2026年山東省臨沂市高考數學二模試卷（帶答案解析）

2026年山東省臨沂市高考數學二模試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.（5分）已知復數z滿足（1+i）z=l-3八則同=（）

A.5B.3C.V5D.V3

2.（5分）已知集合4={）同1認=0},B={A|COSA=1）,貝！J（）

A.\fx（）EA?x（）EBB.3X（）E5,XO^A

C.Vxi,X2W/1，D.VXI?X1E.B,x\+xiEA

3.（5分）已知（x-3）4=ao+a]（x-I）+a2（x-1）2+a3（x-1）3+4a4（x-1）4,貝lj〃1+。2+。3+。4=（）

A.-15B.-16C.-80D.-81

iv<1

4.（5分）拋三枚質地均勻的硬幣，記正面朝上的數量為隨機變量X,定義隨機變量丫=''一，則E

（X,X>2

（D=（）

13715

A.3B.-C.-D.—

848

5.（5分）己如四邊形44co為平行四邊形，AE=2EB,尸為4C與DE的交點,則命=（）

3■*2T3T2T

A.-^AB+^ADB.-AB--AD

2-?32r2r

C.-^AB+^ADD.-AB+-AD

>355

6.（5分）若雪為函數/（%）=COS（3%）（3〉0）的一個零點，且/（X）的最小正周期&（71,21T）,則3

=（）

7513

A.-B.-C.-D.—

4424

7.（5分）已知實數x,y,z滿足％?3才=y2/og2y=z3,og2Z=1，則（）

A.x<y<zB.z<y<xC.y<z<xD.x<z<y

8.（5分）已知橢圓￡?苴+番=1的左、右焦點為Q,尸2,離心率為學點（建，辦在橢圓E上，尸是

橢圓E上的動點，以鶴為直徑作圓M直線QV與圓N交于點。（點。不在橢圓內部），MQFi-QF2=

（）

A.1B.V3C.2D.3

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

第1頁（共20頁）

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

（多選）9.（6分）一組從小到大依次排列的樣本數據7,9,a,10,14的平均數等于眾數，則（)

A.4=9B.中位數為10

C.方差為5D.第75百分位數為1（）

/2

（多選）10.（6分）己知曲線一+入v二1與直線y=2x-4只有一個公共點，則〃?，〃可能的取值為（）

mn

A.，n=9,n=~36B.rn=~5,〃=2OC.///=4,/z=8D.rn=2,〃=8

（多選）11.（6分）等面四面體亦稱等腰四面體，是一種特殊的四面體，它是每條棱與其對棱總相等的四

面體，它的四個面是全等的銳角三角形.如圖，等面四面體川修。的表面展開圖是一個銳角三角形力“乂3

及其三條中位線（小，山，加重合到點力），若BC=2,三角形4MM3的面積為8,則（）

A.其對棱力&CO相互垂直

B.當班）=CO時，其體積為厚

C.當8。=哀時，其外接球的直徑長為學

5V3

D.當8。=。。時，其“外接圓錐”（8,C,。在底面圓周上，力在側面上）的高為丁

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共1S分。

12.（5分）已知函數/（X）=X3-3X2-2,若函數/（田7）為奇函數，則7=.

13.（5分）直線/：工-尸?加=0與圓C：￥+/-2.「4產1=0交于48兩點，且△48。的面積為2,則“

14.（5分）今有一批數量龐大的瓶裝飲用水，假設這批水的某項礦物質含量偏差值（單位：毫克/升）5

N（10,0.52）（尸（p-o）^0.6827,P（p-2oW*Wu+2o）^0.9545,P卬-3。WfWp+3

。）40.9973,現從中隨機抽取n瓶，這〃瓶水中恰有K瓶的礦物質含量偏差值彳位于區間（9.5,11.5）.當

K=30時，試以使得。（K=30）最大的〃值作為〃的估計值，則〃為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）已知中，內角4B,C的對邊分別為a,b,c,sin^=a-ct^sB.

Z0

第2頁（共20頁）

（I）求角c；

（2）已知c=K,△AB。為銳角三角形，求2a-b的取值范圍.

16,（15分）某科技公司研發了一款智能服務機器人，用于商場的導購、配送與巡檢服務.為優化機器人

的調度效率與服務質量，公司開展了相關測試與優化工作.

（1）下表為機器人連續5天的工作時長（小時）與服務訂單數），（次數）的數據關系.

時長（X）12345

服務次數（y）1220273338

若服務次數y與工作時長x具有線性相關關系，請預測第6天機器人工作時長為7小時時，服務訂單數

大約有多少？

（2）機器人在服務過程中可能出現故障，兩個機器人為一組，每次一個機器人執行服務任務，若服務

中無故障，則繼續執行下一次服務，若出現故障，則換另一位機器人執行.甲、乙兩機器人一組，第一

13

次執行服務時.，甲、乙上場的概率均為予已知甲每次服務無故障的概率為F乙每次服務無故障的概率

席

（i）求第2次執行服務的是機器人甲的概率；

（ii）求第〃次執行服務的是機器人乙的概率.

2二1（々一幻（％一刃

附：回歸方程y=以+a中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b=

（x/-x）2

如烏一字a=y-bx,參考數據：2空4％=455,￡匕fe-x）2=10.

E21xf-Tix

17.（15分）已知四邊形488為等腰梯形（如圖1）,AB//CD,AB=2CD=2AD=4,￡為＜8的中點,

將△彳OE沿直線OE翻折至△尸DE位置（如圖2）,且PB=7IU.

（2）求點B到平面PDC的距離;

第3頁（共20頁）

(3)設"為棱PC上的動點，當與平面PDC所成角最大時，求平面8COE與平面夾角的正

切值.

18.(17分)已知函數/(x)=ln(x+1),g(x)=/.

(1)關于x的不等式g(x)</(x)+〃有解，求。的取值范圍；

(2)V/z/GR,3nE(0>+°°)>有g(m)=/(〃)成立，證明：〃-〃?>1；

(3)V5?tE(0?+8),令夕(X)=f(x)g(x),證明：p(j+Z)>p(5)+p(/).

19.(17分)將拋物線列記為｛C,J：y2=2升乜，ne/V\其焦點列為｛EJ,過焦點Q的直線與拋物線。

交于小(xi,y\),B\(xif,y\')兩點，點/i在x軸上方，點41在x軸下方，點O為坐標原點，連

f

接0小，。31并延長分別與G(〃22)交于4tCxn,yn)，8〃(xj,yn)兩點.

(1)已知直線由Bi的斜率的二*求直線4屆的斜率加

(2)已知直線/閏的傾斜角為a,且cosa=:，記國6+1的面積為

(i)求數列｛〃S〃｝的前〃項和7〃；

(ii)求所有滿足方程&S“+49=1的正整數對(〃，女).

第4頁(共20頁)

2026年山東省臨沂市高考數學二模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.(5分)已知復:數z滿足(1+力z=l-3/,則|z|=()

A.5B.3C.V5D.V3

【解答】解：復數z滿足(1+0z=1-3/,

則Z-L_(l-3i)(lT)_-2-較__1_2.

人]+i-(1+0(1-0一2一1"

所以由復數模的公式可知，|z|=V(-l)2+(-2)2=V5.

故選：C.

2.(5分)已知集合4={Msinx=0},8={x|cosx=1},則()

A.VxoG/i,XQEBB.3XOG^,XO^A

C.Vxi，xzEA,X\+X2EBD.VXI，XIEB,XI+JQW力

【解答】解:由題意可知,集合/={x|sinx=O}={x|x=E,keZ)t集合6={x|cosx=1}={x|x=2E,

kWZ},

對于4集合4={%氏=上兀，卜€2},集合8={X|X=2AF,AWZ},集合8中的元素是集合力中A為偶數

時的元素，

即B號A,

所以存在但xo2氏故,4錯誤；

對于8,因為8學4所以對于任意都有不存在XOW8,使得XOC/1,故8錯誤；

對于C,已知71={x|%=kzr,kEZ},任取xi，xiEA,設jq=Z：E，x2=k2R,h，kzEL,

貝|JXl+X2=%lTT+k2TT=(41+依)TT,

當為+%2為奇數時，X1+X2C5，例如所=1，42=2,XI+X2=3TIW4,故。錯誤：

對于。，己知8={X|X=24TT,kEZ},任取X],xiEB,設XI=2AE，X2=242口，ki，42EZ,

則Xl+%2=2%m+2后TT=2(-1+42)IT.

因為％l，kz￡Z,所以依+心口，那么XI+X2=2(%|+內)n滿足sin(,vi+x2)=0,即XI+X2€4，故。正確.

故選：D.

3.(5分)已知(%-3)4=ao+m(x-1)+ai(x-1)2+?3(x-1),+。4(x-I)4?貝U。1+。2+。3+。4=()

A.-15B.-16C.-80D.-81

第5頁(共20頁)

【解答】解：設y=x?l,貝iJx=yH,

題中等式可化為(y-2)4=ao+qi.y+a2爐+43)3+。4./>

取y=0,可得(0-2)4=w,即40=16,

取y=l,可得(1-2)4=4()+°|+42+。3+。4，即。0+41+。2+。3+。4=1，

所以“1+42+43+04=(。0+41+〃2+〃3+。4)-a()=1-16=-15.

故選：A.

'1V<1

4.(5分)拋三枚質地均勻的硬幣，記正面朝上的數量為隨機變量X,定義隨機變量丫=''一，則《

(X,X>2

(D=()

13715

A.3B.——C.-D.——

848

【解答】解：拋三枚質地均勻的硬幣，記正面朝上的數量為隨機變量X,

X服從二項分布B(3,1),X的可能取值為0,1,2,3,

1113

3%c1z3

==-=一3k(-=-

2夕28

2133

==crX=

2)3x2-J

8,

1,X<1

定義隨機變量丫=

.X,X>2

貝ij￡(D=1?尸(X=O)+1?P(X=l)+2?尸(X=2)+3?P(X=3),

代入得E(V)=1xi+lx1+2x1+3xi=^.

故選:B.

5.(5分)已知四邊形48CQ為平行四邊形，AE=2EB,F為4c與DE的交點,貝IJ8F=()

3■*2T3-2-

A.-^AB+^ADB.-AB--AD

2T3r2T2T

C.-^AB+^ADD.-AB+-AD

J口

【解答】解：四邊形/8CQ為平行四邊形，AE=2EB,/為力。與QE的交點,

T2T

可得：4￡=可48.且4F,C三點共線，F,E三點共線.

設4F=/L4C設為實數),因為44c。是平行四邊形，所以4c=48+40,所以力尸=2(力B+力。).

因為。，尸，￡三點共線,所以存在實數4使得。尸一〃。￡

第6頁(共20頁)

又因為DF=AF-AD=X(AB+AD)-AD=XAB+{X-1)AD,

TTT2TTTT2Tt

DE=AE-AD=^AB-ADt所以;L4B+(4—l){0=〃((ZB—4D).

故卜=1〃，解得入二,

U-i=-^5

所以余=5(6+訪)=|6+看/{3.

根據向量減法的三角形法則，BF=AF-AB,

可得：BF=^AB+^AD-AB=-^AB+AD.

故選：A.

47rTT

6.(5分)若W為函數/(%)=C0S(3X-石)(3>0)的一個零點，且/'(x)的最小正周期氏(n,2TT),則3

=()

7513

A.-B.-C.-D.—

4424

【解答】解：已知?為函數/(X)=COS(3X—Q(3>0)的一個零點，

?J

所以/(萼)=cos(等3-分=0,則?3—^="+三，keZ.

所以3=得憶+4，kEZr

已知/(工)的最小正周期&E2n),貝IJTTV?V2TT.

解不等式Trvg,得3V2：

6)

2TT

解不等式一<2n,所以co>l.

(1)

綜上，1<3<2.

Q1?1q

因為3=彳k+],kd,且1<co<2,當k=1時，3=4乂1十,=4，

滿足lVo)V2.因此3的值為:.

4

故選：B.

7.(5分)已知實數x,y,z滿足x?3*=y2,og2y=z3[og2Z=1，則()

A.x<y<zB.z<y<xC.y<z<xD.x<z<y

【解答】解：由題意知，入QXu/og2y=9108?=1,

第7頁（共20頁）

1

所以由工?3》=1,得3三g

因為函數y=3'在（0,+8）上單調遞增，），=9單調遞減，

人

所以方程有唯一解，且在（0.I）；

由/log2y=I,代入尸VL得（戊）2?Iog2>/2=1,所以產vZ

令h（z）=z3log2z,該函數在（I,+°°）上單調遞增，

3

因為/?（1）=0<1,h（V2）=（V2）*log2V2=V2>I,所以1VzV四；

綜上，xVzVy.

故選：D.

Y2n2百l1

8.（5分）已知橢圓￡?3+左二1的左、右焦點為尸1，尸2,離心率為三，點（百，/）在橢圓￡上,P是

橢圓E上的動點，以尸Q為直徑作圓M直線ON與圓N交于點0（點。不在橢圓內部），則Q%2=

（）

A.1B.V3C.2D.3

【解答】解：由題意，橢圓離心率。=5=*，故c=*a,

22

又“2=l）+c,得小=/.

1X2V2

將點（百，2）代入橢圓方程獲+廬=L

3131?2

7+市=1=7+7=1=。=4,b=1,

x2

橢圓方程為]+丁=1,焦點匕（一百，0）,F2（V3,0）.

11

由中位線定理，\ON\=^\PF2\,又|QN|=*|PF]|,

2

\0Q\=\0N\+\NQ\=^（\PF1\+|PF2|）=a=2,故點。在圓A+/=4上.

故選：A.

第8頁（共20頁）

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

(多選)9.(6分)一組從小到大依次排列的樣本數據7,9,10,14的平均數等于眾數，則()

A.a=9B.中位數為10

C.方差為5D.第75百分位數為10

【解答】解：對于平均數7=7+9+個10+14=絲普7?14.

由于平均數等于眾數，

當。=9,數據為7,9,9,10,14,眾數為9,平均數工=警=9.8。9,不滿足條件：

當。=10,數據為7,9,1(),1(),14,眾數為10,平均數±=,=10,滿足條件：

因此。=10,數據為7,9,1(),1(),14,故力錯誤；

對于以數據共5個，中位數為第3個數，即10,故4正確；

對于0項，方差于二(7-10)2+(9-10)2+(10-10)2+(10-10)2+(14-10)2

5

9+1+0+0+1626廣c44,「上處、口

=------g------=引=5.2,故。錯陜；

對于。，由于i=5XO.75=3.75,所以第75百分位數為第4項10,故。正確.

故選：BD.

x2v2

(多選)10.(6分)已知曲線一+—=1與直線y=2x-4只有一個公共點，則m,n可能的取值為()

mn

A.m=9，n=-36B.m=-5,〃=20C.=4,〃=BD.m=2,〃=8

X2y2I?

【解答】解：對于選項力，w=9,n=-36時，聯立--=1與y=2x-4得16%-52=0,解得％=丁,

936，

第2v2

故六一三二1與N=2L4只有一個公共點，滿足要求；所以力選項正確.

936

y2x2

對于選項4,〃?=-5,〃=20時，聯立方一三=1與-4,

可得-16x-4=0,解得x=-/故哈一!=1與y=2x-4只有一個公共點，滿足要求：所以4選項

正確.

/v2

對于選項C,m=4,〃=8時，聯立一+—=1與y=2r-4得3A2-&丫+4=(),A=64-12X4X),故

48

3/-8x+4=0有兩個不相等的實根，

X2v2

即丁+—=1與y=2r-4有兩個公共點，所以。選項錯誤；

4o

第9頁(共20頁)

22

對于選項。，加=2,〃=8時，我立:■+j=1與），=2x?4得/?入+1=0,A=4-4=0,故W-Zt+l

28

=0有兩個相等的實根，

22

即j+1與y=2x?4只有一個公共點，所以。選項正確.

2o

故選：ABD.

（多選）11.（6分）等面四面體亦稱等腰四面體，是一種特殊的四面體，它是每條棱與其對棱總相等的四

面體，它的四個面是全等的銳角三角形.如圖，等面四面體力8C。的表面展開圖是一個銳角三角形力14力3

及其三條中位線（小，小，加重合到點4），若BC=2,三角形小力乂3的面積為8,貝IJ（）

B.當4。=。。時，其體積為〒

C.當80=搟時，其外接球的直徑長為

D.當8。=。0時，其“外接圓錐”（8,C,。在底面圓周匕力在側面上）的高為丁

4

【解答】解：根據題意可將該等面四面體嵌入長方體中，如圖：

因為長方體的對角線不一定垂直，所以對棱片8,。。不一定相互垂直，故力錯誤：

對于B,若BC=2,三角形出力》3的面積為8,則三角形8c。的面積為2,

所以三角形4。的高為2,由于4。=。。，則BO=CD=有，

b2+c2=5

設對應長方體的長寬高分別為a,b,c,則Q2+82=5，解得：a=V2,b=V3,c=V2,

aL+c2=4

第10頁（共20頁）

所以等面四面體的體積V=V2xV3xV2-|xixV2xV3xV2x4=^,故4正確;

對于C,當80二割寸，S^BCD=1x2x|xSinz.DBC=2,所以=

因為NQ8C為銳角，所以cos/O8C=彥，

所以DC=^22+（1）2-2x2x|x|=^p,

儼+C?得p=V3

設對應長方體的長寬高分別為。，瓦C,則《小+/=?，解得：］匕=孚，

la2+c2=4Q=1

>Ja2+b2+c2

由于等面四面體的外接球，即為對應氏方體的外接球，其半徑/?=

2

所以外接球的直徑長為7-,故C正確；

對于。，當4Q=C。時由8選項可得：BD=CD=V5,a=&,b=近,c=或,，等面四面體的體積

為亍’

設點A到平面BCD的高為

2J3\

所以一^一=-xhx2,所以h=V3,

由于=看=4±

所以△8。外接圓的半徑一盒耳,

設圓錐的高為〃,，所以次號解得心空故。正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12,（5分）已知函數/（X）=9-3/-2,若函數/（仆/）為奇函數，則t=-1

【解答】解：因為困數/?）=/十3/-2,

第11頁（共20頁）

所以/(x+/)=(x+t)3+3(x+/)2-2=?+3(Z+1)x2+3t(N-2)戶戶+3P-2,

又函數/(田7)為奇函數，

所以二次項系數為0,即z+l=0,解得尸-1,

驗證：/'(x?1)=r?3x,為奇函數，故尸7.

故答案為：-1.

13.(5分)直線/：x-產〃?=0與圓C：/+/-2工-=0交于力，4兩點，且的面積為2,則

=3或-1.

【解答】解：圓C：/+f-2x-4尸4=0化為(X-I)2+(y-2)2=4,可知圓的圓心C(l,2),圓的

半徑r=2：

.直線/：x-y+/“=0與圓C：f+y2-2x-4y+l=0交于4,8兩點,△48C面積S=2?|4B|?d=2（J

為圓心到直線的距離），

由|4B|=2VP=/=2A/^F,得S=4-24W-d=2,即（/斤寸=2,解得d=&；

x->機=0的距離d=旦二等以=V2,

圓心到直線/：即-1|=2,解得nt=3或m=1.

V2

故答案為：3或-1.

14.(5分)今有?批數量龐大的瓶裝飲用水，假設這批水的某項礦物質含量偏差值(單位：亳克/升)5

N(10,0.52)(P(|i-。)^0.6827,P(四-2。WfW〃+2。)處0.9545,P印-3。WfWp+3

。)^0.9973,現從中隨機抽取〃瓶，這"瓶水中恰有K瓶的礦物質含品偏差值馬位于區間(9.5,1L5).當

K=30時，試以使得P(K=30)最大的〃值作為〃的估計值，則〃為35.

【解答】解：因為E~N(10,0.52),則p=10,。=0.5,

因為9.5=10-0.5=p?o,11.5=10+1.5=口+3。，

所以P(9.5VgV11.5)=P(n-oVfVu+3。)

_P(〃一店仁〃+<7)+P(〃-3。牽〃+3。)_0.6827+0.9973_..

-2=2=uA.o49

所以從〃瓶水中隨機抽取，每瓶水的礦物質含量偏差值位于X間(9.5,11.5)的概率為0.84,

不位于該區間的概率為1-0.84=0.16,

所以K?4(”，0.84),根據二項分布的概率公式P(K=k)=C和k(i-p)n-k,

可得P(K=30)=甯0.843。0二6計3。，

要使P(K=30)最大，則需滿足右仁3o!>P(K-31V

I廣(八一DU)W廠I八一□1J

由尸(K=30)2尸(K=29)可得：噌0.84300.16"-3°N臂0.8429().可時29,

第12頁(共20頁)

整理得0.84(w-29)>30X0,16,

解得心竿a34.71,

由尸(K=30)2P(K=31)可得:(?3008430016n-30>c3108431016n-31t

整理得0.16X3130.84(n-30),

解得后舞V35.90,

因為”為正整數，所以〃=35.

故答案為：35.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)已知△48。中，內角力,B,C的對邊分別為a,b,c,sin^=a~C^sB.

(1)求角C：

(2)已知c=百，△力8c為銳角三角形，求2a-力的取值范圍.

【解答】解：⑴?：si*=a—c\sB,由正弦定理可得$嗚=包必慈評”

/.sinBsin^=sin(B+0—sinCcosB,

C

/.sinBsin2=sinBcosC,

=cosC,=1-2sin2^,

解得sin苧=￡或-1(舍去)，

A(乙

?C_n

??--,

26

?「_TT

-c=y

7T&bCa

(2)VC=5-,c=V3,A——=--=--=-^=-=2,

3sinAsmBsinC型_

2

??6/—2sirL4,b=2sin8,

2a—b=4sinA-2sinB=^sinA—2sin(A+號)=4sinJ-2(sinJcos—+cos/isin—)=3sinJ—V3cosJ

=2V3sin。-都

???△NBC為銳角三角形，

f0<71<y7r7r

叫27rnf解得4V5，

[o=竽-A62

第13頁（共20頁）

可得0V/1一5V*,**0V*si?zG4—看）

BP2a-be（0,3）.

16.（15分）某科技公司研發了一款智能服務機器人，用于商場的導購、配送與巡檢服務.為優化機器人

的調度效率與服務質量，公司開展了相關測試與優化工作.

（1）下表為機器人連續5天的工作時長（小時）與服務訂單數y（次數）的數據關系.

時長（X）12345

服務次數31220273338

若服務次數y與工作時長x具有線性相關關系，請預測第6天機器人工作時長為7小時時?，服務訂單數

大約有多少？

（2）機器人在服務過程中可能山現故障，兩個機器人為一組，每次一個機器人執行服務任務，若服務

中無故障，則繼續執行下一次服務，若出現故障，則換另一位機器人執行.甲、乙兩機器人一-組，第一

次執行服務時，甲、乙上場的蹴率均為已知甲每次服務無故障的概率為|,乙每次服務無故障的概率

（i）求第2次執行服務的是機器人甲的概率；

（ii）求第〃次執行服務的是機器人乙的概率.

",""yn（x；-x）（y；-y）

附：回歸方程'=以+Q中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為8=餐「~中一

St=i（Xi-x）

%］嗎［呼a=y-bx,參考數據：￡：=］%必=455,￡久(z,-x)2=10.

第1孑一位

,缶〃免T岳〃(1\Hig百白？n?組—1+2+3+4+5_-12+20+27+33+38,

【解答】解：(1)由題意可得，x=-----------------=3,y=--------------------------=2o6,

22222

X?=I+2+3+4+5=55,鼠1x,yt=455,

h_S/L1nxy_455-5x3x26_65_1口

為/版=55-5X32=K^=6.5,

AA

a=9一位=26-6.5x3=6.5,

所以y=6.5%+6.5,x=7時，y=6.5x7+6.5=52；

(2)(i)設“第〃次服務的是甲”為事件4““第〃次服務的是乙“為事件8”,

則P(4)=。(/)=4,

第14頁（共20頁）

31,112

則P(&)=P(4M1)P(&)+P(42|B1)P，1)=5X2+5X2=5;

(ii)記p〃=P(&),由題知，當〃22時，

324—I

P(&M〃_D=1-耳=引p(區寧P(4_D=P(&I)=1-P“_1，Pl=2,

由全概率公式知，

24

Pn=P(%)=P(穌Mn-l)P(4-l)+=5X(1-pn-i)+5p“_i，

._22

??Pn=^Pn-1+寧

?2_2,2、..2_12_1

??Pn-3-5(Pn-i-3)?-Pl-3-2-3--6*n0,

故數列｛Pn-|｝是首項為Y，公比為|的等比數列，

,爾-RYx《)f

P(5n)=Pn=

217

即第〃次服務是機器人乙的概率為；--X(2)1.

365

17.(15分)已知四邊形力8c。為等腰梯形(如圖1),AB//CD,AB=2CD=2AD=4,￡為48的中點,

將△/7)￡沿直線DE翻折至△尸DE位置(如圖2),且PB=V10.

(2)求點8到平面POC的距離；

(3)設M為棱尸。上的動點，當EM與平面PQC所成角最大時，求平面8CQE與平面夾角的正

切值.

【解答】解：(1)證明：由力B〃CO,AE=BE=CD=2,AD=BC=2,

可知四邊形BEDC為菱形，

因此。石=力。=/￡=2,AADE為等邊三角形,ZJED=60°,翻折后PE=2,NPED=6D°,

取OE中點。，連接P。，

第15頁(共20頁)

p

因為為等邊三角形，故PO_LO￡,且P0=百，

在△8OE中，BO1=BE2+OE2-2XXXcos1200=4+1-2x2x1x（-1）=7,

所以P^BO2=3+7=10=P52,

故POLBO.

因QEC4O=O,DE,BOu平面

故PO_L平面BCDE,又POu平面PDE,

故平面平面BCDE.

（2）以。為原點，分別以O￡,OC,OP所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系,

則。(-1,0,0),E(1,0,0),。(0,逐,0),8(2,8，0),P(0,0,圾,

所以。3=(1,0,V3),且=(1,V5,0),CB=(2,0,0),

設平面PQC的法向量為三=(工，y,z),

則耳修,則仔?g=、+信=。，

(n1DC{n'DC=x+V3y—0

令y=l，得%=一百，z=l,故n=(-VJ,1,1),

所以點B到平面PDC的距離為d=嶼且=絳=空.

|n|V55

(3)設茄=4而，則M的坐標為(0,晶人,V3-V3/1),

所以EM=(-LV3A,V3-V3A),

第16頁（共20頁）

設直線EM與平面尸。。所成角為a,

則sina=日扁="一,

、|n||FM|病〃+6不-6入

當又另時，直線與平面POC所成角最大，

此時〃的坐標為(0,字，學)，

EM=(-1,號,歙晶=(1,V3,0),

設平面EBM的法向量為藍=(%,y,z),

則和1曲則行,"二-"+苧丫+苧z=0,

(蔡_L￡8[m.EB=x+V3y=0

令y=l，Wx=—V3,z=-3.故m=(—V5,1,-3),

平面8CZ)￡的法向量可取2=(0,0,1),

所以平面E8用與平面BCDE夾角的余弦值為

門\ani\33713

2麗=kk

所以sinb=J1—(需)2=穿，

所以1加9=黑=M

2

即平面BCDE與平面EBM夾角的正切值為三.

18.(17分)已知函數/(x)=lnG+l),g(x)=-

(1)關于x的不等式g(x)<f(x)+a有解，求a的取值范圍；

(2)VzzzER>3/76(0>+°°)?有g(w)=/(〃)成立，證明：

(3)V5,re(0,+8),令夕(x)=f(x)g(x),證明：p(5+/)>p(s)+pCt).

【解答】解：⑴g(x)<f(x)+a有解，即需(x)-/(x)]w/w,設〃(x)=g(x)~f(x)=

eY-In(x+1),

九⑺=ex-Sph'(x)在(-1,0)上小于0,在(0,+8)上大于0,

???/?(x)在(-