數列的概念二A基礎練（解析版）

4.1數列的概念(1)?A基礎練

一、選擇題

1.數列LLi,，，…的遞推公式可以是()

24816

可二9(〃￡%*)B.%=?(〃￡%*)

U-二；%(〃￡7*)D.q用=%(〃￡%*)

【答案】C

【詳解】由題意可知，數列從第二項起，后??項是前?項的;，所以遞推公式為%x=N(nwN").

故選：C.

2.已知數列｛q｝滿足叫=2,an=2一——,則為=()

an-\

【答案】A

c1c13.14-15

［詳解］4=2,%=2-----,:?%=?=-,生=2----=-,4=2----=-,

%_142a23生4

c16

%=2---=彳.故選：A.

45

3.數列｛〃“｝的前〃項和5〃=二，則4=().

〃+1

22I］

3w(/z+1)〃(〃+1)n(n+l)2〃(〃+1)

【答案】B

2n2(z?-l)_2

【詳解】當〃=1時4=5=1,當〃22時4=S”-Ri

〃+1n71(714-1)

驗證，當〃=1時修滿足，故選：B.

4.九連環是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個圓環相連成串，以解開為勝.據明代

楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環互相貫為一，得其關抿，解之為二，又合面為一”.在某種玩法中，用乙

為偶數

表示解下〃(〃W9,〃￡N')個圓環所需的移動最少次數，若《=1.且%=,

2%+2,〃為奇數‘川

解卜.6個環所需的最少移動次數為（)

A.13B.16C.31D.64

【答案】C

2c*-為偶數

【詳解】??,％=1,生=2q—1=1,%=2%+2=4,%=2%-1=7,

2〃“_]+2,〃為奇數

%=24+2=16,%=2%-1=31,所以解下6個環所需的最少移動次數為31.故選：C.

5.（多選題）符合遞推關系式斯=加的數列是（）

A.1,2,3,4,...B.1,75,2,2或,…C.衣,2,22,4,…D.0,72,2,272,...

【答案】BC

【詳解】B與C中從第2項起，后一項是前一項的企倍,符合遞推公式。戶叵az.

6.（多選題）已知數列｛。“｝滿足勺+]=1一」-（〃￡"）,且4=2,則（）

B-%019=；

A.%=-1

C,二|_2019

D.S2019=-2-

【答案】ACD

【詳解】由題意見=l-g=：，=A正確，53=2+|-1=|,C正確：

4=1-1；=2,???數列｛%｝是周期數列，周期為3.生019=6x673=〃3=-1，8錯?；

—1

32019

5,（）,179=673X-2=--2---,D正確.故選：ACD.

二、填空題

7.記S“為等差數列｛q｝的前〃項和，若S“=〃2（〃wN*），則。=.

【答案】17

【詳解】因為S”=/,當〃22時，S,.]二（〃一1了，所以an=S”-Si=/一（"一1）、=2〃-1,

又〃=1時，%=，=1也適合上式，所以%=2〃-1,所以“）=2x9—1=17.

8.己知數列｛4｝滿足q=2,%+]=3。“-2,則生=

【答案】10

【詳解】由題得〃=1時，％=3%—2=3x2—2=4；

當〃=2時，=3a2-2=3x4-2=10.

9.已知數列｛m｝的前n項和5“=/-9〃,第k項滿足3<公<8,則k=.

【答案】8

【詳解】：八,：%=2止10.由5V2hl0<8,得7.54<9,?：々=8.

2九-3小15—G,

10.若數列｛可｝滿足，%+1=若2，4=2,則數列｛為｝前2022項的積等于.

n

【答案】-6

a

]+1+nj?

【詳解〉?”量，則-=T,所以,“一一二一]

1+q1+2

-3,所以，數列｛%｝是以4為周期的周期數列,

,/4=2,則的1-6/,-7^2"

且《4+M”+24”+3=4〃q+i.-，]?一--=1?所以，｛%｝的前2022項的積為

I4八4+J

%?令?/?。4?2022=4a2XI50'=2x（-3）=-6.

三、解答題

11.如圖，將正三角形的每一條邊三等分，并以每一條邊上居中的一條線段為邊向外作正三角形，

便得到第1條“雪花曲線”（如圖（乙）的實線部分），對第1條“雪花曲線”的邊重復上述作法，便得

到第2條“雪花曲線”（如圖（丙）），這樣一直繼續下去，得到一系列的“雪花曲線”.設第〃條“雪花

曲線”有％條邊.

甲乙丙

(1)寫出4，%的值?

(2)求出數列｛q｝的遞推公式.

【詳解】(1)4=12，?2=48,

(2)由“雪花曲線”的作法可知,

第〃條“雪花曲線”的每條邊都可得到第〃+1條“雪花曲線”的四條邊.

???/+］=4an數列｛“J的遞推公式為凡+|=4。0.

12.根據下列數列的首項和遞推公式，寫出數列前5項，并由此歸納出它的通項公式.

(1)q=2,an+i=34+2；

1/?4-2

2'%=77產

【詳解】《1)=2,4rH=3〃“+2,

2345

:.ax=2=3—1,a2=8=3—1,a3=26=3—1,a4=80=3—1,a5=242=3—1.

所以，數列｛%｝的通項公式為q=3"-l(〃eN")；

/r、1〃+2

,23「4&=3=9

「?4=1=5，=2=—,a

422

所以，數列｛4｝的通項公式為4=等("EN*).

A級必備知識基礎練

1」探究點一］已知在數列｛。〃｝中M=2,即+1=an+n(nWN"),則出的值為()

A.5B.6C.7D.8

2」探究點三］已知數列｛斯｝的前n項和5尸,則06的值等于()

n

A.-B.-——C.——D.-——

20203030

3.［探究點三］已知數列｛〃〃｝的前n項和S”=4//0〃,則42a6=()

A.52B.68C.96D.108

4.［探究點二］己知0=1="(4+10)(〃￡N"),則數列｛斯｝的通項公式是()

A,2,MB.然廣

C./72D.n

5」探究點一］(多選題)已知數列｛4｝滿足為=4m=〃*+］=.3.叩(〃22),則下列結論正確的是()

A.12020=4

B.X2O22=a?

C.An=X2O2l

D.X|+X2+…+X2020=25-4

6」探究點一］若數列｛〃〃｝滿足4〃+1=2。0-1,且“8=16,則a6=.

7」探究點二］根據下列條件，寫出數列的前四項，并歸納猜想它的通項公式

（1）。1=04”+1=。“+2小1（〃￡N*）;

⑵所1，硒”+含

(3)?i=-1M+i=川+^^(〃eN-).

B級關鍵能力提升練

8.已知數列｛〃〃）,〃〃+產一一M=3.則022=（）

l?Qn

213

A.gB.3C.,D.g

9.在數列（4｝中M=l,對所有的都有…a”=〃2,則s+as等于（）

A至B至C絲D衛

A.9B,16C-16U15

10.設（〃〃｝是首項為1的正項數列，且（〃+1）a"1-〃W+斯+|4〃=0（〃仁N）則它的通項公式

11.已知數列｛”“｝滿足0>0,且〃“+產小產，則數列伍〃｝的最大項是.

1

2dn,0WQn<~,

12.已知數列｛%｝滿足?,t+i=

2a”-1,；<an<1.

若41=g,試求(12021+〃2022.

C級學科素養創新練

13.在數列｛斯｝中,41=)“+[=猊+<:；<￡則(123=()

A.1B.|C.|D.1

14.已知數列41=1/2,。3」",。"(〃￡內)的法則如下:若。〃為自然數，則依+1=斯-2,否則斯+尸斯+3,則

?6=?

1.D因為。尸2,知+|二。〃+以所以。2=。[+1=2+1=3,。3=。2+2=3+2=5,01=43+3=5+3=8.

2.D46=56-55=：_：=-.故選口.

oD3U

22

3.B由題意，可得當〃22時,an=Sn-S?.i=4n-10/7-[4(H-1)-10(n-1)]=8/:-14,所以

?2?6=(8X2-14)X(8X6-14)=68.

4.D(方法I構造法)

由已知整理，得(〃+1)〃〃=〃〃“+1,

???耨=攀,?,?數列圖是常數列，且號=十1,???時〃?

(方法2累乘法)

當心2時，出=已如=$…，"=:，"=今這(〃-1)個式子兩邊分別相親，得&=〃.???0=1,???

a

an-i九jn-2a22ali

an=n.

當，?=1時M產〃也成立，所以(in=n.

5.BCDx\=a^2=h,X3=xi-x\=b-a,

X4=X3-X2=-a,X5=X4-X3=-/?^6=X5-X4=Cl-b,

xi=Xft-xs=a=x\,%x=xi-Xb=b=X2.

???｛斯｝是周期數列,周期為6,

X2020=A*4=-?,A不正確；X2O22=X6=a-/?.B正確\X1O21=X5=X||,C正確出+4+…+M

020=-Y|+X2+X3+.X4=2b-Ct,D正確.

6.孕???。”+尸2。“-1,，。8=2。7-1=16,解得m=￥，

42

又47=246/二￥，解得。6二;.

24

7.解(1>1=0,02=1,03=4^4=9.

猜想a”二(〃-l)2(〃f=N").

八\134r5

(2)4戶1^2=",￡?3=-=2,?4=-.

猜想。”=等(〃￡1<).

(3)0=-1,42=-；,的=-；,如=-；.猜想a?=--(fi￡N)

234n

8.A由題意，可知⑼=3,

111

公=前二廿》

112

111

'F=n=r

???數列｛斯｝是一個以3為最小正周期的周期數列.

V2022^3=674,.\a2O22=a.3=1

9.C由題意。|。2=2：。1426=32,4|42。3。4=424|。2a3aM5=5、

mi3295225M.61

則所/=嚴5卞=適故。3+的=記

10.，把(〃+l)W+i-〃忌+m+1詼=0分解因式，得[(〃+1)a〃+M4〃](a“+i+。〃)=0.???〃〃>(),

?'.a