第09講 用公式法求解一元二次方程（學生版）-新九年級數學暑假預習講義（北師大）

第09講用公式法求解一元二次方程【知識梳理】一、公式引入一元二次方程（），可用配方法進行求解：得：．對上面這個方程進行討論：因為，所以當時，利用開平方法，得：， 即：當時，這時，在實數范圍內，x取任何值都不能使方程左右兩邊的值相等，所以原方程沒有實數根．二、求根公式一元二次方程（），當時，有兩個實數根：，這就是一元二次方程（）的求根公式．三、用公式法解一元二次方程一般步驟把一元二次方程化成一般形式（）；確定a、b、c的值；求出的值（或代數式）；若，則把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，則方程無解．根的判別式1.一元二次方程根的判別式：我們把叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號“”表示，記作．2.一元二次方程， 當時，方程有兩個不相等的實數根； 當時，方程有兩個相等的實數根； 當時，方程沒有實數根．五、根的判別式的應用（1）不解方程判定方程根的情況；（2）根據參數系數的性質確定根的范圍；（3）解與根有關的證明題．【考點剖析】一．解一元二次方程-公式法（共12小題）1．（2023?西和縣一模）用公式法解方程x2﹣4x﹣11＝0時，Δ＝（）A．﹣43 B．﹣28 C．45 D．602．（2023?宜興市一模）方程x2﹣3x＝1的解是．3．（2023?碑林區校級三模）關于x的方程x2﹣x+＝9的解是．4．（2022秋?漳州期末）對于兩個不相等的實數a、b，我們規定符號Max{a，b}表示a、b中的較大值，如：Max{1，3}＝3，按照這個規定，方程Max{1，x}＝x2﹣6的解為．5．（2023?西安校級三模）用適當的方法解一元二次方程：x2﹣3x﹣2＝0．6．（2022秋?東莞市期末）解方程：x2﹣4x+7＝10．7．（2023?泉州一模）小明在解方程x2﹣5x＝﹣3的過程中出現了錯誤，其解答如下：解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣3，……第一步∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣3）＝37，……第二步∴x＝，……第三步∴x1＝，x2＝．……第四步（1）問：小明的解答是從第步開始出錯的；（2）請寫出本題正確的解答．8．（2022秋?衡山縣期末）下列方程中，以x＝為根的是（）A．x2﹣5x﹣c＝0 B．x2+5x﹣c＝0 C．x2﹣5x+4c＝0 D．x2+5x+c＝09．（2022秋?德化縣期末）下面是小明同學解方程x2﹣5x＝﹣4的過程：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步），∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）．∴x＝，（第三步）．∴x1＝，x2＝（第四步）．小明是從第步開始出錯．10．（2023?臺灣）利用公式解可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0的兩解為a、b，且a＞b，求a值為何（）A． B． C． D．11．（2022秋?德城區期末）用公式法解方程2x2﹣1＝0，其中b2﹣4ac＝．12．（2023?遂平縣一模）在實數范圍內定義一種運算“*”，其運算法則為a*b＝a2﹣ab．根據這個法則，下列結論中正確的是．（把所有正確結論的序號都填在橫線上）①*＝2﹣；②若a+b＝0，則a*b＝b*a；③（x+2）*（x+1）＝0是一元二次方程；④方程（x+3）*1＝1的根是x1＝，x2＝．二．根的判別式（共11小題）13．（2023?永城市二模）關于x的方程4x2﹣4x＝﹣1的根的情況是（）A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根 C．只有一個實數根 D．無實數根14．（2023?聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有實數解，則m的取值范圍是（）A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠015．（2023?金平區三模）一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0有兩個實數根a，b，那么一次函數y＝（1﹣ab）x+a+b的圖象一定不經過的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限16．（2023?容縣一模）我們知道，一元二次方程x2＝﹣1沒有實數根，即不存在一個實數的平方等于﹣1．若我們規定一個新數“i”，使其滿足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一個根為i）．并且進一步規定：一切實數可以與新數進行四則運算，且原有運算律和運算法則仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2×i＝（﹣1）×i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，從而對任意正整數n，我們可以得到i4n+1＝i4n×i＝（i4）n×i＝i，i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．那么i+i2+i3+…+i2023的值為（）A．0 B．1 C．﹣1 D．i17．（2023?荊州）已知關于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有兩個不相等的實數根．（1）求k的取值范圍；（2）當k＝1時，用配方法解方程．18．（2023?扎蘭屯市一模）已知a、b、c是△ABC的三條邊的長，那么方程的根的情況是（）A．沒有實數根 B．有兩個相等的實數根 C．有兩個不相等的負實根 D．有兩個不相等的正實根19．（2023?羅山縣三模）若關于x的方程x2+2x＝c無實數根，則c的值可以是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．120．（2023?貴州模擬）已知關于x的一元二次方程x2+6+c+c＝0的一個根是x＝1，則方程x2+6x﹣c＝0的根的情況是（）A．沒有實數根 B．有兩個相等的實數根 C．有兩個不相等的實數根 D．有一個根是x＝121．（2022?天津模擬）已知關于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0，其中a，b，c為△ABC的三邊．（1）若x＝1是方程的根，判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）若方程有兩個相等的實數根，判斷△ABC的形狀，并說明理由．22．（2023?杭州）設一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四組條件中選擇其中一組b，c的值，使這個方程有兩個不相等的實數根，并解這個方程．①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝﹣1；④b＝2，c＝2．注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個解答計分．23．（2023?遂寧）我們規定：對于任意實數a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右邊是通常的乘法和減法運算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；（2）已知關于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有兩個實數根，求m的取值范圍．

【過關檢測】一、單選題1．（2023·貴州黔東南·統考二模）關于x的一元二次方程有實數根，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023春·廣東潮州·九年級潮州市金山實驗學校校考期末）如果關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則a滿足條件是（

）A． B．且 C．且 D．3．（2023·浙江溫州·統考三模）若關于x的一元二次方程，有兩個相等的實數根，則正數b的值是（

）A．8 B． C．4 D．4．（2022秋·江蘇連云港·九年級統考期末）一元二次方程的兩實數根都是整數，則下列選項中a可以取的值是（

）A．12 B．16 C．20 D．245．（2023·安徽安慶·校考三模）如果關于x的一元二次方程無實數根，那么a的值可以為（

）A．10 B．9 C．8 D．76．（2023·河南商丘·統考三模）方程的根的情況是（

）A．有兩個相等的實數根 B．沒有實數根 C．有一個實數根 D．有兩個不相等的實數根7．（2022秋·江蘇鎮江·九年級校考階段練習）已知關于的一元二次方程的較大的一根小于1，則實數的取值范圍是（

）A．一切實數 B． C． D．8．（2022·浙江·九年級自主招生）滿足方程的整數對有（

）A．0對 B．2對 C．4對 D．6對二、填空題9．（2023·上海楊浦·統考三模）如果關于的方程有兩個相等的實數根，那么的值是________．10．（2023·浙江嘉興·統考二模）在的括號中添加一個關于x的一次項，使方程有兩個相等的實數根，這個一次項可以是______．11．（2023·江蘇蘇州·蘇州市第十六中學校考二模）關于的一元二次方程有兩個實數根，則實數的取值范圍是________．12．（2023·山東東營·校考二模）如果關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，那么的取值范圍是________．13．（2023·四川巴中·校考二模）已知關于的一元二次方程．兩實數根分別為，且滿足，則實數的值為_____________．三、解答題14．（2022秋·陜西西安·九年級校考期中）解方程：15．（2022秋·青海西寧·九年級校考期中）解方程：（公式法）16.用公式法解下列方程：（1）； （2）．17..用公式法解下列方程：（1）； （2）．18.不解方程，判別下列方程的根的情況：（1）； （2）；（3）； （4）． 19.已知關于的一元二次方程根的判別式的值為4，求的值．20．（2023春·北京西城·九年級北師大實驗中學校考階段練習）已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根．(1)求的取值范圍；(2)當取滿足要求的最小正整數時，求方程的解．21．（2023·北京西城·校考模擬預測）關于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實數根；(2)若方程的兩個實數根都是正整數，求m的最小值．22．（2023春·河南三門峽·九年級統考階段練習）已知關于的方程沒有實數根，試判斷關于的方程實數根的情況，并說明理由．23．（2022秋·四川遂寧·九年級校考期中）對于任意一個三位數k，如果k滿足各個數位上的數字都不為零，且十位上的數字的平方等于百位上的數字與個位上的數字之積的4倍，那么稱這個數為“喜鵲數”．例如：k＝169，因為62＝4×1×9，所以169是“喜鵲數”．(1)已知一個“喜鵲數”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c為正整數），請直接寫出a，b，c所滿足的關系式；判斷241

“喜鵲數”（填“是”或“不是”），并寫出一個“喜鵲數”；(2)利用（1）中“喜鵲數”k中的a，b，c構造兩個一元二次方程ax2+bx+c＝0①與cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一個根，x＝n是方程②的一個根，求m與n滿足的關系式；(3)在（2）中條件下，且m+n＝﹣2，請直接寫出滿足條件的所有k的值．24．（2021秋·新疆烏魯木齊·九年級校考期中）已知：關于x的一元二次方程(1)已知x=2是方程的一個根，求m的值；(2)以這個方程的兩個實數根作為△ABC中AB、AC（AB