2026年高三數學一輪復習之一題多變講：義第16題 爪形三角形解題的三大魔法武器（學生版+解析）

第28題爪形三角形解題的三大“魔法武器”（解透一題）

■優質典例*展示m

【2025屆四川省成都三診T8】

2

已知在△ABC中，NBAC=鏟,N8AC的角平分線A。交8c于點。，若CD=6AB,則

tanZABC^（）

2

A.!B.二C.1D.V2

23

1h

：mi

d.解透一題*命題意圖//4

2

本題圍繞△48C展開，涉及三角形中的角度（N84C=：兀兀且AQ為其角平分線）和邊長關

系QCD=&B）.綜合運用三角形內角平分線定理、正弦定理以及三角函數的相關知識來

求解tan/ABC的值.通過本題可以考查學生的數學抽象素養，將三角形中的幾何關系抽象

為數學等式；還考查了數學建模素養，把實際的三角形問題建立成可求解的數學模型，從而

培養學生解決實際問題的能力.

III.

“多思少算”是高中數學解題的一種非常重要的策略，選擇題關注選項的提示作用.

方法一：動態觀察+特殊值試錯法

解析：動態分析，過定角A和邊胡，令4變化，如圖，

當A。垂直3C時，DC=—AB,顯然需要。增大，即8>30,排除A；

2

觀察選項，選項。取值對應角8為特殊角451在此情況下求CO的大小.

如圖，在三角形4B。中，——二一三，在三角形AOC中，-4-=--.

sin45sin75sin15sin60

所以=故答案選C.

方法點評：動態分析，特殊值驗證，適用于選擇，如果是解答題呢？

本題是與三角形角平分線有關的解三角形問題，其本質上是求解組合三角形的問題，在

△AC。中，如果視。。為定值，那么一對邊角確定，三角形的外接圓大小確定.問題要求

tanAABC,本質是求角，令NABC=B,則合三角形的角都可以表示出，只需要借助

6=CAB建立。的方程即可.

方法二：三角方程“魔法公式”

令448C=0,鑒于40為N84C的角平分線，且NBAC=1,

故N8AO=NC4Q=X,ZACB=TT----0=--0.

333

為了簡化運算，不妨取A8長度為單位1,即A8=c=l

>/6AD

CD

在里'依據正弦定理有E5卻.不..7T.

sm—sin(y-yn)

V6sin(—-^)>/6sin(--^)

所以AO=------%—=-----2-=2&sin(J-e).

sin&B3

32

ADAB其中/4。8=）一（夕+工）二至一夕，

在△A8。中,根據正弦定理

sinAABCsinZADB33

AD1fsin。

所以sin。sin(生-6)'則sin(—-/9),

33

2\/2sin(--0)sin(--0)=sinG

33

2x/2(.vz/z^-cosO-cos—sin0}(sin^-cosO+cos—sinG)=sinO

3333

2夜f^-coszO--sin2O=sinO

(44)

^shrG+\[2sinG-3=0

sin。=也?或sin。=一士匚(舍去，。是三角形內角)

24

所以tanO=1,KPtanZABC=1

方法點評：借助CO=#人8建立夕的方程，得到sin。的二次方程.本題求tan。，題目在給

出爪型圖（三角形組合圖象）情景下求心〃4AC,從高中知識板塊可以聯系到解析幾何,

直線的傾斜角與斜率則可溝通心〃NA8C,于是建立適當坐標系，轉化為解析幾何問題.

方法三：坐標系變身術

以8為坐標原點，以84方向為龍軸建立直角坐標系，

不妨設c=l,則41.0)

則="(其中&=tan?>0),AC:y=>/3(x-\)

聯立解得％=方也一，

y/3-k

同理A￡):y=-6*-1),

聯立解得馬二方旦，

x/3+k

又CO=VfI，即CQ=J+爐="整理得:

/+86一9=0即（公+9）（/—1）=。，

注意k>0解得k-1,所以tan8=Ahl.

方法點評：作為解答題的答題，借助直線傾斜角直接構建目標元，優化了運算.

選擇題優先用''動態+特殊值''：快速排除選項，減少計算量，就像用排除法做邏輯題.

解答題看條件選武器：

如果題目強調三角函數關系（如正弦、余弦），用三角方程法；

如果圖形有明顯的直線或坐標關系，用坐標系變身術.

畫圖是解題神器：無論用哪種方法，先畫草圖標出關健信息，讓大腦和眼睛?起工作！

【訓練用動態觀察法一-圖形是否有“動態元素”（旋轉、滑動）】

1.在正方形A3CO中，點E是邊3c的中點，點尸是邊CQ上一點，且NAEF=90,貝4竺二

A.0B.1C.-D.-

43

【類題訓練，改線段關系為面積關系】

2.在V4BC中，ZBz4C=y,/84C的角平分線AO交5C于點。，ZVlB。的面積是△”工

面積的3倍，則lanB=()

白5AR6r3Gn6-白

75533

【類題訓練，爪形三角形的解答】

3.VABC中，4=菖48=8,4。=6,。為線段8。上的點，則()

A.ABAC=-24B.若。為4c中點，則線段A。長度為13

C.若AO為/胡。的角平分線，則出二：D.若而,命，則sinNB4Q=Mi

\DC\374

【類題訓練，加強角平分線性質推導思想應用】

4.在aABC中，點。在邊8c上，AD為NA的角平分線，AC=AO=JHLCD=2.

⑴求sin/B4c的值：

(2)求邊AB的長.

【拓展訓練，加強角平分線性質推導思想應用】

5.VABC的內角A&C的對邊分別為已知(sinB+sinC)2=sin2/l+sinAsinC.

⑴求A；

(2)若〃=G，N84C的角平分線交KC于點Q,求線段4。長度的最大值.

第28題爪形三角形解題的三大“魔法武器"（解透一題）

■優質典例*展示//；

【2025屆四川省成都三診T8]

2

已知在△人AC中,ZBAC=-jrfNR4C的角平分線AD交NC于點D,^CD=JbAB,則

tanZABC=()

B

A?三-|C.1D.&

■解透一題*結構m

d?解透一題*命題意圖HL

木題圍繞人展開，涉及三角形中的角度（/刖。二彳2乃萬且從。為其角平分線）和邊長關

系（CD=&B）.綜合運用三角形內角平分線定理、正弦定理以及三角函數的相關知識來

求解tan/ABC的值.通過本題可以考杳學生的數學抽象素養，將三角形中的幾何關系抽象

為數學等式；還考杳了數學建模素養，把實際的三角形問題建立成可求解的數學模型，從而

培養學生解決實際問題的能力.

III.

“多思少算”是高中數學解題的一種非常重要的策略，選擇題關注選項的提示作用.

方法一：動態觀察+特殊值試錯法

解析：動態分析，過定角A和邊胡，令4變化，如圖，

當A。垂直3C時，DC=—AB,顯然需要。增大，即8>30,排除A；

2

觀察選項，選項。取值對應角8為特殊角451在此情況下求CO的大小.

如圖，在三角形4B。中，——二一三，在三角形AOC中，-4-=--.

sin45sin75sin15sin60

所以=故答案選C.

方法點評：動態分析，特殊值驗證，適用于選擇，如果是解答題呢？

本題是與三角形角平分線有關的解三角形問題，其本質上是求解組合三角形的問題，在

△AC。中，如果視。。為定值，那么一對邊角確定，三角形的外接圓大小確定.問題要求

tanAABC,本質是求角，令NABC=B,則合三角形的角都可以表示出，只需要借助

6=CAB建立。的方程即可.

方法二：三角方程“魔法公式”

令448C=0,鑒于40為N84C的角平分線，且NBAC=1,

故N8AO=NC4Q=X,ZACB=TT----0=--0.

333

為了簡化運算，不妨取A8長度為單位1,即A8=c=l

>/6AD

CD

在里'依據正弦定理有E5卻.不..7T.

sm—sin(y-yn)

V6sin(—-^)>/6sin(--^)

所以AO=------%—=-----2-=2&sin(J-e).

sin&B3

32

ADAB其中/4。8=）一（夕+工）二至一夕，

在△A8。中,根據正弦定理

sinAABCsinZADB33

AD1fsin。

所以sin。sin(生-6)'則sin(—-/9),

33

2\/2sin(--0)sin(--0)=sinG

33

2x/2(.vz/z^-cosO-cos—sin0}(sin^-cosO+cos—sinG)=sinO

3333

2夜f^-coszO--sin2O=sinO

(44)

^shrG+\[2sinG-3=0

sin。=也?或sin。=一士匚(舍去，。是三角形內角)

24

所以tanO=1,KPtanZABC=1

方法點評：借助CO=#人8建立夕的方程，得到sin。的二次方程.本題求tan。，題目在給

出爪型圖（三角形組合圖象）情景下求心〃4AC,從高中知識板塊可以聯系到解析幾何,

直線的傾斜角與斜率則可溝通心〃NA8C,于是建立適當坐標系，轉化為解析幾何問題.

方法三：坐標系變身術

以8為坐標原點，以84方向為龍軸建立直角坐標系，

不妨設c=l,則41.0)

則="(其中&=tan?>0),AC:y=>/3(x-\)

聯立解得％=方也一，

y/3-k

同理A￡):y=-6*-1),

聯立解得馬二方旦，

x/3+k

又CO=VfI，即CQ=J+爐="整理得:

/+86一9=0即（公+9）（/—1）=。，

注意k>0解得k-1,所以tan8=Ahl.

方法點評：作為解答題的答題，借助直線傾斜角直接構建目標元，優化了運算.

選擇題優先用''動態+特殊值''：快速排除選項，減少計算量，就像用排除法做邏輯題.

解答題看條件選武器：

如果題目強調三角函數關系（如正弦、余弦），用三角方程法；

如果圖形有明顯的直線或坐標關系，用坐標系變身術.

畫圖是解題神器：無論用哪種方法，先畫草圖標出關健信息，讓大腦和眼睛?起工作！

【訓練用動態觀察法一-圖形是否有“動態元素”（旋轉、滑動）】

1.在正方形A3CO中，點E是邊3c的中點，點尸是邊CQ上一點，且NAEF=90,貝4竺二

A.0B.1

【答案】C

【分析】不妨設正方形/WC。的邊長為4,證明出求出CF的長，即可得

解.

【詳解】如下圖所示：

不妨設正方形A3CD的邊長為4,

因為N4歷=90,>lWZAEB+ZBAE=ZAEB+ZCEF=90，所以NBAE=NCEF,

又因為NABE=NECF=99,故AABEs△反尸,

CFCFCF2CF1

所以族:正’即『“解得C2,故而守

故選：C.

【類題訓練，改線段關系為面積關系】

2.在VA8C中，NZMC=T，/3AC的角平分線A。交6C于點Q,AAB。的面積是AlDC

面積的3倍，則tan8=()

A石RGr36n6-x/3

75533

【答案】A

【分析】利用面枳之比可得c=3〃，，作A6邊上高，垂足為〃，即可求⑶】6.

【詳解】

c—?AB-ADsinZ.BAD.D

因m為J/-.S'八ABD_2_1__________________~AC_3q,

，DC-ACADsinCAD禮

2

即c=3〃，在V43c中，作AB邊上高，垂足為少,

?CHbsinZCAHhsinZCAH~TbG

tanB=——=--------------=-----------------------=—=—

BHAB+AHAB+bcosZCAH［力7

2

故選:A.

【類題訓練，爪形三角形妁解答】

3.V/WC中，A=7,4B=8,4C=6,。為線段BC上的點，貝U()

A.ABAC=-24B.若。為8c中點，則線段AO長度為13

C.若AD為/B4C的角平分線，則四1=2D.若而_L^,貝心山/6八。=小巨

\DC\374

【答案】ACD

【分析】根據向量的數量枳運算可判斷A,由中點的向量公式及數量積的運算性質求解可判

斷B,由角平分線定理可判斷C,由余弦定理求出cosZAK,根據直角三角形可知sin的。

判斷D.

【詳解】A月?AC=8x6x(—g)=-24,所以A正確；

。為BC中點時，AD=~\B+-AC./.|AD|2=-(64+36-48)=13,

.*JAD|=713,所以B錯誤;

若AO為角8AC的角平分線，根據內角平分線定理：世=喳!=:，所以C正確；

|DC|\AC\3

在三角形AAC中由余弦定理可得cosNA"C=lb短.所以sinN3D=ll也，故D正確.

7474

故選：ACD

【類題訓練，加強角平分線性質推導思想應用】

4.在△A8C中，點。在邊BC上，4。為NA的角平分線，AC=AD=>/記，CD=2.

⑴求sin/BAC的值;

(2)求邊A3的長.

【答案】⑴亮24

⑵亞

3

【分析】（1）先利用余弦定理可求cosNCA力，再利用同角的三角函數基本關系式和倍角公

式可求sinNBAC.

（2）利用S.c=S?c+Sc8可得關于A8的方程，從而可求邊A3的長.

【詳解】（1）

20-4164

在,8中，由余弦定理可得3卬。=公而而，=7

3

而NC4D為三角形內角，故sin/C"）=,

24

因為A。為NA的角平分線，故sinZBAC=2sinZCADcosZCAD=—

25

(2)因為S.c=S.DAC+S&DAB?

所以』ACx4Z)xsinZCAD+-ABxADxsinZBAD=-ABxACxsinZBAC,

22