

2022?全國新II卷、2022?新高考全國I卷裂項相消求和、錯位相減求

2021?全國新1卷、2021?浙江卷和、奇偶并項求和，需重點綜

2021?全國新n卷合復習。

【知識梳理】

1.數列求和的幾種常用方法

⑴公式法

直接利用等差數列、等比數列的前〃項和公式求和.

①等差數列的前〃項和公式：

22-

②等比數列的前〃項和公式：

naltq=l,

(5(1-q")_fli-OnQc,1

(2)分組求和法與并項求和法

①分組求和法

若一個數列是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用

分組求和法，分別求和后相加減.

②并項求和法

一個數列的前〃項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和.形如加=(一14〃)

類型，可采用兩項合并求解.

(3)錯位相減法

如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那

么這個數列的前〃項和即可用此法來求，如等比數列的前〃項和公式就是用此法

推導的.

（4）裂項相消法

把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其

和.

常見的裂項技巧

n+r

③1—1

J(2n-l)(2n+l)2

④一1

標+ln+1

⑤11

n(n+l)(n+2)2[n(n+l)(n+l)(n+2)

點撥】

n(〃+1)

1.1+2+3+4+…+〃=

n(〃+1)(2〃+1)

2.12+2?+...+/=

6

3.裂項求和常用的三種變形

【隨堂練習】

i.思考辨析（在括號內打y”或“X”）

（1）若數列伍”｝為等比數列，且公比不等于1,則其前〃項和￡=寫吧.（）

1q

⑵當論2時，合產物五一)

⑶求S,尸〃+2/+3/+...+〃/時，只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據錯位相減

法求和.()

(4)若數列0,。2一0，…,。〃一如T是首項為1,公比為3的等比數列，則數列｛為｝的通

3H—1

項公式是小=丁.()

【答案】(1W(2)4(3)x(4)4

【解析】⑶要分4=0或4=1或4//0且存1討論求解.

2.己知數列僅〃｝滿足。1=2,4〃+斯+1=(-1)",貝IJ數歹前2025項和為()

A.-lOilB-1012C.1013D.1014

【答案】D

【解析】由題意可知，當〃為偶數時,小+斯+產(-1)”=1,

因此，數列｛。”｝前2025項和為S2O25=ai+(a2+a3)+Q+as)T------卜32024+02025)=2+

1X1012=1014.

35=//升…+會等于()

<2n-n-l「2n+1-n-2

A.^—B.---

nn

r2-n+l2+i-n+2

【答案】B

【解析】由&W+5+5+???+/,①

得*s“=2+5+???+―+—,②

1J222232n2n+1

4.在數列｛小｝中，0=2…+尸小+高，則通項公式

【答案】3-工

n

【解析】因為。"+1=。”+(:二，

n(n+l)

即一如=5一2

則—三一，欄2,

11]

所以仇一0=%一。〃—+斯—+u—

三+專—W+…+'抖1謁=1—'〃22,

又因為41=2,所以小=1—工+。1=3—工，”22.

nn

又。1=3-；=2,符合上式；

所以。”=3-工，〃￡N：

n

「12許熊獲'i常而三不i甚》

\（1）并項求和時注意哪些項進行并項.

；（2）裂項時注意是否還有系數及是否前后相鄰的項相消.

；（3）錯位相減后構造的等比數列的項數是否是〃項.

【必練核心題型】

題型一分組求和與并項求和

【典例】L設數列｛。〃）的前〃項和為￡“數列｛〃〃｝滿足4〃+2=fn+2，：]?數，且

（2.—為奇數,

41-2,02—1,則S20等于（）

A.1023B.1124C.2146D.2145

【答案】C

【解析】根據遞推公式可知，數列的奇數項依次為：2,22,23,…，為等比數列；

數列的偶數項依次為：1,3,5,…，為等差數列.

所以S20=10X1+—X2+2（1~21O-=100+2II-2=2146.

21—2

【典例】2.已知數列｛m｝是等差數列，o=tan225。，4=13。，設S”為數列｛（一

1）%〃｝的前〃項和，則S2026等于（）

A.2026B-2026

C.3039D-3039

【答案】C

【解析】由已知。1=tan225°=tan(180°+45°)=tan450=I，故。$=I3m=13,

設數列｛恁｝的公差為d,可得=笠?=3,

5—15—1

所以52026=(42—ai)+(a4—a3)+(〃6—〃5)H-----b(^2O26—?2025)=1013d=3039.

吊露面甌I

(1)分組求和法常見題型

①若數列｛C〃｝的通項公式為金=七±乩，且｛%｝,｛兒｝為等差或等比數列，可采用分組求

和法求數列｛金｝的前〃項和.

an,九為奇數，

②若數列｛C”｝的通項公式為金=

(%,九為偶數，

其中數列｛知｝,也｝是等比數列或等差數列，可采用分組求和法求數列｛點｝的前〃項和.

⑵并項求和法常見題型

①數列｛斯｝的通項公式為即=(-1)悟〃)，求數列他”)的前〃項和.

②數列｛%｝是周期數列或熱為定值,求數列①〃｝的前〃項和.

【變式訓練】

變式1.已知數列｛0｝滿足m=2X(-2)〃」+〃一2.求數列｛〃“｝的前〃項和Sn.

【解析】由于a〃=2X(—2尸+〃—2,

所以SLm+s+a3H-----Fa”

=2X(-2)°+(-l)+2X(-2y+0+2X(-2)2+l+???+2X(-2)”T+〃一2

=2義[(-2)°+(—2)1+(—2)2+???+(—2)〃[+[(-1)+0+1+???+(〃-2)]

=2_2x(-2)n,n(n-3)

332

題型二裂項相消法求和

【典例】1.已知數列｛必｝的前〃項和為S”,且S“=2a”一2(〃eN)

(1)求數列｛%｝的通項公式;

(2)若仇=log2a2〃-1,c,t=—7—,求證：CI+G+S-I---FCn<^.

*+i2

(1)【解析】由S”=2即一2,①

當〃=1時,S\=2ai-2=ai,解得a\=2,

當時,5”-1=2加1-2,②

①一②，得,

?.?數列｛〃〃｝是首項為2,公比為2的等比數列，

,nln

..an=al2~=2.

(2)【證明】由⑴知e-i=22rtL

bn—log2a2〃-1=2〃11ibn+1=2〃+1.

則Q=KU*-就),

故ci+cz+cjd---\-c,t

V—>0，,1一一1,-(1———)<-,

2n+l'2n+l'2V2n+l/2'

故C|+C2+C3H---F

【解題技巧】裂項相消法的原則及規律

(1)裂項原則

一般是前面裂幾項，后面就裂幾項，直到發現被消去領的規律為止.

(2)消項規律

消項后前面剩幾項，后面就剩幾項，前面剩第幾項，后面就剩倒數第幾項.

?裱嬴I章

變式1.(2025安順模擬)記S〃為數列｛m｝的前〃項和，已知0=1,且V〃WN*,anSn

_anan+1

+1-an+\On--------------.

2

⑴求｛〃〃｝的通項公式；

(2)設8=四"｛仇｝的前〃項和為4,求救的最小值.

fln<,n+l

【解析】⑴??"〃￡!<,

?%=1，，數列舟是首項為I,公差為抽等差數列,

則步］+如T尸等，

即2S”=(〃+1)a〃，2S”-i-1(〃22),

兩式作差得2a”=(〃+\)an—nan-\,

即普心2),

an-i八一1

...工義…X超又強=」-X…,

an-1a2ax7i-l21

即&=〃,%=n(n22),

Qi

,?a\=I符合上式,；?%=兒

小\,n2+n+l?i24-n+l,.1

(2)bn—----------=----------=1+--------

anan+1n(n+l)n(n+l)

??口尸〃+(i后+A升…+:號?)

=〃+1——--.

n+1

???。+1—7；=(九+2)一白一(九+1)一劣

[n+2J「'n+l.

=1+------------->0,

(n+l)(n+2)

???數列｛7；｝為遞增數列，

???(Tn)min=。得

題型三錯位相減法求和

【典例】1.(2025?貴陽模擬)已知數列｛“〃｝滿足〃〃+尸)〃+(或",且n=一條設｛m｝

n

的前〃項和為7；,bn=3-an.

(1)證明：｛仇｝是等差數列;

⑵求Tn.

n

⑴【證明】因為bll=3-ci?,

所以瓦+1=3"+%”+1,

b“+[—b?=3/1s+J—3"a

=3'U2+()+'135=1,

且仇二一2,所以伯〃｝是以一2為首項，1為公差的等差數列.

(2)【解析】由(1)知，兒=〃一3,

所以％="=(〃_3>0.

則7“=(-2)?+(-1乂?+0?+...+(1).?1X+(?-3).g)n,

所以孤=(-2)?+(-1)竊+0.似+…+("-4)0n+("-3)0"1,

兩式相減彳哥力,=_：+Q)2+(1)3+-----(n—3)Q)nH1

n+l

=一2|+1」一(〃_3).(/g1X

J1--

因此「=+(A洸)"

「?■?■?■?????????????????????????????????????????■?????■?????■?■?■■?■?■?■■?■?■?■????MB?????■?■?????????????■????,■?■■?■???????????????■,■?.

:【解題技巧】

\⑴如果數列3｝是等差數列，｛兒｝是等比數列，求數列｛4也｝的前〃項和時，常采用錯\

i;

I位相減法.\

i;

\⑵用錯位相減法求和時，應注意：!

ii

\在寫出“SJ與"qSj的表達式時應將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準確地寫出

iS?—qSn”的表達式.

|(3)1萬能公式I形如如=3〃+bM一(，產1)的數列的前八項和為S“=(A〃+8"+C(gWI),

!其中8=W，C=-B.

q-1Q-l

-7至劫/i

變式1.已知數列｛〃〃｝滿足且a”="*(〃￡N,，且〃22).

2廝-1+2

(1)設仇=一—，求證：數列｛〃〃｝是等差數列；

an-l

(2)記c“=(〃+1)3%“求數列｛&7｝的前〃項和Sn.

⑴【證明】因為如=如W，〃22,

&n-i+2

則〃”一1=?『一?=3仇-『),

*1+2%-1+2

則」_—工(1+=_)=」_+!,

dfi~13。^一]-13\Q〃一1/%[—1—13

即bn—bn-\=\,,

?3

故數列｛6｝是首項為±=2公差為!的等差數列.

Q1一133

(2)【解析】由(1)可知，兒=)+；,

即

Qn-13

解得為=告+1=*；

n+1n+l

則c“=(〃+1)3%“=(〃+4)-3”,

故S“=C]+c2+c3H-----\-Cn,

即,^=5-34-6.32+7.334------F(〃+4)?3",

234,,+,

35,/=5-3+6-3+7-3+-+(Z?+4)-3,

故一2s“=5?3+32+33+…+3”—(〃+4)?3"+|=12+3—32+…+3”一(〃+4>3”+|

=12+^p-(〃+4>3〃'

4-（*）*，

故）產-今

【限時訓練】（限時：60分鐘）

2

1.（12分）（2025?南通模擬）設數列｛a｝的前〃項和為S”，若St,-^a?=n+1,〃右N*.

⑴求卬,如并證明：數列｛為+%+i｝是等差數列；（6分）

⑵求520.（6分）

【解析】

（1）當n=\時，由條件得〃[一）產？,所以s=4.

當n=2時，由條彳牛得（。|+。2）—、2=5,

所以G=2.

因為S“一）“=〃2+1,

所以5”一1一1〃-1=（〃-1）2+1（〃22）,

兩式相減得知一1=2〃-1,

即4”+4〃一1=4〃-2,

所以（。”+1+a?）—（atl+）=[4（〃+1）—2]—（4/7—2）=4,

從而數列｛小十|+。“｝為等差數列.

（2）由（1）知知+如+|=4（〃+1）—2=4〃+2,

所以S2o=（〃i+。2）+（。3+。4）+…+（09+〃2O）=（4X1+2）+（4X3+2）+…+（4X19+2）

=1OX（6±78）=42O>

2

2.（12分）已知數列｛。〃｝滿足0=10,an+i=3an—2.

（1）求｛斯｝的通項公式；（5分）

（2）若兒,記數列仍〃｝的前〃項和為北，求證：分）

（an4-2）an8

（1）【解析】因為4rH=3的-2,

所以。”+1-1=3(即-1),又0—1=9,

所以&；=3,

a“T

所以｛斯一1｝是以9為首項，3為公比的等比數列，

所以為一1=9?31=3””,所以m=3〃”+1.

3nli

⑵【證明】由（）知無尸

1n+,n+1n+1rt

(fln+2)an(3+l)(3+3)(34-l)(34-l)

1

3n+1+l

所以Tn=b\-\-bi-\---Vbn

IQn+1+i)

--------：------又---：----->0

82(3n+1+l)'2(3n+,+l)

所以臉.

O

5a〃

3.（13分）已知數列｛小｝的首項s=a（aWO）,前〃項利為S”，且滿足*+】一&二

4即+1

N"）.

⑴判斷數歹|」｛^一1｝是否為等比數列；（6分）

⑵若0=（記數列吩｝的前〃項和為〃，求乙.（7分］

【解析】

（1）若高一1=；-1=0，解得。=1，

則數列陸-1｝不是等比數列；

若三一1