瞬時變化率與導數-2025-2026學年高二下學期數學湘教版選擇性必修第二冊

1.1.2瞬時變化率與導數伽利略是意大利文藝復興時期的重要科學家、數學家和物理學家.

科學家伽利略

他是如何測量得出這個函數關系式的呢？物體做自由落體運動下落得非常快，無法測量讓一只小球在光滑的斜面上從靜止滾下斜面必須是光滑且足夠長距離s(m)和所用的時間t(s)有函數關系：s=s(t)=at2a只與斜面坡度有關只能算出平均速度伽利略斜面實驗為更精確的了解小球的運動狀態，我們需要計算小球每個時刻的瞬時速度,而這個工作伽利略沒能完成百年后，牛頓給出了瞬時速度的概念和計算方法牛頓|瞬時速度和計算方法求出來一個特定斜面的常數a，得到運動方程為先計算出小球在2秒到2.1秒之間的平均速度s(t)=3t2

用同樣的方法，可以求得區間[2,2.01]內的平均速度運用計算器我們可以求出更短時間內的平均速度容易發現，當時間間隔越來越小的時候，無論t從小于2的一邊還是大于2的一邊趨近于2，對應的平均速度都趨近于12m/s但時間間隔的縮小是一個無窮無盡的過程，有限的幾次計算，真的能得出12m/s這個確定的結果嗎？如何從理論上推導呢？時間區間時間區間..................用字母來代替數，可以把這無窮多次運算一次完成設d是一個絕對值非常小的非零數在時間區間[2，2+d]或[2+d，2]這段時間內，小球運動的平均速度為當d無限趨近于0時，3d可以忽略不計,這個平均速度確實越來越趨近于12m/s

時間段的長度趨近于0時，這段時間內的平均速度以12m/s為極限這個極限值就是小球在2秒時的瞬時速度注意：這里d始終不能為0，只是無限趨近于0.

概念1：瞬時速度的定義這個極限記為v(t)=

想一想：如何表示運動員在某一時刻t0瞬時速度？

1.已知某物體走過的路程s（m)與時間t(s)之間的函數關系式為s=t2-1.通過平均速度估計物體在下列各時刻的瞬時速度：(1)t=0s;(2)t=2s;(3)t=4s.

練一練若y

=f

(x)作為運動方程時，則平均速度平均變化率若y

=f

(x)作為函數時，則平均速度當區間長d趨近于0時的極限值叫瞬時速度函數的平均變化率的極限值瞬時變化率一般地，若函數的平均變化率

在d趨近于0時，有確定的極限值，則稱這個值為該函數在x=u處的瞬時變化率.概念2：瞬時變化率的定義若y

=f

(x)作為運動方程時，則若y

=f

(x)作為函數時，則瞬時速度瞬時變化率函數的瞬時變化率，數學上叫作函數的導數或微商設函數

在包含的某個區間上有定義，在d趨近于0時,如果比值

趨近于一個確定的極限值,則稱此極限值為函數在

處的導數或微商，記作

.導數是平均變化率的極限，是瞬時變化率的數學表達.概念3：導數的定義

或或概念4：導函數的定義

2.求函數

在

x=1處的瞬時變化率．你是如何表示瞬時變化率的？與同學相同嗎？

2.將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱.如果第xh時，原油的溫度(單位:℃)為y=f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).則第3h時，原油溫度的瞬時變化率為

℃/h，此原油溫度的瞬時變化率的意義是

.在第3h附近，原油溫度大約以1℃/h的速率下降練一練試一試：算出在第6h時原油溫度的瞬時變化率，你發現了什么？-1

導數(瞬時變化率)為負，體現了下降的變化趨勢.導數(瞬時變化率)為正，體現了上升的變化趨勢.

3.導函數、二階導數、三階導數的定義.

本節課你學到了哪些知識與方法，談談你的收獲.

A

2.如圖，一球沿某一斜面自由滾下，測得滾下的垂直距離h（m）與運動時間t（s）之間的函數關系為h=t2.則t=4s時，此球在斜面方向上的瞬時速度為

m/s.83.