2026年遼寧省人教版高中數(shù)學函數(shù)性質(zhì)專項訓練

2026年遼寧省人教版高中數(shù)學函數(shù)性質(zhì)專項訓練一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)=x^2-2x+1，則當x<0時，f(x)的表達式為（）A．x^2+2x+1B．-x^2-2x-1C．x^2-2x-1D．-x^2+2x-1解析：由奇函數(shù)性質(zhì)f(-x)=-f(x)，當x>0時f(x)=x^2-2x+1，則x<0時f(x)=-f(-x)=-((-x)^2-2(-x)+1)=-(x^2+2x+1)，故選B。2.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值為（）A．1B．2C．3D．4解析：分段函數(shù)f(x)可化為：f(x)=\{\begin{cases}-2x-1,&x<-2\\3,&-2\leqx\leq1\\2x+1,&x>1\end{cases}\]當-2\leqx\leq1時，f(x)取得最小值3，故選C。3.函數(shù)f(x)=2cos(2x+\frac{\pi}{3})的圖像關于y軸對稱的充要條件是（）A．\omega=2,\phi=\frac{\pi}{3}\mod2\piB．\omega=2,\phi=k\pi+\frac{\pi}{3}\mod2\piC．\omega=2,\phi=\frac{\pi}{6}\mod2\piD．\omega=2,\phi=k\pi-\frac{\pi}{3}\mod2\pi解析：函數(shù)圖像關于y軸對稱需滿足2x+\frac{\pi}{3}=k\pi\Rightarrow\phi=k\pi-\frac{\pi}{3}，故選D。4.若函數(shù)f(x)=\frac{ax+b}{x+c}在x=1處取得極值，則a、b、c滿足的關系式為（）A．a(chǎn)+b+c=0B．a(chǎn)+c=bC．a(chǎn)b=c^2D．a(chǎn)-b=c解析：f'(x)=\frac{a(x+c)-ax-b}{(x+c)^2}=\frac{ac-b}{(x+c)^2}，由f'(1)=0得ac-b=0，即ab=c^2，故選C。5.函數(shù)f(x)=\ln(x^2+1)-2x的導函數(shù)f'(x)的符號為（）A．x>0時>0，x<0時<0B．x>1時<0，-1<x<1時>0C．x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)時<0，x\in(-1,1)時>0D．x\in(-\infty,-1)\cup(0,1)時>0，x\in(-1,0)\cup(1,+\infty)時<0解析：f'(x)=\frac{2x-2}{x^2+1}，令f'(x)=0得x=1，當x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)時f'(x)<0，當x\in(-1,1)時f'(x)>0，故選C。6.函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-2,3]上的零點個數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或2，f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=2，由零點存在性定理可知，零點位于(-2,0)、(0,2)、(2,3)，共3個，故選C。7.函數(shù)f(x)=\sinx-\cosx的圖像關于點（\frac{\pi}{4},0）對稱的充要條件是（）A．f(x)是奇函數(shù)B．f(x)的周期為\piC．f(x)的圖像平移\frac{\pi}{4}后與y軸對稱D．f(x)的圖像平移\frac{\pi}{2}后與y軸對稱解析：f(x)=\sqrt{2}\sin(x-\frac{\pi}{4})，圖像關于點（\frac{\pi}{4},0）對稱需滿足x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrowx=k\pi+\frac{3\pi}{4}，即平移\frac{\pi}{2}后與y軸對稱，故選D。8.函數(shù)f(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}的反函數(shù)f^{-1}(x)的圖像不經(jīng)過的象限為（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析：f(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}=\frac{e^x+1-2}{e^x+1}=1-\frac{2}{e^x+1}，反函數(shù)f^{-1}(x)=\ln(\frac{1+x}{1-x})，定義域為(-1,1)，圖像經(jīng)過(0,0)、(1,0)、(0,1)，不經(jīng)過第三象限，故選C。9.函數(shù)f(x)=x|x|+ax+b在x=1處取得極值，則a、b的關系為（）A．a(chǎn)+b=0B．a(chǎn)-b=0C．a(chǎn)+b=1D．a(chǎn)-b=1解析：f(x)=\{\begin{cases}x^2+ax+b,&x\geq0\\-x^2+ax+b,&x<0\end{cases}\]當x\geq0時f'(x)=2x+a，由f'(1)=0得a=-2，此時f(1)=1-a+b=0，即a+b=0，故選A。10.函數(shù)f(x)=\ln(1+x)-\ln(1-x)在區(qū)間(-1,1)上的圖像關于（）對稱A．x軸B．y軸C．原點D．y=x解析：f(-x)=\ln(1-x)-\ln(1+x)=-f(x)，f(x)是奇函數(shù)，圖像關于原點對稱，故選C。二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.函數(shù)f(x)=2^x-1在區(qū)間[0,2]上的最大值與最小值之差為________參考答案：3解析：f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，f(0)=0，f(2)=3，故最大值與最小值之差為3。2.若函數(shù)f(x)=\sin(2x+\phi)在x=\frac{\pi}{4}處取得最大值，則\phi的取值集合為________參考答案：\{\frac{\pi}{4}+2k\pi\midk\in\mathbb{Z}\}解析：2\cdot\frac{\pi}{4}+\phi=\frac{\pi}{2}+2k\pi\Rightarrow\phi=\frac{\pi}{4}+2k\pi，k\in\mathbb{Z}。3.函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2的圖像與x軸的交點坐標為________參考答案：(0,0)、(1,0)、(2,0)解析：f(x)=x(x-1)(x-2)，交點坐標為(0,0)、(1,0)、(2,0)。4.函數(shù)f(x)=\ln(x^2+1)-2x的導函數(shù)f'(x)的零點個數(shù)為________參考答案：2解析：f'(x)=\frac{2x-2}{x^2+1}，令f'(x)=0得x=1，f'(x)在(-\infty,1)時<0，在(1,+\infty)時>0，零點個數(shù)為1，但需注意x=0時f'(x)=0，故零點個數(shù)為2。5.函數(shù)f(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}的反函數(shù)f^{-1}(x)的解析式為________參考答案：f^{-1}(x)=\ln(\frac{1+x}{1-x})，x\in(-1,1)解析：由y=\frac{e^x-1}{e^x+1}\Rightarrowe^x=\frac{1+y}{1-y}\Rightarrowx=\ln(\frac{1+y}{1-y})，反函數(shù)為f^{-1}(x)=\ln(\frac{1+x}{1-x})，定義域為(-1,1)。6.函數(shù)f(x)=x|x|+ax+b在x=1處取得極值，則a+b的值為________參考答案：-1解析：f(x)=x^2+ax+b，f'(x)=2x+a，由f'(1)=0得a=-2，此時f(1)=1-a+b=0，即a+b=-1。7.函數(shù)f(x)=\sinx-\cosx的圖像關于點（\frac{\pi}{4},0）對稱的充要條件是________參考答案：f(x)的圖像平移\frac{\pi}{2}后與y軸對稱解析：f(x)=\sqrt{2}\sin(x-\frac{\pi}{4})，圖像關于點（\frac{\pi}{4},0）對稱需滿足x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrowx=k\pi+\frac{3\pi}{4}，即平移\frac{\pi}{2}后與y軸對稱。8.函數(shù)f(x)=\ln(1+x)-\ln(1-x)在區(qū)間(-1,1)上的圖像關于________對稱參考答案：原點解析：f(-x)=\ln(1-x)-\ln(1+x)=-f(x)，f(x)是奇函數(shù)，圖像關于原點對稱。9.函數(shù)f(x)=2cos(2x+\frac{\pi}{3})的圖像關于y軸對稱的充要條件是________參考答案：\phi=\frac{\pi}{6}+k\pi\mod\pi解析：2x+\frac{\pi}{3}=k\pi\Rightarrow\phi=\frac{\pi}{6}+k\pi，k\in\mathbb{Z}。10.函數(shù)f(x)=\frac{ax+b}{x+c}在x=1處取得極值，則a、b、c滿足的關系式為________參考答案：ac=b解析：f'(x)=\frac{a(x+c)-ax-b}{(x+c)^2}=\frac{ac-b}{(x+c)^2}，由f'(1)=0得ac-b=0，即ac=b。三、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，則f(x)在區(qū)間I上一定存在最大值和最小值。參考答案：×解析：例如f(x)=x在(-\infty,+\infty)上單調(diào)遞增，但無最大值和最小值。2.函數(shù)f(x)=\sinx+\cosx的圖像關于直線x=\frac{\pi}{4}對稱。參考答案：√解析：f(x)=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})，圖像關于x=\frac{\pi}{4}對稱。3.若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則f'(x)一定是奇函數(shù)。參考答案：√解析：f(-x)=f(x)\Rightarrowf'(x)=-f'(-x)，f'(x)是奇函數(shù)。4.函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間(-2,3)上至少存在一個零點。參考答案：√解析：f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，由零點存在性定理可知，零點位于(-2,0)、(0,2)，至少存在一個零點。5.函數(shù)f(x)=\ln(1+x)-\ln(1-x)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)。參考答案：√解析：f'(x)=\frac{2}{1-x^2}>0，f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增。6.函數(shù)f(x)=2^x-1在區(qū)間[0,2]上的圖像關于點（1,0）對稱。參考答案：×解析：f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，圖像不關于點（1,0）對稱。7.函數(shù)f(x)=\sinx-\cosx的圖像關于原點對稱。參考答案：√解析：f(-x)=\sin(-x)-\cos(-x)=-\sinx-\cosx=-f(x)，f(x)是奇函數(shù)，圖像關于原點對稱。8.函數(shù)f(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}的反函數(shù)f^{-1}(x)是奇函數(shù)。參考答案：√解析：f(x)是奇函數(shù)，其反函數(shù)也是奇函數(shù)。9.函數(shù)f(x)=x|x|+ax+b在x=1處取得極值，則a一定為-2。參考答案：√解析：f(x)=x^2+ax+b，f'(x)=2x+a，由f'(1)=0得a=-2。10.函數(shù)f(x)=2cos(2x+\frac{\pi}{3})的圖像關于y軸對稱的充要條件是\phi=\frac{\pi}{3}。參考答案：×解析：充要條件是\phi=\frac{\pi}{6}+k\pi，k\in\mathbb{Z}，不是\phi=\frac{\pi}{3}。四、簡答題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1.已知函數(shù)f(x)=\sin(2x+\phi)在x=\frac{\pi}{4}處取得最大值，求\phi的取值范圍。解：f(x)在x=\frac{\pi}{4}處取得最大值需滿足2\cdot\frac{\pi}{4}+\phi=2k\pi+\frac{\pi}{2}\Rightarrow\phi=2k\pi+\frac{\pi}{4}，k\in\mathbb{Z}。2.函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2的單調(diào)遞增區(qū)間為________。解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或2，當x\in(-\infty,0)\cup(2,+\infty)時f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增區(qū)間為(-\infty,0)\cup(2,+\infty)。3.函數(shù)f(x)=\ln(1+x)-\ln(1-x)的反函數(shù)f^{-1}(x)的奇偶性為________。解：f(x)是奇函數(shù)，其反函數(shù)也是奇函數(shù)，即f^{-1}(x)是奇函數(shù)。4.函數(shù)f(x)=2cos(2x+\frac{\pi}{3})的周期為________。解：f(x)的周期T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{2}=\pi。5.函數(shù)f(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}的反函數(shù)f^{-1}(x)的定義域為________。解：f(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}，由\frac{e^x-1}{e^x+1}=y\Rightarrowe^x=\frac{1+y}{1-y}，反函數(shù)f^{-1}(x)=\ln(\frac{1+x}{1-x})，定義域為(-1,1)。6.函數(shù)f(x)=x|x|+ax+b在x=1處取得極值，求a的取值范圍。解：f(x)=x^2+ax+b，f'(x)=2x+a，由f'(1)=0得a=-2，故a的取值范圍為a=-2。7.函數(shù)f(x)=\sinx-\cosx的圖像關于點（\frac{\pi}{4},0）對稱的幾何意義是什么？解：f(x)的圖像關于點（\frac{\pi}{4},0）對稱意味著對于任意x，都有f(\frac{\pi}{2}-x)=-f(x)，即圖像平移\frac{\pi}{2}后與y軸對稱。8.函數(shù)f(x)=\frac{ax+b}{x+c}在x=1處取得極值，求a、c的關系。解：f'(x)=\frac{a(x+c)-ax-b}{(x+c)^2}=\frac{ac-b}{(x+c)^2}，由f'(1)=0得ac=b，故a、c的關系為ac=b。五、應用題（本大題共8小題，每小題4分，共24分）1.已知函數(shù)f(x)=\sin(2x+\phi)在x=\frac{\pi}{4}處取得最大值，求f(x)在區(qū)間[0,\frac{\pi}{2}]上的零點個數(shù)。解：f(x)在x=\frac{\pi}{4}處取得最大值需滿足2\cdot\frac{\pi}{4}+\phi=2k\pi+\frac{\pi}{2}\Rightarrow\phi=2k\pi+\frac{\pi}{4}，k\in\mathbb{Z}，取k=0時\phi=\frac{\pi}{4}，f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{4})，令f(x)=0得2x+\frac{\pi}{4}=k\pi\Rightarrowx=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{8}，在[0,\frac{\pi}{2}]上，k=1時x=\frac{3\pi}{8}，k=2時x=\frac{7\pi}{8}，故零點個數(shù)為2。2.函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-2,3]上的最大值與最小值分別為________和________。解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或2，f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=2，故最大值為2，最小值為-16。3.函數(shù)f(x)=\ln(1+x)-\ln(1-x)的反函數(shù)f^{-1}(x)的解析式為________。解：由y=\ln(1+x)-\ln(1-x)\Rightarrowe^y=\frac{1+x}{1-x}\Rightarrow1+x=e^{y}(1-x)\Rightarrowx=\frac{e^y-1}{e^y+1}，反函數(shù)為f^{-1}(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}，定義域為(-1,1)。4.函數(shù)f(x)=2cos(2x+\frac{\pi}{3})的圖像關于y軸對稱的充要條件是________。解：f(x)的圖像關于y軸對稱需滿足2x+\frac{\pi}{3}=k\pi\Rightarrow\phi=\frac{\pi}{6}+k\pi，k\in\mathbb{Z}。5.函數(shù)f(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}的反函數(shù)f^{-1}(x)的奇偶性為________。解：f(x)是奇函數(shù)，其反函數(shù)也是奇函數(shù)，即f^{-1}(x)是奇函數(shù)。6.函數(shù)f(x)=x|x|+ax+b在x=1處取得極值，求a+b的值。解：f(x)=x^2+ax+b，f'(x)=2x+a，由f'(1)=0得a=-2，此時f(1)=1-a+b=0，即a+b=-1。7.函數(shù)f(x)=\sinx-\cosx的圖像關于點（\frac{\pi}{4},0）對稱的幾何意義是什么？解：f(x)的圖像關于點（\frac{\pi}{4},0）對稱意味著對于任意x，都有f(\frac{\pi}{2}-x)=-f(x)，即圖像平移\frac{\pi}{2}后與y軸對稱。8.函數(shù)f(x)=\frac{ax+b}{x+c}在x=1處取得極值，求a、c的關系。解：f'(x)=\frac{a(x+c)-ax-b}{(x+c)^2}=\frac{ac-b}{(x+c)^2}，由f'(1)=0得ac=b，故a、c的關系為ac=b。標準答案及解析一、單項選擇題1.B2.C3.D4.C5.C6.C7.D8.D9.A10.C解析：2.奇函數(shù)性質(zhì)f(-x)=-f(x)，當x>0時f(x)=x^2-2x+1，則x<0時f(x)=-f(-x)=-((-x)^2-2(-x)+1)=-(x^2+2x+1)，故選B。3.分段函數(shù)f(x)可化為：f(x)=\{\begin{cases}-2x-1,&x<-2\\3,&-2\leqx\leq1\\2x+1,&x>1\end{cases}\]當-2\leqx\leq1時，f(x)取得最小值3，故選C。4.函數(shù)圖像關于y軸對稱需滿足2x+\frac{\pi}{3}=k\pi\Rightarrow\phi=k\pi-\frac{\pi}{3}，故選D。5.f'(x)=\frac{a(x+c)-ax-b}{(x+c)^2}=\frac{ac-b}{(x+c)^2}，由f'(1)=0得ac-b=0，即ab=c^2，故選C。6.f'(x)=\frac{2x-2}{x^2+1}，令f'(x)=0得x=1，當x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)時f'(x)<0，當x\in(-1,1)時f'(x)>0，故選C。7.f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或2，f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=2，由零點存在性定理可知，零點位于(-2,0)、(0,2)、(2,3)，共3個，故選C。8.f(x)=\sqrt{2}\sin(x-\frac{\pi}{4})，圖像關于點（\frac{\pi}{4},0）對稱需滿足x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrowx=k\pi+\frac{3\pi}{4}，即平移\frac{\pi}{2}后與y軸對稱，故選D。9.f(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}=\frac{e^x+1-2}{e^x+1}=1-\frac{2}{e^x+1}，反函數(shù)f^{-1}(x)=\ln(\frac{1+x}{1-x})，定義域為(-1,1)，圖像經(jīng)過(0,0)、(1,0)、(0,1)，不經(jīng)過第三象限，故選C。10.f(x)=x|x|+ax+b在x=1處取得極值，f(x)=x^2+ax+b，f'(x)=2x+a，由f'(1)=0得a=-2，此時f(1)=1-a+b=0，即a+b=0，故選A。11.f(x)是奇函數(shù)，圖像關于原點對稱，故選C。二、填空題1.312.\{\frac{\pi}{4}+2k\pi\midk\in\mathbb{Z}\}13.(0,0)、(1,0)、(2,0)2.215.f^{-1}(x)=\ln(\frac{1+x}{1-x})，x\in(-1,1)3.-117.f(x