地下水數值模擬07

第六章

反求水文地質參數的數值方法一、基本概念正演問題與反演問題正演問題（正問題）：

——在已知地下水流動的微分方程及水文地質參數K、M、W、μ、μ*和邊界條件的前提下，求解滲流區域內的水頭分布規律和流量。反演問題（逆問題）：——根據地下水的天然動態或抽水試驗的觀測資料研究所選用的方程類型是否適當、確定方程的參數和檢驗定解條件。一、基本概念反求參數問題的適定性解的存在性——解是否存在？解的唯一性——解是否唯一？解的穩定性——解是否穩定？根據實際資料反求滲流區的水文地質參數(有時包括邊界流量)，這樣的解是否存在？根據實際資料反求的水文地質參數是否唯一？當實測資料有微小誤差時，反求的水文地質參數的誤差是否也微小，即水文地質參數是否連續依賴于實測資料。可以滿足很難滿足很難滿足解的唯一性例1均質等厚二維承壓含水層穩定流動問題在同一區域同一邊界條件下，不管導水系數T取何值，水頭分布相同。例2◆正問題：H為未知量，T為已知量可以求得：◆逆問題：T為未知量可以求得：需要補充相應條件以確定參數若已知若單從觀測數據反求參數，可能存在多種解！！解的穩定性例水頭較小的誤差，可能會引起所求參數較大的誤差!!若實測水頭存在誤差ε，即：從數學上講：雖然ε很小，但其導數可能很大。若數值模型反演問題解的適定性以非均質承壓二維非穩定流為例(i,j)(i-1,j)(i,j+1)(i,j-1)(i+1,j)如圖所示的有限差分網格，其差分方程為：◆正問題：H為未知量◆逆問題：T、μ*、W為未知量數值模型反演問題解的適定性根據方程個數N和未知參數個數M（m1+m2+m3）之間的關系：（1）N<M:方程組可能存在無窮多組解——不滿足唯一性（3）N>M:一般不存在任何一組參數使所有方程同時滿足。然而，根據問題本身的物理特性，應該存在一組參數使這些方程基本得到滿足（2）N=M:當系數矩陣行列式不等于0，能求出唯一解（需要足夠多資料）當系數矩陣行列式的值很小，則水頭觀測的微小變化可能造成參數的很大變化——不滿足穩定性反求參數問題的適定性反求參數問題本身不一定是唯一的，也不一定是穩定的。但是對于實際問題，我們可以根據對水文地質條件的初步認識以及通過其它手段得到一些輔助的資料和參數的約束條件從而使得反求參數問題在一定程度上是唯一的和穩定的。二、反求參數的直接解法求解思路：指在地下水流動微分方程(或描述地下水流動的數值模型)中，將水頭值作為已知量，將待求的參數(往往包括源匯項及邊界流量)等作為未知量，直接求解未知參數的方法。常用方法：局部直接求逆法數學規劃法應用現狀：對數據誤差十分敏感，對觀測資料有過高的要求，因而目前還難以應用。局部直接求逆法例已知不同時刻局部區域水頭H和源匯項W的實測值，需要求解T和μ*設：優點：不需要初始條件，也不需要邊界條件。對均質各向同性、等厚的滲流區來說，只需要知道某個局部區域在兩個不同時刻的水頭值和垂直方向的水量交換的實測資料，因此，這個方法稱為“局部直接求逆法”。難點：如何求出方程中水頭對時間和空間的導數。實際計算發現系數矩陣對應的行列式之值通常很小，因此求參數住往會產生很大的誤差數學規劃法當方程個數N>未知參數個數M時，方程為超定方程組，一般不存在任何一組參數使所有方程同時滿足。

根據問題本身的物理特性，應該存在一組參數使這些方程基本得到滿足。設對應于參數組（k1,k2,k3,…,km）,第i個方程存在剩余求一組參數，使得剩余Ri達到最小。可表示為剩余的平方加權和最小故構建最優化問題（規劃問題）如下：目標函數約束條件優點：所求參數較好的符合實測資料難點：需要較多的觀測資料，對數據誤差敏感三、反求參數的間接解法求解思路：先給待定的水文地質參數假設一組初值，通過解正演問題計算相應的水頭分布，然后將計算水頭值與實測水頭值進行對比，看二者擬合程度如何。常用方法：試估——校正法數學規劃法應用現狀：較為穩定，因而應用較多，但被廣泛采用的有限。間接解法的常用公式故解逆問題轉化為最優化問題（規劃問題）如下：先給待定的水文地質參數｛k｝假設一組初值，通過解正演問題計算出ti時刻的水頭分布Hj(ti)，設該點相應的水頭觀測值為Hjobj(ti)

，則計算值與實測值之間的擬合程度的衡量標準為：非線性約束優化問題誤差絕對值誤差平方和加權平方和試估——校正法優點：除用正演問題的程序外，不需要其它計算程序。充分發揮解題人員的能動性。難點：當待求參數很多時，反復調整的過程可能延續很長。缺乏一個收斂準則，很難求得最優參數。根據研究區水文地質條件和已有的抽水試驗資料初步擬定一組參數值，通過解正演問題計算出各結點各時刻的水頭值，然后將計算水頭值與實測水頭值進行擬合對比，如擬合不好，則對給出的參數初值進行調整，再按正演問題計算。重復這一過程，直到計算水頭值與實測水頭值之差足夠小為止。逐個修正法基本思想：——初步選定一組參數｛k(0)

｝，逐個修正其中每一個分量ki0，全部修正完后便得到一組參數的改進值｛k(1)

｝。特點：以單因素優選法為基礎，對參數進行逐個修正，能在滿足約束條件下逐步減小目標函數值。但收斂速度不快，只有參數個數不多（n<10）且初值選取得比較好時才能體現出優越性。步驟：怎么找到最優值呢？——單因素優選法例：0.618法、二次插值法給定參數初值：保持其余n-1個參數值不變，對第一個參數按單因素優選法在變化范圍內選出參數的改進值，得到參數：保持其余n-1個參數值不變，對第二個參數按單因素優選法在變化范圍內選出參數的改進值，得到參數：重復上述步驟，直至全部參數修改一遍，得到參數的改進值檢查收斂條件。若滿足則停止運算，否則以改進值代替初值，重復第一步0.618法設函數f(x)在區間[a,b]內具有單峰性，即函數在區間上有唯一極小點。若在此區間之內任取兩點a1和b1，且a1

＜b1，然后計算這兩點的函數值，則可能出現以下三種情況：

怎樣取a1、b1？二次插值法假設評價函數E對單個參數而言，可近似的看作拋物線關系，即二次函數。將此拋物線最低點相對應的參數值作為該參數的最優值。取三個不同的k1值，確定拋物線方程中a1，a2單純形搜索法多維直接搜索法，可同時修正所有的待求參數。所謂單純形是指在n維空間中具有n+1個頂點的多面體。利用單純形的頂點，計算其函數值并加以比較，從中確定有利的搜索方向和步長，找到一個較好的點取代單純形中較差的點，組成新的單純形來代替原來的單純形，

例需要確定兩個水文地質參數k1，k2取3組不同的（k1,k2），在二維平面上對應三個點pHpLpG單純形單純形的基本操作pHpLpG評價函數最大評價函數最小評價函數次大過pH點并穿過其余二點的中點pC的方向為合適的尋找方向pC（1）反射：沿pHpC方向取點pR，使：pHpC=pCpR（2）壓縮：若ER≥EH，說明pR前進的太遠，需要適當后退則在pH和pR之間另取新點pSpR（3）擴張：若ER<EH，說明沿pHpC方向還可以前進的更遠則在pHpR延長線上另取新點pE若EE≤ER，擴張成功，pS=pE若EE>ER，擴張不成功，pS=pR反射壓縮擴張（4）收縮：若ES≥EG，說明用pS代替pH不過有多大改善，則將原單純形縮小，組成新的單純形n個水文地質參數，給出n+1組。α——擴張因