第十二章 定義 命題 證明（知識清單）-蘇科版七年級數學下冊【含答案】

第十二章定義命題證明

定義：對名稱/術語的含義作出明確規定

一、定義與命題定義：判斷一件事情的語句

結構：條件+結論（若…則…）

命題

只命題：成立的命題

假命題：不成立的命題（舉反例即可）

基本事實：公認真命題，不需證明

二、基本事實與定理定理：經推理證實的真命題

公理、基本事實、定理都可作為推理依據

定證明：判斷命題為真的推理過程

義審蹌意T找條件與結論

、畫圖形T標字母

命三、證明證明步驟

寫已知、求證

題

'寫推理過程（步步有據）

證依據來源O----------------定義、基本事實、定理、已知條件

明定義：條件與結論互相交換的兩個命題

原命題1逆命題

四、互逆命題

原真，逆命題不一定真

原假，逆命題不一定假

思路：先假設結論不成立

五、反證法（初步認識）

推出矛盾-假設錯誤-原命題成立

逐輜推理

六、本堂思想方法舉反例（證低命題）

規范表達：

知識清單

1.定義：對一個概念作出明確規定的語句叫作這個概念的定義,有時也說“給概念下足

義”.根據概念的定義，就可以準確地判斷一個對象是否屬于這個概念.給概念下定義時要

求語營簡單明了、標準清晰,可以明確地區分這個概念所包含的對象.

2.命題：可以判斷真假的陳述句叫作命題.一個命題要么為真，要么為假，二者必居其

一.3.數學命題的構成：數學命題一般都由條件和結論兩部分組成.

4.真命題：正確的命題稱為真命題；假命題：錯送的命題稱為假命題.

5.互逆命題：一個命題A的條姓是另一個命題B的結論,這個命題A的結論是命題B的

條件,這樣個兩個命題稱為互逆施題，其中一個命題稱為原全題，另一個命題稱為這個命題

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的逆命題.

6.證明：從命題的條件出發,根據一些已知的事實（加概念的定義,基本性質,真命題

等），用“因為……，所以……”的形式一步一步推出命題的結論,從而確定這個命題為真命

題的過程稱為證明.

7.（1）三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于1802.

（2）三角形內角和定理推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.

（3）多邊形內角和定理:，?邊形的內角和等于-2）?180。

（4）多邊形外角和定理：多邊形的外角和等于360。.

（5）平行線的性質定理：平行于同一條直線的兩條直線%i.

8.定理：一般情況下，數學中把一些基軍的、重要的真命題叫作定理.定理可以作為證明

后續命題的依據.

由一個定理直接推出的重要結論，一般叫作這個定理的腿.

9.反證法：通過否定命題的結論,發現了矛盾，從而反過來肯定命題結論成立的證明方法

叫作反證法.

用反證法證明一個命題的步驟一般為：

（1）先假設命題的結論不成立;

（2）從這個假設出發，經過若干步推理，得出矛盾;

（3）由矛盾判定假設不正確,從而肯定原來命題的結論成立.

在說明一個命題是假命題時，常用"舉反例''的方法.舉反例的關鍵是找到一個符合命題及

住，但不符合命題結論的例子.

易錯總結

一、定義概念的理解：

注意：

（1）定義是對一個概念作出明確規定的語句叫作這個概念的定義,這里要求語句要明確，

不能模棱兩可，模糊不清，例如，不能夠使用“一些”，“大概”，“差不多”等詞語.否則就不

能作為一個概念的定義.

（2）定義中通常含有“叫做”“稱為”等詞語.通過這些詞語可以很方便地判斷出這句話是不

是某個概念的定義.

試卷第2頁，共6頁

二、命題的概念和構成：

注意：命題通常由條件和結論兩部分構成.一般情況卜，命題的條件用“如果”，“若”等字樣

引出，命題的結論用“那么”、“則”等字樣引出，若命題中沒有“如果……，那么……”或者

“若……，則……”，那么可以先將命題改寫成“如果……，那么……”或者”若……，

則……”形式，再確定命題的條件和結論.

三、如何說明一個命題是假命題

一個命題如果是真命題，通?？梢圆捎米C明的辦法證明其正確性即可.而如果一個命題如果

是假命題，?般可以采用舉反例的方法來證明是錯誤的，也就是假命題，舉的反例越簡單越

好，一個反例即可.

四、互逆命題的理解

注意：互逆命題中的原命題與逆命題是一個相對的概念，例如命題A的條件是命題B的結

論：命題A的結論是命題B的條件.我們如果把命題A當作原命題,則命題B就是命題A

的逆命題；如果把命題B當作原命題，則命題A就是B的逆命題，這兩個是相對的關系，

就類似于相反數的概念一樣.

易錯訓練

知識點1訓練：定義的概念與識別

1.下列語句中，屬于定義的是（）

A.對頂角相等B.三角形的內角和等于180。

C.數與字母的乘積叫作亙項式D.兩直線平行，內錯角相等

2.下列語句中，屬于定義的是.（填序號）

①三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；

②只有符號不同的兩個數稱為互為相反數；

③你的作業做完了嗎？

④天空真藍啊！

⑤如果兩個角的度數之和等于180。，那么這兩個角互為補角.

3.下列語句中，是命題的是（）

A.兩條直線被第三條直線所截B.兩直線相交嗎

C.過直線外一點作這條直線的垂線D.內錯角相等

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知識點2訓練：正確識別命題

4.下列語句中，屬于定義的是（）

A,兩直線平行，同位角相等B.同角的余角相等

C.垂線段最短D.有一個角是直角的三角形叫做直角三角形

5.下列語句是命題的是（）

A.延長線段48B.垂線段最短C.作直線/D.平行線與垂線

6.下列語句，不是命題的是（）

A.兩點之間線段最短B.連接48兩點

C.任何一個三角形一定有直角D.等角的補角相等

知識點3訓練：命題的構成

7.命題：“兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等請寫出這個命題的題設是.

8.命撅“對頂角相等”的條件是,結論是.

9.命題“兩個相等的角是平行線的內錯角”中的題設是,結論是

知識點4訓練：判斷命題的真假

10.下列命題是真命題的是（）

A.若小二〃二則〃?二〃B.內錯角相等

C.等角的補角相等D.若直線a_Lc,blcf則?！?/p>

11.下列命題，是真命題的是（）

A.過一點有且只有一條直線與已知直線平行

B.相等的角是對頂角

C.同一平面內，垂直于同一直線的兩條直線相互平行

D.兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補

12.下列命題是真命題的是（）

A.若N1=N2,Z2=Z3,貝ljN1=/3

B.同位角相等

C.如果/="2,那么a=6

D.如果直線"_L石，b//c,那么?！╟

知識點5訓練：舉例說明假命題錯誤

13.要說明命題“若〃?<〃，則〃?2<〃2”是假命題，能舉的一個反例是（）

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A.ni=2,n=3B.//z=—1,n=2C.m=-4,〃=3D.w=0,〃=3

14.判斷命題“如果〃<1,那么〃JIvO”是假命題，只需舉出一個反例.反例中的〃可以為

（）

1

A.-2B.——C.0D.1

2

15.下列選項中，可以用來驗證命題“若/>從,則八是假命題的反例是（）

A.a=3,b=2B.a=2?b=3

C.6Z=-3,b=-2D.a=-2tb=-3

知識點6訓練：寫出一個命題的逆命題

16.”如果兩個數相等，那么它們的絕對值相等”的逆命題是.

17.命題“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”的逆命題是.

18.已知命題“若a>b,則/>〃"，寫出這個命題的逆命題.

知識點7訓練：證明一個命題為真命題

19.如圖，點。，E,F分別是三角形力8c的邊8C,CA,彳月上的點，給定以下三個條件:

@DE//BA,@^FDE=^Ax@DF//CA.請從這三個條件中選擇兩個作為條件（放在

已知處），另一個作為結論（放在證明處）組成一個真命題，并進行證明.

已知：,.

求證：.

證明：

20.命題：在同一平面內，垂直丁同一直線的兩條直線互相平行，畫出圖形，寫出該命題的

已知、求證，并證明.

21.如圖，有如下四個論斷:①4C〃OE：②。。〃所；③CZ）平分N8。：④E/平分NBEQ,

請你選擇四個論斷中的三個作為條件，余下的一個論斷作為結論，構成一個正確的數學命題

并證明它.

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B

知識點8訓練：關于定理的說法判斷

22.下列語句中，屬于定理的是（）

A.在直線上取一點￡

B.如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角

C.作射線48

D.同角的補角相等

23.下面關于公理和定理的說法正確的是（）

A.公理是真命題，但定理不是B.公理就是定理，定理也是公理

C.公理和定理都可以作為推理論證的依據D.公理和定理都應經過證明后才能使用

24.下面關于公理和定理的說法不正確的是（）

A.公理和定理都是真命題

B.真命題可能是定理

C.公理就是定理，定理也是公理

D.公理的正確性不需證明，定理的正確性需證明

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1.c

【分析】本題考杳了定義的概念，熟記定義的概念是解題的關鍵.根據定義的概念判斷即可.

【詳解】解：因為A、B、D中的語句是對一件事做出了判斷，沒有明確規定，

所以都不是定義，只有C是定義.

故選：C.

2.②⑤

【分析】此題考查了定義，根據相反數、補角的定義和對頂角、鄰補角、三角形的外角性質

判斷.

【詳解】解：①三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，不屬于定義：

②只有符號不同的兩個數稱為互為相反數，屬于定義；

③你的作業做完了嗎？，不屬于定義；

④天空直藍?。?不屬干定義：

⑤如果兩個角的度數之和等于180。，那么這兩個角互為補角，屬于定義.

故答案為：②⑤.

3.D

【分析】命題的定義：判斷?件事情的語句叫做命題.

【詳解】解：A選項兩條直線被第三條直線所截沒有對事情作出判斷，不是命題.

B選項兩直線相交嗎是疑問句，未對事情作出判斷，不是命題.

C選項過直線外一點作這條直線的垂線是作圖描述，未對事情作出判斷，不是命題.

D選項內錯角相等對兩直線被截所得內錯角的關系作出了判斷，符合命題的定義，是命題.

4.D

【分析】定義是對某一名稱或術語的含義作出明確規定的語句，據此逐項判斷即可求解.

【詳解】解：A、兩直線平行，同位角相等是平行線的性質定理，不是定義；

B、同角的余角相等是經過證明的定理，不是定義：

C、垂線段最短是基本事實，不是定義；

D、有一個角是直角的三角形叫作直角三角形，對直角三角形的含義作出了明確規定，屬

于定義.

5.B

【分析一］根據命題的定義逐一-判斷各選項即可.

【詳解】解：A、“延長線段是操作描述，沒有對事情作出判斷，不是命題：

答案第1頁，共8頁

B、“垂線段最短”對線段長度的性質作山r判斷，符合命題的定義，是命題；

c、”作直線廠是操作指令，沒有對事情作出判斷，不是命題；

D、“平行線與垂線”是兩個幾何名詞，沒有對事情作出判斷，不是命題.

6.B

【分析】命題是判斷一件事情的語句，解題只需根據定義逐一判斷選項即可.

【詳解】解：選項A,C,D都對對應事件作出了明確為斷，都屬于命題：

而選項B連接48兩點只是作圖操作指令，沒有對任何事件作出判斷，不屬于命題.

7.兩條平行線被第三條直線所截

【分析】命題的一般敘述形式為“如果……那么……”，其中"如果”所引出的部分是題設，“那

么”所引出的部分是結論.

【詳解】解：命題“兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等“可改寫為“如果兩條平行線

被第三條育線所截，那么同位角相等“，因此坡個命題的題設為兩條平行線被第三條直線所

截.

8.兩個角是對頂角這兩個角相等

【分析】根據命題的概念，命題可改寫為“如果…那么…”的形式，“如果''引出的部分是條件,

“那么'’引出的部分是結論，據此拆分即可得到結果.

【詳解】解：命題“對頂角相等”可改寫為：如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等.其中

條件是兩個角是對頂角，結論是這兩個角相等.

9.兩個相等的角這兩個角是平行線的內錯隹

【分析】本題考查命題，解題的關鍵是能分清一個命題的題設與結論.

命題由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項.該命題可

以改寫成“如果…那么…''的形式，從而確定題設和結論.

【詳解】解：將命題“兩個相等的角是平行線的內錯角”改寫成“如果兩個角相等，那么它們

是平行線的內錯角”，

所以題設是“兩個相等的角”，結論是“這兩個角是平行線的內錯角

故答案為：兩個相等的角，這兩個角是平行線的內錯角.

10.C

【分析】根據相關數學定義，性質逐一判斷各選項即可.

【詳解】解：時，可得〃?="或"=一〃，例如鹿=2,〃=-2滿足/=吊但加工〃，

??.A是假命題，不符合題怠：

答案第2頁，共8頁

???只有兩條平行直線被第三條直線所截，得到的內錯角才相等，命題缺少“兩直線平行”的前

提條件，

??.B是假命題，不符合題意；

設兩個相等的角為。它們的補角分別為180。-。和180。一6，

,:a=B、

.-.180o-a=180°-/?,即等角的補角相等,

??.C是真命題，符合題意；

???命題未說明在同一平面內，不在同一平面時，直線。得不到。〃力，

??.D是假命題，不符合題意.

11.C

【分析】根據對?頂角定義，平行公理，平行線的判定與性質，逐個判斷各選項命題的真假即

可.

【詳解】解：A、過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行，若點在已知直線上,

不存在與已知直線平行的直線，故A是假命題，不符合要求；

B、對頂角相等，但相等的角不一定是對頂角，例如兩個直角三角板的直角相等，并非對頂

角，故B是假命題，不符合要求；

C、同一平面內，垂直于同一直線的兩條直線，與已知直線形成的同位角都是90。，根據同

位角相等，兩直線平行，可判定兩條直線平行，故C是真命題，符合要求；

D、只有兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內角才互補，任意兩條直線不滿足該結論,

故D是假命題，不符合要求.

12.A

【分析】根據等量代換，平行線的性質，平方的性質，逐一判斷各命題真假，即可得出結論.

【詳解】解：A、若Nl=/2,/2=/3,則N1=N3,原命題是真命題，符合題意；

B、只有兩直線平行時，同位角才相等，原命題是假命題，不符合題意：

C、如果白2=/,則a=b或。=-8，原命題是假命題，不符合題意；

D、如果直線］_L%,b//c,那么。_Lc,原命題是假命題，不符合題意：

13.C

【詳解】解：選項A：〃?=2,〃=3,滿足2<3,且”=4<9=32，滿足結論，不是反例；

選項B："7=-1,〃=2,滿足-1<2,且（-1『=1<4=2?,滿足結論，不是反例：

答案第3頁，共8頁

選項C：〃?=-4,〃=3,滿足-4<3,但(-4)2=16>9=3。不滿足結論，是符合要求的反

例；

選項D：加=0,〃=3,滿足0<3,且0，=0<9=32，滿足結論，不是反例.

14.A

【分析】本題考查了舉反例解題，準確從條件;結論兩個角度去判斷解題是解題的關鍵.先

比較大小，確定滿足條件的數，再代入計算判斷即可.

【詳解】解：當〃=一2時，滿足一2<1,但是n2-l=3>0,

故A符合題意；

117

當〃=一7時，滿足一7VI,但是〃2-1=一;<0,

224

故B不符合題意；

當〃=0時，滿足0<1,但是〃2-l=-]O,

故C不符合題意；

,?,1不符合條件〃<1,

??.D不符合題意；

故選A.

15.C

【分析】本題考查命題與定理.反例就是符合已知條件但不滿足結論的例子，可據此判斷出

正確的選項.

【詳解】解:能說明命題“若/>〃，則口>6”是假命題的只有。=-3,b=-2,此時解>從,

但a<6,

故選：C.

16.如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個數相等

【分析】交換原命題的題設與結論即可得到原命題的逆命題.

【詳解】解：“如果兩個數相等，那么它們的絕對值相等''的逆命題是“如果兩個數的絕對值

相等，那么這兩個數相等”.

17.到線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線I：

【分析】交換原命題的題設與結論，即可得到原命題的逆命題.

【詳解】解：原命題“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等“中，

題設為“點在線段的垂直平分線上”，結論為“該點到線段兩端的距離相等“，

答案第4頁，共8頁

交換題設與結論后，得到逆命題為：到線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線匕

18.若則a>6

【分析】本題考查的是寫出命題的逆命題，通過互換原命題的條件和結論，即可解題.

【詳解】解：原命題是“若則根據逆命題的定義，將條件和結論

22

“《2>從”互換,得到逆命題“若a>bt則a>b”.

故答案為：若/>/,則“〉方

19.見解析

【分析】本題考查平行線性質和判定，根據題意選擇兩個作為條件，另一個作為結論組成一

個真命題，并結合平行線性質和判定進行證明，即可解題.

【詳解】解：（答案不唯一）己知：DE//BA,DF//CA,

求證："DE=N4.

訐明：?/DE//BA.

:"FDE=/BFD（兩直線平行，內錯角相等）.

???DF//CA,

:Z=NBFD（兩直線平行，同位角相等），

/.ZFDE=4.

已知：?！辍v1,/FDE=/A,

求證：DF//CA.

證明：DE//BA,

:.NFDE=/BFD（兩直線平行，內錯角相等）.

???4FDE=ZJ,

:Z=NBFD（等量代換）.

DF//CA（同位角相等，兩直線平行）.

已知：DF〃CA,N尸短

求證：DE//BA.

證明：DF//CA,

:.^A=^BFD（兩直線平行，同位角相等）.

?「ZFDE=NA,

：./FDE=/BFD（等量代