第二十一章 四邊形-人教版八年級《數(shù)學(xué)》下冊提升卷

2025-2026學(xué)年八年級下冊數(shù)學(xué)單元自測

第二十一章四邊形?能力提升

建議用時：60分鐘，滿分：12（）分

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.九邊形的外角和為（）

A.40°B.360°C.8100D,1260°

【答案】B

【分析】本題考查多邊形外角和性質(zhì)，任意凸多邊形的外角和都等于360°,與邊數(shù)無關(guān)，所以九邊形的外角和

為360°.

【詳解】解：根據(jù)多邊形外角和定理，任意多邊形的外角和等于360。，

二?九邊形的夕卜角和為360°.

故選：B.

2.下列說法不正確的是（）

A.平行四邊形的對邊相等B.菱形的對角相等

C.矩形的對角線互相垂直D.正方形的四條邊均相等

【答案】C

【分析】本題考杳平行四邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形、菱形、

矩形、正方形的性質(zhì)，逐一判斷各選項的正誤

【詳解】解：???平行四邊形的對邊相等，???A選項說法正確

???菱形是特殊的平行四邊形，平行四邊形對角相等，，菱形的對角相等，B選項說法正確

???矩形的對角線相等且互相平分，不一定互相垂直，???c選項說法不正確

???正方形的四條邊均相等，???D選項說法正確

故選：C.

3.如圖，A5兩地被房子隔開，小明通過下面的方法估測間的距離：先在外選一點C,然后步測

出AC4C的中點分別為并步測出MN的長約為45米，由此可知A,4間的距離約為（）

A

CLN

A.22.5米B.45米C.85米D.90米

【答案】D

【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，熟練掌握和運用三角形中位線定理是解決本題的關(guān)鍵.

利用三角形中位線定理即可?求得.

【詳解】解：???加，N分別是AC,8c的中點，

:?MN是YABC的中位線，

JA5=2MV=2x45=90（米）.

故選：D.

4.如圖，在菱形ABC。中，對角線AC與8。相交于點垂足為石，連接OE,若AO=10,AC=16,

則。E的長是（）

A.4B.4.8C.5D.6

【答案】D

【分析】此題考查菱形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，熟記菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

利用菱形的性質(zhì)得到ACJ.4O,O4=OC=1AC=8,OB=。。，利用勾股定理求出。7）=6,可得3。=12,

然后根據(jù)直角三角形斜邊的中線等丁斜邊的半求解即可.

【詳解】解：???四邊形A8co是菱形，

AC1BD.OA=OC=-AC=S,OB=OD

2f

?-OD=ylAlf-O^=71O2-82=6>

/.BD=12.

???DEIBC,

：.0E=-BD=6,

2

故選D.

5.如圖，在VA3C中，點。為4c的中點，AE13D,BE//AC,則下列說法錯誤的是（）

A.當AB=CB時，四邊形是矩形

B.當AC=2BC時，四邊形AEW）是矩形

C.當乙48。=90。時，四邊形A￡BO是菱形

D.當N￡=2NC時，四功形4訪加是?菱形

【答案】B

【分析】本題考查平行四邊形性質(zhì)，菱形判定，矩形判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理

等，根據(jù)題意逐一對選項進行分析即可得到本題答案.

【詳解】解：???AE"BQ,BE//AC,

???四邊形AEB力是平行四邊形，

AB=BC,

???,ABC是等腰三角形，

???點。為AC的中點，

???BOJLAC,即/如=90。，

???四邊形4E3Q是矩形，故選項A正確；

當AC=2BC時，則AO=CO=8C,

???dCDB=/CBD,

若四邊形AE8。是矩形，則乙4。8=90。，

：?NCDB=NCBD=90。（不滿足三角形內(nèi)角和定理），故選項B錯誤；

當448c=90。時，

:點。為AC的中點，

???BD=-AC=AD,

2

???四邊形A￡8Q是平行四邊形，

???四邊形是菱形，故選項C正確;

VAEBD,BE//AC.

：.Z￡+ADBE=180°,/DBE+ZADZ?=180°,

/.ZE=ZADB,

當/￡=2NC時，則2NC=Z4O8,

'/ZADZ?=ZC+ZCTD,

???2C+NCBD=2NC,

???/CBD=NC,

：?BD=CD,

???點。為AC的中點，

???AD=CD,

:.AD=BD,

???西邊形AE8Z）是菱形，故選項D正確.

故選：B.

6.如圖，菱形ABC。的面積為30,點&F,G,H分別為AB,BC,CD,D4的中點，則四邊形EFG”

的面積為（）

A.10B.15C.20D.25

【答案】B

【分析】本題主要考直了菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理，矩形的性質(zhì)與判定，連接AC,交丁點O,

根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC18O,4。8。=60,再由三角形中位線定理可得上/=7/6,EF//HG,EFVFG,

則可證明四邊形EPG"是矩形，據(jù)此根據(jù)矩形面積計算公式求解即可.

【詳解】解：如圖所示，連接4G8。交于點O,

A

。丁四邊形ABC。是菱形,

???AC1BD,

又;?菱形"8的面積為30,

：.-ACBD=30,B|JACBD=60：

2

???點E,F,G,H分別為AB,8C,CQ,%的中點，

:.EF,FG,G〃分別是△ABC,eBCD,AADC的中位線，

AEF//AC,EF=-AC,FG//BD,FG=-BD,HG//AC,HG=-AC,

222

:?EF=HG,EF〃HG,EFLFG.

???四邊形EFGH是平行四邊形，

???平行四邊形是矩形，

：?S四邊形EFGH=EF?FG=；AC《BD=15.

故選:B.

7.如圖，在uA8C￡）中，點七是C。中點，連接4E并延長，交8c的延長線于點尸，點G在邊AB上，且

AG=3BG,連接CG,若△€*￡尸的面積為2,則四邊形4GCE的面積為（）

A.5B.5.5C.6D.6.5

【答案】A

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的中線，三角形全等的判定和性質(zhì)，以及三角形的面積；

3

根據(jù)題意證明,ADE”CFE,從而得到SAEC=SADE=2,SABC=4,再根據(jù)AG=38G,5AGC=~SABC=3，

即可求得四邊形AGCE的面枳.

【詳解】解：如圖所示，連接AC,

臼

AGB

I在cABCD中，點E是CD中點.

ADE=CE,AD//BC^

/.^DAE=ZCFE,

又?,,ZA&)="EC,

???△ADE^ACFE(AAS),

=

***SADE=SCEF2>AD=CF?

??SAEC=SACE=2，SABC=S仙=SADE+5血=2+2=4,

VAG=3BG,

.AG3

..----=—,

4

3

??"人8=-SABC=3,

,?S四邊形AGUE=SAEC+SAGC=2+3=5,

故選：A.

8.如圖，矩形ABC。中，點E是8c延長線上一點，且BE=BD,點F是DE中點、,若A8=4,BC=3,

則AF的長度是()

A.4B.5C.V20D.724

【答案】C

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)，連接M、

CF,由矩形的性質(zhì)可得4O=BC=3,a)=AA=4,/BCD=ZADC=90。，求出BE=BD=5,得到CE=2,

由勾股定理可得DE=26，由等腰三角形的性質(zhì)可得由直角三角形的性質(zhì)可得

DF=EF=CF=；DE=K,從市得出8尸=2石，再證明ADF0BCF(SAS),即可得出結(jié)果，熟練掌握

以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，連接即、CF,

???西邊形人BCO為矩形，

AAD=BC=3,CD=AB=4,/BCD=ZADC=90。,

:?BD=dBC、CD?，ZDC￡=180o-ZBCD=900,

:,BE=BD=5,

：?CE=BE-BC=2,

?*-DE=y]CE2+CD2=2后，

BE=BD,點、尸是OE中點，

ABFA.DE,DF=EF=CF=>DE=4i,

2

???BF^BU-DF?=2后，

'：DF=CF,

：?NFDC=/FCD,

???ZADC+NFDC=NBCD+NFCD,

:.ZADF=NBCF,

在△AO/7和V3C/中，

AD=BC

<ZADF=Z.BCF,

DF=CF

：.ADF^BCF(S\S),

AAF-BF-2y/5,

故選：c.

9.如圖，正方形48co的邊長為3,在A4邊上取一點E,連接DE,將VAOE沿直線OE翻折到正方形ABCD

所在的平面內(nèi)，得J)EF,延長EF交BC于點G,作G”_L￡)E,垂足為H.若Z)C=3CG,則G”的長是

()

A.710B.6C.邁D.g

32

【答案】B

【分析】本題考杳正方形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等虹識.關(guān)鍵是

利用翻折性質(zhì)和全等三角形得到線段相等，再通過勾股定理求出未知線段長度,最后用面積法求出GH的長.

【詳解】解：如圖，連接。G.

???正方形/WC。的邊長為3,DC=3CG,

/.DC=AD=DF=3,CG=\,BG=BC-CG=37=2；

將.ADE沿直線DE翻折得.DEF,

???ZDFE=/A=90。，AE=EF^AD=DF=DC,

???ZDFG=1800-ZDFE=90°=ZC；

DG=DG

在Rt和母_。。6中〈

DF=DC'

???Rt_Z）FG^Rt￡>CG（HL）,

???FG=CG=\

設(shè)AE=EF=x,則BE=AB-AE=3-x,EG=EF+FG=x+\.

在Rt他GM由勾股定埋得：BE2+BG2=EG2,

即(3—4+2?=。+1)2,

3

解得x=

在Rt.ADE中，/)E=〃f)2+A不=拽.

2

S?nJ.ecu=—CxEGxDF,.SnFC=c—xDExGH,

\l—xGH=-x

x+1x3,

222l

解得G〃=X/5;

故選：B.

10.如圖，矩形A8CO中，。為4c中點，過點0的直線分別與AB、CD交于點、E、F,連結(jié)8F交4。于

點加，連結(jié)。石、BO.若NCOB=60。，F(xiàn)O=FC,則下列結(jié)論中正確結(jié)論的是（）

?DE=EFx②四邊形是菱形；③BM=3FM；④S柘/S即形謖或=1：14.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，線

段垂直平分線的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)等一系列知識，靈活運用是解題的關(guān)鍵.判定△O8C是等

邊三角形，得O8=BC,ZOBC=60°；由/0=FC得ND莊=60。，進而可得班?垂直平分OC,求得

ZC?=ZOra=60°；再證明△CFgAAfiO,可得四邊形OE8/是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)得

WE尸是等邊三角形，從而可判斷①；由平行的性質(zhì)得△5FE是等邊三角形，從而有阱=BE,則可判斷

②；利用含30度直角三角形的性質(zhì)得=BF=2OF=4FM,即可判斷③；設(shè)△FOW的面積為小

則得cBOAf的面積為3a,從而S.08C=2S.01MB=6a,則得矩形面積為24。,從而S,R“：S矩形八皿）=1:24,則

可判斷④；最后得到答案.

【詳解】解：???四邊形ABC。是矩形，。是AC中點，

：,OB=OC=OA,

???/OAB=/OBA=-ZBOC=30°,

2

ZACH=90。-ZOAB=60°,

ZACD=90°-ZACB=30°,△(用C是等邊三角形，

：?OB=BC,NO8C=60。；

FO=FC,

???/尸0。=448=30°,8尸垂直平分OC,

/.ADFE=ZACD+AFOC=60°,Z.CFM=4OFB=60°,

???四邊形A8C。為矩形，

AAB//CD,AB=CD,

：.乙FCO=NOAE,4CFO=ZAEO,

???OA=OC,

Z.sbCKAEO(AAS),

：,CF=AE,

:.DF=BE,

二?四邊形DEBF是平行四邊形，

；?DE//FB,

：.Z.FDE=/BFC=60°,NDEF=NBFE=60°,

?\"DE=/EFD=ZDEF=60°,

???山EF是等邊三角形,

：?DE=EF；故①是正確的；

VAB//CD.

：.4FEB=NDFE=&f、NCFM=NFBE=(/T、

I.±FEB=")FM=NFBE=60°,

???/\BFE是等邊三角形,

???BF=BE,

，四邊形是菱形，故②正確；

■:/FOM=30。,BFVOC.

，OF=2FM；

:/OBC=60°,BM±OC,OB=OC,

/./O3M=30。，

/FOB=4FOM+/MOB=90°

???BF=2OF=4FM,

：?BM=BF-FM=3FM,故③正確,

設(shè)的面枳為a,

〈BM=3FM,

則SBOM=3?，

而M為OC的中點，

=

,?SOBC2sOMB=6a,

???Q4=OC,

:.SABc=2sOBC=12。，

??S矩形48C7)=24",

a

：?SFOM：S矩形ARC。=:24a=1:24,故④錯誤;

故選：C.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11.如圖，在RtZXABC中，NACB=90。，。是48的中點，46=8,則CO的長為

【分析】本題主要考查直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)；熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

是解題的關(guān)鍵.根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等丁斜邊的一半求解.

【詳解】解：???NAC8=90。，。是A8的中點，A8=8,

：.CD=-AB=4

2f

故答案為:4.

12.在四邊形A8CO中，對角線A。，8。相交于點O.如果48〃CO,請你添加一個條件，使得四邊形A8CO

成為平行四邊形，這個條件可以是.（寫出一種情況即可）

【答案】AB=CD(答案不唯一)

【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定方法，掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)平行四邊形的判定方法即可得結(jié)論.

【詳解】解：①添加A8=8.

VAB//CD,

???四邊形A8CD的一組對邊平行且相等，故四邊形A4CD是平行四邊形；

②添加月。〃8C,

,/AB//CD,

???四邊形ABC。的兩組對邊分別平行，故四邊形ABC。是平行四邊形；

③添力口/BAD=/BCD,

VAB//CD,

JN8A￡>+NC￡>A=18()°,ZABC+ZfiCD=l80°,

，ZABC=NCDA,

???四邊形人88的兩組對角分別相等，故四邊形人是平行四邊形；

④添加=

VAB//CD,

4BAD+NCDA=180。，Z4BC+ZBCD=180°,

/.NBAD=NBCD,

???四邊形A8CD的兩組對角分別相等，故四邊形A8CD是平行四邊形.

⑤添加ZADB=NCBD或ZDAC=ZACB,

:.AD//BC,

,/AB//CD,

???四邊形ABCO的兩組對邊分別平行，故四邊形ABCO是平行四邊形：

◎添加OA=OC,

???AB//CD,

???NBAO=NDCO,

在V4OB和△CO力中，

NBAO=NDCO

<0\=oc,

NAOB=ZCOD

A..AOB^.COD（ASA）,

：.OB=OD,

???四邊形ABCD的對角線互相平分，故四邊形ABCD是平行四邊形；

⑦添加08=0Q,

AB//CD,

???乙BAO=CDCO,

在V408和△CW中，

NBAO=NDCO

ZA08=ZCOD,

OB=OD

??../OS冬COD(AAS),

.\OA=OC,

，四邊形A8CO的對角線互相平分，故四邊形48co是平行四邊形：

⑧/Z148+ZA8c=180°或ZADC+N8co=18()。，

:.AD//BC.

?；AB//CD,

???四邊形ABC力的兩組對邊分別平行，故四邊形ABC力是平行四邊形;

故答案為：A8=cr>或AD〃6C或NA=NC或NB=NO或乙M>8=NC8O或NZMC=NAC8或。4=0。或

OB=OD^NDAB+ZABC=180°或ZADC+/BCD=180°.

13.如圖，在，ABCD中，4E是"840的平分線，AB=6,4）=4,則C￡=.

【答案】2

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)以及筆角對等邊：

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到A6〃CD,A8=CD=6,從而得到乙由角平分線的性質(zhì)得到

4AE=NDAE,進而推出NO￡4=ND4E,從而得到OE=AO=4,即可求解.

【詳解】解：???四邊形ABC。是平行四邊形，

/.AB//CD,AB=CD=6,

/.3\E=QEA,

C是NBA。的平分線,

,ZBA￡=ZZME.

；?ZD￡4=ZZM￡.

,DE=AD=4,

XVCD=6,

:,CE=CD-DE=6-4=2,

故答案為：2.

14.R新情境》圖1中的五邊形花環(huán)是由五個全等等腰二角形組成的.圖2是它的示意圖，則

ZMC=

【分析】本題考查等邊對等角，正多邊形的外角，根據(jù)題意易得中間五邊形為正五邊形，N4C8為其的?

個外角，根據(jù)正五邊形的每個外角的度數(shù)相等，求出NAC8的度數(shù)，再根據(jù)等邊對等角，結(jié)合三角形的內(nèi)

角和定理，進行求解即可.

【詳解】解：由題意，中間五邊形為正五邊形，-AC4為其的一個外角,

260。

:.ZACB=--=72°,

由題意和圖可知：VA4C為等腰三角形，AB=AC

???ZABC=ZACB=72°,

o

???ZBAC=180-2x72°=36°;

故答案為：36°.

15.如圖，在菱形A8CO中，點E為對角線80上的動點，若NABC=60。，AB=2,當CE+；%:的最小

值為G時，則N8CE=

D

【分析】過C作C”_LA8于〃，得出N8C"=30。，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)勾股定理，求得

CH=6根據(jù)CE+gBE的最小值為石，得到E點在C〃上，即可得出4CE=30。.

【詳解】解：過C作。〃_LA8于“，

.?四邊形ABCO是菱形，ZABC=60°,42=2,

ZZJC/Z-30°，?BD=/ABD=-ZABC=30°,

2

'：CHVAB,

：.HE=-BE,

2

???BC=AB=2,

，BH=1,

?**CH=ylBC2-BH2=V22-12=75?

即E點在上時，可有+的值最小，且最小值為G，

此時NBCE=3。。，

故答案為：30°.

幢數(shù)學(xué)思想

16.如圖，在正方形A8CD中，AB=2,點尸從點A出發(fā)，沿4—OfC運動到點。，點￡

是邊3C的中點，連接AE,A尸，EF,當為等腰三角形時，C/的長為

【答案】?或2或（

【分析】本題考查的是正方形的性質(zhì)，等腰二角形的定義，勾股定埋的應(yīng)用，分二種情況再結(jié)合勾股定理

建立方程求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，可知：在正方形ABCD中，他=2,點E是邊5c的中點，

:.AB=CD=BC=AD=2,BE=CE=、BC=l,NO=NC=ZB=90°.

2

當入廠=即時，設(shè)CF=x,

；?DF=2-x.

AF-=AD1+DF~=4+（2-^）\FE2=CE2+CF2=\+x2,

A4+（2-X）2=1+X2,

7

解得：x=-,

4

7

:.CF=-,

4

當AE二斯時，

EF=AE=>/22+12=y/5，

；?CF=>/EF2-CE2=J（可一/=2，

當A/=AE=6時，

；?DF=>JAF2-AD2=V5）2-22=1,

ACF=1,

綜上所述，CF的長為1或2或

故答案為：1或2或y

4

三、解答題（第17,18,19,20題，每題6分；第21,22,23題，每題8分；第24,25題，每題12分；

共9小題，共72分）

17.（6分）如圖，將兩塊完全相同的含有30。角的直角三角尺48C、。由在同一平面內(nèi)按如圖方式擺放,

其中點A、E、B、。在同一直線上，連接A尸、CD.

（1）求證：四邊形ACZ）廠是平行四邊形:

(2)已知8C=6,若四邊形ACQF是菱形，求40的長.

【答案】(1)見解析

(2)AD=18

【分析】本題考查了平行四邊形的證明，菱形的性質(zhì)，含3()度角的直角三角形的性質(zhì).

(1)由題意得：AARgADEF,推出AC=￡>ENCAB=NFD石，得AC〃。尸，即可求證；

(2)由題意得C4=CD,推出NCD4=NC4O=30。，得到A4=23C=12,ZCDA=Z^CD=30°,推出

BD=BC=6,據(jù)此計算即可求解.

【詳解】(1)證明：由題意得：AABCg&DEF,

???AC=DF/CAB=ZFDE,

.tAC//DF,

???四邊形AC。尸是平行四邊形；

(2)解：???四功形AC。產(chǎn)是菱形，

/.CA=CD,

???ZCZM=ZC4D=30°,

/.AB=2BC=\2,

,：ZCa4=60°,

???NCDA=/BCD=300,

/.BD=BC=6,

???AD=AB+BD=\S.

18.(6分)如圖是4x4正方形網(wǎng)格，已知格點A,B,請僅用無刻度的直尺按下列要求作圖.

⑴在圖1中，以AB為一邊，作一個周長為8忘的矩形；

⑵左圖2中，以A8為對角線，作一個菱形AC8O,使其面積為4.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了網(wǎng)格作圖，菱形、矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識.熟練掌握菱形、矩形的性質(zhì)是解題

的美鍵.

（1）由矩形的周長為8應(yīng)，則兩鄰邊之和為4應(yīng)，根據(jù)勾股定理可得=及，所以矩形另?條直角邊的

長度為3亞,由此作圖即可；

（2）根據(jù)菱形的面積等于對角線之積的一半，易求得菱形另一條對角線的長為2,由此作圖即可.

【詳解】（1）解：如圖所示，矩形A6CD即為所求.

（2）解：如圖所示，菱形ACBO即為所求.

若BF〃CD,Z4BC=80°,求/8CO的度數(shù)；

（2）已知四邊形ABC。中，NA=11（）。，ZD=120°,求N/的度數(shù).

【答案】（1）50。

（2）25°

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、多邊形內(nèi)角和外角，熟練掌握四邊形的內(nèi)角和是3600是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意可得NABE=100。，根據(jù)角平分線的定義可得乙仍尸=NEB/=50。，根據(jù)兩直線平行，同位

角相等可得NDCB=NEBF=50°；

（2）根據(jù)角平分線的定義可得N8CF=N￡>CF=gNBC。，AEBF=ZABF,根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理可得

Z4BC+ZBCD=13O°,結(jié)合三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角之和即可求解.

【詳解】（1）解：?/ZABC=800.

ZABE=180°-80°=1(X)°,

*/B尸平分/ABE,

ZABF=NEBF=50。,

,/BF〃CD,

/./DCB=/EBF=50。；

⑵解：:C尸平分NBC。，BF平分NABE,

Z.BCF=ZDCF=-4BCD,Z.EBF=ZABF,

2

：ZA+ND+NA4C+N3c￡)=360。，4=110。，/拉=120。，

ZABC+ZBCD=36()O-110o-12()0=130o,

即180°-ZABE+2ZBCF=130°,

*/ZABE=2/EBF,/EBF=ZF+/BCF,

：.180O-2(ZF4-ZBCF)+2ZBCF=130°,

???2ZF=50°,

；?ZF=25°.

20.(6分)如圖，在四邊形A8CO中，AB?DC,NC=90。，E為邊AB上一點，用=￡>C,連接。石、BD.

⑴求證：四邊形38E是矩形；

(2)若8。平分/AQC,A。=5,BE=2,求DE的長.

【答案】(1)見解析；

(2)4.

【分析】本題考查了直角梯形，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)定理是解題的

關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形8CDE是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形8CDE

是矩形；

(2)由(1)知，四邊形68E是矩形，求得ZAED=NBED=90。,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NCOB=/48力，

根據(jù)角平分線的定義得到NAOB=NCOA，等量代換得到NADA=N/SQ，求得人￡>=人3=5,根據(jù)勾股定

理即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）證明：???ABDC,

：.CD//BE,

'：EB=DC,

???四邊形4CQE是平行四邊形，

??,ZC=9（）°,

???四邊形B8E是矩形；

（2）解：由（1）知，四邊形8CDE是矩形，

???ZAED=ZBED=90°,

■:CD//AB,

???/CDB=ZABD,

???B。平分/AQC,

???ZADB=NCDB,

乙M）B=NABD,

???AD=AB=5,

:.AE=AB-BE=5-2=3,

???DE=y/AD2-AE2=752-32=4

21.（8分）如圖，在四邊形48CQ中，AB//DC,AB=AD,對角線AC、BD交于點、O,AC平分—8A。，

過點C作CEIAB交48的延長線于點七，連接OE.

⑴求證：四邊形A4CO是菱形；

⑵若A8=而，BD=2,求OE的長.

【答案】（1）證明見解析

⑵石

【分析】（I）先證明四邊形ABCQ是平行四邊形，進而即可求記；

（2）利用菱形的性質(zhì)和勾股定理求出AC,再根據(jù)直角二角形的性質(zhì)即可求解;

本越考查了等腰三角形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等，掌握菱形的判定和性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

【詳解】（1）證明：???ABDC,

/.^CAB=ZDCA,

???AC平分ZD48,

:.NCA8="AC,

:.ZDG4=ZDAC,

:.CD=AD,

VAB=AD,

AB=CD,

???AB//CD,

???四功形A88是平行四功形，

又：AD=AB,

???平行四邊形A5c。是菱形；

（2）解：I?四邊形人BC。是菱形，BD=2,

：,OA=OC,OB=OD=-BD=\,BDA.AC,

2

???408=90。，

,:AB=R,

???OC=OA=JAB，-OB?=J（府-）=石，

???AC=2QA=2VS,

,:CEJ.AB,

AZA￡C=90°.

?：0A=0C,

r.0E=-AC=y/5.

2

22.（8分）如圖，ABCD,AB=2BBE平分NABC,CE平分NBCD,BF//CE,CF〃BE,BF=CF.

AD

F

⑴求證：四邊形BEb是正方形.

（2）連接AE,若NAE8=75。，求線段打、的長度.

【答案】（1）答案見解析

⑵3向30

【分析】本題考杳平行四功形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和判定，勾股東理，含30。角百角三角形的性質(zhì)：

（1）由四邊形A8CO是平行四邊形，8E平分/ABC,CE平分/BCD,得到N8EC=90。，再由4"〃C￡,

CF〃BE,BF=CF,可得四邊形是菱形，進而得證四邊形是正方形；

（2）過點石作EG_LAB,由（1）可得是等腰包角三角形，RtZkAGE是含30。角直角三角形，設(shè)AG=x,

利用48=26，可求出破,進而求出

【詳解】（1）證明：???四邊形A8C。是平行四邊形，

:.AB//CD,

???ZABC+ZBCD=180°,

,/BE平分NABC,CE平分Z.BCD,

AEBC=-ZABC,/ECB=-Z8CD,

22

???/EBC+ZECB=g（NABC+NBCD）=90°,

:.N8EC=90°,

VBF//CE,CF〃BE,BF=CF,

???四邊形BEb是菱形，

XVZBEC=90°,

**?菱形BECF是正方形.

即四邊形8ECF是正方形.

（2）解：過點E作EG_LA8,如圖所示，

???四邊形班:（不是正方形，

ZE8c=45。，

???8E平分NA8C,

:./GBE=NEBC=45。,

EGLAB,

/GEB=NGBE=45。,

:.GB=GE,

???ZAEB=75。，

JZAEG=ZAEB-ZGEB=75°-45°=30°,

???在RtZ\AGE中，設(shè)AG=x,AE=2AG=2x,

，GE=yjAE2-AG2=7（2X）2-X2=瓜,

???GB=GE=&,

***AB=AG+GB=x+gx,

??"=2。

**?x+yfix=2\[3,

?。=3-5

GB=GE=6g6）=3拒-3,

???BE=ylGB2+GE2=N/2（3^-3）=3X/6-3^,

???四邊形BECF是正方形，

JBF=BE=3瓜-36.

23.（8分）綜合與實踐

如圖，在長方形紙片ABCD中，AO=3,DC=4/為長方形紙片ABC/）邊BC上的一動點，連接AP,將二A4P

沿AP折疊，點B落在點"處.

B

DET

（I）如圖1,當點B'落在邊CO上時，C8'的長為________.

（2）如圖2,連接AC,當點&落在AC上時,求用的長.

（3）如圖3,當點P與點C重合時，AB與CD交于點、E,求A4CE的面積.

【答案】（1）4一五

【分析】本題主要考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，靈活運用勾股定理列

方程是解決問題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)與勾股定理即可求解；

（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得AB=A9=4,8P=BP,WP=/5=90。，再設(shè)夕尸=3P=x,則

PC=BC-BP=3-x,由勾股定理列方程即可求解；

（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出NEAC=NBAC,再由長方形可得N￡C4=N84C,則可得E4=￡C,設(shè)

EA=EC=m,則OE=￡）C-EC=4-〃z,由勾股定理列方程求解出EC,即"J求出△ACE的面積.

【詳解】（1）解：???四邊形A8CZ）是長方形，

ABC=AD=3,AB=DC=4,ZC=ZD=90°,

由折疊可得，AB=AB,=4,BP=BP,

在□△AO8'中，DB'=相-AD2=衣二？=用，

/.B，C=DC-DIT=4-近.

故答案為：4-幣.

（2）解：???四邊形48C。是長方形,

***AC=^\lAD2+DC2=V32+42=5??B90?,

由折疊可得，AB=AB,=4,MP=BP,ZAB,P=ZB=90°,

BfC=AC-AB,=\,/尸8'C=180O-ZA8'P=90。，

設(shè)=則PC=BC-BP=3-x,

在RtPC￡中,BF+B，C?=PC=即W+12=(3T)2,

4

解得戶記

4

???P8的長為

J

(3)解：由折疊可得NEAC=NBAC,

???四邊形ABC。是長方形，

???ABDC,

???ZECA=ZHAC,

ZE4C=Z￡C4,

，EA=EC,

設(shè)E4=EC=〃7,則DE=DC-EC=4fi,

在RtADE中,AD2+DE2=EA2^即3?+(4-姆=>,

解得m=25即EC=2-5,

oo

,c1_125,75

.ACE22816

75

???"CE的面積為工.

Io

自解題方法

方法總結(jié)

1.抓折置本質(zhì)：折疊即軸對稱，對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等，折痕垂宜平分對應(yīng)點連線。

2.利用矩形性質(zhì)：結(jié)合矩形四個角為直角、對邊平行的性質(zhì)，尋找全等或直角三角形。

解題技巧

I.標等量：在圖上清晰標注折疊前后的對應(yīng)邊、對應(yīng)角，以及由折疊產(chǎn)生的新等量關(guān)系。

2.設(shè)元列方程：常設(shè)未知線段長為x,在直角三角形中利用勾股定理建立方程求解。

24.(12分)【問題解決】

(1)如圖1,在矩形ABC。中，點E,F分別在邊DC8C上，下，垂足為點G.求證：ZAED=ZDFC.

圖1圖2圖3

【拓展提升】

(2)如圖2,在正方形AACO中，點E,尸分別在邊。C3。上，A￡=OF,延長到點〃，使C〃=￡>￡,

連接。〃，求證：ZADF=ZH.

【類比遷移】

(3)如圖3,在菱形A8C。中，點E,尸分別在邊。C3C上，AE=DF=\l,DE=8,ZA切=60。，求C尸

的長.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)3

【分析】(1)由矩形的性質(zhì)可得N/X:尸=900則NC7)尸+N力R7=90。，再由他可得NDGE=900,

則/8尸+加D=90°,根據(jù)等角的余角相等得NA￡D=NDFC,即可；

(2)利用"HL”證明，APE”"/7,可得DE=CF,由C〃=OE,可得b=C〃，利用“SAS”證明

_DCFgDCH,則ND〃C=ND尸C,由正方形的性質(zhì)可得AO〃8C,根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得證；

(3)延長8c到點G,使CG=力石=8,連接。G,由菱形的性質(zhì)可得AD=DC,AD//BC,則ZADE=/DCG,

推出..AOEqJX;G(SAS),由全等的性質(zhì)可得皿C=ZAED=6(r,DG=AE,進而推出一。戶6是等邊三角

形，再根據(jù)線段的和差關(guān)系計算求解即可.

【詳解】(1)證明：???四邊形A3CO是矩形，

/DC產(chǎn)=90。，

ZCDF+ZDFC=90°,

?/AE1DF,

???zJ9GE=90n,

ACDF+ZAED=9Cf,

???ZAED=NDFC；

(2)證明：「四邊形/WCQ是正方形，

:.AD=DC,AD//BC,ZADE=/DCF-

?.AE=DF,

J.ADEWDCF(HL),

/.DE=CF,

又。CH=DE,

/.CF=CH,

‘點”在BC的延長線上，

???HDCH=/DCF=90°,

.DC=DC,

工DCFgDCH(SAS),

：.ZH=ZDFC,

AD//BC,

:.ZADF=ZDFC,

***ZADF=Z.H；

(3)解：如圖，延長BC到點G,使CG=OE=8,連接￡>G,

???四邊形ABC。是菱形，

/.AD=DC,AD//BC,

/.ZADE=NDCG,

...ADE^IX：G(SAS),

;.NDGC=ZAED=60P,DG=AE,

AE=DF,

:.DG=DF,

??.,DR7是等邊三角形，

:.FG=FC+CG=DF=11,

..fC=ll-CCz=ll-8=3.

12分）在菱形4AC。中,/8=二（0。＜二＜