第七章第38節基本立體圖形、幾何體的表面積與體積

分冊二(第七章至第十章)第七章立體幾何初步、空間向量與立體幾何第38節基本立體圖形、幾何體的表面積與體積考試要求考題分析1.認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征,能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構.2.知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式,能用公式解決簡單的實際問題.3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及簡單組合體)的直觀圖.年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷2022年T4、T8、T19T7、T112023年T12、T14T9、T142024年T5T7【主干梳理基礎落實】【知識梳理】1.多面體的結構特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側棱平行且相等相交于一點,但不一定相等延長線交于一點側面形狀平行四邊形三角形梯形[注意點]四棱柱的結構特征及關系2.旋轉體的結構特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等,垂直于底面相交于一點延長線交于一點-軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓側面展開圖矩形扇形扇環-3.立體圖形的直觀圖(1)畫法:常用斜二測畫法.(2)規則:①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直,直觀圖中,x'軸、y'軸的夾角為45°(或135°),z'軸與x'軸、y'軸所在平面垂直.②原圖形中平行于坐標軸的線段,直觀圖中仍平行于坐標軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變,平行于y軸的線段長度在直觀圖中變為原來的一半.4.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式名稱圓柱圓錐圓臺側面展開圖側面積公式S圓柱側=2πrlS圓錐側=πrlS圓臺側=π(r'+r)l5.空間幾何體的表面積與體積公式名稱表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積=S側+2S底V=S底·h錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S側+S底V=13S底·臺體(棱臺和圓臺)S表面積=S側+S上+S下V=13(S上+S下+S上球S=4πR2V=43πR【常用結論】1.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關系:S直觀圖=24S原圖形2.若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2R=a2【知能自測】類型回源教材澄清盲點結論應用題號2,4131.(易錯辨析)正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)有兩個面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.(×)(2)有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(×)(3)在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓柱的母線.(×)(4)直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體都是圓錐.(×)2.(必修第二冊P105T4變式)下列幾何體中是棱臺的是()【解析】選D.A,C不是由棱錐截成的,不符合棱臺的定義,故A,C不符合題意;B中的截面不平行于底面,不符合棱臺的定義,故B不符合題意;D符合棱臺的定義.3.長、寬、高分別為1,2,3的長方體的頂點都在同一球面上,則該球的表面積為________.

【解析】設該球的半徑為R,易知長方體的體對角線為球的直徑,則2R=12+22+(3)2=22,R=答案:8π4.(必修第二冊P119習題8.3T2變式)如圖所示,在長方體ABCD-A'B'C'D'中,用截面截下一個棱錐C-A'DD',則棱錐C-A'DD'的體積與剩余部分的體積之比為________.

【解析】設AB=a,AD=b,DD'=c,則長方體ABCD-A'B'C'D'的體積V=abc.又S△A'DD'=12bc,且棱錐C-A'DD'的高為CD=a,所以V棱錐C-A'DD'=13S△A'DD'·CD=16abc.則剩余部分的體積V剩=abc-16abc=56abc.故V棱錐C-A'DD'∶V剩=16abc∶答案:1∶5【考點探究核心突破】考點一基本立體圖形角度1直觀圖【例1】在平面直角坐標系中水平放置的直角梯形OABC如圖所示.已知O為坐標原點,A(22,0),B(22,2),C(0,6).在用斜二測畫法畫出的它的直觀圖中,四邊形O'A'B'C'的周長為 ()A.8 B.10 C.5+22 D.6+22【解析】選D.如圖,畫出直觀圖,過點A'作A'D⊥O'C',垂足為D.因為O'C'=12OC=3,A'B'=12AB=1,∠C'O'A'=∠B'A'x'=45°,O'A'=2所以O'C'∥A'B',O'D=A'D=2,所以C'D=1=A'B',所以四邊形A'B'C'D為平行四邊形,則A'D=B'C'=2,故四邊形O'A'B'C'的周長為O'A'+A'B'+B'C'+O'C'=6+22.[變式探究]將本例中直角梯形OABC修改為如圖,結果又是多少?【解析】如圖,畫出直觀圖,過點A'作A'D'∥O'C',交B'C'于點D'.則O'A'∥B'C',O'A'=OA=1,B'C'=BC=2,O'C'=12OC=2易知O'A'D'C'是平行四邊形,所以A'D'=O'C'=2,C'D'=O'A'=1,B'D'=B'C'-C'D'=1,∠A'D'B'=45°,由余弦定理可得A'B'2=A'D'2+B'D'2-2A'D'·B'D'·cos∠A'D'B'=(2)2+12所以A'B'=1,所以四邊形O'A'B'C'的周長為O'A'+A'B'+B'C'+O'C'=4+2.思維升華解直觀圖(斜二測畫法)問題的關注點(1)把握“不變”①平行性不變;②平行于x,z軸的線段長度不變.(2)注意“變化”①平行于y軸的線段平行性不變,長度減半;②角的大小通常是變化的.如水平放置的等邊三角形的直觀圖中三個角都不是60°.角度2展開圖【例2】(2025·承德模擬)在圓錐SO中,軸截面△SAC為腰長為22的等腰直角三角形,B為底面圓上一點,且E為線段AB上一動點,若△ABC為等腰三角形,則SE+CE的最小值為()A.25 B.2(3+1) C.33 D.2(3+2)【解析】選B.如圖,因為軸截面△SAC為腰長為22的等腰直角三角形,所以SA=SC=22,AC=4,又因為△ABC為等腰三角形,所以AB=BC=22,所以SA=SB=AB=22,將△ABC和△ABS平鋪成一個平面,如圖,此時∠S'BC=150°,當S',E,C三點共線時,SE+CE最小,最小值為S'B2+BC思維升華展開圖問題的求解策略(1)多面體表面展開圖因剪開的位置不同可以有不同的形狀,但圖形面積相等.借助展開圖可以求幾何體的表面積及表面上兩點間的距離,還可將部分空間問題轉化為平面問題.(2)旋轉體表面展開圖一般沿母線剪開,其中圓柱的側面展開圖為矩形,圓錐的側面展開圖為扇形,圓臺的側面展開圖為扇環,球面無法展開.對點訓練如圖所示,圓臺母線AB長為20cm,上、下底面半徑分別為5cm和10cm,從母線AB的中點M拉一條繩子繞圓臺側面轉到B點,則這條繩長的最小值為________cm.

【解析】作出圓臺的軸截面與側面展開圖,如圖所示,如圖1,由其軸截面中Rt△OPA與Rt△OQB相似,得OAOA+AB=510,如圖2,設∠BOB'=α,由于BB'的長與底面圓Q的周長相等,而底面圓Q的周長為2π×10=20π(cm).扇形OBB'的半徑為OA+AB扇形OBB'所在圓的周長為2π×40=80π(cm).所以扇形弧BB'的長度20π為所在圓周長的1所以OB⊥OB'.又M為AB的中點,所以OM=30cm,所以在Rt△B'OM中,B'M2=402+302,所以B'M=50cm,即所求繩長的最小值為50cm.答案:50【加練備選】1.如圖所示,在四邊形OABC中,OA=2,AB=22,BC=3,OA⊥AB且OA∥BC,則四邊形OABC水平放置時,用斜二測畫法得到的直觀圖面積為()A.52 B.5 C.52 D.【解析】選C.如圖所示,O'A'B'C'為OABC的直觀圖,根據斜二測畫法的規則可知O'A'=2,A'B'=2,B'C'=3,A'B'平行于y'軸,所以該圖形的面積為S=12×3+2×2×22=2.正三棱錐A-BCD中,∠BAD=30°,側棱AB=2,BD平行于過點C的截面CB1D1,則截面CB1D1與正三棱錐A-BCD側面交線的周長的最小值為 ()A.2 B.23 C.4 D.22【解析】選D.把正三棱錐A-BCD的側面展開,兩點間的連接線CC'即是截面周長的最小值.正三棱錐A-BCD中,∠BAD=30°,所以AC⊥AC',AB=2,所以CC'=22,所以截面周長的最小值是22.考點二空間幾何體的表面積與側面積【例3】(1)(2024·安康模擬)已知正三棱臺ABC-A1B1C1的上底面積為3,下底面積為43,高為2,則該三棱臺的表面積為()A.53+339 B.339 C.53+18 D.18【解析】選A.由面積公式可得正三棱臺上下底面邊長分別為2和4,設C1在底面ABC內的射影為H,連接C1H,CH,作HQ⊥BC于點Q,C1H⊥平面ABC,BC?平面ABC,則有C1H⊥BC.又HQ⊥BC,C1H∩HQ=H,C1H,HQ?平面C1HQ,所以BC⊥平面C1HQ,C1Q?平面C1HQ,所以BC⊥C1Q.由BC=4,B1C1=2,BB1=CC1,得CQ=1.又∠HCQ=π6,所以HQ=33,則C1Q=C1故三棱臺的側面積為2+42×393×3=339,表面積為53+3(2)如圖所示,在四邊形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=22,AD=2,則四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉一周所成幾何體的表面積為________.

【解析】由題意可得,四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉一周所成幾何體為圓臺挖去一個圓錐.如圖,過C作CE⊥AD交AD的延長線于點E,過C作CF⊥AB,垂足為F.則∠EDC=180°-∠ADC=45°,EC=CD·sin45°=2,ED=CD·cos45°=2,易得四邊形AECF為矩形,所以CF=AE=4,AF=CE=2,所以BF=AB-AF=3,BC=32+故圓臺的上底面半徑r1=2,下底面半徑R=5,高h1=4,母線長l1=5.圓錐底面半徑r2=2,高h2=2,母線長l2=22.所以圓臺側面積S1=π(R+r1)l1=π(5+2)×5=35π,圓錐側面積S2=πr2l2=π×2×22=42π,圓臺下底面面積S3=πR2=25π.故該幾何體的表面積S=S1+S2+S3=35π+42π+25π=(60+42)π.答案:(60+42)π思維升華空間幾何體表面積的求解策略1.旋轉體的表面積問題注意其軸截面及側面展開圖的應用,并弄清底面半徑、母線長、與對應側面展開圖中邊的關系.2.多面體的表面積是各個面的面積之和,組合體的表面積注意銜接部分的處理.對點訓練1.如圖1是文祥塔,位于浙江省溫州市泰順縣城南象山之上,初名象山塔,后人重修時易名為文祥塔.已知該塔六面七層且第七層塔身可近似地視為一個高為2.8m、底面邊長為2m的正六棱柱,塔頂可近似地視為一個高為1m的正六棱錐,\如圖2所示,則該塔的第七層塔身及其塔頂的表面積之和約為()A.45.6m2B.(45.6+63)m2C.(33.6+65)m2D.(33.6+65+63)m2【解析】選A.如圖,設正六棱錐的底面正六邊形的中心為O,則△OAB為等邊三角形,連接點O與邊AB的中點H,連接PH,PO,由已知可得OH⊥AB,PH⊥AB,因為正六邊形的邊長為2,所以OH=22-12=3.又正六棱錐的高PO=1,故正六棱錐的側面的高為PH=12+(3)2=2,則該塔的第七層塔身及其塔頂的表面積之和為(22.如圖,某沙漏由上、下兩個圓錐組成,圓錐的底面直徑和高均為16,當細沙全部在上面的圓錐內時,其高度為圓錐高度的12(中間銜接的細管長度忽略不計).當細沙全部漏入下部后,恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆,則此沙堆的側面積為(A.45π B.85πC.3217π D.1617π【解析】選D.細沙在上部圓錐內時的體積V=13×π×42×8=128π3,漏入下部后的圓錐形沙堆底面半徑為8,設高為h1,則13×π×82·h1=128π3,解得h1=2,所以下部圓錐形沙堆的母線長l=82+22=217,故此沙堆的側面積考點三空間幾何體的體積角度1公式法求體積【例4】(2024·新高考Ⅰ卷)已知圓柱和圓錐的底面半徑相等,側面積相等,且它們的高均為3,則圓錐的體積為()A.23π B.33π C.63π D.93π【解析】選B.設圓柱的底面半徑為r,則圓錐的母線長為r2+3,而它們的側面積相等,所以2πr×3=πr×3+r2即2故r=3,故圓錐的體積為13π×9×3=33π角度2割補法求體積【例5】(一題多法)如圖是一個以△ABE為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體,截面為CDF,已知AD=4,BC=AE=BE=2,EF=3且∠AEB=90°,則所得的幾何體的體積為________.

【解析】法一(分割法):如圖,過點C作CM∥AB,交AD于點M,作CN∥BE,交EF于點N,連接MN.由題意可知四邊形ABCM,BENC都是矩形,AM=BC=NE=DM=2,CN=BE=2,FN=1,又∠AEB=90°,所以AB=CM=AE2+BE2=22.所以S△ABE=12×2×2=2.因為截面CMN把這個幾何體分割為直三棱柱ABE-MCN和四棱錐C-MNFD,直三棱柱ABE-MCN的體積V1=S△ABE·V2=13S四邊形MNFD·CN=13×12×(1+2)×2×2=2,所以所求幾何體的體積為V1+V法二(補形法):如圖,延長BC至點M,使得CM=2,延長EF至點N,使得FN=1,連接DM,MN,DN,得到直三棱柱ABE-DMN,所以所求幾何體的體積等于直三棱柱ABE-DMN的體積減去四棱錐D-CMNF的體積.因為V三棱柱ABE-DMN=12V四棱錐D-CMNF=13×(1+22×2所以所求幾何體的體積為V三棱柱ABE-DMN-V四棱錐D-CMNF=8-2=6.答案:6角度3等體積法求體積【例6】(2025·咸陽模擬)已知四棱錐VA-BCDE=16,CD=3,BC=4,CE平分∠BCD,點P在棱AC上且滿足AC=3AP,則三棱錐A-DEP的體積為()A.87 B.167 C.85 【解析】選B.根據題意,設點A到平面BCDE的距離為d,C到平面ADE的距離為h,則有VA-BCDE=13d×S四邊形BCDE=13d×(S△BCE+S△而S△BCE=12BC·CE·sin∠BCE,S△CDE=12CD·CE·sin∠又由CD=3,BC=4,CE平分∠BCD,則S△BCE=43S△CDE則VA-CDE=13d×S△CDE=37×(13d×S四邊形BCDE)=37×VA-故VC-ADE=VA-CDE=487,而VC-ADE=13h×S△ADE,則有13h×S△ADE又由點P在AC上且滿足AC=3AP,故P到平面AED的距離為h3則有VP-ADE=13VC-ADE=16故VA-DEP=VP-ADE=167思維升華求空間幾何體體積的常用方法公式法規則幾何體的體積,直接利用公式求解割補法把不規則的幾何體分割成規則的幾何體,或者把不規則的幾何體補成規則的幾何體等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法,特別是三棱錐的體積對點訓練1.(2025·八省聯考)底面直徑和母線長均為2的圓錐的體積為()A.33π B.π C.2π D.【解析】選A.h=22-12=3,V=13πr2h=13π·122.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BC=2,BB1=3,∠ABC=90°,點D為側棱BB1上的動點.當AD+DC1最小時,三棱錐D-ABC1的體積為()A.1 B.12 C.13 D【解析】選C.將直三棱柱ABC-A1B1C1展開成矩形ACC1A1,如圖,連接AC1,交BB1于D,此時AD+DC1最小.因為AB=1,BC=2,BB1=3,∠ABC=90°,所以AB⊥BC,因為BB1⊥BC,AB∩BB1=B且AB,BB1?平面ABB1A1,所以BC⊥平面ABB1A1,又BC∥B1C1,則B1C1⊥平面ABB1A1,即B1C1⊥平面ABD,點D為側棱BB1上的動點,當AD+DC1最小時ABAC=BDCC1,即13=又△ABD為直角三角形,此時三棱錐D-ABC1的體積為:VD-ABC1=VC1-ABD=13S△ABD·B3.(一題多法)(2023·新高考Ⅱ卷)底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截,截去一個底面邊長為2,高為3的正四棱錐,所得棱臺的體積為________.

【解析】法一:由棱臺性質可知,上下兩個底面邊長的相似比為1∶2,故截后棱臺的高為3,上底面為邊長為2的正方形,下底面為邊長為4的正方形,代入棱臺體積公式得:V=13×3×(22+42+22法二:由題意易求正四棱錐高為6,V棱臺=V大四棱錐-V小四棱錐=13×4×4×6-13答案:284.(2024·九省聯考)已知軸截面為正三角形的圓錐MM'的高與球O的直徑相等,則圓錐MM'的體積與球O的體積的比值是________,圓錐MM'的表面積與球O的表面積的比值是________.

【解析】設圓錐的底面半徑為r