二項(xiàng)式定理的十大熱點(diǎn)題型（4大基礎(chǔ)題型+4大能力提升+2大拓展提升）原卷版-2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期（人教A版選擇性必修第三冊）

輕松破解二項(xiàng)式定理的十大熱點(diǎn)題型

!一二項(xiàng)式定理的正用、斷

題型二二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)及系數(shù)

哪達(dá)標(biāo)題

題型三求兩個多項(xiàng)式積的特定項(xiàng)

9四三項(xiàng)展開式問題

題型五求系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)的最值

題型六展開式系數(shù)和問題

二項(xiàng)式定理的十大熱點(diǎn)題型能力提升題

題型七近似計(jì)算問題

題型八求余數(shù)或整除問題

題型九楊輝二角問題

拓展提升題

題型十利用二項(xiàng)式定理證明等式或不等式

A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)題,

題型一二項(xiàng)式定理的正用、逆用

@頓?⑥

運(yùn)用二項(xiàng)式定理的解題策略

（1）正用：求形式簡單的二項(xiàng)展開式時(shí)可直接由二項(xiàng)式定理展開，展開時(shí)注意二項(xiàng)展開式的特

點(diǎn)：前一個字母是降鬲，后一個字母是升吊.形如①一份”的展開式中會出現(xiàn)正負(fù)間隔的情況.對

較繁雜的式子，先化簡再用二項(xiàng)式定理展開.

（2）逆用：逆用二項(xiàng)式定理可籽多項(xiàng)式化簡，對于這類問題的求解，要熟悉公式的特點(diǎn)、項(xiàng)數(shù)、

各項(xiàng)帚指數(shù)的規(guī)律以及各項(xiàng)的系數(shù).

提醒：逆用二項(xiàng)式定理時(shí)如果項(xiàng)的系數(shù)是正負(fù)相間的，則是（。一與"的形式.

1.（2025高二?全國?專題練習(xí)）若（l+6）4=a+》G（a,8為有理數(shù)），則（）

A.44B.32C.28D.52

2.（24-25高二下?貴州貴陽?月考）化簡C丁+2C："+4C；3+...+2iC：,其結(jié)果等于（）

1/13

3.（24-25高二下?江蘇宿遷?期中）化簡：C"-32fl+C；,-32n-2+C；-32/,-4+???+C7'-32=

題型二二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)及系數(shù)

求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)的常用方法

（1）對于常數(shù)項(xiàng)，隱含條件是字母的指數(shù)為0（即0次項(xiàng)）.

（2）對于有理項(xiàng)，一般是先寫出通項(xiàng)公式，求其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng).解這類問題

必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)集，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解.

（3）對于二項(xiàng)展開式中的整式項(xiàng)，其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理

項(xiàng)一致.

1.（25-26高二上?黑龍江齊齊哈爾?月考）二項(xiàng)式（3?-5）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）

A.-540B.540C.15D.-15

2.（2026?山西大同?一模）若（x-2y）”的展開式中第3項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則〃=（）

A.9B.8C.7D.6

3.（2026?湖北宜昌?二模）已知二項(xiàng)式（2x-l）"的展開式中僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中Y項(xiàng)

的系數(shù)為（）

A.-160B.-80C.80D.160

4.（2026?湖北武漢?模擬預(yù)測"+血，）展開式的7項(xiàng)中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有（）項(xiàng)

A.1B.2C.3D.4

5.12026?高二?浙江杭州?期中）若二項(xiàng)式展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則〃的最小值為（）

A.3B.4

6.（25-26高三上?四川成都?期中）

題型三求兩個多項(xiàng)式積的特定項(xiàng)

0O?0

2/13

求多項(xiàng)式積的特定項(xiàng)的方法：“雙通法”

所謂的“雙通法''是根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則得到（"八）'（$+/幻.的展開式中一般項(xiàng)為：

c：?！ò耍?二二尸一'（"）'，再依據(jù)題目中對指數(shù)的特殊要求，確定「與〃所滿足的條件，進(jìn)而求出「，〃的取

值情況.

1.（24-25高三下?福建廈門?期末）（；-y）（2x+j，y的展開式中心？的系數(shù)為（）

A.-60B.-80C.100D.120

2.（25-26高三上?云南曲靖?月考）（a+x）（l+x）4的展開式中，x的奇數(shù)次事項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則。二

（）

A.3B.4C.5D.7

3.（25-26高三上,貴州貴陽?月考）在（x—4）（x—2）（x-l）x（x+l乂x+3）的展開式中，f的系數(shù)為（）

A.-8B.-3C.3D.8

4.（2025?高三?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）若（x-2y）d-j，）s的展開式中含的項(xiàng)滿足〃?+〃=2,則這些項(xiàng)的系

X

數(shù)和為（）

A.10B.20C.30D.40

5.（2026?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）在（l+/）（2x-gj的展開式中，f項(xiàng)的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）

題型四三項(xiàng)展開式問題

（1）分解因式法：通過因式分解將三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為兩個二項(xiàng)式，然后利用二項(xiàng)式定理分別展開.

（2）逐層展開法：將三項(xiàng)式分成兩組，用二項(xiàng)式定理展開，再把其中含兩項(xiàng)的一組展開；

（3）利用組合知識：把三項(xiàng)式看成幾個因式的積，利用組合知識分拆項(xiàng)的構(gòu)成，注意最后應(yīng)把各個同類

項(xiàng)相合并?面的涂色問題一般轉(zhuǎn)化為區(qū)域涂色問題處理.

1.（25-26高三上?四川成都?月考）在0+/+2）'的展開式中，丁的系數(shù)為（）

A.15B.45C.60D.90

3.（2026?江蘇淮安?模擬預(yù)測）（2——x+2）4的展開式中1的系數(shù)是.（用數(shù)字填寫）

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4.（2026?山東聊城?一模）（l-x+/）s的展開式中的系數(shù)是.

5.（河南周口市天立高級中學(xué)等學(xué)校2025-2026學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試題）多項(xiàng)式卜+g+lj的展開

式中，常數(shù)項(xiàng)為.

能力提升題

題型五求系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)的最值

1.求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)：如果〃是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)（第二+1項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)最大；②如果〃是奇數(shù)，

2

則中間兩項(xiàng)（第吐1,2里士1項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大

22

2.求展開式系數(shù)最大項(xiàng)：如求（〃+/?）"（4力￡/?）的展開式系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展

A>A

開式各項(xiàng)系數(shù)分別為4,4,…且第，?項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)用I,從而解出，?來，即得.

-lAr2/川

1.（2026?湖北宜昌?二模）已知二項(xiàng)式（2x-l）"的展開式中僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中V項(xiàng)

的系數(shù)為（）

A.-160B.-80C.80D.160

2.（25-26高二下?全國?課堂例題）已知一5）的展開式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為一2，其中

i2=-l，則展開式中系數(shù)為實(shí)數(shù)且最大的項(xiàng)為（）

A.第三項(xiàng)B.第四項(xiàng)C.第五項(xiàng)D.第五項(xiàng)或第六項(xiàng)

3.（25-26高三上?浙江溫州?期末）在二項(xiàng)式（x-l）”的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是,系數(shù)最小的項(xiàng)的

系數(shù)是.

4.（25-26高二上?浙江寧波?期末）在二項(xiàng)式（x-1的展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為白.

25/x；J1

⑴求展開式中的常數(shù)項(xiàng)；

（2）求展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)絕對值的和;

4/13

⑶求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).

5.（25-26高二?全國?課后作業(yè)）在（爪J的展開式中,

（1）求系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)；

（2）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；

（3）求系數(shù)最大的項(xiàng);

（4）求系數(shù)最小的項(xiàng).

題型六展開式系數(shù)和問題

二項(xiàng)展開式中系數(shù)和的求法

（1）對形如（ax+6）",（a/+以+c『（a也cweN"）的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦

值法，只需令x=l即可，對（分1b）"（。點(diǎn)eR〃eN）的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令.v-y-1

即可.

（2）一般地，若/"）=/+…,則/（x）展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為了⑴，

奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為為+叼+鞏+…二/⑴

2

偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為q+%+牝+…二/⑴-/㈠)

2

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1.（25-26高二上,內(nèi)蒙古呼和浩特?期末）若（1+xp=劭+叫X+生/+…+4/,則《+43+%+%=（）

A.127B.128C.129D.256

2.（25-26高二下?全國?課后作業(yè)）若父°=旬+%（》-1）+/*-1）2+...+%（》-]尸，則/的值為（）

A.10B.45C.-9D.-45

3.（多選題）（25-26高二下?黑龍江綏化?期中）設(shè)-26=%+%（.”1）+%"+1）2+…+出。26（》+1廣6,則（）

2026

A.6/|=-2026B.a（）-ay+a2-----+a2026=2

/,\2026

C.…,“2026中最大的是4（113D.十+寸+才+…+寸黑"=匕）

4.（多選）（24-25高二下?黑龍江雞西?階段練習(xí)）（1-2、）7=%+4爐+叱2+???+%/,下列說法正確的是（）

A.各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256B.4+%+~+%=-2

C.q+4+/+%=1°94D.%+%+%+6=-1。93

5.（2026?陜西咸陽?二模）在（l+i）3（l-x）8的展開式中，含V項(xiàng)的系數(shù)是〃，若

2

（6-nx）"=劭+qx+a2x+???+altx",則為+q+的+??an等于.

26

6.（2025高三?全國?專題練習(xí)）若二項(xiàng)式（l+x）s=+axx+a2x4--??+a]6x',則《+2%+…+84=.

7.（25-26高二上吶蒙占呼和浩特?期末）已知（21-1）"=即+W+叱2+~+冊/展開式中，只有第6項(xiàng)的

二項(xiàng)式系數(shù)最大.

⑴求〃的值；

（2）求。+的+…+E的值;

⑶求同+同+同+…+㈤的值.

8.：25-26高二上?遼寧葫蘆島?月考)已知(1一J7)=a()+a]\fx+a2(Vv)+…+a“(J7)且(1一4)

的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64.

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⑴求”:

⑵求的展開式中工人的系數(shù);

,3I111

（3）求^^+尹生+￥叼+…+矛〃”

題型七近似計(jì)算

用二項(xiàng)式定理求近似值問題，模式比較固定，近似值問題先湊整，再展開.

1.（25-26高三下?浙江杭州?月考）實(shí)數(shù)1.996的近似值（精確至！0.001）是（）

A.31.680B.31.681C.31.682D.31.683

2.（24-25高二下?安徽?期中）0.991°的小數(shù)點(diǎn)后第三位數(shù)字為（）

A.4B.0C.2D.3

3.（2025?高二?江蘇蘇州?期末）1.0產(chǎn)最接近下列哪個數(shù)字（）

A.1.20B.1.21C.1.22D.1.23

4.（24-25高二下?貴州黔東南?期中）展°”除以80的余數(shù)為（）

A.3B.6C.9D.18

5.（多選）（24-25高二下?江蘇淮安?期末）已知C：+2C：+22C：+…+2"C=M（〃eN）則下列說法中正確的是

A.若加+1=81,則〃=4B.若2M+l+4"=5"，則〃=2

C.若"=121,則（，+3x+2）”中含f項(xiàng)的系數(shù)為48D.若〃為偶數(shù)，則M能被4整除

6.（2025高二?全國?專題練習(xí)）某公司的股票今天的指數(shù)為1,因財(cái)報(bào)公布公司的季盈利良好，因此在之后

6個交易日內(nèi)指數(shù)都比上一個交易日增加2%,則6個交易日后該公司的股票指數(shù)約為.（四舍五入,

精確到0.01）

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題型八求余數(shù)或整除問題

0?混

利用二項(xiàng)式定理可以解決求余數(shù)和整除的問題，通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和與差的形式，且這種轉(zhuǎn)化

形式與除數(shù)有密切的關(guān)系.

用二項(xiàng)式定理求近似值問題，模式比較固定，近似值問題先湊整，再展開.

1.（2026?河南南陽?一模）今天是星期一，再過10@天是星期兒（）

A.星期二B.星期三C.星期四D.星期五

2.（2026?山東德州?模擬預(yù)測）C；O25+2C，+22c短+…+2?必C黎除以7所得的余數(shù)為（）

A.IB.2C.4D.6

3.（25-26高二上?河南駐馬店?期末）22°26除以9的余數(shù)為（）

A.1B.2C.7D.8

4.（2026?江蘇鎮(zhèn)江?模擬預(yù)測）若20252°25_4能被7整除，則。的一個值可能為（）

A.2024B.2025C.2026D.2027

5.（25-26高三上吶蒙古赤峰?期末）已知等比數(shù)列｛《,｝中，4=2嗎=16,若將對除以7所得余數(shù)記為",

則4026=（）

A.1B.2C.4D.5

6.（25-26高二上?甘肅武威?期末）已知,為滿足S=〃+C；00+4o+Oo+…+C罌（〃之3）能被9整除的正整

數(shù)力的最小值,則x—的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)為（)

A.第6項(xiàng)R.第7項(xiàng)C.第11項(xiàng)D,第6項(xiàng)和第7項(xiàng)

題型九楊輝三角問題

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1.（25-26高二上?黑龍江?期末）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《解析九章算法》一書中，記載了如圖

所示的數(shù)表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.在“楊輝三角”中，己知第〃行的所有數(shù)字之和為2小，

若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,1C,10,5,...?則此數(shù)列的前35項(xiàng)和為

A.996B.995C.1014D.1024

2.（多選）（2026?湖北黃石?一模）如圖所示為楊輝三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，第〃行

的第，?個數(shù)可以表示為時(shí)）.在歐洲.這個表被認(rèn)為是帕斯卡（1623-1662）首先發(fā)現(xiàn)的.我國南宋數(shù)

學(xué)家楊輝1261年所著的《解析九章算法》一書中就已經(jīng)出現(xiàn)了這個表，這是我國數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.

同學(xué)們開展了數(shù)學(xué)探究，則下列命題正確的有（）

行

第0

1

行

第1

11

行

第2

121

第

3行

1331

14641

第5行15101051

第〃行

A.第2026行共有2026個數(shù)

B.從第4行起到第19行，每一行的第4個數(shù)字之和為C：0-1

C.第48行的所有數(shù)字之和被7除的余數(shù)為1

D.去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…，則此數(shù)列前135項(xiàng)的和為2班-53

3.（多選）（25-26高二下?江西贛州?開學(xué)考試）若（1-2》產(chǎn)6=旬+邛+%/+…+/26-26,則下列選項(xiàng)正確

的有（）

A.%=-4052B.展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為22皿

C.奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為匕裂D.＞導(dǎo)+學(xué)+…+翁一

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4.(24-25高一上?安徽亳州?月考)楊輝是我國古代數(shù)學(xué)史上一位著述豐富的數(shù)學(xué)家，著有《解析九章算法》

《口用算法》和《楊輝算法》.楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早500年左右，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非

常值得中華民族自豪的.楊輝三角本身包含了很多有趣的性質(zhì)，利用這些性質(zhì)，可以解決很多數(shù)學(xué)問題，

如開方、數(shù)列等.

如我們最熟悉的完全平方公式(。+與2=/+2"+從，其中展開式的各項(xiàng)系數(shù)分別為1,2,1.

補(bǔ)充一：禺=.

miln-niii

補(bǔ)充二：/?!=/?x(/2-11x(//-2)x---xl

左4l

積積

本巴

商i蚯詼

平方貧過

第

0行

-

第

1行

第

2行-2I

第

3行1331

四

第

4行14641

乘

第

5行55

第

6行610106

命

以

中

右

左152015

實(shí)

藏

袤

廉

袤

而

者

乃

乘

乃

除

皆

積

商

隅笫n-1行1Cl.,C3-C：.iC；.?-C：：?C胃1

之

廉

數(shù)

方

算

第n行1C：C；-C；…C，C71

圖1圖2

⑴求圖2中第10行的各數(shù)之和：

⑵在楊輝三角中是否存在某一行，使該行中三個相鄰的數(shù)之比為3:8:14,若存在，試求出這三個數(shù)，若不

存在，請說明理由；

⑶楊輝三角是楊輝的一項(xiàng)重要研究成果，比如：從第3行開始，除了1以外，其他每個數(shù)是它肩上的兩個數(shù)

之和;請嘗試證明：當(dāng)明〃wN,

(m+1)Ct+W+2)au+(〃?+3)C：.2+-?+(〃+l)C；=(m+1)/；

題型十利用二項(xiàng)式定理證明等式或不等式

1.(2026高三?全國?專題練習(xí))設(shè)〃wN,且〃>1,求證:

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⑴C：+C：+…+C：=l+2+22+…+2”T：

（2）求證：c；+C；+…+C：>〃.2—?

（證明過程中可以運(yùn)用公式：對〃個正數(shù)為，生，…M”，總有：（《+%+…+4）之師式中等號成立的

充要條件為4=%=,,?=%）

2.（25-26高二?安徽合肥?期中）旦期的二項(xiàng)式定理給出了兩數(shù)之和的正整數(shù)次轅的展開式，即

（"力2］卜一-八i其中〃工，W（0卜，W口二」〃（-〃-一--1）-（-〃--一2--）-…--（〃--一-”--+-1）^麗〃初！卜/小八）.事實(shí)上

（

牛頓還將二項(xiàng)式定理推廣到了疑為一般實(shí)數(shù)的情形，即（x+y>=Z其中aeR，鼠a\=1，

陰=《"3?"Y十”=錚于是用可以看作組合數(shù)向一般實(shí)數(shù)的推廣.這種箱為一

\kk\k!'7k

般實(shí)數(shù)的二項(xiàng)式定理，也叫廣義二項(xiàng)式定理，它將二項(xiàng)式展開成了無窮級數(shù)，通常取前面有限的?部分項(xiàng)

求和結(jié)果就很接近真實(shí)值.廣義二項(xiàng)式定理的一個重要應(yīng)用就是計(jì)算一個數(shù)的指數(shù)函數(shù)值（升方就是特例），

現(xiàn)在以求2的平方根為例來說明.

V2=（l+I）°5

,0.50.5x0.50.5x0.5xl.5

126

0.5x0,5x1,5x2.50.5x0.5x1.5x2.5x3.5

~14+120~

0.5x0.5x1,5x2.5x3.5x4.5

720

=140527+41

而2的平方根準(zhǔn)確值為1.414...,可見用二項(xiàng)展開式前7項(xiàng)的值估算可以精確到小數(shù)點(diǎn)后第二位.此外，廣義

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二項(xiàng)式定理還可以用于求一般實(shí)數(shù)次尋函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分、證明不等式（如貝努利不等式）.

⑴請仿照題意計(jì)算版的近似值（精確到小數(shù)點(diǎn)后第二位）;

(a+\]a\,

⑵證明其中ig；

a+la+2025a+\(a+2\a+2024

（3）已知九請用xJ表示+???+

I"Ik

3.（2024?山東濟(jì)南?三模）高斯二項(xiàng)式定理廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)物理交叉領(lǐng)域.設(shè)y應(yīng)eR,〃eN?,汜

卜?]=1+”…