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九年級(jí)數(shù)學(xué) 證明（三） 第3章 證明三1:本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖四邊形平行四邊形矩形菱形正方形互相平分相等且互相垂直垂直相等相等垂直相等且互相平分互相垂直平分互相垂直平分且相等 2:對(duì)角線的紐帶作用3性質(zhì)判定，列表歸納平行四邊形矩形菱形正方形性質(zhì)邊對(duì)邊平行且相等對(duì)邊平行且相等對(duì)邊平行，四邊相等對(duì)邊平行，四邊相等角對(duì)角相等四個(gè)角都是直角對(duì)角相等四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角互相垂直平分且相等,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角判定兩組對(duì)邊分別平行；兩組對(duì)邊分別相等；一組對(duì)邊平行且相等;兩組對(duì)角分別相等；兩條對(duì)角線互相平分.有三個(gè)角是直角;是平行四邊形且有一個(gè)角是直角;是平行四邊形且兩條對(duì)角線相等.四邊相等的四邊形；是平行四邊形且有一組鄰邊相等；是平行四邊形且兩條對(duì)角線互相垂直。是矩形，且有一組鄰邊相等；是菱形，且有一個(gè)角是直角。對(duì)稱(chēng)性只是中心對(duì)稱(chēng)圖形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形面積S= ahS=ab(2)S菱形= LlL2 (Ll L2菱形對(duì)角線S正方形=a2=m2(a、m分為正方形邊長(zhǎng)和對(duì)角線考點(diǎn)一: 平行四邊形的性質(zhì)1. 下列命題平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行且相等；平行四邊形的對(duì)角線互相平分且相等；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形短邊間的距離大于長(zhǎng)邊之間的距離。其中正確的命題個(gè)數(shù)是（ ）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)2一個(gè)四邊形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)依次如下選項(xiàng)，其中是平行四邊形的是（ ）A88，108，88 B88，104，10888，92，92 D88，92，883平行四邊形ABCD中，ABCD可以是（ ）A、1221 B、2112 C、2211 D、2121 4平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是10，ABC的周長(zhǎng)是8，則對(duì)角線AC的長(zhǎng)是（ ）A、2 B、3 C、4 D、55如圖，ABCD中，對(duì)角線AC和 BD相交于點(diǎn)O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范圍是（ ）A1m11； B2m22； C10m12； D5m66以不在一條直線上的三點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形共有（ ）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)7如圖在平行四邊形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，CE和BD交于點(diǎn)O，設(shè)OCD的面積為m，OEB的面積為，則下列結(jié)論中正確的是（）AB C D8E是ABCD的一邊AD上任意一點(diǎn)，若EBC的面積為，ABCD的面積為，則下列與的大小關(guān)系正確的是（ ）A、 B、 C、 D、無(wú)法確定ADCBFE 第7題 第9題 第10題9. 如圖，在 ABCD中，AB、BC、CD的長(zhǎng)度分別為2x+1，3x，x+4，則 ABCD的周長(zhǎng)是_10如圖，在平行四邊形ABCD中，CE是DCB的平分線，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，AB6，BC4，則AEEFFB為（） A123 B 213 C 321 D 31211.ABCD的周長(zhǎng)為60，AOB的周長(zhǎng)比BOC大8，則AB 、BC 12.如圖，ABCD中，DEAB于E，DFBC于F，若ABCD的周長(zhǎng)為48，DE=5，DF=10。求ABCD的面積。12.(1)如圖,平行四邊形ABCD中,AB=5cm,BC=3cm, D與C的平分線分別交AB于點(diǎn)F、E，求AE、EF、BF的長(zhǎng)；（2）改變（1）題中BC的長(zhǎng)度，其他條件保持不變，能否使點(diǎn)E、F重合，點(diǎn)E、F重合時(shí)BC長(zhǎng)是多少？求AE、BE的長(zhǎng)；（3）由（2）題，你還發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請(qǐng)寫(xiě)出來(lái)，并證明你的結(jié)論（只寫(xiě)一個(gè)即可）。考點(diǎn)二：平行四邊形的判定1.下列說(shuō)法，屬于平行四邊形判別方法的有（ ）個(gè)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形； 平行四邊形的對(duì)角線互相平分；兩組對(duì)邊分別相等的四 邊形； 平行四邊形的每組對(duì)邊平行且相等；兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。A.6個(gè) B.5個(gè) C.4個(gè) D.3個(gè)2四邊形ABCD中，ADBC，要判別四邊形ABCD是平行四邊形，還需滿足條件（ ）AA+C180BB+D180 CA+B180DA+D1803兩條平行線被第三條直線所截，兩組內(nèi)錯(cuò)角的平分線相交所成的四邊形是（ ）A一般平行四邊形B菱形C矩形D正方形4在四邊形ABCD中，給出下列條件： ABCD，AD=BC，AC，ADBC能判斷四邊形是平行四邊形的組合是_5四邊形四邊長(zhǎng)分別是a、b、c、d，其中a、c為對(duì)邊，且滿足等式，則順次連結(jié)此四邊形各邊的中點(diǎn)所組成的四邊形必是_。ABCDEF6已知：如圖，ABCD中，E、F分別是邊AB，CD的中點(diǎn)。求證：EF=BC。要說(shuō)明EF=BC，我們只需說(shuō)明_要說(shuō)明AEFD是平行四邊形，只需說(shuō)明_那為什么AE=DF？寫(xiě)出證明過(guò)程7 如圖，在ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O,E、F分別在OB、OD上，且OE=OF,又OC=_,所以_是平行四邊形，理由是_ (2)若點(diǎn)E、F在OB、OD的中點(diǎn)上試說(shuō)明四邊形BFDE是平行四邊形8.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F 在對(duì)角線AC上，且AE=CF，請(qǐng)你以F為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一個(gè)點(diǎn)連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只需說(shuō)明一組線段相等即可） （1）連接_；（2）猜想_ （3）說(shuō)明理由.9. (2009年安順)如圖，在ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AF=BD，連結(jié)BF。（1）求證：BD=CD；（2）如果AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論。圖1ABCD考點(diǎn)三：等腰梯形的性質(zhì)與判定1. 如圖，在等腰梯形ABCD中，ABCD，AD=BC= a cm，A=60，BD平分ABC，則這個(gè)梯形的周長(zhǎng)是（ ） A.4a cm； B. 5a cm； C.6a cm； D. 7a cm；2一個(gè)等腰梯形的兩底之差為12，高為6，則等腰梯形的銳角為 （ ） A B C D3.等腰梯形上底與高相等，下底是高的3倍，則底角為（ ）A30o B45 o C60 o D75 o4從等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)，分別作兩腰的平行線，那么所構(gòu)成的平行四邊形的周長(zhǎng)等于這個(gè)三角形的（ ）A.周長(zhǎng)的一半 B.周長(zhǎng) C.兩腰的和 D.腰長(zhǎng)5如圖，梯形ABCD中AD/BC，ABCD=AD，AC=BC。（1）圖中有多少個(gè)等腰三角形？請(qǐng)你找出來(lái)。 （2）求梯形各個(gè)角的度數(shù)。DAEBC6如圖19-12，已知四邊形ABCD是等腰梯形， CD/BA,四邊形AEBC是平行四邊形請(qǐng)說(shuō)明：ABDABE7.如圖，在梯形ABCD中，ADBC，B 90 ，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開(kāi)始沿邊AD向D以1cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)開(kāi)始沿CB邊向B以3cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，問(wèn)：t分別為何值時(shí)，四邊形PQCD是平行四邊形、等腰梯形？考點(diǎn)四：三角形和梯形的中位線1. 在ABC中，D、E、F分別是AB、BC、AC的中點(diǎn)，若ABC的周長(zhǎng)為30 cm，則DCE的周長(zhǎng)為_(kāi)2已知梯形的中位線長(zhǎng)16cm，梯形的一條對(duì)角線把中位線分成兩條線段，這兩條線段的差是4cm,則梯形上底長(zhǎng)是 cm.3如圖1，EF是ABC的中位線，BD平分ABC交EF于D，若DE2，則EB_4如圖2，ABC中，AD、BE是中線且交于G，那么 . 圖1 圖2 圖3 圖45如圖3，ABC中，如果AB30cm，BC24cm，AC27cm，AEEFFB，EGDFBC，F(xiàn)MENAC，則圖中陰影部分的三個(gè)三角形周長(zhǎng)之和為( )A.70cm B.75cm C.80cm D.81mc6如圖4，DE是ABC的中位線，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，BF的延長(zhǎng)線交AC于H，則AHHE等于（）A11 B21 C12 D327:已知，如圖在ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是BC、CA、AB邊上的中點(diǎn)。求證：四邊形AFDE是平行四邊形； 周長(zhǎng)等于AB+AC。8: 已知，如圖，ABC的中線BD、CE交于點(diǎn)O，F(xiàn)、G分別是OB、OC的中點(diǎn)。求證：EF=DG且EFDG9如圖，ABC中，BM平分ABC，AMBM，垂足為M，點(diǎn)N為AC的中點(diǎn)，設(shè)AB10，BC6，求MN的長(zhǎng)度. 10：已知：如圖，ABC，AD為高，M為BC的中點(diǎn)，且B=2C，求證：BM=AB?？键c(diǎn)五:矩形性質(zhì)定理及推論1：下列命題中正確的是（）：矩形的對(duì)角線相等且互相垂直。：對(duì)角形相等且互相平分的四邊形是矩形對(duì)角線相等的四邊形是矩形。直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)不一定等于斜邊的一半2:矩形中較短的邊長(zhǎng)為3.6cm ,兩條對(duì)角線的夾角為60度，則矩形對(duì)角線的長(zhǎng)度是_3：直角三角形兩直邊分別為 6和8，則斜邊上的中線長(zhǎng)_4.如圖，矩形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，則矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)是（ ）A2 B4 C D 第4題 第5題 5：如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AEBD于E，則：（1）圖中與BAE相等的角有_；（2）若AOB=60，則AB：BD_。 圖中DOC是_三角形6.（2009 黑龍江大興安嶺）如圖,在矩形中，平分，過(guò)點(diǎn)作于，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，下列結(jié)論中：；，正確的（ ）AB CD7.如圖,將矩形ABCD沿AE折疊，得到如圖所示的圖形，已知=60，則AED的大小是（ ） A60. B50. C75. D55第8題考點(diǎn)六：矩形分割面積法8在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一點(diǎn)，PEAC，垂足為E，PFBD，垂足為F，則PE+PF的值為（ ）A. B. C. 2 D. 9如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,AEBD于E,則=_.第9題 第10題 第11題10已知：如圖6，在矩形ABCD中，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)若AB2，AD4，則圖中陰影部分的面積為 ( )A8 B6 C4 D311如圖，折疊矩形紙片ABCD，先折出折痕BD，再折疊使AD邊與對(duì)角線BD重合，得折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG?？键c(diǎn)七：矩形的判定定理和應(yīng)用1如圖, ABCD各角的平分線分別相交于點(diǎn)E、F、G、H，求證：四邊形EFGH是矩形2如圖ZM320所示，M、N分別是平行四邊形ABCD的對(duì)邊AD、BC的中點(diǎn)，且AD=2AB，求證：四邊形PMQN為矩形3（矩形基礎(chǔ)題）（1）已知：如圖，在矩形ABCD中，AFBE求證：DECF；4如圖，矩形ABCD中，AC與 BD交于 O點(diǎn)，BEAC于 E，CFBD于 F求證：BE=CF 拔高題5如圖，ABCD是矩形紙片，翻折B、D，使BC、AD恰好落在A上，設(shè)H分別是B、落在AC上的兩點(diǎn)，E、分別是折痕、與、的交點(diǎn)。（1）求證：四邊形是平行四邊形。（2）若4cm，3cm，求線段的長(zhǎng)。6如圖，在矩形AB CD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開(kāi)始向點(diǎn)B以2cm/秒的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開(kāi)始向點(diǎn)A以1cm/秒的速度移動(dòng)，如果P對(duì)同時(shí)出發(fā)，用t(秒）表示移動(dòng)的時(shí)間（0t6），那么： （1）當(dāng)t為何值時(shí)，QAP為等腰直角三角形？ （2）求四邊形QAPC的面積，提出一個(gè)與計(jì)算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論考點(diǎn)八：菱形的定義和性質(zhì)1下列說(shuō)法正確的有（）菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)。菱形的四條邊都垂直。菱形的四條邊都相等菱形的對(duì)角線相等且平分。菱形的對(duì)角線垂直且平分。菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。一組鄰邊垂直的平行四邊形是菱形個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)2矩形的各邊中點(diǎn)所圍成的四邊形是（ ）A. 平行四邊形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形3菱形的一個(gè)角為120，一邊長(zhǎng)為8，那么它較短對(duì)角線長(zhǎng)是（ ）A. 3 B. 4 C. 8 D. 4如圖1, 在菱形ABCD中，BAD80，AB的垂直平分線交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，E為垂足，連接DF，則CDF。圖 1 圖2 圖35. 如圖2，是根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性制作的邊長(zhǎng)均為15的可活動(dòng)菱形衣架若墻上釘子間的距離ABBC15，則1_度6如圖3所示，菱形花壇ABCD的邊長(zhǎng)為6m，B=60，在由兩個(gè)正六邊形組成的圖形中種花，其余部分種草，則種花部分圖形的周長(zhǎng)（粗線部分）為7菱形的周長(zhǎng)為40cm，它的一條對(duì)角線長(zhǎng)10cm，(1) 求菱形的另一條對(duì)角線的長(zhǎng)；(2) 求菱形的四個(gè)內(nèi)角；(3) 求菱形的面積。8如圖，在菱形ABCD中，E,F分別是CB,CD上的點(diǎn)，且BEDF，求證：AEFAFE考點(diǎn)九：菱形的判定應(yīng)用1下列命題中，真命題是（ ）A對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是菱形B對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形C對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是菱形D對(duì)角線相等的四邊形是菱形2在正方形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的三等分點(diǎn)，則四邊形EFGH是（）A正方形 B菱形 C矩形D平行四邊形3 如圖所示，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，OA=OC，OB=OD， 添加下列哪個(gè)條件不能使四邊形ABCD成為菱形（ ）A. AB=AD B. BA=BC C. AB=CD D. ACBD 4一個(gè)菱形對(duì)角線之差為4，面積為62，則菱形邊長(zhǎng)為 5如圖，在ABC中，BAC =，ADBC于D，CE平分ACB，交AD于G，交AB于E，EFBC于F，求證：四邊形AEFG是菱形；6如圖，取平行四邊形紙片AB，AB6cm，8cm，B90，將紙片折疊，使C點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為EF，試問(wèn)：（1)四邊形AECF是菱形嗎？（2）你能求折痕EF的長(zhǎng)嗎？7已知四邊形ABCD為矩形AD=20 cm,AB=10 cm. M點(diǎn)從D到A,P點(diǎn)從B到C運(yùn)動(dòng)的速度為2 cm/s; N點(diǎn)從A到B,Q點(diǎn)從C到D運(yùn)動(dòng)的速度為1 cm/ s.若四個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)(1)判斷四邊形MNPQ的形狀(2)四邊形MNPQ能為菱形嗎？若能，請(qǐng)求出此時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由8（拔高題）如圖，在ABC中，ACB90 ，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F(xiàn)在DE的延長(zhǎng)線上，并且AF=CE（1）求證：四邊形ACEF是平行四邊形；（2）當(dāng)上B的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形ACEF是菱形？請(qǐng)回答并證明你的結(jié)論；（3）四邊形ACEF有可能為正方形嗎？為什么？考點(diǎn)十：正方形的性質(zhì)1有一組鄰邊_并且有一個(gè)角是_的平行四邊形，叫做正方形2正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（ ）對(duì)角線互相平分對(duì)角線相等對(duì)角線平分一組對(duì)角對(duì)角線互相垂直3矩形的各邊中點(diǎn)所圍成的四邊形是（ ）A. 平行四邊形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形4如圖1所示，已知在邊長(zhǎng)為8a的正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別在BCCD上，且CF=CG=AB，則四邊形DEFG的面積等于（ ）A. 36a2 B. 35a C. 34a2 D. 32a2 5已知：如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，M在DC邊上，且DM=2，N是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值為_(kāi)。6如圖3，邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30后，得到正方形EFCG，EF交AD于點(diǎn)H，則DH=_。 圖1 圖2 圖3 圖47如圖4，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm，正方形邊長(zhǎng)為3cm，則圖中陰影部分面積為_(kāi)。8（2009肇慶）如圖 ，ABCD是正方形G是 BC 上的一點(diǎn)，DEAG于 E，BFAG于 F （1）求證：； （2）求證：9(拔高題)已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，PADPDA150 求證：PBC是正三角形（09年華羅庚邀請(qǐng)賽初三組）（提示：根據(jù)幾何圖形的對(duì)稱(chēng)性解題，這是一種經(jīng)典解法，找準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)軸）APCDB考點(diǎn)十：正方形判定四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，給出以下題設(shè)條件：ABBCCDDA；AOBOCODO；AOCO，BODO，ACBD；ABBC，CDDA。其中能判斷它是正方形的題設(shè)條件是 （把正確的序號(hào)填在橫線上）2給出下面三個(gè)命題：對(duì)角線相等的四邊形是矩形；對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形；對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。其中真命題是 （填序號(hào)）。3四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，能判別這個(gè)四邊形是正方形的條件是（ ）AOAOBOCOD，ACBDBABCD，ACBDCADBC，ACDOAOC，OBOD，ABBC4如圖 2，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，AEEF，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. BAE=30 B. CE=ABCF C. CF=CD D. ABEAEF 圖1 圖25.（2009年莆田）如圖，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)請(qǐng)你添加一個(gè)條件： ，使得該菱形為正方形 6已知：如圖RtABC中，ACB90，CD為ACB的平分線，DEBC于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F。求證：四邊形CEDF是正方形。7已知正方形ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，MNDM且交CBE的平分線于N。（1）求證：MDMN；（2）若將上述條件中的“M是AB的中點(diǎn)”改為“M是AB上任意一點(diǎn)”，其余條件不變，則結(jié)論“MDMN”還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。四邊形小結(jié)一、本章基本知識(shí)點(diǎn)、平行四邊形的概念： 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。注意：（）只有一組對(duì)邊平行的四邊形不一定是平行四邊形；（2）概念給出了平行四邊形的一個(gè)重要性質(zhì)：兩組對(duì)邊分別平行；（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形一定是平行四邊形。2、平行四邊形的性質(zhì)：（）平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行；兩組對(duì)角分別相等，鄰角互補(bǔ)；（）平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等；對(duì)角線互相平分；（5）平行四邊形的兩條對(duì)角線把它分成組全等的三角形。注意：（）平行四邊形的性質(zhì)的證明是通過(guò)作對(duì)角線把證明平行四邊形中線段、角相等的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明三角形全等的問(wèn)題來(lái)處理；（）平行四邊形的對(duì)角線互相平分，意為兩對(duì)角線的交點(diǎn)恰為這兩條線段的公用的中點(diǎn)；、平行四邊形的判定（識(shí)別）： （）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形； （）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形； （）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形； （）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形； （）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。注意：（）一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；但一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形；一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形不一定是平行四邊形。（）平行四邊形的性質(zhì)和識(shí)別都是從邊、角、對(duì)角線三個(gè)方面來(lái)研究的；2、梯形的概念：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。注意：（）平行的兩邊叫做梯形的底，不平行的兩邊叫做腰，兩底間的距離叫做高；較短的底邊 叫做上底；較長(zhǎng)的底邊叫做下底； （）兩底平行；兩腰不平行。、梯形的判定方法：（）一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形是梯形；（）有一組對(duì)邊平行且不相等的四邊形是梯形。注意：判定一個(gè)四邊形為梯形，必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件，即一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行，兩者缺一不可。3、等腰梯形的性質(zhì)：（）兩底平行，兩腰相等； （）等腰梯形同一底邊上的兩角相等；（）等腰梯形的兩條對(duì)角線相等；（4）等腰梯形的兩條對(duì)角線把它分成兩組全等的三角形。注意：（）等腰梯形同一底上的兩個(gè)角既可指下底上的兩個(gè)角，也可指上底上的兩個(gè)角；（）“對(duì)角線相等”“ 同一底邊上的兩個(gè)底角相等”“ 兩腰相等”是等腰梯形特有的性質(zhì)，一般梯形不具有這一性質(zhì)。3.1、等腰梯形的判定：（）兩腰相等的梯形是等腰梯形； （）在同一底邊上的兩個(gè)角相等的梯形；注意：判斷一個(gè)梯形是等腰梯形，首先必須判定它是梯形，在證明同一底邊上的兩個(gè)底角相等或兩腰相等或?qū)蔷€相等。4: 中位線的概念和性質(zhì)4-1三角形中位線的概念： 連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。4-2、三角形中位線的性質(zhì)： 1：三角形中位線平行于第三邊，2：并且等于第三邊的一半。注意：（）三角形有三條中位線；（）中位線與中線是兩個(gè)截然不同的概念；（）三角形中位線性質(zhì)有兩個(gè)結(jié)論，在具體運(yùn)用時(shí)，要靈活根據(jù)題目要求進(jìn)行選擇， 4-3、梯形中位線的概念： 連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線。4-4、梯形中位線的性質(zhì)： 1：梯形的中位線平行于兩底，2：并且等于兩底和的一半。注意：（）梯形的中位線只有一條。（）利用梯形中位線性質(zhì)可以證明三條直線平行，也可以證明一條線段和另一條線段的倍分關(guān)系；（）梯形的面積公式為梯形（上底下底）高中位線高。4-5、中位線在解題中的作用：三角形和梯形中位線定理在同一條件下具有兩個(gè)結(jié)論：一個(gè)定性的是平行于第三邊（或兩底）；另一個(gè)定量的就是等于第三邊（或兩底和）的一半，其用途比較廣泛。又因?yàn)橹形痪€具有評(píng)議角度、倍分的功能，因此當(dāng)遇到中點(diǎn)或三角形中線時(shí)，考慮是否作中位線，這種思想方法就是常說(shuō)的“遇到中點(diǎn)想中位線”。5 矩形的概念：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形5-1矩形的性質(zhì)：（）矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；（）矩形的四個(gè)角都是直角；（）矩形的對(duì)角線相等；（）矩形的兩條對(duì)角線把它分成四個(gè)面積相等的等腰三角形。注意：矩形是特殊的平行四邊形，它特殊在角上，使得它在角和對(duì)角線方面具備與菱形、平行四邊形不同的性質(zhì)。5-1、矩形的判定：（）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；（）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；（）對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是是矩形。注意：（）若易證是平行四邊形，則再證一角為直角或?qū)蔷€相等，即可得矩形；（）對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形（如等腰梯形），對(duì)角線相等且互相平分的四邊形為矩形6、直角三角形的性質(zhì): 直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半。注意：斜邊上的中線把直角三角形分成兩個(gè)等腰三角形，這兩個(gè)等腰三角形的面積相等。、菱形的概念； 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。9-1、菱形的性質(zhì)：（）菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)； （）菱形四條邊都相等；（）菱形對(duì)角線互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分每一組對(duì)角（）菱形的兩條對(duì)角線把它分成四個(gè)全等的直角三角形。注意：（）菱形周長(zhǎng)邊長(zhǎng)，菱形面積底高對(duì)角線之積；（）菱形是特殊的平行四邊形，它特殊在邊上，使得它在邊和對(duì)角線方面具備與矩形、平行四邊形不同的性質(zhì)。9-2、菱形的判定：（）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形； （）四條邊相等的四邊形是菱形；（）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形； （）對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形。注意：（）若已知四邊形是平行四邊形，只需證一組鄰邊相等，或?qū)蔷€互相垂直就能說(shuō)明是菱形。（）對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，對(duì)角線互相垂直平分的四邊形才是菱形。0、正方形的概念：（）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；（）鄰邊相等的矩形是正方形。0-1、正方形的性質(zhì)：（）正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形和菱形，所以正方形具有它們的一切性質(zhì)，按邊、角、對(duì)角線分類(lèi)，正方形的性質(zhì)有：正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分每一組對(duì)角；（）正方形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有四條對(duì)稱(chēng)軸，是對(duì)角線所在的直線及對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線；（）正方形的兩條對(duì)角線把它分成四個(gè)全等的直角等腰三角形。注意：正方形的性質(zhì)矩形的性質(zhì)菱形的性質(zhì)。0-2、正方形的性質(zhì)：（）鄰邊相等的矩形是正方形； （）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；（）對(duì)角線相等的菱形是正方形； （）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。注意：（）以菱形和矩形的判定為基礎(chǔ)，可以引申出更多正方形的判定方法。如對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，既是菱形又是矩形的四邊形是正方形等?？梢愿鶕?jù)實(shí)際情況靈活選擇；（）一般證明正方形的步驟是先證出四邊形是矩形或菱形，再根據(jù)以上判定方法證出所需要的條件；（）矩形的判定條件菱形的判定條件正方形的判定條件。四邊形判定步驟：四邊形平行四邊形矩形正方形