2023-2024學年浙教版九年級下冊數學教案全冊

1.1銳角三角函數（1）教學目標：1.探索直角三角形中銳角三角函數值與三邊之間的關系。2.掌握三角函數定義式：sinA=，cosA=，重點和難點重點：三角函數定義的理解。難點：直角三角形中銳角三角函數值與三邊之間的關系及求三角函數值。【教學過程】一、情境導入如圖是兩個自動扶梯，甲、乙兩人分別從1、2號自動扶梯上樓，誰先到達樓頂?如果AB和A′B′相等而∠α和∠β大小不同，那么它們的高度AC和A′C′相等嗎？AB、AC、BC與∠α，A′B′、A′C′、B′C′與∠β之間有什么關系呢？------導出新課二、新課教學1、合作探究（1）作2、三角函數的定義在Rt△ABC中，如果銳角A確定，那么∠A的對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之確定.∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正弦(sine)，記作sinA，即sinA＝∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦(cosine)，記作cosA，即cosA=∠A的對邊與∠A的鄰邊的比叫做∠A的正切(tangent)，記作tanA，即銳角A的正弦、余弦和正切統稱∠A的三角函數.注意：sinA，cosA，tanA都是一個完整的符號，單獨的“sin”沒有意義，其中A前面的“∠”一般省略不寫。師：根據上面的三角函數定義，你知道正弦與余弦三角函數值的取值范圍嗎？師：（點撥）直角三角形中，斜邊大于直角邊．生：獨立思考，嘗試回答，交流結果．明確：0＜sina＜1，0＜cosa＜1.鞏固練習：課本第6頁課內練習T1、作業題T1、23、例題教學：課本第5頁中例1.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°，AB=5,BC=3,求∠A,∠B的正弦,余弦和正切.分析：由勾股定理求出AC的長度，再根據直角三角形中銳角三角函數值與三邊之間的關系求出各函數值。師：觀察以上計算結果,你發現了什么?明確：sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=14、課堂練習：課本第6頁課內練習T2、3，作業題T3、4、5、6三、課堂小結：談談今天的收獲1、內容總結（1）在RtΔABC中,設∠C=900，∠α為RtΔABC的一個銳角，則∠α的正弦，∠α的余弦，∠α的正切（2）一般地，在Rt△ABC中,當∠C=90°時，sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=12、方法歸納在涉及直角三角形邊角關系時，常借助三角函數定義來解四、布置作業：練習卷1.1銳角三角函數（2）教學目標(一)教學知識點1.經歷探索30°、45°、60°角的三角函數值的過程，能夠進行有關的推理.進一步體會三角函數的意義.2.能夠進行30°、45°、60°角的三角函數值的計算.3.能夠根據30°、45°、60°的三角函數值說明相應的銳角的大小.(二)思維訓練要求1.經歷探索30°、45°、60°角的三角函數值的過程，發展學生觀察、分析、發現的能力.2.培養學生把實際問題轉化為數學問題的能力.(三)情感與價值觀要求1.積極參與數學活動，對數學產生好奇心.培養學生獨立思考問題的習慣.2.在數學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心.教學重點1.探索30°、45°、60°角的三角函數值.2.能夠進行含30°、45°、60°角的三角函數值的計算.3.比較銳角三角函數值的大小.教學難點進一步體會三角函數的意義.教學過程Ⅰ.創設問題情境，引入新課[問題]為了測量一棵大樹的高度，準備了如下測量工具：①含30°和60°兩個銳角的三角尺；②皮尺.請你設計一個測量方案，能測出一棵大樹的高度.(用多媒體演示上面的問題，并讓學生交流各自的想法)[生]我們組設計的方案如下：讓一位同學拿著三角尺站在一個適當的位置B處，使這位同學拿起三角尺，她的視線恰好和斜邊重合且過樹梢C點，30°的鄰邊和水平方向平行，用卷尺測出AB的長度，BE的長度，因為DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的長度即可.[生]在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知的，設BE=a米，則AD＝a米，如何求CD呢?[生]含30°角的直角三角形有一個非常重要的性質：30°的角所對的邊等于斜邊的一半，即AC＝2CD，根據勾股定理，(2CD)2＝CD2+a2.CD＝a.則樹的高度即可求出.[師]我們前面學習了三角函數的定義，如果一個角的大小確定，那么它的正切、正弦、余弦值也隨之確定，如果能求出30°的正切值，在上圖中，tan30°=，則CD=atan30°，豈不簡單.你能求出30°角的三個三角函數值嗎?Ⅱ.講授新課1.探索30°、45°、60°角的三角函數值.[師]觀察一副三角尺，其中有幾個銳角?它們分別等于多少度?[生]一副三角尺中有四個銳角，它們分別是30°、60°、45°、45°.[師]sin30°等于多少呢?你是怎樣得到的?與同伴交流.[生]sin30°＝.sin30°表示在直角三角形中，30°角的對邊與斜邊的比值，與直角三角形的大小無關.我們不妨設30°角所對的邊為a(如圖所示)，根據“直角三角形中30°角所對的邊等于斜邊的一半”的性質，則斜邊等于2a.根據勾股定理，可知30°角的鄰邊為a，所以sin30°＝.[師]cos30°等于多少?tan30°呢?[生]cos30°＝.tan30°=[師]我們求出了30°角的三個三角函數值，還有兩個特殊角——45°、60°，它們的三角函數值分別是多少?你是如何得到的?[生]求60°的三角函數值可以利用求30°角三角函數值的三角形.因為30°角的對邊和鄰邊分別是60°角的鄰邊和對邊.利用上圖，很容易求得sin60°=,cos60°=,tan60°＝.[生]也可以利用上節課我們得出的結論：一銳角的正弦等于它余角的余弦，一銳角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°＝cos(90°-60°)＝cos30°=cos60°=sin(90°-60°)=sin30°=.[師生共析]我們一同來求45°角的三角函數值.含45°角的直角三角形是等腰直角三角形.(如圖)設其中一條直角邊為a，則另一條直角邊也為a，斜邊a.由此可求得sin45°=,cos45°＝,tan45°=[師]下面請同學們完成下表(用多媒體演示)30°、45°、60°角的三角函數值三角函數角sinαcoαtanα30°45°160°這個表格中的30°、45°、60°角的三角函數值需熟記，另一方面，要能夠根據30°、45°、60°角的三角函數值，說出相應的銳角的大小.為了幫助大家記憶，我們觀察表格中函數值的特點.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能發現什么規律呢?[生]30°、45°、60°角的正弦值分母都為2，分子從小到大分別為，，，隨著角度的增大，正弦值在逐漸增大.[師]再來看第二列函數值，有何特點呢?[生]第二列是30°，45°、60°角的余弦值，它們的分母也都是2，而分子從大到小分別為，，，余弦值隨角度的增大而減小.[師]第三列呢?[生]第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一個銳角，所以tan45°=1比較特殊.[師]很好，掌握了上述規律，記憶就方便多了.下面同桌之間可互相檢查一下對30°、45°、60°角的三角函數值的記憶情況.相信同學們一定做得很棒.2.例題講解(多媒體演示)[例1]計算：(1)sin30°+cos45°；(2)sin260°+cos260°-tan45°.分析：本題旨在幫助學生鞏固特殊角的三角函數值，今后若無特別說明，用特殊角三角函數值進行計算時，一般不取近似值，另外sin260°表示(sin60°)2，cos260°表示(cos60°)2.解：(1)sin30°+cos45°=,(2)sin260°+cos260°-tan45°=()2+()2-1=+-1＝0.[例2]一個小孩蕩秋千，秋千鏈子的長度為2.5m，當秋千向兩邊擺動時，擺角恰好為60°，且兩邊的擺動角度相同，求它擺至最高位置時與其擺至最低位置時的高度之差.(結果精確到0.01m)分析：引導學生自己根據題意畫出示意圖，培養學生把實際問題轉化為數學問題的能力.解：根據題意(如圖)可知，∠BOD=60°，OB=OA＝OD=2.5m，∠AOD＝×60°＝30°，∴OC=OD·cos30°=2.5×≈2.165(m).∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m).所以，最高位置與最低位置的高度約為0.34m.Ⅲ.隨堂練習多媒體演示1.計算：(1)sin60°-tan45°；(2)cos60°+tan60°；(3)sin45°+sin60°-2cos45°.解：(1)原式＝-1=；(2)原式=+=(3)原式=×+×；=2.某商場有一自動扶梯，其傾斜角為30°.高為7m，扶梯的長度是多少?解：扶梯的長度為=14(m)，所以扶梯的長度為14m.Ⅳ.課時小結本節課總結如下：(1)探索30°、45°、60°角的三角函數值.sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝；cos30°＝，cos45°＝，cos60°＝；tan30°=，tan45°＝1，tan60°=.(2)能進行含30°、45°、60°角的三角函數值的計算.(3)能根據30°、45°、60°角的三角函數值，說出相應銳角的大小.Ⅴ.課后作業練習卷Ⅵ.活動與探究(2003年甘肅)如圖為住宅區內的兩幢樓，它們的高AB＝CD=30m，兩樓問的距離AC=24m，現需了解甲樓對乙樓的采光影響情況.當太陽光與水平線的夾角為30°時，求甲樓的影子在乙樓上有多高?(精確到0.1m，≈1.41，≈1.73)[過程]根據題意，將實際問題轉化為數學問題，當光線從樓頂E，直射到乙樓D點，D點向下便接受不到光線，過D作DB⊥AE(甲樓).在Rt△BDE中.BD=AC＝24m，∠EDB＝30°.可求出BE，由于甲、乙樓一樣高，所以DF=BE.[結果]在Kt△BDE中，BE=DB·tan30°＝24×=8m.∵DF＝BE，∴DF=8≈8×1.73＝13.84(m).甲樓的影子在乙樓上的高CD=30-13.84≈16.2(m).備課參考資料參考練習1.計算：.答案：3-2.計算：(+1)-1+2sin30°-答案：-3.計算：(1+)0-｜1-sin30°｜1+()-1.答案：4.計算：sin60°+答案：-5.計算；2-3-(+π)0-cos60°-.答案：-1.2有關三角函數的計算（1）教學目標：使學生能用計算器求銳角三角函數值，并能初步運用銳角三角函數解決一些簡單解直角三角形的問題。教學重點：教學難點：教學過程一、由問題引入新課問題：小明放一個線長為125米的風箏，他的風箏線與水平地面構成60°的角，他的風箏有多高?(精確到1米)根據題意畫出示意圖，如右圖所示，在Rt△ABC中，AB＝125米，∠B＝60°，求AC的長。(待同學回答后老師再給予解答)在上節課，我們學習了30°、45°、60°的三角函數值，假如把上題的∠B＝60°改為∠B＝63°，這個問題是否也能得到解決呢?揭示課題：已知銳角求三角函數值二、用計算器求任意銳角的三角函數值1、同種計算器的學生組成一個學習小組，共同探討計算器的按鍵方法。教師巡視指導。2、練一練：（1）求下列三角函數值：sin60°，cos70°，tan45°，sin29.12°，cos37°42′6″，Tan18°31′（2）計算下列各式：Sin25°+cos65°;sin36°·cos72°;tan56°·tan34°3、例1如圖,在Rt△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９００，已知ＡＢ＝１２cm，∠Ａ＝３５０，求△ＡＢＣ的周長和面積.（周長精確到０.１cm，面積保留３個有效數字）4、做一做：求下列各函數值,并把它們按從小到大的順序用“<”連接：（2）cos27°12′，cos85°，cos63°36′15″，cos54°23′，cos38°39′52″問：當α為銳角時，各類三角函數值隨著角度的增大而做怎樣的變化?小結：Sinα，tanα隨著銳角α的增大而增大；Cosα隨著銳角α的增大而減小．三、課堂練習課本第12頁作業題第5、6題．這兩題實際上已經牽涉到解直角三角形的有關知識，為此在引導學生尋找解決方法時著重時根據已知條件適當選用函數關系式。四、小結1．我們可以利用計算器求出任意銳角的三角函數值2．我們可以利用直角三角形的邊角關系解決一些實際的問題．五、作業：練習卷在解直角三角形的過程中，常會遇到近似計算，本書除特別說明外，邊長保留四個有效數字，角度精確到1′.解直角三角形，只有下面兩種情況：（1）已知兩條邊；（2）已知一條邊和一個銳角（兩個已知元素中至少有一條邊）7、你會求嗎？課本P17作業題三、小結：在直角三角形中，除直角外還有五個元素，知道兩個元素(至少有一個是邊)，就可以求出另三個元素．四、布置作業：練習卷1.3解直角三角形（2）教學目標1、了解測量中坡度、坡角的概念；2、掌握坡度與坡角的關系，能利用解直角三角形的知識，解決與坡度有關的實際問題，3、進一步培養學生把實際問題轉化為數學問題的能力。教學重點：有關坡度的計算教學難點：構造直角三角形的思路。教學過程一、引入新課如右圖所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一個傾斜程度比較大?顯然，斜坡A1Bl的傾斜程度比較大，說明∠A1＞∠A。從圖形可以看出，EQ\f(B1C1,A1C1)＞EQ\f(BC,AC)，即tanAl＞tanA。在修路、挖河、開渠和筑壩時，設計圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度。二、新課1．坡度的概念，坡度與坡角的關系。如右圖，這是一張水庫攔水壩的橫斷面的設計圖，坡面的鉛垂高度與水平寬度的比叫做坡度(或坡比)，記作i，即i＝EQ\f(AC,BC)，坡度通常用l：m的形式，例如上圖中的1：2的形式。坡面與水平面的夾角叫做坡角。從三角函數的概念可以知道，坡度與坡角的關系是i＝tanB，顯然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。2．例題講解。例1．如圖，一段路基的橫斷面是梯形，高為4.2米，上底的寬是12.51米，路基的坡面與地面的傾角分別是32°和28°，求路基下底的寬。(精確到0.1米)分析：四邊形ABCD是梯形，通常的輔助線是過上底的兩個頂點引下底的垂線，這樣，就把梯形分割成直角三角形和矩形，從題目來看，下底AB＝AE＋EF＋BF，EF＝CD＝12.51米．AE在直角三角形AED中求得，而BF可以在直角三角形BFC中求得，問題得到解決。例2．如圖，一段河壩的斷面為梯形ABCD，試根據圖中數據，求出坡角。和壩底寬AD。(i＝CE:ED，單位米，結果保留根號)三、練習課本第19頁課內練習。四、小結會知道坡度、坡角的概念能利用解直角三角形的知識，解決與坡度、坡角有關的實際問題，特別是與梯形有關的實際問題，懂得通過添加輔助線把梯形問題轉化為直角三角形來解決。五、作業：1.3解直角三角形（3）教學目標：1、進一步掌握解直角三角形的方法；2、比較熟練的應用解直角三角形的知識解決與仰角、俯角有關的實際問題；3、培養學生把實際問題轉化為數學問題的能力。教學重點：解直角三角形在測量方面的應用；教學難點：選用恰當的直角三角形，解題思路分析。教學過程一、給出仰角、俯角的定義在本章的開頭，我們曾經用自制的測角儀測出視線(眼睛與旗桿頂端的連線)與水平線的夾角，那么把這個角稱為什么角呢?如右圖，從下往上看，視線與水平線的夾角叫仰角，從上往下看，視線與水