2025-2026學年遼寧省朝陽市建平縣高級中學高二下學期6月質量檢測數學試卷-含解析

/數學分值：150分）第一部分（選擇題共58分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數，則（）A. B. C. D.2.已知，則“”的一個必要條件是（）A. B.C. D.3.已知不共線，且，，，則（

）三點共線A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D4.設全集，集合，則（）A. B. C. D.5.已知正四棱臺的上底面邊長為4，下底面邊長為2，高為6，則該正四掕臺的體積為（）A.60 B.20 C.40 D.566.五名同學依次站成一排，要求其中的甲和乙必須相鄰，則不同的站隊方式的種數為()A.12 B.24 C.48 D.1207.已知為第二象限角，且，則（）A. B. C. D.8.已知偶函數與奇函數的定義域都是，它們在上的圖象如圖所示，則使關于的不等式成立的的取值范圍為A. B.C. D.二?選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分．部分選對的得部分分，有選錯的得0分）．9.記等比數列的前項和為，若，，公比，則（）A. B.C. D.10.已知拋物線的焦點為，點在的準線上，過的直線與相切于點，點在上，且滿足，則（）A.準線的方程為 B.可能在直線上C.的最小值為9 D.面積的最小值為1611.已知圓：與圓：，則（）A.圓的圓心坐標為 B.圓心距C.圓與圓相交 D.圓與圓的公共弦的長為第二部分（非選擇題共92分）三?填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.已知，且，則的最小值是__________.13.已知等差數列的前項和為，，，則_________．14.已知圓錐的軸截面是等邊三角形，且該圓錐的頂點和底面的圓周都在球的球面上，則該圓錐與球的體積的比值為__________．四?解答題15.某學校高一新生體檢，校醫室為了解新生的身高情況，隨機抽取了100名同學的身高數據（單位:），制作成頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計這100名同學身高的上四分位數；（2）用分層抽樣的方法從中抽出一個容量為17的樣本，如果樣本按比例分配，則各區間應抽取多少人?16.如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值．17.在中，角，，的對邊分別為，，，且滿足．（1）求角的大小；（2）若，求面積的最大值．18.已知橢圓的長軸長為，點在上．（1）求的離心率；（2）若點在上，為坐標原點，求面積的最大值；（3）設分別為的左、右頂點，動點在直線上，直線與的另一個交點為（異于點），直線與的另一個交點為（異于點），求直線與軸的交點坐標．19.已知函數，．（1）判斷函數的單調性．（2）若方程有兩個根．①求實數的取值范圍；②證明：．

數學分值：150分）第一部分（選擇題共58分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數，則（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根據復數的乘法運算及復數的幾何意義可得.解答過程：因為．所以．2.已知，則“”的一個必要條件是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根據不等式的性質即可求解.解答過程：由于可得，故“”是“”的必要條件，由不能得到，，，比如，故選：D3.已知不共線，且，，，則（

）三點共線A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D答案：A解析：思路：由兩向量共線的充要條件逐一判斷即可.解答過程：對于A，因為所以，所以、、三點共線，故A正確；對于B，因為，，所以不存在，使得，所以A、B、C三點不共線，故B錯誤；對于C，因為，，所以不存在，使得，所以B、C、D三點不共線，故C錯誤；對于D，因為，，所以不存在，使得，所以A、C、D三點不共線，故D錯誤..4.設全集，集合，則（）A. B. C. D.答案：B解析：解答過程：因為，所以，所以.5.已知正四棱臺的上底面邊長為4，下底面邊長為2，高為6，則該正四掕臺的體積為（）A.60 B.20 C.40 D.56答案：D解析：思路：直接根據棱臺的體積公式計算可得.解答過程：因為正四棱臺的上底面邊長為4，下底面邊長為2，高為6，所以該正四棱臺的體積.故選：D.6.五名同學依次站成一排，要求其中的甲和乙必須相鄰，則不同的站隊方式的種數為()A.12 B.24 C.48 D.120答案：C解析：思路：借助捆綁法把相鄰的甲乙打包，分單元內部排序、整體全排列兩步相乘求解排列總數.解答過程：將甲、乙捆綁合并為1個單元，單元內部的站位排列數為，剩余3人與該單元構成4個獨立元素，4個元素全排列的排列數為.可得總站法種數.7.已知為第二象限角，且，則（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根據二倍角的正弦、余弦公式可求出的值，結合為第二象限角，以及同角三角函數的基本關系可得出、的值，即可得出所求代數式的值.解答過程：因為為第二象限角，所以，，由，即，整理可得，所以，故，因為，，所以，，故.8.已知偶函數與奇函數的定義域都是，它們在上的圖象如圖所示，則使關于的不等式成立的的取值范圍為A. B.C. D.答案：C解析：解答過程：如圖所示：當時，，，；當時，，，，故當時，其解集為，∵是偶函數，是奇函數，∴是奇函數，由奇函數的對稱性可得：當時，其解集為，綜上：不等式的解集是，故選C.點睛：本題主要考查函數的奇偶性在解不等式中的應用，還考查了數形結合，轉化，分類討論等思想方法；觀察圖象選擇函數值異號的部分，再由是偶函數，是奇函數，得到是奇函數，從而求得對稱區間上的部分，最后兩部分取并集二?選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分．部分選對的得部分分，有選錯的得0分）．9.記等比數列的前項和為，若，，公比，則（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：利用等比數列的通項公式和前項和公式化簡條件依次判斷選項即可.解答過程：若，則，故A正確；所以，化簡得：，解得：或（舍去），故B正確；所以，故C錯誤；，，所以，故D正確；10.已知拋物線的焦點為，點在的準線上，過的直線與相切于點，點在上，且滿足，則（）A.準線的方程為 B.可能在直線上C.的最小值為9 D.面積的最小值為16答案：ACD解析：思路：根據拋物線方程求出準線求解選項A.設點的坐標，求出直線方程代入點，得到，無解，求解選項B.聯立直線與拋物線方程，得到點的坐標，求出，根據基本不等式求解即可.根據直線方程求出坐標，根據距離公式求出，得到的面積，再利用基本不等式求解即可.解答過程：易知，所以準線的方程為，A選項正確；設點的坐標為，因為，所以點處的切線斜率為，所以直線的斜率為，所以直線，若在直線上，則，即，無解，B選項錯誤；直線與聯立可得，，解得，即的橫坐標為，所以的縱坐標為，所以，當且僅當時，等號成立.C選項正確；直線的方程為：，令，則，所以，所以，，所以的面積為，設，當且僅當時，等號成立，所以面積的最小值為.D選項正確.11.已知圓：與圓：，則（）A.圓的圓心坐標為 B.圓心距C.圓與圓相交 D.圓與圓的公共弦的長為答案：BCD解析：解答過程：由得，所以圓的圓心坐標為，半徑為，故A錯誤；由圓：得圓心，半徑，所以，故B正確；又，所以，所以圓與圓相交，故C正確；由，兩式相減得：，由圓心到直線的距離為：，所以圓與圓的公共弦的長為，故D正確.第二部分（非選擇題共92分）三?填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.已知，且，則的最小值是__________.答案：##解析：思路：利用給定條件化簡目標式，再利用基本不等式求解最值即可.解答過程：因為，所以，即，所以，因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以，即，故的最小值是.故答案為：13.已知等差數列的前項和為，，，則_________．答案：25解析：思路：根據題意列出關于和的方程，求解出，再求出.解答過程：設等差數列的公差為.，，得.，.14.已知圓錐的軸截面是等邊三角形，且該圓錐的頂點和底面的圓周都在球的球面上，則該圓錐與球的體積的比值為__________．答案：解析：解答過程：設圓錐底面半徑為，又圓錐的軸截面是等邊三角形，故圓錐母線長為，圓錐的高為，設球的半徑為，球心到底面圓心的距離為，有,，化簡得，則該圓錐的體積為，球的體積為，故圓錐與球的體積的比值為.四?解答題15.某學校高一新生體檢，校醫室為了解新生的身高情況，隨機抽取了100名同學的身高數據（單位:），制作成頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計這100名同學身高的上四分位數；（2）用分層抽樣的方法從中抽出一個容量為17的樣本，如果樣本按比例分配，則各區間應抽取多少人?答案：（1）176.25（2）7人，6人，4人解析：思路：（1）根據頻率分布直方圖的性質求得，再由百分位數的定義列方程求解即得；（2）根據抽樣比即可計算出各組應抽取的人數.（1）由頻率分布直方圖可得，第一組的頻率為0.05，第二組的頻率為0.35，第三組的頻率為，第四組的頻率為0.20，第五組的頻率為0.10，則解得，因為前3組的頻率和為0.7，前4組的頻率和為0.9，所以第75百分位數在第四組，不妨設為，則，解得，即第75百分位數約為176.25；（2）根據題意，第組應抽取人，第組應抽取人，第組應抽取人.16.如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）建立坐標系，求出平面法向量，利用線面角的向量公式可得答案；（2）求出兩個半平面的法向量，利用向量夾角公式可求二面角.（1）以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系；，,；設平面的一個法向量為，則，令，得，即，設直線與平面所成角為，則.即直線與平面所成角的正弦值為.（2）由（1）知平面的一個法向量為，易求平面的一個法向量為，設二面角的大小為，易知為銳角，則，所以二面角的余弦值為.17.在中，角，，的對邊分別為，，，且滿足．（1）求角的大小；（2）若，求面積的最大值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根據正弦定理角化邊，再根據余弦定理求角；（2）根據（1）和余弦定理可得，再利用三角形的面積公式和基本不等式求解.（1）在中，由正弦定理，得，整理得，由余弦定理，得，又，所以．（2）由（1）及余弦定理知，，故，當且僅當時等號成立，即面積的最大值為．18.已知橢圓的長軸長為，點在上．（1）求的離心率；（2）若點在上，為坐標原點，求面積的最大值；（3）設分別為的左、右頂點，動點在直線上，直線與的另一個交點為（異于點），直線與的另一個交點為（異于點），求直線與軸的交點坐標．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根據題意，得到，求得，再由點在上，代入求得，進而求得，結合橢圓離心率的公式，即可求解；（2）由（1）得到橢圓的方程為，且為，設與直線平行且與橢圓相切的直線方程為，聯立方程組，利用，求得的值，得到兩平行線間的最大距離為，進而求得的面積的最大值；（3）設，，分別求得直線和的方程，聯立方程組，求得和，得到直線的得方程，即可得到答案.（1）解：由橢圓的長軸長為，可得，解得，又由點在上，可得，解得，即，所以，所以橢圓的離心率為.（2）解：由（1）知：且，所以橢圓的方程為，又由，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即，設與直線平行且與橢圓相切的直線方程為，聯立方程組，整理得，因為直線與橢圓相切，可得，可得，解得，所以直線與直線之間的距離為：，直線與直線之間的距離為：，所以兩平行線間的最大距離為，又因為，所以的面積的最大值為.（3）解：因為動點在直線上，可設，其中，再設，且，可得直線的方程為，聯立方程組，整理得，可得，可得，所以，即，同理可得：直線的方程為，且，所以直線的斜率的倒數為，所以直線的方程為，整理得，設直線與軸的交點為，令，可得，所以直線與軸的交點為.19.已知函數，．（1）判斷函數的單調性．（2）若方程有兩個根．①求實數的取值范圍；②證明：．答案：（1）在上單調遞減，在上單調遞增（2）①②證明見解析解析：思路：（1）先對函數求導，然后根據導數的正負判斷函數的單調區間即可；（2）①將方程分離參數得，構造函數，由導數判斷函數的單調性，從而得到最小值，即可求得的取值范圍；②先構造函數證明，再構造證得，結合的單調性推出，即，聯立兩步結論，代回原式即可完成不等式證明.（1）因為，，所以．由，得；由，得所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．（2）①方程，即，，則．設，，則方程