復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義（提升練）解析版

第七章復(fù)數(shù)

7.3.2復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義（提升練）

一、單選題(共5小題，滿分25分，每小題5分)

1.i(cos300+Zsin300)x2(cos600+zsin600)x3(cos450+zsin450)=()

、3&3衣.“3立3頁.?3夜3夜.3&3走.

A.------4---------1B.-----------------1C.-----------1-------1nI).-------------------1

22222222

【答案】C

【解析】(cos30°+isin300)x2(cos60°+/sin60°)x3(cos45°+zsin45°)

=gx2x3[cos(30。+600+45。)+isin(30°+60°+45°)]

=3(cosl35°+Zsinl35°|

.巫+巫i故選：C.

22

3(cos2700+/sin27(r)

2.計(jì)算1=一；―-；―不的結(jié)果是()

cos(-90)+isin(-90)

3

A.-9B.9C.-1D.1

【答案】B

【解析】

3(cos2700+zsin270)

T：_；----：-------；------二9「cos(270°+90。)+zsin(270°+90°)]

，；

I[cos(-90)+/sin(-90)]LV〃

=9(cos360+zsin360]=9.故選：B

Jrjr

3.復(fù)數(shù)z=cos百+isin不是方程d一。二0的一個(gè)根，那么。的值等于（）

百1^3.「石I.n16.

A?‘'+—I1R5?G?---.-iD?———''i

22222222

【答案】B

【解析】由題意得，a=cos—4-/sin—=cosX+sin乙='+正j.故選：B

I1515j3322

4.將復(fù)數(shù)1+Gi對(duì)應(yīng)的向量ON繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)g，得到的向量為。叫，那么

0乂對(duì)應(yīng)的更數(shù)是（）

A.^3—zB.+iC.—^3-iD.—\f3+i

【答案】A

[解析】復(fù)數(shù)l+6i的三角形式是21cos曰+/sin，向量0N\對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是

[Jj）

71.7l\

cos—+sin-

33)

=J5-i故選：A

71

cos-+z.si.n71

22

______TT57r

5.把復(fù)數(shù)z,與a對(duì)應(yīng)的向量0408分別按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一和一后，重合于向量0M且

43

模相等，已知Z2=-l-6"則復(fù)數(shù)4的代數(shù)式和它的輻角主值分別是（）

A.-右一右，—B.-V2+V2/,—C.-V2-V2/,-D.-0+01,

4444

【答案】B

7T..7T\57D4T...5萬

【解析】由題可知Z]cos—+zsin—=z2cos—+/sin

I44y\333

/5萬..5%、4%..4萬、,5"..5〃、

z2(cos——+zsin——)2(cos——+zsin——)(cos——+zsin——)

則為=

7171..4

cos—十，sincos-1-zsm-

4444

-20_—2-72(1—z)

-2

“夜+":2(c°s.3兀

"二7Tk1+!(l+z)(l-z)4-Zsin—)

----F——I44

22

可知Z1對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為則它的輻先主值為故選：B.

二、多選題（共3小題，滿分15分，每小題5分，少選得3分，多選不得分）

6.歐拉公式64=以^夕+，力］。把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)%虛數(shù)單位1,三角函數(shù)聯(lián)系在一起,

充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.若復(fù)數(shù)z==普，則忖不可能為（）

A6

B.1C.V2D.2A/2

2

【答案】ABD

2ei/r2(cos/r+isin不)

z=-------=V2(cos—+zsin

【解析】由題意得,T+'行(cos3萬..34)4

-f-zsin

74

所以|z|=J(—l)2+(—l)2=0,故選：ABD

7.設(shè)zi、Z2是復(fù)數(shù)，argz)=a,argz2=3,則arg（z）?Z2）有可能是下列情況中的（）

A.a+BB.a+B-2n

C.2JT—(a+B)D.JI+a+8

【答案】ARC

【解析】因?yàn)閏irgzi=Q,argz2=B,所以aG[0,2n),Bw[0,2")，而arg(zi^2)￡[0,2

兀)，則當(dāng)Q+BW[0,2n)時(shí)，arg(z-Z2)=a+B；當(dāng)a+B￡[2n,4克)時(shí)，a4-p—

2nG[0,2n),則arg(z?z2)=a+3—2/；當(dāng)a+B=n時(shí)，2冗一(a+B)=n=a

+B,此時(shí)arg(zi?Z2)=Q+B=2又一(a+B),故選：ABC.

8.任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+次(其中。、bwR,i為虛數(shù)單位.)都可以表示成：

z=r(cos<9+isin，)的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式.法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：

z"=[r(cosO+isin。)]'=/(cos〃0+isin〃0)(〃￡M.),我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理.

根據(jù)以上信息，下列說法正確的是()

A.z2|=|z|2

TT

B.當(dāng)廠=1，時(shí)，3=1

Jz

c.當(dāng)廠=1，9=g時(shí)，z=---i

322

D.當(dāng)廠=1，8=:時(shí)，若〃為偶數(shù)，則復(fù)數(shù)z”為純虛數(shù)

4

【答案】AC

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，z=r(cos6+，sin。)，則z?=/(cos2g+isin2〃)，可得

z2|=|r2(cos2^+/sin2^)|=7-2,|z|2=|r(cos^+zsin^)|~=r2,A選項(xiàng)正確：

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)廠=],6=工時(shí)，

3

z3=(cos^+/sin^)3=cos3^+zsin3^=cos^+/sin.T=-l，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)r=1,。=乙時(shí)，z=cos—+/sin—=—+-^-z?則z=C選

3332222

項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，z"=(cosO+isin。)"=cos〃e+isin〃6=cos^+ising^,

取〃=4,則〃為偶數(shù)，則z*=cos4+isin〃=—l不是純虛數(shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.

三、填空題(共3小題，滿分15分，每小題5分，一題兩空，第一空2分)

9.2(cos2100+isin210°)x5(-sin3004-isin60°)=(用代數(shù)形式表示).

【答案】573-51

【解析】2(cos2100+isin210°)x5(-sin300+isin60°)

=10(cos210°+isin210°)x(cos120°+isin1200)

=10[cos(2100+120。)+isin(210°+120°)]

=10(cos33004-isin3300)=10=5百-5i.故答案為：5jJ-5i.

10.如果向量OZ對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)由，0Z繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45后再把模變?yōu)樵瓉淼?/p>

倍得到向量，那么與04對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(用代數(shù)形式表示).

【答案】-4+4Z

【解析】?/4/=4(cos90+zsin90).

所求復(fù)數(shù)為

4(cos90+sin90)x72(cos45+z'sin45)

=4>/2(cos135J十isin135)=4近

I22J

故答案為：-4+4/.

11.一般的，復(fù)數(shù)都可以表示為z=4cos，+isin。)的形式，這也叫做復(fù)數(shù)的三角表示,

17世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家棣莫弗結(jié)合復(fù)數(shù)的三角表示發(fā)現(xiàn)并證明了這樣一個(gè)關(guān)系：如果

4=4(cosqIisin4),z2=r2(cos02IisinQ)，那么

汜=皿［cos（q+a）+，sin（a+劣）］，這也稱為棣莫弗定理.結(jié)合以上定理計(jì)算:

Ji0^cos^4-/siny^xx/2^cos-j4-/sin^=_______.(結(jié)果表示為a+4，a/wR的

形式)

【答案】-回+Mi

【解析】

VIS(cos%+isinylx&(cos^+zsin=

^VlOxV2jcos(]+?4-zsin^y+-^=>/20cos^+/sin^

=V20xf--+—zL-Vio+Vioz.

22

故答案為：-M+Mi.

四、解答題：（本題共3小題，共45分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

12.計(jì)算下列各式，并作出幾何解釋:

\1.)

(1)2(cos75+zsin75)x

(22

37r..3n

(2)4(cos300+zsin300)4-V2cos——+2sin——

44J

」+迫力J2R0S生+isin2

22(33

【答案】（1）見+顯i，幾何解釋見解析（2）_（石+1）+（6_1?,幾何解釋見解

22

析（3）,+正3幾何解釋見解析

44

【解析】(1)原式二2(cos75"+isin75)xV2fV2V2?

222

=2(cos75+sin75)x等(cos315+sin315)

田+“二逅十月.

=>/2(cos390十Zsin390)=\[2x

2222

幾何解釋：設(shè)Z[=2(cos750+isin75),Z2=￥(cos315°+sin315)，

作與4金對(duì)應(yīng)的向量O/oz?，然后把向量OZi

繞原點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)315°,再將其長度縮短

為原來的弓，得到一個(gè)長度為近、輻角為己的

向量OZ，則OZ即為積z?Z2=*+乎i所對(duì)應(yīng)的向量.

cos—]]

(2)JV,=4|cos—+isin—.

I33)44JJ

cos業(yè)+isin業(yè)71..乃

=2叵=25/2x-cos—+/S1I1一

12121212J

[^^+^^1=一(石+l)+(4f.

=2V2x

44

A54..

幾何解釋：設(shè)馬=4(cos300+/sin300)=4cos——+/sin——，

33

3乃..3rr

Z2=y/1cos—+isin——作與4*2對(duì)應(yīng)的向廿OZ-OZ?，

44J

3兀

然后把向量。4繞原點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)優(yōu)再將其長度

縮短為原來的松，得到一個(gè)長度為2五，輻角為m的向量0Z，

則QZ即為五=一（6十1）十（百一1）’所對(duì)應(yīng)的向量.

Z2

bI、(27r..2乃)JTC..7TC

(3)原式二|cos---FIsin—+2cos—Fisin一

(33J(33：3J

71..萬1

cosi-zsm—=-X

n

23342244

?n2萬..2乃J7TTC..77T1]

幾何解釋：設(shè)4=一上=cos---FIsin—?z=2|cos—hisin—|,

2233I33)

作與4*2對(duì)應(yīng)的向量。4,QZ2,然后把向量OZi

繞原點(diǎn)0按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)|,再將其長度縮短為原來哈，

得到一個(gè)長度為:，輻憑為（的向量0Z，

1C

則。z即咤丁丁'所對(duì)應(yīng)的向量.

13.把復(fù)數(shù)Z與Z2對(duì)應(yīng)的向量。A，OA分別按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)?和芋后，與向量重

43

合且模相等，已知z2=-1-Gi，求復(fù)數(shù)4的代數(shù)式和它的輻角主值.

【解析】由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義得Z］（cos?+isin?=z?卜os5gTT+is.in5g汽j,

33

47r..4〃

又Z2=_l_6i=2cos——+2sin——

33)

J4乃..4]

2cos——+ZSH1-

33(33)

2i=

71..71

cos—+/sin—

44

=2cosf3^---l+Zsinl71

=一0+"

44

Zl的輻角主值為千

14.已知復(fù)數(shù)2="—

癡，Z2M在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別

22w4**復(fù)數(shù)

為P,Q,

求證：△OPQ是等腰直角三角形（其中。為原點(diǎn)）.

【答案】證明見解析

71..7t

【解析】+isin---

22I6I6；

叵)..乃

VV=----F旦2'=cos—+isin—，

244

71?.乃兀..71

ZW—cos+tsin---cos—Hjsin—

16I6J44

71冗7171

——+—+ism——+—

6464

TC..萬

=cos—+isin——，

1212

一兀..71

/.ZW=cos—-zsin—=cos

1212I12JI12

??zw=cosI—+1sin—cos-----hisin—

3JI3小44,

（713萬、71

=cos----1---+ism-----1---

134J

51..54

=cos——+，sin——，

???OP,OQ的夾角為

/.OP1OQ.又10Pl=|zw|=l,|Oei=|zV|=l,

.?.|OP|=|OQ|,??.△OPQ。為等腰直角三角形.

A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練

1」探究點(diǎn)一］復(fù)數(shù)：2i的三角形式是（）

A.cos60°+isin60°B.-cos60°+isin60°

C.cos1200+isin60°D.cos1200+isin120°

2」探究點(diǎn)一］己知ZROs'isiJ,則下列結(jié)論正確的是（）

A.z2的實(shí)部為1B.Z2=Z-1

2

C.z=^D.|Z2|=2

flfl

3.［探究點(diǎn)一］復(fù)數(shù)cos*-isin"的輻角主值是（）

■加St!7w

?TTT

A.Ro.rC.nU.

4」探究點(diǎn)二愎數(shù)cos3+isn?經(jīng)過〃次乘方后，所得的復(fù)數(shù)等于它的共知復(fù)數(shù)，則〃的值等于

()

A.3B.12

C.6Z-1伏￡Z)D.62+1伏￡Z)

5」探究點(diǎn)二］［2(cos60°+isin60°)13=.

6」探究點(diǎn)三］計(jì)算(cosn+isinn)+(cos'isin，)=.

7」探究點(diǎn)一］已知復(fù)數(shù)z產(chǎn).G+i,若復(fù)數(shù)z滿足2iz=zi,則復(fù)數(shù)z的輻角主值為.

nfi

?(co5；+i$in,Z2=6(cos*+isin6),計(jì)算zm,并說明其兒何意義.

8」探究點(diǎn)二］已知ZL'3”,

9」探究點(diǎn)一、三］已知復(fù)數(shù)z=r(cos夕+isin夕),漢0,求二的三角形式.

B級(jí)關(guān)鍵能力提升練

10.若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則正整數(shù)〃的最小值是()

A.1B.2C.3D.4

?,

H.復(fù)數(shù)Zios^+isii/s是方程2+a=0的一個(gè)根，那么a的值為（）

vl十,■1一1十,d

A.2:iB.22i

ICl———1wl

C.-22iD.-22i

12.計(jì)算:z=2+；（cos"+isin*）]=，則|z|=.

13.萊昂哈德?歐拉發(fā)現(xiàn)并證明了歐拉公式/=cos夕+isin6,從而建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的

關(guān)系.若將其中的夕取作兀就得到了歐拉恒等式6+1=0,它是數(shù)學(xué)里令人著迷的一個(gè)公式，它

將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)量聯(lián)系起來:兩個(gè)超越數(shù)（自然對(duì)數(shù)的底數(shù)圓周率。兩個(gè)單位（虛數(shù)

單位i,自然數(shù)單位1）以及0.請(qǐng)你根據(jù)歐拉公式:*=cos"isin"解決以下問題：

（1）試將好數(shù)寫成a+〃i（a,〃￡R,i是虛數(shù)單位）的形式;

⑵試求復(fù)/十:的模.

14.計(jì)算下列各式的值:

35)]

(1)(?L2cos+isinfJ;

(2)3(cos630+isin63°)-2(cos99°+isin990)-5(cos108°+isin1080).

15.求證：

M+tsS=cos°.isin0.

16.設(shè)z)=v?+i,Z2=l-i,Z3=sirT~+icos",求'為的值.

C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練

17.設(shè)A.B.C是△A8C的內(nèi)角,z=(cosA+isinA)：(cosB+isinB)-(cosC+isin。是一個(gè)實(shí)數(shù)、則△

ABC是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.形狀不能確定

18.已知出是實(shí)數(shù)0是非零里數(shù),且滿足args=7,（l+W）2+（[+i）2=]+2公

⑴求①；

⑵設(shè)z=cos夕+isin86G。2冗）,若|z-co|=l+6,求8的值.

參考答案

1.D令z=-22i=4+〃m力ER),z的模是r工的輻角是H,則

百「。中二”等

>T4bV5Iaa

r=|z|=1,a=-2,b=V=二=T'二可取。=120°.A-2?i的三角形式是cos120°+isin

120n.

Il=i+/!，+出、￡_-+―±+巨1

2.Bz=cos^+isin322i.z2=2-i2=442i=--?i,其實(shí)部為故A錯(cuò)

誤;Z-l=-2Tuz2,故B正確；2i4,故C錯(cuò)誤;憶2|=(：)?+(2)2=],故D錯(cuò)誤.故

選B.

；三=更一色"上

3.D復(fù)數(shù)cos'isin。22i=cos4+isin4,

tt重7w

所以復(fù)數(shù)cos"isin”的輻角主值是4.故選D.

ftnEEf!n

4.C由題意，得(cos*+isin石)"=cos3+isin3=cos^-isin3,由復(fù)數(shù)相等的定義，得

E?1

COST=COS3=2,

Isin—=-sinj=~,解得3=2依.%￡Z),〃=6匕1(依Z).

5.-8<=23[cos(60°x3)+isin(60°x3)]=8(cos180°+isin180°)=-8.

i.，外r"2iia

—+—(彳彳)'T'-+"-

6.-221(cosn+isin7t)4-\cos+isin'=cos3+isin5=-22i.

7.3因?yàn)閦產(chǎn)-W+i,2iz=zi,

-V3-H(-V3-HX-01,百員71

所以z=21KO22i=cos3+isin3,

n

所以復(fù)數(shù)z的輻角主值為3

；「U)Hl(cos^+isin")

8角呈Z[Z2=~X6X|_COS3+isin()」=3**=3i.

____s

首先作復(fù)數(shù)Z1對(duì)應(yīng)的向量0Z1,然后將°Z]繞點(diǎn)o按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)工再將其長度伸長為

原來的6倍，得到的向量印為ZIZ2所對(duì)應(yīng)向量.

-1=("co?00-Hiin0^="1-1

ror

9解二—■力[cos(o-^)+isin(0°-/9)]=[cos(-^)+isin(-^)].

10.B因?yàn)槎,所以由題意知i”為實(shí)數(shù)，所以正整數(shù)n的最小

值為2.

?!貢

11.D因?yàn)閦=cos15Iisin"是方