高一數學寒假特訓突破講義

(一)用二次函數解一元二次不等式

學習的必要性：《一元二次不等式的解法》這部分內容體現了“二次函數、一元二次方程與一

元二次不等式”三個“二次”之間的關系，蘊含著歸納、轉化、數形結合等豐富的數學思想方

法，能培養學生的觀察能力、概括能力、探究能力及創新意識。

【二次函數】

1.二次函數的定義

我們把形如y+bx+c(a*0),定義為二次函數.

2.二次函數的圖像性質

在二次函數y=+c中，二次項系數。決定了圖像的開口方向和開口大小.

當Q〉0時，函數y=+6x+c圖像開口向上，當。＜0時，函數y+&+c圖像開口向下;

對禰軸方程為直線x=頂點坐標(-2,%也)；

2a2a4。

3.二次函數的三種解析式形式

1)一般式：y=ax2+bx+c(a0)；

2)頂點式：y=4(x+/7)2+〃("0),其中頂點坐標為(-兒攵)；

3)交點式：y=a(x-)(x-x2)(a*0),其中再是二次函數圖像與％軸交點的橫坐標.

【知識清單】

1.一元二次不等式的定義：

把形如o?+加:+c>0（20）或ai+bx+ccO於0）的不等式（其中Q工0）,稱為一元二次不等

式.（特點：只含一個未知數，并且未知數的最高次數為2.）

3.“三個二次”之間的關系

三個“二次”b2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0

y\/:y

y=ax2+bx+cy

的圖像

陽'、XxoXX

ax2+bx+c=O-6-VA-b+VZ'b

x.=-----,=-----X\=X2=-—

的解2a22a2a無實根

ax2+bx+c>0{xIX>或^<Xl}

{x\x^~}R

的解集大于取兩根之外2a

ax2+bx+c<0{xIX]<x<x}

2?

的解集小于取兩根之間

3.解一元二次不等式的步驟

①壬二次項系數化為正數（化簡）；

②解對應的一元二次方程（解方程）；

③艱據方程的根，結合不等號方向及二次函數圖象（看圖像）;

④得出不等式的解集（寫解集）.

4.解含參不等式

\a>0

（1）加+bx+c>0（存0）恒成立一v0

（2）我2+瓜+。〈0（。￥0）恒成立01/<0

【例題選講】

1.解下列一元二次不等式

①（x-2）（x+3）>0②(5-1)&+4)218

2

@-X2-X+20<0?3?+5x-2>0

⑤9/_6工+120@X2-4X+5>0

2.解不等式（1與“,』+6w1（_LlF+6

22

3.已知不等式4爐+加:+，<0（存0）的解集是R,則（）

A.QVO,A>0B.QVO,A<0

C.4>O,A<0D.40,A>0

4.若關于x的不等式。r+法+2>0在R上恒成立，求實數。的取值范圍.

3

5.解關于x的不等式ax2-(a+1)x+l<0.

【鞏固訓練】

1.求下列一元二次不等式的解集.

(1)(5+2x)(3-x)<0(2)3X2-7X>10(3)4x2+8x+3<0

(4)-2X2+6X-5<0(5)2A2-6X+5<0(6)-x2+4x-4>0

(7)x2-4x+4>0(8)X2-4X+4>0

2.解關于x的不等式——（。+1）.丫+。20.

4

（二）三角函數（1）

一：任意角與弧度制

1、任意角：正角：按逆時針方向旋轉所成的角；負角：按順時針方向旋轉所成的角。

2、象限角：角的頂點與原點重合，始邊與X軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，稱為

第幾象限角.

7TJT

第一象限角：2^,2^+-,第二象限角：2%乃+不,2%乃+乃，ksZ,

第三象限角：2k7T+兀,2k/+《，ksZ,第四象限角：2版?十萬,2打r+2/r,keZ.

終邊在x軸上的角：{。|。=而，AwZ},終邊在>軸上的角：,aa=Qr+],%wZ,,終邊在坐

標軸上的角的集合為1。夕=7，keZ：

3、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度，弧度制與角度制的換算公式：2%=360',

71’180、

1°=?57.3\

180k71）

4、若扇形的圓心角為a（a為弧度制），半徑為，弧長為/,周長為C,面積為S,則/=廠同,

C=2r+/,S=—lr--|6r|r2.

2211

【例題】

例1.在半徑為10的圓中，240°的圓心角所對弧長為（）

4020

AA.nBD.兀

33

「2006400

C.nD.7i

33

例2.與30。角終邊相同的角的集合是（）

71

A.\aa=k^+-,k^Z\B.{a|a=2E+30。，kGZ}

6

C.{a|a=2^-360°+30°,〃￡Z}D.'=2左萬+￡,kcZ>

6

5

例3.若2弧度的圓心角所對的弧長為4cm,則這個圓心角所對的扇形面積是（）

A.4cm2B.2cm2C.4Hcm2D.2TIcm2

二：任意角的三角比

1、設。是一個任意大小的角，。的終邊上任意一點P的坐標是（羽力,

它與原點的距離是＞0）,則sina=：,cosa=：,

y,、

tana=（xwO）.

x

2、三角函數線：sincr=MP,cosa=OM,tan?=AT.

【例題】

例1.已知角。的終邊過點（一1,2）,則cos。的值為（）.

A石口2石「261

A.———B.-----C.-.......nD.——

5552

例2.已知a是第一象限角，Pg5）為其終邊上一點，且cos〃=，x,則丫等于（

)

A.3B.±3C.-2D.-3

例3.若一個。角的終邊上有一點P（—4,a）且sina?cos立，則。的值為（）

4

A.4也B.±4\/3C.-4百或-D.百

三：三角公式

1、同角三角比：(l)sin2a+cos2a-1(sin2a=1-cos2a,cos2a=1-sin2a)；

小sinor(.sina

(2)-------=tanasina=tanacosa,cosa=-------.

cosaktanaJ

2、誘導公式：(口訣：奇變偶不變，符號看象限.)

(l)sin(2A;r+a)=sina,cos(2左乃+a)=cosa,tan(2k7i+)=tancz(Z:eZ).

(2|sin(^+a)=-sina,cos(^4-a)=-cosa,tan(〃+&)=tana.

(3)sin(-a)=—sina,cos(-ct)=cos?,tan(-?)=-tantz.

(4jsin(九-a)=sina,cos(^-a)=-coscr,tan(萬一a)=Tana.

)sin——a=cosa,cos--a=s\na.

?UJ(2

(6)sin工+a-cos"=-sina.

2)(2)

6

3、兩角和差

(1)cos(or±=cosacos/?+sin?sinp

(2)sin(?±/?)=sincrcos/?±cos?sinp

(3)tan』)」a±tan.

l+tan?tan/7

4,二倍角：(1)sin2a=2sinacosa.

(2)cos2cr=cos2cr-sin2?=2cos2cr-1=l-2sin2a

2cos2e+l.21-cos2a、

(cosa=--------,sina=---------).

22

2tana

(3)tan2a=

l-tan2a

b

5、輔助角公式：qsinx十。cosx=d，+b?sin（x十e），其中sin*-/,COS(P-/.

J/+/\la2+b2

【例題選講】

1.sin585。的值為（）

22-33

A.-B.C,D.

2222

2.若sin（0+m＜0,cos（。一兀）＞0,則。在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

12

3.若cos（7t+a）=—2，2兀＜。＜2兀,則sin（27t+a）等于（）

133—3

A.B.土C.D.

2222

4.已知si喏+a）=*,則si吟-。）的值為（）

5.設a為銳角，若cos[a+￡]=g,貝依小上口+3]=_____

I6）5I12；

6.；sin15°cos15°的值等于（）

A.1B.1C.1D.1

48162

7.設函數/（》）=45皿工一685短）工0）圖像的一條對稱軸方程為^=?,貝ij直線QX-如+c=0的傾

斜角為______t

三角函數（2）

正，余弦函數圖像及性質

1.正弦函數：奇函數，定義域為R,值域為［-川，周期為2萬，在-5+2?弓+2H遞增,

在—F2%乃,---卜2k7T遞減；

2.余弦函數：偶函數，定義域為R,值域為周期為2〃，在［-乃+2攵乃,2反］遞增，在

［2攵;r,乃+2AN］遞減；

TT

3.正切函數：奇函數，定義域為卜X*版■+E，%WZ卜值域為&,周期為萬，在

一工+%乃,工+%乃］遞增；

22）

4.函數y=%sin（g+0）（力>0,a）>0）：

27rI/?）

①振幅：A；②周期：T=--；③頻率：J=-=--.④相位：cox-\-（p.

a）T2萬

⑤初相：8.函數y=Asin（0x+e）+B,當工=歷時，取得最小值為乂而；當x=G時，取得

11T

最大值為八ax,則人=弓（少2一八而）,8=5（八2,+外出），弓=》2）?

4乙乙

3、函數y=sinx到到函數丁=Asin（3+e）的圖象：

①向左（右）平移倒個單位，再將圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的,倍（縱坐

CD

標不變），再將所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的A倍（橫坐標不變）.

②將所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的,倍（縱坐標不變），再將圖象上所有點向左（右）

G）

平移回個單位長度，再將圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的A倍（橫坐標不變）.

co

8

【例題選講】

例1.求下列函數的周期

,rJr

(1)y=s\n-x(2)y=2sin(-------)

236

例Z求函數12，皿57）的單調區間.

例3.寫出函數^=$皿2工+￡）圖象的對稱軸方程與對稱中心坐標.

例4.用五點法作y=2sin2x的圖象時，首先應描出的五個點的橫坐標是（）

冗冗3冗

40、3、兀、f2幾B.0,一,一,—、7i

424

八八)乃42〃

C.0,乃,2乃,3萬,4萬D.0,—,—

6323

例5.用“五點法”作出函數y=3—cosx的圖像，下列點中不屬于五點作圖中的五個關鍵點的

是（）

A.（Ji,-1）B.（0,2）C.停3）口.仔，3、

例6.求函數》=cosx,xG的單調區間和最值.

例7.函數y.=sinx和y=cosx都是減函數的區間是()

TTr

A.2Avr+—,2%萬+)(keZ)B.2%乃,2女乃十：(keZ)

22

C.2k7v+7r,2k7r+^-(keZ)D.2k7r+^-,2k7r+2/r(kGZ)

9

例8.己知函數f(x)=3+2cosK