正弦定理和余弦定理-高考數學重難點題型專練（新高考地區專用）解析版

專題4.12正弦定理和余弦定理.重難點題型精練

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

I.（5分）（2022?河南?高三階段練習（文））在△4BC中，A=60°,BC=VI,則△4BC外接圓的半徑為

（）

A.1B.V2C.V3D.2

【解題思路】利用正弦定理運算求解.

【解答過程】由正弦定理號=^=2R,則R=l,

s\nAv3

2

故AABC外接圓的半徑為1.

故選:A.

2.（5分）（2022?黑龍江?高三階段練習）在△ABC中，內角48,C所對的邊分別為a,仇的則下列條件能確

定三角形有兩解的是（）

A.a=5,b=4,A=-

6

B.a=4,b=5,A=4-

C.a=5,b=4,A=^-

6

D.a=4,b=5,4冶

【解題思路】結合已知條件和正弦定理即可求解.

【解答過程】對于A：由正弦定理可知，號=_4=sin8=：

sinAsinB5

???a>b,???8<A=W故三角形△ABC有一解；

6

對于B：由正弦定理可知，號=-々=sinB=萼，

sinAsinB8

Vfc>a,：.B>A=-故三角形△48C有兩解；

4f

對于C：由正弦定理可知，-^-=-^-=>sin5=^

sinAsinB5

??Y為鈍角，???B一定為銳角，故三角形△4BC有一解；

對于D：由正弦定理可知，號=-==sin8=等>l,故故三角形△ABC無解.

sinAsine8

故選：B.

3.（5分）（2022.貴州遵義高三期中（理））已知銳角△/1BC的內角A,B,C所對的邊分別為mb,c,

若71=m，a=百，則兒的取值范國為（）

A.(2,3]B.(1,4]C.(1,3]D.(2,4]

【解題思路】根據正弦定理利用角8表示瓦，利用三角變換及三角函數的性質可求比的取值范圍.

【解答過程】因為力a=痘,故三角形外接圓直徑為號=g=2,

3sin/1sm-

所以，7=-^7=2,所以b=2sin8,c=2sinC?

故匕c=(2sinF)"(2sinC)=4sinFsinC

=4sinBsin

/2TC2TC

=4xsinBsin—cosF-cos—sinB

\33

=28sinBcosB+2sin2F

1—cos28

=V5sin28+2x-----------=V3sin2B-cos2B+1

乙

=2sin(2^-0+l,

[0</?<；

因為三角形為銳角三角形，故2故？<8<1

loc2sg-y62

故:<28—2V故g<sin(2B+：)<1?

所以2V2sin（28+*）+lW3

故此的取值范圍為（2,3],

故選:A.

4.（5分）（2022?安徽亳州?高一期末）黃金三角形有兩種，一種是頂角為36。的等腰三角形，另一種是頂

角為108。的等腰三角形.其中頂角為36。的等腰三角形的底與腰之比為亨，這種黃金三角形被認為是最美

的三角形.根據這些信息，則cos36o=（）

AVs-lVs+lr3+y3-V5

4488

【解題思路】由已知條件，根據余弦定理求解即可.

【解答過程】在△中，ZA=36°,AB=AC,—=—.

ABCAB2

設<8=2x,BC=（V5-l）x,

則8s36。=（2幻2+（2外2?［（。-1）才=4/+4/（6-26）/=三出

故選:B.

5.（5分）（2022?河南駐馬店?高三階段練習（理））鈍角△ABC的內角4,B,C的對邊分別是a,b,c,

已知Q=3,b=2c,且9sin8-2sinC=則△ABC的周長為（）

A.9B.yC.6D.y

【解題思路】由題知sinB=2sinC,進而結合題意得sinC=乎，cos。=］再根據余弦定理解方程即可得

88

答案.

【解答過程】解:因為b=2c,

所以sinB=2sinC,b>c

又因為9sinB-2sinC=2A/15,

所以sinC=乎，C為銳角，

所以，cosC=J

8

因為由余弦定理得c2=4c2+9-2x3x2cx3解得c=2或c=

82

因為當c=|時，b=2c=a=3,此時△力BC一定不是鈍角，故舍去.

所以c=2,

所以△A8C的周長為2+4+3=9.

故選:A.

6.（5分）（2022?重慶高三階段練習）李子壩站的“單軌穿樓”是重慶軌道交通的一大特色，吸引眾多游客

來此打卡拍照.如圖所示，李明為了測量李子壩站站臺距離地面的百度A8,采用了如下方法：在觀景臺的。

點處測得站臺4點處的仰角為60。；沿直線后退12米后，在尸點處測得站臺4點處的仰角為45。.已知

李明的眼睛距離地面高度為CD=M=L6米，則李子壩站站臺的高度A3約為（）（精確到小數點后1位）

（近似數據:V3-L73,V2?1.41）

B

A.30.0米B.28.4米C.27.0米D.264米

【解題思路】設AG高度為3米，利用正弦定理結合條件可得Z1G高度，進而求出718高度.

【脩答過程】設4G高度為M米，由題可知N4CG=60,，

所以4C=第米,

V3

在△AEC中,由正弦定理得:AC_CE

sinZAECsinNC4E

所以AC

sin45'sin(60"-45)

所噂

sin60cos45'-cos60sin45

解得％=18+6\/5,

所以HB=18+6/5+1.430.0(米).

故選:A.

7.（5分）（2022?湖北恩施?高二期中）在△4BC中，內角A,B,。所對應的邊分別是小b,c,a=4,

3從osA-acosC=ccosA,點。在線段BC上，2BD=DC,過點。作。El力8,DFA.AC,垂足分別是E,F,

則ADE尸面積的最大值是（）

64厄23灰

A.挺B.皿C.

9278127

【解題思路】由3bcos4-acosC=ccos力結合正弦定理得cos4,sinA,由余弦定理可得爐+c2be=16,

2

結合不等式/+c>2bc得be<12,又2BD=DC,所以5沙四=2SA45D=求得0凡DF,從而

得ADEF面積的表達式，進而求出最大值.

【解答過程】因為3bcosA-acosC=ccosA,所以答inBeosA=sinCcosA+sinAcosC=sinB,

所以cosA=I，則sin/l=等.

?Jo

由余弦定理可得a?=b2+c2-2bccosA,即a?=b2+c2-|bc=16.

因為〃+。222兒，所以28c-gbcW16,則beW12,當且僅當c=b=2舊時，等號成立.

因為2BD=DC,所以SMCD=2S*ABD=|50碇，

所以-DF=2x-cxDF=-x—be,

2233

所以0￡=型從DF=—c,

99

則SADEF=^DEDF-sinAEDF=^DE-DF?sin/1=^bc<誓?

故選：c.

8.（5分）（2022?四川?高二開學考試（理））在銳角△A8C中：角48c的對邊分別為a,b,c,S為△48C的

面積，且。2必十@?2,則喘善的取值范圍為（）

A-黯）B.即為C.即為D.即“）

【解題思路】由三角形面積公式及余弦定理得到l—sin/lFosA,結合同角三角函數關系得到sin4=（,cos力=：,

由正弦定理得到當苧=2+（,且：=七+：根據三角形為銳角三角形，得到tan8>[,求出

smBsmCcbb5tan654b\53/

利用對勾函數得到g（t）=Rt的最值，求出E；：鬻;。的取值范圍.

【解答過程】由三角形面積公式可得：S=/csin4故a2=bcsiM+（b-c）2,

l-；sirii4=ba,故l-：sinA=cos4,

22bc2

2

因為sin'+cos?/^1,所以sin，+（]-；sin4）=1,

解得：$出力=1或0,

因為△A8C為銳角三角形，所以siM=0舍去，

故sinA=$cos/l=l-|xl=^

由正弦定理得：

2即*+辿］生=空￡=弛+￡,

sirBsinCbecb

其中c_sinC_sin4cosB+cos4sinB_4_3

八bsinFsinB5lanB5'

因為△ABC為銳角三角形

所以Cg,故4+8>》所以tan8>tanG-4）=/

222\2/sm44

_LG（O,竺），

5tanH\*15/5tang5\5,3/

令衿O則。（￡）=沁為對勾函數，在G，⑹上單調遞減，在（?,3上單調遞增,

則g（t）min=9（a）=*+V2=2V2,

r//3\10,359/5\6,543

因梯哈所以g⑴皿V

則朝史如絲=弛+￡￡[0竺）

sinBsinCcbI“5，

故選：C.

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）（2022?福建漳州?高二期末）在△/18C中，若（a2+c2-b2）tan8=ac,則角B的值可以為（）

A.-B.-C.-D.-

6336

【解題思路】由余弦定理及同角三角函數的關系可得cosB=等,根據三角形內角性質即可求角的大小.

2sirB

【解答過程】由cosB=°一＞=—^―=顯然cosB工0,故sinB=

2ac2tanB2sinB2

又0VBV7T,則8為3或

故選:AD.

10.（5分）（2022?全國?高三專題練習）一艘客船上午9：30在A處，此時測得燈塔S在它的北偏東30。方

向，之后它以每小時32nmile的速度繼續沿正北方向勻速航行，上午10：00到達8處，此時測得客船與燈

塔S相距8&nmile,則燈塔5可能在B處的（）

A.北偏東75。方向B.南偏東15。方向C.東北方向D.東南方向

【解題思路】畫出示意圖如圖所示，在三角形48S中，由正弦定理即可求出乙4sB的值，討論船在B處和夕處

時，即可求出答案.

【解答過程】畫出示意圖如圖所示，由題意得48=32x：=16,BS=8V2,乙821s=30。，

所以=J6,解得sin乙4sB=爭

sin300sinz/lSB2

所以乙4sB=45。或乙4SB=135°.

當船在B處時，zG4sB=45。，所以NB'BS=75。；

當船在B'處時，Z-ASB1=135°,所以4186=15°.

綜上，燈塔S在B處的北偏東75。或南偏東15。方向.

故選：AB.

B'北

A

11.（5分）（2022?黑龍江?高二階段練習）在△ABC中，角A,B,。所對的對邊分別為a,b,c,卜列命

題中正確的是（）

A.Ti'A>B>C,則sin力,sinB>sinC

B.若a=40,6=20,8=25。，則滿足條件的△48C有且僅有一個

C.若。=尻05。，則△48C是直角三角形

D.若A=$b+c=6yf3,則△力8c外接圓面積的最小值為9兀

【解題思路】對于A,利用三角形大邊對大角及正弦定理的邊角變換可證得命題正確；

對于B,結合圖像，利用直角三角形中正弦的定義可求得h,比較八與匕邊會發現存在兩個滿足條件的△力8C；

對于C,利用余弦定理的推論化簡Q=bcosC,即可證得命題正確；

對于D,先由余弦定理及基本不等式求得。的取值范圍，再由正弦定理求得△48C外接圓半徑R的取值范圍，，

從而求得△ABC外接圓面積的最小值

【解答過程】對于A.因為力>2>C.所以由三角形大邊對大角得心b>c.

又由正弦定理知a=2RsinA,b=2Rsin8,c=2RsinC,故2Rsin4>2Rsin8>2RsinC,即sinA>sin8>sinC,故A正確;

對于B,如圖,在RtZXBC。中，/i=asinB=40sin25°<40sin300=20,即辰b,

以C為圓心，b為半徑作圓，會發現該圓與8A有兩個交點，即存在兩個滿足條件的△ABC,故B錯誤；

對于C,因為a=bcosC,由余弦定理得整理得小+。2=匕2,所以△/8C是直角三角形，故C正確;

2ab

對于D,因為4=!，b+c=6VJ,

J9rWa2=b2+c2-2bccosy4=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc>(b+c)2-3x="：，=27,即以3VJ,

故叱高評=6,即a3,

所以△ABC外接圓面積5=兀辟之9兀，即△/18C外接圓面積的最小值為9兀，故D正確.

故選：ACD.

12.（5分）（2022?全國?高一單元測試）△4BC的內角A,B,C的對邊分別為小b,c,則下列說法正確

的是（）

A.若4>B,則sin/1>sinB

B.若4=30。,b=4,a=3,則△ABC有兩解

C.若△ABC為鈍角三角形，則a2+》2〈c2

D.若力=60。,。=2,則448。面積的最大值為75

【解題思路】由正弦定理可判斷A；由bsim4VaVb可判斷B；由大邊對大角結合余弦定理可判斷C；由

余弦定理與基本不等式可判斷D.

【解答過程】對于A選項，若A>B,則a>b,由正弦定理可得號=々，

sinAs\nB

所以sin/1>sinB,故A正確；

對于B選項,bsinA=4sin30°=2,則bsin/1Va<b,

所以△ABC有兩解，故B正確；

對于C選項，當△4BC為鈍角三角形，且C為鈍角時，cosC=V0,

可得小+62<，2,若。不為鈍角，則得不到M+爐VC?,故C錯誤；

對于D選項，由余弦定理與基本不等式可得4=a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2—be>2bc—be=be,

即6cW4,當且僅當b=c=2時，等號成立，

所以SMBC=[bcsin/1=￥儀:W遮，故D正確.

故選:ABD.

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）（2022?河南.高三階段練習（文））己知△力8c中角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若C=?,b=

J

l,c=V7,則△ABC的面積為絲.

【解題思路】先利用余弦定理算出"=3,再利用三角形的面枳公式即可求解

【解答過程】由余弦定理可得cosC=RW即:=等二，解得。二3,

2ab22a

所以△力8c的面積為S=^-absinC=-x3x—=—

2224

故答案為：呼.

14.（5分）（2022?全國?高三專題練習）某人在。點測得某直塔在南偏西80。，塔頂A的仰角為45。，此人

沿南偏東40。方向前進10m到測得塔頂A的仰角為30。,ZZC與塔底O在同一水平面上，則塔高為10m.

【解題思路】作出圖形，設出塔高。4=兒表達出00=6九，OC=OA=h,在△OCD中，使用余弦定理

求出九=10,得到答案.

【解答過程】由題意作出圖形，如下圖所示，設塔高為力。=九，在Rt△40C中，LACO=45°,

則0C=OA=h,在Rt△40。中，LADO=30°,則0。=A/3/I,

在AOC。中，LOCD=120°,CD=10,

22

由余弓玄定理彳導0。2=OC+CD-2OC-CDcos乙OCD,

0

即（6九＞二九2+102—2/2x10XCOS120,

整理得后一5九一50=0,解得h二10或九二一5（舍去）.

故答案為：10m.

15.（5分）（2022?黑龍江?高一期中）對△力BC而言，若其內部的點P滿足44PB=N8PC="P4=120。,

則稱P為△48C的費馬點.在△48C中，已知匕8AC=45。,設。為A48C的費馬點，且滿足4PBA=45°,PA=

2,則△/WC的外接圓直徑長為2國.

【解題思路】根據己知條件，結合三角形的內角和定理可得乙P4B==30。/。￡4=30。，可得

PA=PC=2,進一步由正弦定理可得尸B的值，由余弦定理求出8C,最后，在△力BC中，由正弦定理求出

外接圓的直徑.

【解答過程】???^PAB=180°-120°-45°=15°,

???/PAC=45。-15°=30°,

在AP/C中，Z.PCA=180°-120°-30°=30°,故P/=PC=2

在58中，由正弦定理得肅則吟言

vsin15°=sin（45°-30°）=yXy-yx^=

2x與退-

：?PB=-^vz―二遮一1,

V

在AP8C中，由余弦定理得3C2=PB2+PC2-2P8?PC?COS1200=6,BC=瓜

在AABC中，由正弦定理得2R=￡^=整=26，

$in45°V2

2

故AABC的外接圓直徑長為2次.

故答案為：2V3.

16.（5分）（2022?新疆高一期末）在△A8C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,，下列結論中正確

的選項有①②③④.

①若A>B,則sinA>sinB；

②若sin24=sin2B,則△ABC可能為等腰三角形或直角三角形；

③若acosB-bcosA=c,則△ABC定為直角三角形；

④若B=g,Q=2且該三角形有兩解，則〃的取值范圍是（百，2）；

【解題思路】①利用人邊對頂大角，結合正弦定理可知；②利用正弦函數的圖象與性質可得小B的關系；

③邊齊次，利用正弦定理將邊化拜，通過三角恒等變換求出皆為直角：④若三角形有兩解，則asinB<b<a,

可得出答案.

【解答過程】①三角形大角對大邊，所以a>b,由正弦定理有號=上，

sin/1sinB

所以sinA>sinB,故①正確；

②sin24=sin2B,且0<24V2n,0<28<2n,

則24=28或24+2B=n,即4=8或4+8=]

所以△/1BC可能為等腰三角形或直角三角形，故②正確；

③acosB-bcosA=c,由正弦定理有：s\nAcosB-sinBcosA=sinC,

又sinC=sin（7r—C）=sinQ4+F）=sinAcosB+cosAsinB,

口flsinAcosB+cosAsinB=sinAcosB-sinBcosA,

即2cosAsin8=0,因為0VB<TT,所以sin8H0,所以cos4=0,

即4=3故⑤正確：

④三角形有兩解，則asinBVbVa,即V5Vbe2,故④正確；

故答案為：①②③④.

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）（2021?全國?高一課時練習）在△ABC中，已知c=5&,A=45。，試判斷當〃分別取10,5,

哈|時，角C的解的個數.

【解題思路】根據給定的每一個。值，利用正弦定埋解“已知兩邊及一邊的對角解二角形”的方法逐一計算判

斷作答.

【解答過程】⑴當。:10時，因c=5&，4=45。,有辦c,則角C比角4小,角。是銳角，所以角C有一解;

⑵當。=5時，因c=5&，A=45。，有c>a,則sinC=畫把=返空=1,而0。VCV180。，則C=90。，所

a5

以角C有一解；

⑶當a=竽時，因C=5A/2,4=45>,有c>a,貝iJsinC=誓=笑笑=孚，而0。VC<180°,則C=60。或

3

C=120°,所以角C有兩解；

（4）當a=［時，因c=5&,A=45。，有則sinC=9吆二且駕空=2>1,無解，所以角C無解.

NQ-

2

18.（12分）（2022.廣東.高三階段練習）在△48。中，其內角分別為4B,C,且滿足sinC-sinB二sin（4-8）.

（I）求角4的大小：

⑵已知A48C外接圓的半徑為百，。為BC邊上的一點，^BAD=^,AD=1,求△48C的周長.

6

【解題思路】（1）利用已知條件轉換角，利用正弦的兩角和與差的公式展開，根據條件即可求出力的大小

（2）由（1）4ABC外接圓的半徑求利用正弦定理、余弦定理求出b+c,最后就可以得到a+b+c

【解答過程】（1）因為sinC-sinB=sinQ4—B）,所以sinQ4+8）-sinB=sin（/l-B）,

所以sin（4+B）—sin（/4—B）=sinB,所以2cos4sinB=sinB,

因為sinB00,且AE（0,rr）,所以cos4=$所以力=*

（2）設內角4,B,C所對的邊分別是Q,4c,

由（1）和題設知，外接圓的半徑為百，

由正弦定理得Q=2Rs\nA=2V3sin^=3,

由余弦定理得：a2=/)2+-2/>ccosA得，9=b2+c2—2bccos-,

3

即(b+c)2—3bc=9①,

因為4=［乙BAD所以N&40=g

366

因為SMBC=SA/180+SMCD，

所以工bcsin7=-c-ADsin-4-?ADsin

232626

所以V5bc=b+c②.

聯立①②消去兒,得(匕+c)2-H(b+c)-9=0,

解得6+。=安竺，

所以△48c的周長為Q+b+c=絲竺竺.

19.(12分)(2022?重慶?高一期中)在△48。中，角A,B,。所對的邊分別為〃，b,c,a=2bcosCt點

A在邊3C上的垂足為點D

⑴判斷△48。的形狀;

(2)如圖，若乙BAC=2乙ABC,EB=CO=1且cos4E8C=一：，求4E的值.

【解題思路】<1)利用正弦定理作邊化角，結合sinA=sin(3+C)即可判斷^力BC的形狀；

(2)由484c=24ABC,則△ABC是等腰直角三角形，根據￡B=CD=1,可得力8的長，在△力8E中，結

合余弦定理求解即可.

【解答過程】(1)

由題，因為Q=2bcosC,所以sinA=2sinBcosC,

因為sin4=sin(F+C),所以sin2cosc4-cosFsinC=2sinBcosC>

即sinBcosC-cosFsinC=0,則sin(B-C)=0,

所以在△48。中，B=C,

所以△/WC是等腰三角形.

(2)

由(I),因為匕84c=24ABC,則匕Z,ABC=

24

因為EB=CD=1,所以8c=2CD=2,AB=V2,

因為cos4=所以sin乙￡8C=±,

55

所以COSNABE=cos（/E8C-乙ABC）=-1xy+^Xy=^,

在ZM8E中，AE=yjAB2+EB2-2AB-EB-cos^ABE=

20.（12分）（2022?海南高三階段練習）如圖，在圓內接△/灰：中，內角4,B,C所對的邊分別為a,b,

c,滿足acosC+ccos/l=2hcosB.

(1)求B;

(2)若點D是劣弧/TT一點，由圓內接四邊形的性質可知：ZD+ZF=180°,AB=2,BC=3,AD=1,求

四邊形A8CD的面積.

【解題思路】(1)根據正弦定理化簡，結合角的范圍即可求解；

(2)在△力BC中利用余弦定理求出AC,己知3可得乙4OC,再用余弦定理求出DC,可求得和△力DC面

積,即可求解

【解答過程】(1)由acosC4-ccos/1=2bcosB結合正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=2sin8cos8,

所以sin(A+C)=sinB=2sinBcosB,

因為0<B<7i,所以sinBH0,

所以cosB=5則8=g；

(2)在△ABC中，AB=2,BC=3,

?3

則由余弦定理得=AB2+BC2-2AB-BC-cosB=7,解得4C=V7,

因為4,B,C,。均在圓上，且8=或

所以爭在△力0C中，AC=>/7,AD=1,

crf.1r+nT4B27rAD2-￥DC2-ACZl+DC2-71

所以由余弦定理可得cos7==——=

32,4。DC2DC2

解得DC=2或。C=一3（舍），

所以四邊形4BC0的面積S=S&ADC+S&ABC=?DCsin^+^AB-BCsin^=26.

21.（12分）（2022?四川省高三階段練習（理））如圖，為方便市民游覽市民中心附近的“網紅橋”，現準

備在河岸一側建造一個觀景臺P,已知射線48,AC為兩邊夾角為120。的公路（長度均超過3千米），在兩

條公路48,4C上分別設立游客上下點M,N,從觀景臺P到M,N建造兩條觀光線路PM,PN,測得4M二6

千米，力N=W千米.

（1）求線段MN的長度；

（2）若乙MPN=60°,求兩條觀光線路PM與PN所圍成△PMN的面積的最大值.

【解題思路】（1）在△力MN中，利用余弦定理即可求解；

（2）設乙PMN=a,則4PNM=120。一a,在△PMN中,由正弦定理可得PM=26sin（120。一a）,PN=

26sina,則由S“MN=-PN,sin乙MPN整理可得5.川=尊sin（2a-30°）+乎，結合a的范圍，即

可求解.

【解答過程】（1）

在△力MN中，由余弦定理得，

MN2=AM2+AN2-2AM-AN-cosl20°=3+3-2xV3x\/3x（-0=9,

所以MN=3,

所以線段MN的長度為3千米.

（2）

設/P