2026年云南省部編版高中數學選修第四冊第5章同步練習題

2026年云南省部編版高中數學選修第四冊第5章同步練習題一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.在選修第四冊第5章中，函數f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是（）A．πB．2πC．π/2D．4π解析：函數f(x)=sin(x)+cos(x)可化簡為√2sin(x+π/4)，其最小正周期為2π，故選B。周期性質是本章重點，需掌握sin(ax+b)和cos(ax+b)的周期公式。2.若復數z=1+i滿足|z-a|=1，則實數a的取值范圍是（）A．{0}B．{1}C．{2}D．{0,2}解析：由|z-a|=1得|1+i-a|=1，即(a-1)2+1=1，解得a=0，故選A。復數模的幾何意義是本章核心，需結合復平面理解。3.在選修第四冊第5章中，若向量a=(1,k)，b=(2,3)，且a⊥b，則實數k的值為（）A．-6B．6C．-2D．2解析：由a⊥b得a?b=0，即1×2+k×3=0，解得k=-2，故選C。向量垂直條件是本章基礎考點，需掌握數量積運算。4.已知函數f(x)=ax2+bx+c在x=1處取得極值，且f(1)=2，則b的值為（）A．1B．-1C．3D．-3解析：由f'(1)=0得2a+b=0，又f(1)=a+b+c=2，聯立解得b=-3，故選D。導數極值問題是本章難點，需熟練應用求導法則。5.在選修第四冊第5章中，若等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_3=9，S_6=27，則a_9的值為（）A．9B．12C．15D．18解析：由S_3=9，S_6=27得a_4+a_5+a_6=18，又a_4+a_5+a_6=3a_5，故a_5=6，進而a_9=a_5+4d=12，故選B。數列求和公式是本章重點，需掌握S_n與a_n的關系。6.已知函數f(x)=e^x-x在區間(0,1)上單調遞增，則實數k的取值范圍是（）A．k>1B．k<1C．k≥1D．k≤1解析：f'(x)=e^x-1，由f'(x)>0得x>0，故在(0,1)上單調遞增，需滿足k≤1，故選D。導數單調性是本章核心，需區分嚴格單調與單調不減。7.在選修第四冊第5章中，若圓(x-1)2+(y+2)2=r2與直線y=x+1相切，則圓的半徑r的值為（）A．√2B．2C．√5D．3解析：圓心(1,-2)到直線y=x+1的距離d=|1-(-2)-1|/√2=√2，故r=√2，故選A。直線與圓位置關系是本章基礎，需掌握點到直線距離公式。8.已知函數f(x)=log_a(x2-2x+3)在(1,+∞)上單調遞增，則實數a的取值范圍是（）A．(0,1)B．(1,+∞)C．(0,1)∪(1,+∞)D．(0,1)∪(1,2)解析：x2-2x+3在(1,+∞)上單調遞增，且恒大于0，若f(x)單調遞增，需a>1，故選B。對數函數單調性是本章重點，需結合復合函數性質分析。9.在選修第四冊第5章中，若函數f(x)=sin(x)+cos(x)的最小值為k，則k的值為（）A．-√2B．-1C．√2D．1解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，其最小值為-√2，故選A。三角函數最值問題是本章難點，需掌握輔助角公式和正弦型函數性質。10.已知函數f(x)=x3-3x+1，則方程f(x)=0在區間(-2,-1)上的實根個數為（）A．0B．1C．2D．3解析：f'(-2)=11，f'(-1)=-1，由零點定理知存在唯一實根，故選B。函數零點存在性是本章核心，需掌握導數與單調性關系。二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若復數z=2-3i的模為|z|，則|z|2的值為________。參考答案：13解析：|z|2=(2)2+(-3)2=13。復數模是本章基礎，需掌握模的運算性質。2.已知向量a=(3,-1)，b=(-2,k)，且a⊥b，則向量b的坐標為________。參考答案：(-2,6)解析：a?b=3×(-2)+(-1)×k=0，解得k=6，故b=(-2,6)。向量垂直條件是本章重點。3.函數f(x)=x2-4x+3的圖像的對稱軸方程為________。參考答案：x=2解析：對稱軸x=-b/2a=-(-4)/(2×1)=2。二次函數圖像性質是本章基礎。4.等比數列{a_n}的前n項和為S_n，若a_1=1，q=2，則S_4的值為________。參考答案：15解析：S_4=a_1(1-q?)/(1-q)=1×(1-16)/(-1)=15。等比數列求和是本章重點。5.已知圓(x-1)2+(y-3)2=4的圓心到原點的距離為________。參考答案：√10解析：圓心(1,3)到原點的距離為√(12+32)=√10。圓的基本性質是本章基礎。6.函數f(x)=e^x-1在區間(0,1)上的平均值等于________。參考答案：e-1解析：平均值=(f(1)-f(0))/(1-0)=(e-1-0)/1=e-1。函數平均值是本章拓展內容。7.已知函數f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期為________。參考答案：2π解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，周期為2π。三角函數周期是本章基礎。8.若向量a=(1,2)，b=(k,1)，且|a+b|=√5，則實數k的值為________。參考答案：1解析：a+b=(1+k,3)，|a+b|2=(1+k)2+32=5，解得k=1。向量模運算需掌握。9.已知函數f(x)=log_2(x2-x+1)在(0,+∞)上單調遞增，則x的取值范圍是________。參考答案：(1,+∞)解析：x2-x+1在(0,+∞)上單調遞增，且恒大于0，需x>1/2，結合復合函數性質得x>1。對數函數單調性需綜合分析。10.已知函數f(x)=x3-3x+1，則方程f(x)=0在區間(1,2)上的實根個數為________。參考答案：1解析：f'(x)=3x2-3，在(1,2)上f'(x)>0，函數單調遞增，且f(1)=-1，f(2)=2，由零點定理知存在唯一實根。函數零點問題需結合導數分析。三、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若復數z?=a+bi，z?=c+di，則|z?+z?|=|z?|+|z?|。（×）解析：向量模的三角不等式成立，但一般不等于和，需a,b,c,d滿足特定條件。復數模運算需掌握基本性質。2.若向量a=(1,k)，b=(2,3)，且a//b，則k=6。（×）解析：向量平行需a=λb，即1=2λ，k=3λ，解得λ=1/2，k=3/2。向量平行條件是本章基礎。3.函數f(x)=x2-4x+3的圖像開口向上，故在R上單調遞增。（×）解析：函數在頂點左側單調遞減，右側單調遞增，整體非單調。二次函數單調性需結合導數分析。4.等差數列{a_n}的前n項和為S_n，若S_3=9，S_6=27，則{a_n}是等比數列。（×）解析：S_3=3a?+3d=9，S_6=6a?+15d=27，解得a?=3，d=2，但{a_n}=3+2(n-1)非等比數列。數列性質需嚴格區分。5.已知圓(x-1)2+(y-2)2=r2與直線y=x相切，則圓的半徑r=√2。（√）解析：圓心(1,2)到直線y=x的距離d=|1-2|/√2=√2，故r=√2。直線與圓位置關系是本章基礎。6.函數f(x)=log_a(x2-2x+3)在(1,+∞)上單調遞增，則實數a>1。（√）解析：x2-2x+3在(1,+∞)上單調遞增，且恒大于0，若f(x)單調遞增，需a>1。對數函數單調性需綜合分析。7.已知函數f(x)=sin(x)+cos(x)的最小值為-√2。（√）解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，其最小值為-√2。三角函數最值問題是本章難點。8.函數f(x)=x3-3x+1在區間(-2,-1)上存在唯一實根。（√）解析：f'(-2)=11，f'(-1)=-1，由零點定理知存在唯一實根。函數零點存在性是本章核心。9.若向量a=(1,2)，b=(k,1)，且|a+b|=√5，則向量a與b的夾角為90°。（×）解析：|a+b|2=5，但a?b=1×k+2×1=k+2，不一定為0，需k=-2時才垂直。向量垂直條件需嚴格驗證。10.已知函數f(x)=log_2(x2-x+1)在(0,+∞)上單調遞增，則x的取值范圍是(0,+∞)。（×）解析：x2-x+1在(0,+∞)上單調遞增，且恒大于0，需x>1/2，結合復合函數性質得x>1。對數函數單調性需綜合分析。四、簡答題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1.已知復數z=1+i，求z2的值。參考答案：2i解析：z2=(1+i)2=1+2i+i2=2i。復數乘法需掌握分配律和i2=-1。2.求函數f(x)=x2-4x+3的單調遞增區間。參考答案：(2,+∞)解析：f'(x)=2x-4，令f'(x)>0得x>2，故單調遞增區間為(2,+∞)。導數法是本章核心。3.求數列{a_n}的前n項和S_n，其中a_n=2n-1。參考答案：n2解析：數列為等差數列，a?=1，d=2，S_n=n/2[2a?+(n-1)d]=n2。數列求和公式需熟練掌握。4.求圓(x-1)2+(y+2)2=4的圓心坐標和半徑。參考答案：圓心(1,-2)，半徑2解析：標準方程可直接讀出圓心和半徑。圓的基本性質是本章基礎。5.求函數f(x)=e^x-1在區間(0,1)上的平均值。參考答案：e-1解析：平均值=(f(1)-f(0))/(1-0)=(e-1-0)/1=e-1。函數平均值是本章拓展內容。6.求函數f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期。參考答案：2π解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，周期為2π。三角函數周期是本章基礎。7.求向量a=(3,-1)和b=(-2,4)的夾角余弦值。參考答案：-2/√26解析：cosθ=(a?b)/(|a||b|)=(3×(-2)+(-1)×4)/[√(32+(-1)2)×√((-2)2+42)]=-2/√26。向量夾角公式需嚴格掌握。8.求函數f(x)=log_2(x2-x+1)在(0,+∞)上的單調性。參考答案：單調遞增解析：x2-x+1在(0,+∞)上單調遞增，且恒大于0，若f(x)單調遞增，需a>1，故單調遞增。對數函數單調性需綜合分析。五、應用題（本大題共8小題，每小題4分，共24分）1.已知復數z?=2+3i，z?=1-i，求z?z?的值。參考答案：5+5i解析：z?z?=(2+3i)(1-i)=2-2i+3i-3i2=5+5i。復數乘法需掌握分配律和i2=-1。2.已知向量a=(1,2)，b=(3,k)，且a⊥b，求實數k的值。參考答案：k=-3解析：a?b=1×3+2×k=0，解得k=-3。向量垂直條件是本章基礎。3.已知函數f(x)=x2-4x+3，求其圖像的頂點坐標和對稱軸方程。參考答案：頂點(2,-1)，對稱軸x=2解析：頂點x=-b/2a=-(-4)/(2×1)=2，y=f(2)=-1。二次函數圖像性質是本章基礎。4.已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，若S_5=25，求a_3的值。參考答案：a_3=5解析：S_5=5/2[2a?+4d]=25，解得a?+2d=5，故a_3=a?+2d=5。數列求和公式需熟練掌握。5.已知圓(x-1)2+(y+2)2=4與直線y=x相切，求圓心到直線的距離。參考答案：√2解析：圓心(1,-2)到直線y=x的距離d=|1-(-2)|/√2=√2。直線與圓位置關系是本章基礎。6.已知函數f(x)=e^x-1在區間(0,1)上的平均值等于2，求實數a的值。參考答案：a=1解析：平均值=(f(1)-f(0))/(1-0)=(e-1-0)/1=e-1，若等于2，需e-1=2，解得a=1。函數平均值是本章拓展內容。7.已知函數f(x)=sin(x)+cos(x)的最小值為-√2，求其圖像的對稱中心。參考答案：(π/4,0)解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，最小值-√2在x=3π/4處取得，對稱中心為(π/4,0)。三角函數圖像性質是本章難點。8.已知函數f(x)=x3-3x+1在區間(1,2)上存在唯一實根，求f'(x)的符號。參考答案：f'(x)>0解析：f'(x)=3x2-3，在(1,2)上x2>1，故3x2-3>0，函數單調遞增。函數零點問題需結合導數分析。【標準答案及解析】一、單項選擇題1.B2.A3.D4.D5.B6.D7.A8.B9.A10.B解析：1.周期公式T=2π/|ω|，sin(x)+cos(x)的ω=1，T=2π。2.復數模|z-a|=1表示以a為圓心，半徑為1的圓，a=0時z在實軸上。3.向量垂直條件a?b=0，即3×2+(-1)×k=0。4.極值點處導數為0，f'(x)=2ax+b，x=1時2a+b=0。5.等差數列求和公式S_n=na?+n(n-1)d/2，聯立S_3和S_6解出a?和d。6.導數f'(x)=e^x-1，f'(x)>0需x>0。7.圓心到直線距離等于半徑，d=|1-2|/√2=√2。8.對數函數單調性需復合函數性質，x2-2x+3在(0,+∞)上單調遞增，且恒大于0，若f(x)單調遞增，需a>1。9.三角函數最值問題，f(x)=√2sin(x+π/4)，最小值為-√2。10.函數零點存在性，f'(x)=3x2-3，在(1,2)上f'(x)>0，函數單調遞增，且f(1)=-1，f(2)=2，由零點定理知存在唯一實根。二、填空題1.132.(-2,6)3.x=24.155.√106.e-17.2π8.19.(1,+∞)10.1解析：1.復數模平方|z|2=a2+b2=22+(-3)2=13。2.向量垂直條件a?b=0，即3×(-2)+(-1)×k=0，解得k=6。3.二次函數對稱軸x=-b/2a=-(-4)/(2×1)=2。4.等比數列求和公式S_n=a?(1-q?)/(1-q)，S_4=1×(1-2?)/(-1)=15。5.圓心(1,3)到原點的距離√(12+32)=√10。6.函數平均值=(f(1)-f(0))/(1-0)=(e-1-0)/1=e-1。7.三角函數周期公式T=2π/|ω|，sin(x)+cos(x)的ω=1，T=2π。8.向量模平方|a+b|2=(1+k)2+32=5，解得k=1。9.對數函數單調性需復合函數性質，x2-x+1在(0,+∞)上單調遞增，且恒大于0，若f(x)單調遞增，需a>1。10.函數零點存在性，f'(x)=3x2-3，在(1,2)上f'(x)>0，函數單調遞增，且f(1)=-1，f(2)=2，由零點定理知存在唯一實根。三、判斷題1.×2.×3.×4.×5.√6.√7.√8.√9.×10.×解析：1.復數模三角不等式|z?+z?|≤|z?|+|z?|，一般不等于。2.向量平行需a=λb，即1=2λ，k=3λ，解得λ=1/2，k=3/2。3.二次函數在頂點左側單調遞減，右側單調遞增，整體非單調。4.等差數列{a_n}=3+2(n-1)非等比數列。5.圓心到直線距離等于半徑，d=|1-2|/√2=√2。6.對數函數單調性需復合函數性質，x2-x+1在(0,+∞)上單調遞增，且恒大于0，若f(x)單調遞增，需a>1。7.三角函數最值問題，f(x)=√2sin(x+π/4)，最小值為-√2。8.函數零點存在性，f'(x)=3x2-3，在(-2,-1)上f'(x)>0，函數單調遞增，且f(-2)=11，f(-1)=-1，由零點定理知存在唯一實根。9.向量垂直條件a?b=0，不一定為0，需k=-2時才垂直。10.對數函數單調性需復合函數性質，x2-x+1在(0,+∞)上單調遞增，且恒大于0，若f(x)單調遞增，需a>1。四、簡答題1.2i解析：z2=(1+i)2=1+2i+i2=2i。復數乘法需掌握分配律和i2=-1。2.(2,+∞)解析：f'(x)=2x-4，令f'(x)>0得x>2，故單調遞增區間為(2,+∞)。導數法是本章核心。3.n2解析：數列為等差數列，a?=1，d=2，S_n=n/2[2a?+(n-1)d]=n2。數列求和公式需熟練掌握。4.(1,-2)，2解析：標準方程可直接讀出圓心和半徑。圓的基本性質是本章基礎。5.e-1解析：平均值=(f(1)-f(0))/(1-0)=(e-1-