等比數列的概念【八大題型】-人教A版高中數學選擇性必修第二冊（解析版）

專題4.4等比數列的概念【八大題型】

【人教A版（2019）］

>題型梳理

【題型I等比數列的基本量的求解】.............................................................2

【題型2等比中項】............................................................................3

【題型3等比數列的通項公式】.................................................................4

【題型4等比數列性質的應用】..................................................................6

【題型5等比數列的單調性】....................................................................7

【題型6求等比數列中的最大（小）項】.........................................................9

【題型7等比數列的判定與證明】..............................................................12

【題型8正項等比數列的對數成等差數列的應用】................................................14

A舉一反三

【知識點1等比數列的概念與通項公式】

i.等比數列的概念

一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常

文字

數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用

語言

字母q表示（#0）

符號在數列（即｝中，如果廣」=夕（〃少2,〃右2）（或黑=g（〃eN*））（后0）成

an-\an

語言

立，則稱數列｛%｝為等比數列，常數^稱為等比數列的公比

遞推

a?=a?_x-q(q豐。、n€N*,〃N2,q￥=0)或a”+i=a”?g(g=0,〃￡豐0)

關系

2.等比中項

如果在。與6中間插入一個數G（G#））,使成等比數列，那么G叫做〃與〃的等比中項.

若G是〃與力的等比中項，則§=/所以G?=血即G=±，而.

3.等比數列的通項公式

若等比數列｛〃”｝的首項為0，公比為小則這個等比數列的通項公式是=04”—（0"/￥（））.

4.證明數列是等比數列的主要方法：

⑴定義法：乎二q（常數）=｛4｝為等比數列；

（2）中項法：4+1=。「%+2（%學0）=>｛〃”｝為等比數列：

（3）通項公式法：a,=kqn（k,g為常數）-｛4｝為等比數列;

證明一個數列為等比數列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證

明某數列不是等比數列，則只要證明存在連續三項不成等比數列即可.

【注】在利用遞推關系判定等比數列時，要注意對〃=1的情形進行驗證.

【題型1等比數列的基本量的求解】

【例1】（24-25高三上?北京海淀?開學考試）已知等比數列｛an｝滿足為+的=5,a2=2,則｛a,J的公比為

（）

A.一2或一搟B.-2或

C.2或一3D.2或之

【解題思路】設出公比，利用等比數列通項公式基本量計算列出方程，求出答案

【解答過程】設公比為q,則由+。3=宗+。29福+2q=5,

解得q=2或a

故選:D.

【變式1-1]（23-24高二下?四川攀枝花?期末）已知等比數列｛&｝滿足的-%=12,a6-a4=24,則首項由=

（）

A.-64B.1C.1D.2

【解題思路】根據給定條件，列出關于4,q的方程組，再求解即得.

【解答過程】設等比數列｛an｝的公比為q,

由asf=12g-a4=24,得落沈；；二；j，

所以q=2,?!=1.

故選:C.

【變式1-2]（23?24高二下?山東淄博期中）已知等比數列｛&｝為遞增數列，若。3?。6=6,a++a5=5,

則公比q=（）

A.：B.6C.1D.1

【解題思路】由等比數列的角標性質結合單調性得出公比.

【解答過程】由。4+曲=5,1?=°4?。5=6,解得｛:;12或｛:;13；

???數列｛%J是由正數組成的遞增數列，.??｛：：二;，且q＞（）,.?.q=去

故選：D.

【變式1-31（23-24高二下?遼寧遼陽?期末）若等比數列｛“｝滿足品的+1=k乂k>1）,則其公比為（）

A.kB.-yfkC.迎D.±Vk

【解題思路】根據等比數列｛冊｝滿足即冊+i=心，得到即+1的+2=憶"|，兩式相比得勺？，再求得q驗證即

可.

【解答過程】因為即的+1=依>0（/c>1）,

所以等比數列｛斯｝的公比q>0，

又品+1冊+2=kn+1,

所以&iU=k=q2,

anan+l

所以q=瓜,

即等比數列｛斯｝的公比為4.

故選：C.

【題型2等比中項】

【例2】（23?24高二下.北京大興.期末）若數列La,b,c,9是等比數列，則實數b的值為（）

A.-3B.3

C.-9D.9

【解題思路】根據等比中項的性質計算可得.

【解答過程】因為數列1,a,b,c,9是等比數列，

所以82=1x9,解得匕=3或b=-3,

當匕=一3時，不滿足1X》=Q2,故舍去；

當七二3時，經檢驗符合題意，所以b=3.

故選：B.

【變式2/】（23-24高二上?江蘇無錫?期末）等比數列｛即｝中，=48q=12,則。4與%的等比中項為（）

A.24B.-24C.±24D.30

［解題思路】直接由等比中項的性質計算即可.

【解答過程】；。4與。6的等比中項為。5，二磅=。4。6=576,KJa5=±24.

故選:C.

【變式2-2］（23-24高二下?遼寧遼陽?期中堆各項均為正數的等匕數列｛冊｝中，若a2a4+2a3a5+。4a6=16,

則CI34-a5=（）

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】利用等比數列性質得到（。3+?5）2=16,進而得到的+曲=今

2

【解?答過程】由a2a4+2a3as+a4a6=16得試+2a3a5+詬=16,即Q+a5）=16,

因為等比數列｛斯｝各項均為正數，所以=4,

故選：D.

【變式2-3]（23-24高二下?福建福州?期中）己知等比數列｛冊｝,2a3=2,a2a3a4=8,則的=（）

A.28B.32C.36D.40

【解題思路】根據等比中項的性質，結合等比數列通項公式可得解.

【解答過程】由已知數列｛5｝為等比數列,則2a3=成=2,a2a3a4=譴=8,

則Al；%

6333

則謠=（a3-q）=返?qi8=8x46=23x16=32,

所以的=32,

故選:B.

【題型3等比數列的通項公式】

【例3】（2024?全國?一模）等比數列｛a）J中，同=1,a5=-8a2,a5<a2?則斯=（）

A.（-2）n-1B.一（一2尸一1C.（-2）nD.-（-2）n

【解題思路】根據題意等比數列的性質可得公比q=-2,且由肉可得％=-1，從而可求解.

【解答過程】由題意知數列｛a"為等比數列，設公比為q，由。5=-8%，得。2[3=-8。2,解得q=-2,

因為即由q4VQiq,即16ale-2%,所以％<0,又因為=1,所以%=-1,

所以即=%qnT=-lx（-2）時】=一（一2）時】，故B正確.

故選：B.

【變式3-1]（23-24高二上?廣東深圳?期末）在數列｛斯｝中，每+1=3每且。2=3，則每=（）

A.3nB.3n-3C.3n-2D.3n-1

【解題思路】先確定公比，再利用通項公式求解.

【解答過程】因為冊+1=3與，a=3>0,則皿=3,

2an

所以｛an｝為等比數列，公比q=3,

n-271

所以即=a2?必邕=3x3=3T.

故選：D.

【變式3?2】（2024.海南.模擬預測）己知等比數列｛&J的公比不為I，若%=2,且3%,雙，-。3成等差數列，

則怎=（）

A.2x3n-iB.3nC.2x（-3）n-iD.（-3）n

【解題思路】利用等差中項的性質及等比數列基本量的計算求通項公式即可.

【解答過程】設｛。“｝的公比為小

22

則依題意有2a2-3al-a3=>4Q=6-2q=>Q+2Q-3=0,

解方程得q=-3或q=1（舍去），所以%=2X（一3廠】.

故選：C.

【變式3-3］（2024高三下.全國.專題練習）若數列｛冊｝的前幾項和%=|。門+：（幾6N*）,則｛an｝的通項公

式是（）

w+1

A.即=（一2廠】B.an=（一2尸C.冊=（一3廠】D.an=（-2）

【解題思路】利用Sn，冊間的關系，做差求Sn—S“T=Q”，得到即,。加1間的關系式，判斷｛為J是等比數歹U，

進而求出｛即｝的通項公式即可.

【解答過程】因為%=：即+豺，

則當nN2,71EN*時，Sn.1=|。口_1+粉，

①一②得：Sn-Sjt-i=an=|an-an_i，

整理得:0n=-2an_1（n>2,nGN*）,

又$=%=1%+：,解得的=1.

JJ

所以數列｛an｝是首項為1,公比為-2的等比數列，

則每=1x（-2尸一】=（一2尸7.

故選：A.

【知識點2等比數列的性質】

1.等比數列的通項公式與指數函數的關系

等比數列｛小｝的通項公式6產可以改寫為6,二^F",當q>0且/I時，等比數列｛〃”｝的圖象是

指數型函數丁二強?r的圖象上一些孤立的點.

q

2.等比數列的單調性

己知等比數列｛““｝的首項為的，公比為4,則

⑴當］或1時，等比數列（，〃｝為遞增數列；

q>10<<7<1

（2）當J八2>^\或J時，等比數歹打恁｝為遞減數列；

（OVqVI<7>I

（3）當片I時，等比數列｛〃“｝為常數列（這個常數列中各項均不等于0）；

（4）當夕<0時，等比數列｛〃”｝為擺動數列（它所有的奇數項同號，所有的偶數項也同號，但是奇數項與偶

數項異號）.

3.等比數列的性質

設｛4｝為等比數列,公比為q,則

（1）若m+n=p+q,m、n、p、qeN*,則a?,a?=apa（l.

（2）若N"）成等差數列，則am,4,與成等比數列.

（3）數列｛24｝（2為不等于零的常數）仍是公比為夕的等比數列；

數列｛：｝是公比為%的等比數列；

數列｛|。“|｝是公比為⑷的等匕數列：

若數列｛>｝是公比為）的等比數列，則數列｛〃”?bn｝是公比為q—的等比數列.

（4）在數列｛%｝中，每隔W&eN.）項取出一項，按原來的順序排列，所得數列仍為等比數列，且公比為

產.

（5）在數列｛?,｝中，連續相鄰火項的和（或積）構成公比為/（或/'）的等比數列.

（6）若數列｛《,｝是各項都為正數的等比數列，則數列｛log,4｝（。>0且/1）是公差為log"的等差數列.

4.等比數列的單調性與最值問題

涉及等比數列的單調性與最值的問題，一般要考慮公比與首項的符號對其的影響.

【題型4等比數列性質的應用】

【例4】（24-25高三上?山東德州,開學考試）在各項均為正數的等比數列｛斯｝中，a2a5=16,則log2a3+

log2a4=（）

A.2B.3C.4D.5

【解題思路】依題意，由等比數列的性質可知a2a5=。3%=16,再利用對數的運算性質可得log2a3+

log2a4=log2（a3a4），求解即可.

【解答過程】因為數列｛aj為等比數列，且a2a5=16,

，所以Q2a5=。3。4=16,

4

所以log2a3+log2a4=log2（a3a4）=log216=log22=4,

故選:C.

【變式4-1］（23-24高二上?甘肅金昌?階段練習）在等比數列｛a"中，。2+a3+a4+a5=243,a5+a6+a7+

a8=72,則即+。8+的+。10=（）

A.-B.-C.32D.64

33

【解題思路】利用等比數列的性質求解即可.

【解答過程】設等比數列｛。"的公比為q,

則+。6+口7+Qg=Q3（a2+。3+。4+。5），

即243q3=72,解得q=3

所以。7++。9+a10=Q2（?5+。6+。7+a8）=圖X72=32.

故選:C.

【變式4-2］（2024?四川甘孜?一模）在等比數列5｝中，。4，&是方程/-8%+2=0的兩根，則沁=（）

々6

A.V2B.-V2C.±V2D.3±V5

【解題思路】根據一元二次方程根與系數的關系，結合等比數列的性質求解.

【解答過程】因為｛%｝是等比數列，且。4,即是方程/-8%+2=0的兩根，所以且。4>0,

t?4,a8=Z

a8>0.

根據等比數列的性質，得：,&=?。7=磷=2,且>0,所以。6=V2

=。6=企

a6

故選：A.

【變式4?3］（23-24高三下.青海西寧.階段練習）在等比數列｛即｝中，孤>0,若03=1，a4a6=4,則為=

（）

A.4B.8C.16D.32

【解題思路】根據下標和性質求出與，設公比為q（q>0），即可求出q2,最后根據通項公式計算可得.

【解答過程】因為=1，。4。6=4,又a4a6=。3。7，

所以即=4,設公比為q（q>0）,則q4=9=4,所以q?=2,

a3

2

則的=a7-Q=4x2=8.

故選:B.

【題型5等比數列的單調性】

【例5）（23-24高二下?北京順義?期中）數列｛。又是等比數列，則對于“對于任意的m6N*,an+2>0n”是“｛an｝

是遞增數列”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.不充分也不必要

【解題思路】根據充分條件、必要條件的定義及等比數列的單調性與通項公式判斷即可.

【解答過程】設等比數列｛冊｝的公比為q，9工0，

2

若4+2>冊，則即+2=an（Q-1）>0,

當%>0時，由%（q2-l）>0得q2一1>0,解得q<一1或q>1,

若qV—1,則。2=V0,此時<（。2-1）>o與已知矛盾;

若q>l,則冊>0,此時｛冊｝為遞增數列.

當為<0時，由Qi（q2-1）>0,得q2-1<0,解得-1<q<0或0VqV1,

若-1<q<0,則a?=aiQ>。，此時一1）V0與已知矛盾；

若OVqVl,Man<0,此時｛即｝為遞增數列.

反之，若｛即｝是遞增數列，則。"2>即，

所以“對于任意的neNSan+2>an”是"3J足遞增數列”的充要條件.

故選：C.

【變式5-1]（23-24高三上?安徽合肥?階段練習）已知數列｛斯｝是無窮項等比數列,公比為q,則“q>1”是“數

列｛。"單調遞增”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【解題思路】根據等比數列的首項、公比的不同情形，分析數列的單調性，結合充分條件?、必要條件得解.

【解答過程】若為V0,q>l，則數列｛%J單調遞減，故q>1不能推出數列單調遞增；

若｛2J單調遞增，則4>0,q>1,或由<0,0<g<1,不能推出q>1,

所以"q>1”是"數列｛斯｝單調遞增'的既不充分也不必要條件，

故選：D.

【變式5-2]（2024高三?全國?專題練習）在等比數列｛%｝中，公比為q,已知即=1,則0<c2n<是數

列｛&J單調遞減的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【解題思路】根據等比數列的性質，即可求解OVqVl,進而可求解.

【解答過程】對0V。2幾V感，令71=1,則0<。2，

由于m=1,0<a2?所以q>0，故即>0,

因為0Va2n<W，所以0Vaxa2n<忌，即0Va,l+1an<若，

即0<冊+】VQ.n,則數列｛a"單調遞減，故正向可以推出;

若數列｛5｝單調遞減，%=1，則0<q<l,MO<an+1<an,

則0V得+1冊〈忌，即0<。1。2/1<嫌，即0<。2凡V則反向能推出；

故0<a2n<W是數列｛a“｝單調遞減的充要條件，

故選：C.

【變式5-3]（23-24高三下?湖北?開學考試）已知數列｛冊｝是等比數列，則“存在正整數匕對于Wt￡N，，

at>%+〃恒成立”是：“｛a,J為遞減數歹『'的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】取兩種特殊情況說明，分k=1和k=4兩次情況討論，將4>%q4轉化為%（q2-l）（q2+1）<

0,分4>0和％<0兩種情況與假設對比，據此即可求解.

【解答過程】取兩種特殊情況說明充分性，

當A=1時顯然成立；

當A=4時,理由如下:

因為｛冊｝是等比數列，設公比為q[qHO），則a"。，

當V￡€N*，4>4+4時,at>即%（q2-l）（q2+1）v0,

若5>0,則—lVqVl,

注意到，當qVO時，4+i=a,q<0,與假設矛盾，舍去，

故0Vq<1,此時％+i=atq<%,則｛%J為遞減數列；

若％<0,則q<-1或q>1,

注意到，當qV-1時，at+1=atq>0,與假設矛盾，舍去，

故q>1,此時4+i=citq<生，則｛%｝為遞減數列；

綜上：存在k=4,使也€曠,4>4+4時，｛Q”｝為遞減數列，即充分性成立；

當｛即｝為遞減數列時，Qc>flt+i>at+2>at+3>4+4，即VtGN*,a,>4+4成立，即必要性成立.

故選:C.

【題型6求等比數列中的最大（小）項】

【例6】（2024.上海閔行?二模）己知數列｛aj為等比數列，首項為>0,公比qW（-1,0），則下列敘述不正

確的是（）

A.數列｛即｝的最大項為的B.數列｛%?｝的最小項為a2

C.數列｛所冊+】｝為嚴格遞增數列D.數列｛。2“-1+。2“｝為嚴格遞增數列

【解題思路】分別在n為偶數和幾為奇數的情況下，根據項的正負和即+2-Qn的正負得到最大項和最小項，

知AB正誤；利用斯+1即+2-冊即+1=q(q2-1)W>。和(?n+l+a2n+2)一(Q2n-1+?n)<。可知CD正

誤.

【解答過程】對于A,由題意知：當n為偶數時，an<O<a1；

2

當英為奇數時，an>0,an+2-ar=an(q-1)<0,%最大；

綜上所述：數列｛Q，｝的最大項為由，A正確；

2

對干B,當九為偶數時，Qn<0,an+2-an=alx(q-1)>0,a?最小；

當ri為奇數時，an>0>a2；

綜上所述:數列｛%｝的最小項為g，B正確;

對于C，vanan+1=a^q,an+i?n+2=an+i<7?

???斯+1丘+2-dnan+1=q(碎+1-W)=q(q2-l)w，

2

-1<Q<0,q-1<0,an+1an+2-anan+i>0,

二數列｛a/n+J為遞增數列，C正確；

對D,V?2n-l+a2n=a2n-l(1+Q)?a2n+l+a2n+2=a2n+l1^+Q)?

2

：?Uzn+l+02n+2)一(?2n-l+?2n)=(1+Q)(a2n+1一^Zn-l)=(1+Q)(Q-l)?2n-l；

v-1<Q<0.A1+(/>0,q2-1<0,又Qzn-i>°，

aD

???(a2n+l+a2n+2)-(?2n-l+2n)<0，，數列Szn-l+&?｝為遞減數列，錯誤?

故選：D.

【變式6-1](2024?湖北?二模)無窮等比數列｛a"的首項為處公比為/下列條件能使｛a,J既有最大值，又

有最小值的有()

A.Qi>0,0<q<lB.di>0,-1<g<0

C.a1V0,q=-1D.Qi<0,q<-1

【解題思路】結合選項，利用等比數列單調性分析判斷即可.

【解答過程】%>0,OVqVl時，等比數列｛%J單調遞減，故｛an｝只有最大值％,沒有最小值；

>0,一lVqVO時，等比數列｛%J為擺動數列，此時％為大值，a?為最小值；

a：<0,q=-l時，奇數項都相等且小于零，偶數項都相等且大于零，

所以等比數列｛a〃｝有最大值，也有最小值；

%<0,qv-l時，因為|q|>l,所以Sn｝無最大值，奇數項為負無最小值,

偶數項為正無最大值.

故選：BC.

【變式6-2]（2024?山西忻州?模擬預測）在等比數列｛%｝中,若%+%=62,也+。4=31,則當即牝…即

取得最大值時，n=6.

【解題思路】

利用題意的等式得到數列｛冊｝的公比，繼而求出首項，即可得到通項公式，判斷數列冊的單調性和符號，即

可求解

【解答過程】

在等比數列｛5｝中，。1+。3=62,。2+。4=31，

所以公比9=需=%

所以％+=%+：%=62,解得為=等,故二等xG）?

易得斯=誓x單調遞減，且斯>0,

因為。6=營>1，。7='<1，

所以當14"工6時，an>1,當？iZ7時，0<a?<1,

所以當。逆2…取得最大值時，九=6.

故答案為：6.

【變式6-3]（23-24高二下.山東淄博?期中）已知數列｛斯｝為等比數列，%=64,公比q=￡若7是數列｛an｝

的前〃項積，則7；取最大值時，〃的值為6或7.

【解題思路】首先求數列的通項公式，再根據數列的單調性，由前n項積最大時滿足的不等式，即可列式求

解.

【解答過程】由題意可知，an=64x\數列單調遞減，若幾最大時,

64x（?；“，解得：6口工7,

即

64x（3<1

所以刀=6或7.

故答案為：6或7.

【題型7等比數列的判定與證明】

【例7】（23-24高二下?上海寶山?階段練習）已知數列｛%｝滿足：a1=2,an+1=|an+2.

⑴求證：｛用-4｝是等比數列;

（2）求數列｛%｝的通項公式.

【解題思路】（1）將遞推公式由同-4來表示，進而利用等比數列的定義即可判斷；

（2）由（1）利用等比數列通項公式即可求解.

【解答過程】（1）證明：由=1=九|+2得限1-4=；（冊-4）,易知M一4H0,則&哼=；,

ZZQn-4L

又與一4二一2,所以｛冊一4｝是首項為一2,公比為，的等比數列.

（2）由（1）可得即_4=61_4）、6）"7"_2><（9"一|"

所以冊=-0+&

a-3,n為奇數

【變式7-1］（2024高三?全國?專題練習）已知數列S"滿足%=7,冊+］=n

2%,九為偶數

（I）j。3,。4；

（2）證明:數列｛%吁1-6｝為等比數列；

【解題思路】（1）運用遞推公式求出。2，。3，。4；

（2）運用等比數列定義證明即可

4-3,九為奇數,

【解答過程】(I)由a1—7,(1n+1—

.2Q〃，n為偶數.

可得。2=cti—3=4；a3=2a2=8；a4=a3—3=5；

（2）證明：由題可得。2〃+1-6=2a2n-6=2a2n-i-6-6=2（a2n-i-6）,

則數列｛的底1-6｝是首項為I,公比為2的等比數列.

【變式7-2］（2024高三?全國?專題練習）已知數列｛“｝滿足%=1，做=5,an+2=5an+1-6czn.

⑴證明:5+1-2%｝是等比數列;

（2）求瑪.

【解題思路】（1）由題意，可得口計2-2每+1=3（0n+i-2aQ,（nGN*）,又由。2-2%=3,利用定義

法即可證明數列｛斯+1-2an｝是以3為首項，3為公比的等比數列；

（2）同理可得斯+2-33+1=2（冊+i-3.）,由。2-2%=3,即可利用定義法證明數列｛an+i-3冊｝是

以2為首項,2為公比的等比數列,求出｛斯+1-3瑪｝通項公式，再結合0n+1-30n=2幾即可求解.

【解答過程】（1）由已知，an+2=5an+1-6an,

fi

??n+2-261n+i=5an+1—6an—2an+i?

c

?,n+2—2斯+1=3a“+i—6an=3(an+i—2an)>

顯然%+i-2an=0與4=1,a2=5矛盾,

,,0n+i—2。"00，

a_2a

??.n+zn+l-_3Q,

an+l_2an

,數歹—2M｝是首項為。2-2%=5—2=3,公比為3的等比數列.

(2).an+2=5an+1-6an,

a

,,n+2~3即+1=5an+1-6an-3ctn+j,

?,°n+2—3冊+1=2an+1—6an=2(an+1—3an)?

顯然即+i—3an=0與臼=1,a2=5矛盾,

,，Gn+l—3。〃00,

?an+2-3an+l_9

以九十113a^

工數列｛Qn+1-3冊｝是首項為。2-3%=5-3=2,公比為2的等比數列，

?*,°n+i-=2n>①，

n

又?.?由第（1）問，an+1-2an=3.②，

???②-①得斯=3n-2n.

【變式7-3]（2024?全國?模擬預測）已知數列｛斯｝的首項aI=1,且滿足an+i+0n=3n+1.

（1）證明｛a，一|八+2是等比數列，并求數列｛an｝的通項公式；

（2）是否存在正整數m,使得對任意的正整數mQm+Qn=Qm+n總成立？若存在，求出加的值；若不存在，

請說明理由.

【解題思路】（1）由已知可得巴法等=-1,可得｛每一'九+：｝是首項為一；、公比為一1的等比數列,

可求通項公式“；

⑵假設Qm+Q-Qm+n成立，由⑴可得㈠嚴：㈠尸后+|（.+<=可二_；+式租+在化簡可

得存在正整數m,當m=2k,kEN時，對任意的正整數九，總成立.

[解答過程】（1）由an+i+an=3n+1,得冊+1=-an+3n+1,

所以由1+1-|(九+1)+[=-(每一|"?又的=1,

故內—弓+：=—：H0,由遞推公式可得an—弓72+：H0,

所以虹摯密=一1,

an-2n+4

所以｛即一^九+目是首項為一3公比為一1的等比數列.

故0一，+、=(-T)(-l)n-1=7,即

(2)由(I)可得冊=怨以一：十|九，所以為〃=空+

叫“=牛-"|6+注

假設Clm+an=Gm+n成立，

則^21^一升|3+幾)=半_；+|6+注

化簡得(一l)m+(-l)n=1+(-l)m+n(*).

可知當m為正偶數，即m=2k,k￡N*、h(*)式對任意的正整數n總成立.

因此，存在正整數m,當m=2k,k€N*時，對任意的正整數n,總成立.

【題型8正項等比數列的對數成等差數列的應用】

[例8](23-24高三上?廣東江門?階段練習)設等比數列｛的｝滿足的+的=1。，。2+以=5,則log2al+

,,,,-n2+7n

log2a2十…十log2an=--—.

【解題思路】由已知求出｛an｝通項公式，再結合對數化簡式和等差數列前〃項和公式即可求解.

【解答過程】因為等比數列滿足的+。3=10，牝+。4=5,所以q=%士幺=；,

。1+。32

/[、H-1

4-n4-n

又%+%=%+。遇？=1。，解得a1=8,故=8?G)=2,log2an=log22=4-n,所以

log2al+log2a2+-+Iog2?n=3+2+1+…+(4-71)='(:叫力=-n2+7n

故答案為：二