人教A版2019高一數學必修二第二學期861直線與直線垂直

第八章立體幾何初步8.6.1直線與直線垂直人教A版高一數學必修二第二學期8.6.1直線與直線垂直核心素養目標1.數學抽象：借助正方體，通過直觀感知，類比相交直線所成角，歸納出異面直線所成角的概念2.直觀想象：在具體幾何情景下作出兩條異面直線所成的角3.邏輯推理：會用異面直線所成角證明異面直線垂直。4.數學運算：利用異面直線所成角的定義，找出或作出異面直線所成角，并在三角形中求出角。

教學目標教學重點：異面直線所成的角。教學難點：在具體幾何情景下作出兩條異面直線所成的角。

知識講解空間

直線、平面平行知識講解空間兩直線的位置關系：(1)從公共點的數目來看可分為：①有且只有一個公共點——兩直線相交記作：l1∩l2=A②沒有公共點兩直線平行l1//l2兩直線為異面直線

(2)從平面的性質來講，可分為：①在同一平面內②不同在任何一個平面內——兩直線為異面直線。兩直線平行l1//l2兩直線平行6知識講解證明直線平行的方法:①三角形、梯形的中位線(找中點:平行四邊形對角線互相平分)②平行四邊形的對邊平行(先證平行四邊形)③平行線分線段成比例定理④平行線的傳遞性知識講解觀察：如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，直線A'C'與直線AB，直線A'D'與直線AB都是異面直線，直線A'C'與A'D'相對于直線AB的位置相同嗎？如果不同，如何表示這種差異呢？不同，我們知道，平面內兩條直線相交形成4個角，其中不大于90°的角稱為這兩條直線所成的角（或夾角），它刻畫了一條直線相對于另一條直線傾斜的程度．圖中的角θ即為直線a與直線b的夾角．類似地，可以用“異面直線所成角”來刻畫兩條異面直線的位置關系.知識講解異面直線所成的角:在平面內,兩條直線相交成四個角,其中不大于90度的角稱為它們的夾角,用以刻畫兩直線的錯開程度,如圖.9知識講解

如圖,已知兩條異面直線a,b,經過空間任一點O作直線a′//a，b′//b,則把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線所成的角(或夾角).異面直線所成角的定義:（1）將空間圖形轉化為平面圖形（2）異面直線夾角轉化為相交直線的夾角10知識講解異面直線垂直:如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直。直線a與直線b垂直，記作a⊥b。當兩條直線a，b相互平行時，我們規定它們所成的角為00。所以空間兩條直線所成角α的取值范圍是

而兩條異面直線所成的角度的取值范圍是知識講解如圖，已知正方體ABCD－A'B'C'D'.（1）哪些棱所在的直線與直線AA'垂直？解：(1)(1)與直線AA1垂直的棱所在直線有AB,BC,CD,DA,A′B′,B′C′,C′D′,D′A′.分別與AA'垂直。知識講解如圖，已知正方體ABCD－A'B'C'D'.(2)求直線BA′與CC′所成角的大小.所成角解：知識講解如圖，已知正方體ABCD－A'B'C'D'.(3)求直線BA′與AC所成角的大小.1.構造（作）2.證明（證）3.計算（求：）解：連接A′C′∵ABCD-A′B′C′D′是正方體∴AA′CC′∴四邊形AA1C1C是平行四邊形∴AC∥A′C′∴∠BA1C1為直線BA1與AC所成的角連接BC′,易知△A1BC1是等邊三角形∴∠BA1C1=60°∴異面直線BA1與AC所成的角等于60°4.結論知識講解如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O1為底面A1B1C1D1的中心。求證：AO1⊥BD。證明：如圖，連接B1D1。∵ABCD－A1B1C1D1是正方體。

∴BB1//C1D1，BB1=C1D1

∴四邊形BB1DD1是平行四邊形。∴B1D1//BD所以，直線AO1與B1D1所成的角即為直線AO1與BD所成的角。連接AB1，AD1，易證AB1=AD1.又O1為底面A1B1C1D1的中心，因為O1為B1D1的中點，∴AO1⊥B1D1∴AO1⊥BD

①作：恰當地選擇一個點（經常在其中一條線上取一點），常用平移法作出異面直線所成的角(或其補角)；

②證：證明①中所作出的角(或其補角)就是所求異面直線所成的角；（注：證明線線平行）

③求：通過解三角形或其他方法，求出①中所構造的角的大小；④結論：假如所構造的角的大小為α，若0°<α≤90°,則α即為所求異面

直線所成角的大小；若90°<α<180°,則180°－α即為所求．

求異面直線所成的角的一般步驟簡記：一作、二證、三求、四結論歸納總結16知識講解如圖，在正三棱柱ABC－A'B'C'中，D為棱AC的中點，AB=BB'=2，求證：BD⊥AC'.找中點、中位線

1.構造（作）

證明：如圖，連接B1D1

∵ABCD-A1B1C1D1是正方體

∴BB1

DD1∴四邊形BB1D1D是平行四邊形∴B1D1//BD

∴∠AO1D1(或其補角)為直線AO1與BD所成的角2.證明（證）連接AB1，AD1，易證AB1=AD1又O1為底面A1B1C1D1的中心∴O1是B1D1的中點∴AO1⊥B1D1∴AO1⊥BD3.計算4.結論∴AO1⊥BD知識講解1．分別在兩個平面內的兩條直線間的位置關系是()A．異面 B．平行C．相交 D．以上都有可能【解析】當兩個平面平行時，這兩條直線的位置關系為平行或異面，當兩個平面相交時，這兩條直線的位置關系有可能相交或異面．

D18知識講解如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為AA1、AB、BB1、B1C1的中點，則異面直線EF與GH所成的角等于()A．45° B．60°C．90° D．120°【解:】取A1B1中點I，連接IG、IH，則EF//IG.易知IG，IH，HG相等，則△HGI為等邊三角形，則IG與GH所成的角為60°，即EF與GH所成的角為60°.B

知識講解如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC與BC1所成角的大小是

．【解:】連接AD1，則AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其補角)就是AC與BC1所成的角，連接CD1，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°，即AC與BC1所成的角為60°.60°知識講解如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四邊形，則PA與CD所成的角是

．【解:】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠PAB是PA與CD所成的角．又∵PA⊥AB，

∴∠PAB＝90°.90°知識講解如圖所示，AB是圓O的直徑，點C是