高考數學 解析幾何 直線的方程及位置關系 （學生版）

解析幾何

直線的方程及位置關系

激活思維

1.（教材經典題改編）如圖，直線312,/3的斜率分別為心，k2,k3,貝l」（）

A.k\<k2<k3B.h<k\<ki

C.k3—\D.k\<h<ki

2.（教材經典題改編）已知直線/過點（一1,2）,且與直線2工一3），+4=0垂直，

則/的方程是（）

A.3x+2y—1=0B.3x+2y+7=0

C.2x—3y+5=0D.2x—3y+8=0

3.（教材經典題改編）己知點A（a,2）（心0）到直線/：x-y+3=0的距離為1,

則。=（）

A.y[2B.2-也

C.也一1D.也+1

4.直線y=一坐x一3的一個方向向量的坐標為（）

A.（1,0）B.（1,1）

C.（1，用D.（3,一審）

5.（教材經典題改編）（多選）若直線辦+2＞一6=0與4+①-1=0平

行，則。的值可能是（）

A.2B.

C.-2D.1

聚焦知識

1.直線的傾斜角

(1)定義：當直線/與X軸相交時，取X軸作為基準，X軸正向與直線

/_________之間所成的角叫做直線/的傾斜角.當直線/與X軸平行或重合時,

規定它的傾斜角為0。.

(2)范圍：直線/的傾斜角的取值范圍是________.

注意：傾斜角從“形”的方面直觀地描述了直線對x軸正方向的傾斜程

度.每條直線都有唯一確定的傾斜角.

2.斜率公式

(1)若直線/的傾斜角aW90。，則斜率攵=.

(2)若Pl(xi,yi),P2(X2,)，2)在直線/上且加不也，則/的斜率攵=.

注意：如果且JQHK,則直線與x軸平行或重合，斜率等于0;如果

”中)“且X2=?,則直線與x軸垂直，傾斜角等于90。，斜率不存在.

3.直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

點斜式—不含直線x=xo

斜截式—不含垂直于X軸的直線

y~y\x-x\

兩點式y2-y\X2~x\不含直線1=箱和直線y=yi

(xiWx2,yiWyz)

不含垂直于坐標軸和過原點的直

截距式

線

一般式—平面直角坐標系內的直線都適用

4.兩條直線平行與垂直的判定

(1)平行：對于兩條不重合的直線/i,b,其斜率分別為h,kz,則有/i〃/2

0,特別地，當直線八，/2的斜率都不存在時，人與/2平行.

(2)垂直:如果兩條直線/],/2的斜率都存在,設為kl,fa,則/|I/2<=>

.特別地，當一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時，兩條直線

垂直.

5.三個距離公式

(1)點點距:兩點尸1(X1,)，1),尸2(X2,y2)之間的距離為|P1P2|=1

(2)點線距：平面上任意一點Po(xo,yo)到直線/：Av+By+C=0的距離△=

(3)線線距：兩條平行直線k4x+8)，+G=0,/2：Ar+By+C2=0之間的

距離d=.

6.常用結論

(1)“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正，可負，也可以是零，

而“距離”是一個非負數.

(2)對于直線4x+8)，+G=0,A沈+82)，+。=。："兩直線平行”的充要

條件是“482=45且；“兩直線垂直”的充要條件是條也+

8|比=0”.

(3)直線4+母+。=0(屋+82之0)的一個方向向量為。=(—8,A).

題型突破思維拓展

▲

舉題說法

目幀H直線的方程

例1(1)已知直線/的斜率為小，在)，軸上的截距為另一條直線x—2y—4

=0的斜率的倒數，則直線/的方程為()

A.y=y[3x-\~2B.y=y[3x~2

C.尸D.y=-y[3x~\~2

(2)在△4BC中，已知點A(5,-2),B(7,3),且AC邊的中點用在)，軸上，

8c邊的中點N在x軸上，則MN所在直線的方程為()

A.5x—2廠5=0B.2x—5廠5=0

C.5x-2y+5=0D.2x~5y+5=0

?總結根燎》

求直線方程的兩種方法：（1）直接法，根據已知條件，選擇適當的直線方程

形式，直接寫出直線的方程.（2）待定系數法：設所求直線方程的某種形式，由

條件建立所求參數的方程（組），解這個方程（組）求出參數.

變式1（1）過點（3,—4）且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是________

（2）（多選）若直線/經過點（4,-2）,且/與坐標軸圍成的三角形面積為2,則

/的方程可能是（）

A.x一廠2=0B.2x+y—6=0

C.x+y—2=（）D.x+4y+4=0

目標IM兩直線的位置關系

例2（多選）設a為實數，直線/i：or+2@+1=0,/2：（a—l）x—（a+1）），一

4=0,則（）

A.當。＞0時，人不經過第一象限

B./|〃/2的充要條件是

C.若/I_L/2,則。=-3或。=（）

D./2恒過點（2,2）

＜總結提燎》

當含參數的直線方程為一般式時，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜

率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時還要注意占了的

系數不能同時為零這一隱含條件.

變式2若三條直線/i：4x+y=3,/2：x+y=0,h：x—my=2不能圍成三

角形，則實數機的取值有（）

A.2個B.3個

C.4個D.5個

目幀閨距離問題

例3(1)原點0(0,0)到動直線/：(〃z+l)x+(2m—1))，-3m=0(m￡R)的距離

的最大值為.

(2)若直線，：加x—y+l=0與直線力：6x—2y—〃=0平行，且乙與乙間

的距離為雪'，貝ljm;?=.

乙

?總結提燎A

使用距離公式時應注意：(1)點P(n,泗)到直線X=4的距離4=加一小到

直線的距離d=|和一例；(2)應用兩平行線間的距離公式時，要把兩直線方

程中x,y的系數化為對應相等.

變式3若非零實數對(小份滿足關系式|4+人+1|=|7〃一78+1|=5亞奇，

則戶--------

目標固對稱問題

例4(1)已知直線/：2%—3)，+1=0,點A(-l,-2),直線/關于點A對■稱

的直線/'的方程為.

(2)已知點P在直線y=x+3上，點3(1,0),5(3,0),則附|+|「身的最小值為

()

A.也B.5

C.A/42D.2^13

(3)已知直線k3x—4y—4=()關于直線/2的對稱直線為y軸，則人的方程

＜總結提燎A

對稱問題的求解策略

(1)解決對稱問題的思路是利用待定系數法將幾何關系轉化為代數關系求

解.

(2)中心對稱問題可以利用中點坐標公式解題，兩點軸對稱問題可以利用垂

直和中點兩個條件列方程組解題.

變式4已知點P(a,Z?)在直線x~y=O上，則4〃+/—2〃+2b+2+

[5—2)2+人的最小值為()

A.小B.?

C.2小D.2回

隨堂內化

1.若直線人or+2)，=0與直線/2：x+g+l))，+4=0平行，則實數。的值

為()

2

A.-2B.1

C.,或1D.-2或1

2.(2025?馬鞍山一模)設點A(2,1),3(—2,3),若直線如+)，+1=0與線

段沒有公共點，則實數。的取值范圍為()

A.(-8,-1)B.(-2,1)

C.(-1,2)D.(1,4-oo)

3.在x軸上求一點P,使以4(1,2),8(3,4)和尸為頂點的三角形的面積為10,

則點P的坐標為.

4.已知兩點A(—4,8),3(2,4),點C在直線y=x+l上，則|AC]+|3cl的最小

值為.

配套精練

一、單項選擇題

1.（2025?新余一模）已知直線/的方程為），=（—〃2+1）工+4則直線/的傾

斜角的取值范圍為（）

\兀]「兀兀、

A.[0,4jB.卬2）

C.D，機修JD.[o,電住兀）

2.（2025?濟南一模）若直線自：（用-2）x+3y+3=0與直線，2：2x-\-（m-\）y

+2=0平行，則，〃=（）

A.4B.-4

C.1或一4D.一1或4

3.若兩條平行直線21一)，+3=0和or-3y+4=0間的距離為4則①d分

別為()

A.ci—6,d—3B.ci——6,d—

「(，苴n，一I小

C.〃=-6,d=3D.。=6,a=3

4.（2025?佛山二模）在平面直角坐標系g中，曲線C：號1+與=1的周長

為（）

A.12B.14

C.16D.20

5.己知三條直線/i：y=x+l,I2：y=-2r+4,A：，wx+y+1=0不能圍成

三角形，則實數機的取值集合為（）

A.{1?—2}B.{1，12,3}

C.{—1?2,—3}D.{-I?2}

6.（人A選必一P80Tl5）若cABCD的四條邊所在直線的方程分別是/i：x一

4y+5=0,b：2r+y—8=0,h：x—4y+14=0,IA：2x+y+l=0,則0ABeD的

面積為（）

A.9B.12

C.15D.18

7.若直線k2x-y+l=0與x軸交于點4直線，2：工一3)，-3=0與x軸

交于點B,直線/］與/2交于點尸，則/AP8=()

A?12B.6

5兀匹

C.72D.4

8.設直線/：x+y—1=0,一束光線從原點O出發沿射線》=丘(12())向直

線/射出，經/反射后與x軸交于點M,再次經1軸反射后與y軸交于點N.若

I歡=隼，則出的值為()

3「2

A.2B.

C.zD.2

二、多項選擇題

9.已知直