第二章初等模型

第二章初等模型2.1公平的席位分配2.2錄像機計數器的用途2.3汽車剎車距離2.4實物交換2.5啟帆遠航2.1

公平的席位分配系別學生比例20席的分配人數（%）比例結果甲10351.5

乙6331.5

丙3417.0總和200100.020.02021席的分配比例結果10.8156.6153.57021.00021問題三個系學生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會議共20席，按比例分配，三個系分別為10，6，4席。現因學生轉系，三系人數為103,63,34,問20席如何分配。若增加為21席，又如何分配。比例加慣例對丙系公平嗎系別學生比例20席的分配人數（%）比例結果甲10351.510.3

乙6331.56.3

丙3417.03.4總和200100.020.020系別學生比例20席的分配人數（%）比例結果甲10351.510.310

乙6331.56.36

丙3417.03.44總和200100.020.02021席的分配比例結果10.815116.61573.570321.00021“公平”分配方法衡量公平分配的數量指標人數席位A方p1

n1B方p2n2當p1/n1=p2/n2

時，分配公平

p1/n1–p2/n2~對A的絕對不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者對A的不公平程度已大大降低!雖二者的絕對不公平度相同若p1/n1>p2/n2

，對不公平A

p1/n1–p2/n2=5公平分配方案應使rA

,rB

盡量小設A,B已分別有n1,n2席，若增加1席，問應分給A,還是B不妨設分配開始時p1/n1>p2/n2

，即對A不公平~對A的相對不公平度將絕對度量改為相對度量類似地定義rB(n1,n2)

將一次性的席位分配轉化為動態的席位分配,即“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2

，定義1）若p1/(n1+1)>p2/n2

，則這席應給A2）若p1/(n1+1)<p2/n2

，3）若p1/n1>p2/(n2+1)，應計算rB(n1+1,n2)應計算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),則這席應給應討論以下幾種情況初始p1/n1>p2/n2

問：p1/n1<p2/(n2+1)

是否會出現？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),則這席應給B當rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),該席給ArA,rB的定義該席給A否則,該席給B

定義該席給Q值較大的一方推廣到m方分配席位該席給Q值最大的一方Q

值方法計算，三系用Q值方法重新分配21個席位按人數比例的整數部分已將19席分配完畢甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席同上Q3最大，第21席給丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值方法分配結果公平嗎？Q1最大，第20席給甲系進一步的討論Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？席位分配的理想化準則已知:m方人數分別為

p1,p2,…,pm,記總人數為P=p1+p2+…+pm,待分配的總席位為N。設理想情況下m方分配的席位分別為n1,n2,…,nm(自然應有n1+n2+…+nm=N)，記qi=Npi/P,i=1,2,…,m,ni應是N和p1,…,pm

的函數，即ni

=ni(N,p1,…,pm)若qi

均為整數，顯然應ni=qi

qi=Npi/P不全為整數時，ni

應滿足的準則：記[qi]–=floor(qi)~向

qi方向取整；[qi]+=ceil(qi)~向

qi方向取整.1)[qi]–

ni

[qi]+(i=1,2,…,m),2)ni

(N,p1,…,pm)

ni

(N+1,p1,…,pm)(i=1,2,…,m)

即ni必取[qi]–,[qi]+之一即當總席位增加時，ni不應減少“比例加慣例”方法滿足1），但不滿足2）Q值方法滿足2）,但不滿足1）。令人遺憾！問題在一次使用中錄像帶已經轉過大半，計數器讀數為4450，問剩下的一段還能否錄下1小時的節目？要求不僅回答問題，而且建立計數器讀數與錄像帶轉過時間的關系。思考計數器讀數是均勻增長的嗎？2.2

錄像機計數器的用途經試驗，一盤標明180分鐘的錄像帶從頭走到尾，時間用了184分，計數器讀數從0000變到6061。錄像機計數器的工作原理主動輪壓輪0000左輪盤右輪盤磁頭計數器錄像帶錄像帶運動方向錄像帶運動右輪盤半徑增大右輪轉速不是常數錄像帶運動速度是常數計數器讀數增長變慢問題分析觀察計數器讀數增長越來越慢！模型假設

錄像帶的運動速度是常數

v

；

計數器讀數

n與右輪轉數

m成正比，記

m=kn；

錄像帶厚度（加兩圈間空隙）為常數

w；

空右輪盤半徑記作r

；

時間

t=0時讀數n=0.建模目的建立時間t與讀數n之間的關系（設v,k,w,r為已知參數）模型建立建立t與n的函數關系有多種方法1.右輪盤轉第

i圈的半徑為r+wi,

m圈的總長度等于錄像帶在時間t內移動的長度vt,所以2.考察右輪盤面積的變化，等于錄像帶厚度乘以轉過的長度，即3.考慮用微積分的方法建模(課后練習)模型建立思考3種建模方法得到同一結果但仔細推算會發現稍有差別，請解釋。模型中有待定參數一種確定參數的辦法是測量或調查，請設計測量方法。思考參數估計另一種確定參數的方法——測試分析將模型改記作只需估計a,b理論上，已知t=184,n=6061,

再有一組(t,n)數據即可實際上，由于測試有誤差，最好用足夠多的數據作擬合現有一批測試數據：

t020406080n00001141201927603413

t

100120140160184n40044545505155256061用最小二乘法可得模型檢驗應該另外測試一批數據檢驗模型：模型應用回答提出的問題：由模型算得n=4450時t=116.4分，剩下的錄像帶能錄184-116.4=67.6分鐘的節目。揭示了“t

與n之間呈二次函數關系”這一普遍規律，當錄像帶的狀態改變時，只需重新估計a,b

即可。2.3

汽車剎車距離美國的某些司機培訓課程中的駕駛規則：背景與問題

正常駕駛條件下,車速每增10英里/小時，后面與前車的距離應增一個車身的長度。

實現這個規則的簡便辦法是“2秒準則”：

后車司機從前車經過某一標志開始默數

2秒鐘后到達同一標志，而不管車速如何判斷“2秒準則”與“車身”規則是否一樣；建立數學模型，尋求更好的駕駛規則。問題分析常識：剎車距離與車速有關10英里/小時(

16公里/小時)車速下2秒鐘行駛29英尺(

9米)>>車身的平均長度15英尺(=4.6米)“2秒準則”與“10英里/小時加一車身”規則不同剎車距離反應時間司機狀況制動系統靈活性制動器作用力、車重、車速、道路、氣候……最大制動力與車質量成正比，使汽車作勻減速運動。車速常數反應距離制動距離常數假設與建模1.剎車距離d等于反應距離d1與制動距離d2之和2.反應距離d1與車速v成正比3.剎車時使用最大制動力F，F作功等于汽車動能的改變;Fd2=mv2/2F

mt1為反應時間且F與車的質量m成正比

反應時間t1的經驗估計值為0.75秒參數估計

利用交通部門提供的一組實際數據擬合k模型最小二乘法

k=0.06計算剎車距離、剎車時間車速(英里/小時)(英尺/秒)實際剎車距離（英尺）計算剎車距離（英尺）剎車時間（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3“2秒準則”應修正為“t秒準則”模型車速(英里/小時)剎車時間（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車速（英里/小時）0~1010~4040~6060~80t（秒）1234問題甲有物品X,乙有物品Y,雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實物交換方案。yxp.用x,y分別表示甲(乙)占有X,Y的數量。設交換前甲占有X的數量為x0,乙占有Y的數量為y0,作圖：若不考慮雙方對X,Y的偏愛，則矩形內任一點p(x,y)都是一種交換方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y)xyyo0xo??2.4

實物交換xyyoy1y20x1x2xop1p2..甲的無差別曲線分析與建模如果甲占有(x1,y1)與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度，即p1,p2對甲是無差別的，MN將所有與p1,p2無差別的點連接起來，得到一條無差別曲線MN,線上各點的滿意度相同,線的形狀反映對X,Y的偏愛程度，N1M1p3(x3,y3).比MN各點滿意度更高的點如p3，在另一條無差別曲線M1N1上。于是形成一族無差別曲線（無數條）。p1.p2.c1

y0xf(x,y)=c1無差別曲線族的性質：

單調減(x增加,y減小)

下凸(凸向原點)

互不相交在p1點占有x少、y多，寧愿以較多的

y換取較少的x;在p2點占有y少、x多，就要以較多的

x換取較少的y。甲的無差別曲線族記作f(x,y)=c1c1~滿意度（f~等滿意度曲線）xyOg(x,y)=c2c2

乙的無差別曲線族g(x,y)=c2具有相同性質（形狀可以不同）

雙方的交換路徑xyyoOxof=c1O‘x’y’g=c2乙的無差別曲線族g=c2

(坐標系x’O’y’,且反向）甲的無差別曲線族f=c1ABp

P’

雙方滿意的交換方案必在AB（交換路徑）上因為在AB外的任一點p’,(雙方)滿意度低于AB上的點p兩族曲線切點連線記作ABABp

交換方案的進一步確定交換方案~交換后甲的占有量(x,y)0

x

x0,0

y

y0矩形內任一點交換路徑AB雙方的無差別曲線族等價交換原則X,Y用貨幣衡量其價值，設交換前x0,y0價值相同，則等價交換原則下交換路徑為CD(x0,0),(0,y0)兩點的連線CDAB與CD的交點p設X單價a,Y單價b,則等價交換下ax+by=s(s=ax0=by0)yyo0xo..x帆船在海面上乘風遠航，確定最佳的航行方向及帆的朝向簡化問題AB

風向北航向帆船海面上東風勁吹，設帆船要從A點駛向正東方的B點，確定起航時的航向

，帆

以及帆的朝向

2.5

啟帆遠航模型分析

風(通過帆)對船的推力w

風對船體部分的阻力p推力w的分解

wp阻力p的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型假設

w與帆迎風面積s1成正比，p與船迎風面積s2成正比，比例系數相同且

s1遠大于

s2，f1~航行方向的推力p1~航行方向的阻力w1=wsin(

-

)f1=w1sin=wsin

sin(-