2026屆高三數(shù)學(xué)百日沖刺小題集訓(xùn)12（解析版）

2026屆高三百日沖刺小題集訓(xùn)12

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是

符合題目要求的。

],已知復(fù)數(shù)2=罌則|z|=()

A.V5B.V10c.2匹D.2同

【答案】B

-10i_10i(3-i)10+30i《>

【解析】依題意，z~3+i~~(3+i)(3-i)F=T—3I,

所以|z|=《1)2+(-3)2=同.

故選：B

【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的乘方及除法運(yùn)算求出Z,進(jìn)而求出該復(fù)數(shù)的模.

2.已知命題p:V%eR,5*-2鏟+1>0,命題q:WR,4cos2殉—3>0,則()

A.〃和q都是假命題B.〃是真命題，鄉(xiāng)是假命題C.〃是假命

題，夕是真命題D.〃和6/都是真命題

【答案】C

【解析】命題p是全稱量詞命題，當(dāng)％=0時(shí)，5^-2e^4-l=5°-2e°+l=0,所以p是

假命題；

22

命題q是存在量詞命題，當(dāng)%o=O時(shí)，4cosx0-3=4cos0-3=1>0,所以q是真命題.

故選：C

【分析】利用全稱量詞命題、存在量詞命題真假判斷方法確定給定命題真假即可.

3.已知向量由前,均為單位向量，且2j=-g,|3G+山二|6-2可，則五1=()

A.B.C.D.后

【答案】D

【解析】由向量①族,[均為單位向量，且&不=一3|3@+川=14-24

得(32+S)2=(d-2c)2,整理得9d2+b2+6ab=a2+4c2—4a-c>

即9+1+6?(-}=1+4—4G?乙所以—點(diǎn)

故選：D

【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律列式求解..

4.2025年11月，搭載“祖沖之三號”同款芯片的超導(dǎo)量子計(jì)算機(jī)“天衍-287”完成搭建，該量

子計(jì)算系統(tǒng)具備“量子計(jì)算優(yōu)越性”能力.下表記錄了8個(gè)團(tuán)隊(duì)在特定年度的研發(fā)資金投入

x(單位：億元)與芯片性能提升評估指數(shù)y,且土=6.

研發(fā)資金投入x/億元2%1x2x3x4x5x610

1/9

性能提升評估指數(shù)y212

7i丫2為y4ys%

已知y與x具有較強(qiáng)的線性關(guān)系，通過最小二乘估計(jì)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為9=1.2x+0.4.

如果去掉樣本點(diǎn)(2,2),(10,12)后，得到的新樣本的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為夕=1.25/+心則a=()

A.0.1B.0.3C.0.5D.0.7

【答案】B

【解析】由三=6及夕=1.2x+0.4,得歹=1.2x+0.4=1.2x6+0.4=7.6,

則在新樣本中,xr=^8x-2-10)=6,/=1(8y-2-12)=7.8,

所以6=/-1.25?=7.8-1.25x6=0.3.

故選：B

【分析】根據(jù)給定條件，求出區(qū)進(jìn)而求出新樣本的中心點(diǎn)，再利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程求得答

案.

5.已知雙曲線。《一3=1(。＞0,匕＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為FiA過坐標(biāo)原點(diǎn)。的直線

/HC相交于4。兩點(diǎn)，若點(diǎn)A在第一象限，且|0川一IOFJMKI-2出FJ則雙曲線

。的離心率為()

A.B.2C.V5D.V6

【答案】C

【解析】雙曲線C:搐一3=1(Q：＞0/：＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為吊(一c,0),F2(C,0),

過坐標(biāo)原點(diǎn)。的宜線/與C相交于4,8兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，

由I。川二|。尸2],有|。川=|。尸2|=IO&I，所以△月人F2為直角三角形，M

由對稱性可知|BFi|=\AF2\,則有|4FJ=2|8FJ=2\AF2],

又|4月|-|4川=2a,得|4眠|=4兄|萬引=2a,

口△6和中，l^i^zl=2c,則有(4Q)2+(2Q)2=⑶產(chǎn)化簡得5a2=C2,即冬=5,

所以雙曲線C的離心率e=;=V5.

故選：C

【分析】依題意由I。川=|OF?|可得「遇JLFzA,由4月|=2出FJ可得|4月|=4a,|4Fzl=

2a,Rt△&46中由勾股定理列齊次式求雙曲線C的離心率.

6.若關(guān)「x的方程mx2+4x+m=—yJm2x24-4mx+4(m＞0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

則實(shí)數(shù)/〃的取值范圍是()

(0,2)B.(1,2)C.(0,#)D.(1苧

【答案】A

【解析】由方程mx2+41+m=-Vm2%24-4mx4-4?得一mx2-4x-m=\mx+2|,

2/9

而m>0,則一/一—1=令函數(shù)f(x)=--一—l,g(x)=區(qū)+\],

函數(shù)/(%)的圖象開I」向下，對稱軸方程為％=函數(shù)g(x)的最小值為0,圖象關(guān)于直線

x=一2對稱，

m

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f(x)>y-g(x)的圖象，如圖:

依題意，函數(shù)y=/(x),y=g(x)的圖象有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，而它們有相同的對稱軸，

因此f(―5)>0，即—1>0,又血>0,解得0Vm<2,

所以實(shí)數(shù)〃，的取值范圍是(0,2).

故選：A

【分析】變形給定方程并構(gòu)造函數(shù)/(乃=一/一2%一1皿。)=氏+2k作出函數(shù)圖象，

由兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)求出m范圍.

7.已知正數(shù)x,y,z滿足910g27%=2elnJ^=61og8Z=1,則()

A.z<y<xB.z<x<yC.y<x<zD.x<z<y

【答案】B

【解析】由910g27%=2eln^/y=61og8z=1?得%=3§,y=ec,z=2z?

Wllnx=殍，仇y=—,lnz=當(dāng)，令函數(shù)/(t)=>e,

當(dāng)￡>e時(shí)，求導(dǎo)得/'(t)=震VO,函數(shù)/(t)在[e,+8)上單調(diào)遞減，

因此f(4)<f(3)<f(e)，而/'(4)=詈=等,則仇z<Inx<Iny,

所以z<%Vy.

故選：B

【分析】根據(jù)給定條件，求出％y,z并變形得/不=殍，上丫=空，mz=竽，再構(gòu)造函數(shù)

=e,利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性即可比較大小.

8.已知正四棱柱力BCD-4%QDi的體積為128,88=8,4G，當(dāng)外相交于點(diǎn)01，

￡,r,6,”分別為。141，0181,01。1，。1。1上的點(diǎn)，=第'==4,則四棱臺

EFGH-48CD的外接球的表面積為()

A.290TlB.293nC.295nD.297TT

3/9

【答案】D

【解析】正四棱柱底面力8=8,故底面積為8x8=64,體積為128,得高力=登=2,

以A為原點(diǎn)，48)。,力4為％y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則有A(0,0,0),8(8,0,0),C(8,8,0),D(0,8,0),4(0,0,2),%(8,0,2),C1(8,8,2),必(0,8,2),

/IC與80相交于點(diǎn)。，有。(4,4,0),力iQ與劣為相交于點(diǎn)01，有01(4,4,2),

由符=4,得E為。遇i靠近內(nèi)的四等分點(diǎn)，有E(3,3,2),

同理，有尸(5,3,2),G(5,5,2),H(3,5,2),

下底面。是邊長為8的正方形，中心0(4,4,0),

上底面EFG”是邊長為2的正方形，中心3(4,4,2),

中心連線0。1垂直于底面，故四棱臺為正四棱臺。

四棱臺—/BCD的外接球球心在直線。。1上，設(shè)球心坐標(biāo)為(4,4,。，

由球心到力(0,0,0)和E(3,3,2)距離相等，

有(4-0)2+(4—0)2+(i—0)2=(4-3)2+(4-3)2+(t—2)2,解得t=一m,

2

外接球半徑的平方駿=42+42+(-引=等，表面積4E?2=297兀

故選：D.

【分析】四樓臺EFGH-力3co為正四棱臺，外接球球心在上下底面的中心連線。。1上：建

立空間直角坐標(biāo)系，利用球心到點(diǎn)4和點(diǎn)E距離相等，求出球心坐標(biāo)和球的半徑，可得球的

表面積.

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知函數(shù)f(x)=cos(x-：),g(x)=sin2x/則()

A.函數(shù)/"(2%)與g(%)有相同的最小正周期

B.函數(shù)/(%)與g(x)的圖象至少有一條相同的對稱軸

C.函數(shù)/(x)與g(x)的圖象的對稱中心之間的最小距離為］

D.將函數(shù)g(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再把得到的圖

象向左平移:個(gè)單位長度，可得到函數(shù)f(%)的圖象

【答案】ABD

【解析】對于選項(xiàng)A,/-(2x)=cos(2x-；),所以周期=與=71,

4/9

gM=sin2x,周期=3二豆，兩者周期相同，故A正確.

對于選項(xiàng)B,/(%)=cos(x-9的對稱軸滿足=自口(七￡Z),解得％=自口+；

(七6Z),

g(x)=sin2x的對稱軸滿足2%=]+k2n(k2eZ),解得％=：+等(k2EZ),

當(dāng)自=心=0時(shí)，X=：是兩者共同的對稱軸，故B正確.

對于選項(xiàng)C,/(幻=3(無一9的對稱中心滿足不一合三+"(&6Z),

解得力=^+km對稱中心為(手+而,0)(keZ),

g(x)=sin2x的對稱中心滿足2x=mn(mEZ),

解得“=詈，對稱中心為(詈,0)(m€Z),

則兩個(gè)對稱中心的距離為旨+kir—詈|=111：+攵—三卜

當(dāng)k=0,m=l時(shí)，距離為呼+An-詈卜+A=立住一三=1

此時(shí)距離為也比與更小，故C錯(cuò)誤.

對于選項(xiàng)D,將g(x)=sin2x圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，

得到y(tǒng)=sinx.

再將y=sinx的圖象向左平移;個(gè)單位長度，得到y(tǒng)=sin(x+習(xí)，

而fM=cos(%一：)=cos[(x+：)—]]=sin1+9，故D正確.

故選：ABD

【分析】利用三角函數(shù)的基本公式和三角函數(shù)的周期、對稱性、圖象變換等性質(zhì)，逐一分

析每個(gè)選項(xiàng)，即可判斷對錯(cuò).

10.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓。:《+3=1(°>0/>0)的離心率為5長軸長為4,F為

。的右焦點(diǎn)，第二象限的點(diǎn)。為橢圓上一點(diǎn)，。為點(diǎn)。關(guān)于丁軸的對稱點(diǎn)，交)，軸于點(diǎn)

M,N為線段產(chǎn)。的中點(diǎn)，則()

A.b=V5

B.\MN\+\FN\=3

C.設(shè)A是。的左頂點(diǎn)，直線AP和AQ的斜率分別為h水2,則七&=：

D.△ON/內(nèi)切圓半徑的取值范圍為(0,日)

【答案】AC

(2a=4

【解析】由題意可得￡=1,所以Q=2,C=1/2=3,

Ia-2

所以橢圓方程為次+二=1,

43

5/9

對于A,b=皆，故A正確;

對于B,設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為G,連接P居PG,QG,

由對稱性可得四邊形PQFG為等腰梯形，所以|P川=|QG|,

所以|MN|+\FN\=J|PF|+：|QF|二；(|QG|+|QF|)=；x2Q=2,故B錯(cuò)誤;

對于C,設(shè)于一2,O）,P（To，yo）,Q（Xo，yo）,

3o.3o_31

所以自=六所以用42=

NT。2-x02+x04-Xj

因?yàn)閘+l=i=ya=3-；xV

2

0

所以自七=￡■2二,故c正確:

0

對于D,設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為Q1，內(nèi)切圓半徑為r,

由^ONFFGQ可得%ONr=ROF|+\FN\+\ON\)r=|x|(|GF|+\FQ\+|GQ|)r<

尹"GQi=；x#G|.b,

即］(2a+2c)rV；x：x2cxb,即(2+4)r<g,解得r<?,故D錯(cuò)誤.

故選：AC

【分析】先由離心率和長軸長求出橢圓方程可得A：連接PF,PG,QG,利用對稱性和橢圓

的性質(zhì)可判斷B；設(shè)4(-2,0),尸(-勺，％)((&，%)，表示出斜率結(jié)合點(diǎn)在橢圓上代入化簡

可得C；利用等面積可判斷D.

11.己知定義域?yàn)镽的函數(shù)“r)滿足下列條件：(1)對任意的％y6R,都有。+y)/(A--

y)4-(x-y)/(x+y)=f{x2-y2)(2)當(dāng)0<%V1時(shí)，/(x)>0.則下列結(jié)論正確的是()

A./(-1)+/(0)=0

B.函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于y軸對稱

C.若X6(―8,-1)U(1,+8),則V0

D若a6R,則/(-a2-3)>/(-2)

【答案】ACD

【解析】對任意的%,yeR,都有(x+y)/(x-y)4-(%-y)/(x+y)=f(x2-y2),

對于A,令x=0,y=0,則/'(0)=0,令％=l,y=o,得/'(l)+f(l)=f(l),則/(l)=0,

6/9

令x=-l,y=O,得一/(一1)一/(-1)=/(1)=0,則/(-1)=0,因此f(—l)+f(O)=O,

A正確；

對于B,令y=x+l,%WR,得(2%+-f(2x+1)=f(-2x-1),

即一/(2工+1)=/(-2%一1),因此一f(%)=f(r),函數(shù)f(x)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)

對稱，B錯(cuò)誤；

對于C,令％2_y2=i,即(％+y)(x-y)=1,取x+y=t(tHO),則％—y=；,

V

丁是4(；)十gf(O=f(i)=。，即蟹=一。/(>，當(dāng)0>1時(shí)，/(;)>0,

則華V0,此時(shí)/(￡)<().當(dāng)￡〈一1時(shí)，由奇函數(shù)的性質(zhì)得/(t)>0,則華V0,

因此￡W(―8,-1)U(1,+8),V0,C正確：

對于D,令％+y=m,％-y=九，則7n/(7i)+zi/Xm)=f(nm),當(dāng)mziHO時(shí)，與^+

/(m)=/(mn)

mmn'

任取均右￡(1,+8),與<小，竽一等二粵一等=冬+等一等=篙晨會，

xxxx

九2占7人71九1人717ii2i

由1<%<不，得￡>1，則/'償)<0,而卷>°，因此等一等V0,

即3〈色<0,此時(shí)-3>一色>0,而%2>/>1，則一/'。2)>—/(與)，即

X2X1*2

/(&)

因此函數(shù)/'(無)在(1,+8)上單調(diào)遞減，由奇函數(shù)性質(zhì)得/1(%)在(-8,-1)上單調(diào)遞減，

由aER?得一M—3<—3<—2<—1?則/'(一小—3)>f(—2),D正確.

故選：ACD

【分析】根據(jù)給定條件(1)，利用賦值法，結(jié)合奇偶函數(shù)的定義及性質(zhì)計(jì)算判斷AB；令

x2-y2=1,x+y=t(t*0),x-y=p由條件(2)并結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)判斷C：由條

件(])可得華+等=黑1,再利用單調(diào)函數(shù)的定義并結(jié)合(2)確定函數(shù)f(x)在

(1,+8)上單調(diào)性，進(jìn)而利用奇函數(shù)性質(zhì)判斷D.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛的｝的前〃項(xiàng)和為右,且a2a34-5a|=S3a3,則數(shù)列｛即｝的公比為—.

【答案】2

222

【解析】由題意可得Qiq-axq+5(%q)2=a/1+q+g)?arqf

因?yàn)?>0,Q>0,

兩邊同時(shí)除以Q河2可得#5=i+q+q2,解得q=2.

故答案為：2.

【分析】由等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前幾項(xiàng)和公式，計(jì)算可得.

13.已知0￡Y-y￡psin(x+y)7t0,且tan(x+y)=cos(x—y),cos2x=|sin(x+y)則

7/9

sin2(x—y)=.

【答案】K

【解析】令。=%+y,0=%—y,則04夕4],sina：#0,,且2%=a+/?,2(x-y)=2/?,

由+y)=cos(x-y),cos2x=-sin(x+y)可得=cos￡,即sina=cosacosp,

①

又cos(a+夕)=^sina,即cosacos/?-sinasin^=|sina,②

由①②兩式可得s