2026年黑龍江省龍東地區中考數學真題及答案解析

第1頁（共1頁）2026年黑龍江省龍東地區中考數學試卷一、選擇題（本大題共10道小題，每小題3分，共30分）1．（3分）剪紙藝術是中國古老的民間藝術之一，下面剪紙圖案中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列運算正確的是（）A．x5?x2＝x10 B．m2+m2＝2m4 C．（x+y）2＝x2+y2 D．（﹣2a）3＝﹣8a33．（3分）如圖，一個由若干個大小相同的小正方體搭成的幾何體，它的左視圖是（）A． B． C． D．4．（3分）在“體重管理年”的活動中，某校對學生的體重進行監測，下面是其中的一組數據（單位：kg）：47，49，56，52，56．這組數據的眾數和平均數分別是（）A．52，52 B．56，52 C．56，50 D．52，565．（3分）深耕黑土地，守護大糧倉．某水稻生產基地2023年平均每公頃產7000kg水稻，到2025年平均每公頃產8470kg水稻，設水稻每公頃產量的年平均增長率為x，可列方程為（）A．7000（1+2x）＝8470 B．7000（1+x）2＝8470 C．7000+7000（1+x）+7000（1+x）2＝8470 D．7000×2（1+x）＝84706．（3分）已知關于x的分式方程的解為正數，則k的取值范圍為（）A．k＞﹣6 B．k＜﹣6 C．k＞﹣6且k≠﹣4 D．k＜﹣6且k≠﹣47．（3分）在第25屆米蘭冬奧會上，我國冰雪健兒取得了驕人的成績．為了弘揚中華體育精神，某中學開展“冰雪運動進校園”活動．學校計劃用300元購買筆記本和鋼筆兩種獎品，筆記本20元/個，鋼筆15元/個．所有資金恰好用完，則購買方案有（）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種8．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，雙曲線y（k≠0）上有A，B兩點，AC⊥x軸于點C，BD⊥x軸于點D，H為OB的中點，S△AHO＝6，則k的值為（）A．8 B．﹣8 C．16 D．﹣169．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，D為BC上一點，且AC＝AD，E，F分別是CD，AB的中點，連接EF，若AC＝2，則EF的長為（）A． B． C．1 D．0.510．（3分）如圖，在菱形ABCD中，DE垂直平分BC，∠EDF∠ADC，DF，DE分別交對角線AC于G，H兩點，下列結論：①連接EF，則△DEF為等邊三角形；②過點G作GN⊥AD于點N，則GN＝GF；③AG＝GH＝CHEF；④M為邊AB上任意一點，連接MD和ME，若S△BME：S△DEC＝4：5，則有S△DAM：S菱形ABCD＝1：10；⑤逆時針旋轉∠FDE，使射線DF與邊AB交于點P，射線DE與邊BC交于點Q，若CQ，AP＝2，則PQ．其中正確的是（）A．①③④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）11．（3分）2026年5月19日，哈爾濱市舉行萬人徒步活動，約有12000人參加．將數據12000用科學記數法表示為．12．（3分）在函數中，自變量x的取值范圍是．13．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且OA＝OC，請添加一個條件，使四邊形ABCD是平行四邊形．14．（3分）“七八個星天外，兩三點雨山前”，數詞在這句詩詞中出現的概率為．（標點不計）15．（3分）關于x的不等式組只有3個整數解，則a的取值范圍是．16．（3分）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，∠P＝80°，則∠C＝．17．（3分）王芳用一個圓心角為120°，半徑為4的扇形卡紙，圍成一個圓錐的側面，則這個圓錐底面圓的半徑為．18．（3分）如圖，菱形ABCD的邊長為10，對角線BD＝16，P，Q為BD上兩個動點，且PQ＝2，則AP+AQ的最小值為．19．（3分）在綜合與實踐課上，老師帶領同學們以“直角三角形的折疊”為主題開展探究活動，同學們用一張直角三角形紙片進行折疊．已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝2，在AC邊上找一點D，將紙片沿BD折疊，使點A落在A′處，當△A′BD的某一邊與AC邊垂直時，A′D＝．20．（3分）如圖，B1是直線l：yx+2與y軸的交點，過點B1作A1B1⊥l交x軸于點A1，以A1B1為邊，向右作正方形A1B1B2C1，延長B2C1交x軸于點A2；以A2B2為邊，向右作正方形A2B2B3C2，延長B3C2交x軸于點A3；以A3B3為邊，向右作正方形A3B3B4C3，延長B4C3交x軸于點A4；…，按照這個規律進行下去，則點?n的縱坐標為．三、解答題（本大題共8道題，滿分60分）21．（5分）先化簡，再求值：，其中x＝4cos60°+1．22．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，每個小正方形的邊長均為1，△ABC的三個頂點坐標分別為A（1，﹣2），B（3，﹣2），C（2，﹣3）．（1）畫出△ABC關于x軸對稱的圖形△A1B1C1，并寫出A1的坐標；（2）畫出△A1B1C1繞點A1逆時針旋轉90°得到的△A1B2C2，并寫出C2的坐標；（3）求出（2）中線段A1C1所掃過的圖形面積．（結果保留π）23．（6分）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，交y軸于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）作射線BD交y軸于點D，使∠CBD＝15°，則CD的長為．24．（7分）為了傳承東北抗聯精神，某中學舉行“紅色經典”主題閱讀活動．該校采用簡單隨機抽樣的方法，對本校學生一周的閱讀時間（單位：min）進行了抽樣調查，把所得的數據分組整理，并繪制成如下兩幅不完整的統計圖．請根據相關信息，解答下列問題：（1）m＝，C組對應的頻數，并補全直方圖；（2）調查所得數據的中位數落在組（填組別）；（3）該校共有1500名學生，根據抽樣調查結果，估計該校學生一周閱讀時間不少于60min的學生人數．25．（8分）一條公路上依次有A，B，C三地，甲車從A地出發去C地，途經B地，到達C地后，立即按原路原速返回A地；乙車在甲車出發0.1小時后從A地去B地，到達B地停留2小時，立即按原路原速返回，結果比甲車提前0.3小時到達A地，兩車均按各自速度勻速行駛．如圖是甲車行駛過程中距離B地的路程y（km）與甲車行駛時間x（h）的函數圖象，結合圖象回答下列問題：（1）A，C兩地之間的距離為km，乙車的速度為km/h；（2）求線段EF的函數解析式；（3）請直接寫出乙車返回A地前，甲車行駛多少小時，甲乙兩車相距10km．26．（8分）在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E為直線AC上一點，連接BE，過E點作EF⊥BE，交AD邊所在的直線于點F．（1）如圖①，當點E在OC上時，求證：AB+AFAE；（2）如圖②，當點E在OA上時；如圖③，當點E在CA的延長線上時，請分別寫出線段AB，AF，AE之間的數量關系，不需要證明．27．（10分）“節能減排，倡導綠色出行”．某新能源汽車生產廠家推出特惠A，B兩種型號的新能源汽車，已知銷售2臺A型汽車和1臺B型汽車總售價為21萬元，銷售3臺A型汽車和2臺B型汽車總售價為34萬元．已知A型汽車的成本為每臺7萬元，B型汽車的成本為每臺4.5萬元．（1）求A型汽車和B型汽車每臺售價分別為多少萬元？（2）若汽車廠家售出A，B兩種型號的汽車共50臺，售出A型汽車的數量不超過30臺，并且投入的總成本不低于295萬元，求有哪幾種銷售方案？（3）在（2）的條件下，全部售出，哪種銷售方案獲得的利潤最大？最大利潤為多少萬元？28．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，?AOBC的AO邊與x軸重合，點A在x軸負半軸上，點C在y軸正半軸上，OA，OC的長是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的兩個根（OA＜OC）．（1）求點A和點C坐標；（2）在OB邊上有一動點P從點O出發，以每秒1個單位長度的速度沿OB方向勻速運動，動點Q從點A出發，以每秒1.6個單位長度的速度沿折線A﹣C﹣B勻速運動．已知P，Q兩點同時出發，當點Q運動到點B時，P，Q兩點都停止運動，設運動時間為t秒，求△APQ的面積S關于運動時間t的函數解析式；（3）在x軸上有一點R（1，0），在y軸上有一動點M，在第一象限內是否存在一點N，使得以M，N，R，B四點為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出N點坐標；若不存在，請說明理由．

2026年黑龍江省龍東地區中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10道小題，每小題3分，共30分）1．（3分）剪紙藝術是中國古老的民間藝術之一，下面剪紙圖案中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：由中心對稱圖形的定義可知，D選項中的圖形是中心對稱圖形，符合題意；A、B、C中的圖形不是中心對稱圖形，不符合題意．故選：D．2．（3分）下列運算正確的是（）A．x5?x2＝x10 B．m2+m2＝2m4 C．（x+y）2＝x2+y2 D．（﹣2a）3＝﹣8a3【解答】解：根據同底數冪乘法、合并同類項、完全平方公式、積的乘方的運算法則逐項分析判斷如下：對選項A：根據同底數冪乘法法則，同底數冪相乘，底數不變，指數相加x5?x2＝x5+2＝x7≠x10，選項錯誤，不符合題意；對選項B：根據合并同類項法則，合并同類項時，系數相加，字母與指數不變m2+m2＝2m2≠2m4，選項錯誤，不符合題意；對選項C：根據完全平方公式（x+y）2＝x2+2xy+y2≠x2+y2，選項錯誤，不符合題意；對選項D：根據積的乘方法則，積的乘方等于各因式分別乘方，再將結果相乘（﹣2a）3＝（﹣2）3?a3＝﹣8a3，選項正確，符合題意；故選：D．3．（3分）如圖，一個由若干個大小相同的小正方體搭成的幾何體，它的左視圖是（）A． B． C． D．【解答】解：這個組合體的左視圖為：故選：A．4．（3分）在“體重管理年”的活動中，某校對學生的體重進行監測，下面是其中的一組數據（單位：kg）：47，49，56，52，56．這組數據的眾數和平均數分別是（）A．52，52 B．56，52 C．56，50 D．52，56【解答】解：∵數據（單位：kg）：47，49，56，52，56中，56出現了2次，次數最多，∴這組數據的眾數為56；∴這組數據的平均數為．故選：B．5．（3分）深耕黑土地，守護大糧倉．某水稻生產基地2023年平均每公頃產7000kg水稻，到2025年平均每公頃產8470kg水稻，設水稻每公頃產量的年平均增長率為x，可列方程為（）A．7000（1+2x）＝8470 B．7000（1+x）2＝8470 C．7000+7000（1+x）+7000（1+x）2＝8470 D．7000×2（1+x）＝8470【解答】解：設水稻每公頃產量的年平均增長率為x，則：2025年平均每公頃產量為7000（1+x）?（1+x）＝7000（1+x）2kg，又∵2025年平均每公頃產量為8470kg，∴可列方程為7000（1+x）2＝8470．故選：B．6．（3分）已知關于x的分式方程的解為正數，則k的取值范圍為（）A．k＞﹣6 B．k＜﹣6 C．k＞﹣6且k≠﹣4 D．k＜﹣6且k≠﹣4【解答】解：原方程可變形為，方程兩邊同乘（x﹣2）去分母得，4﹣k+2k＝x﹣2，整理得x＝k+6，由條件可知x＞0且x﹣2≠0，∴k+6＞0，k+6﹣2≠0，解得k＞﹣6且k≠﹣4．故選：C．7．（3分）在第25屆米蘭冬奧會上，我國冰雪健兒取得了驕人的成績．為了弘揚中華體育精神，某中學開展“冰雪運動進校園”活動．學校計劃用300元購買筆記本和鋼筆兩種獎品，筆記本20元/個，鋼筆15元/個．所有資金恰好用完，則購買方案有（）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【解答】解：設購買筆記本x個，鋼筆y個，x，y均為正整數，由題意得20x+15y＝300，兩邊同除以5化簡得4x+3y＝60，整理得，∵y是正整數，4與3互質，∴x必須是3的倍數，又∵y＞0，∴，解得x＜15，結合x＞0可得，x的取值為3，6，9，12，共4種不同取值，故有4種購買方案，故選：B．8．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，雙曲線y（k≠0）上有A，B兩點，AC⊥x軸于點C，BD⊥x軸于點D，H為OB的中點，S△AHO＝6，則k的值為（）A．8 B．﹣8 C．16 D．﹣16【解答】解：設B（x，y），其中x＜0，y＞0，則xy＝k，由條件可知OB＝2OH，∵BD⊥x軸，AC⊥x軸，∴AC∥BD，由圖可知點H在線段AC上，∴△OHC∽△OBD，相似比為，∴，由條件可知，∴，∵點A在雙曲線上，AC⊥x軸，∴，∵S△AHO＝S△AOC﹣S△HOC，∴，∴，∴|k|＝16，∵雙曲線位于第二象限，∴k＜0，∴k＝﹣16．故選：D．9．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，D為BC上一點，且AC＝AD，E，F分別是CD，AB的中點，連接EF，若AC＝2，則EF的長為（）A． B． C．1 D．0.5【解答】解：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝2，連接AE，∴∠C＝90°﹣30°＝60°，BC＝2AC＝4，由勾股定理得：，∵∠C＝60°，AC＝AD，∴△ACD是等邊三角形，∵E是CD的中點，∴AE⊥CD，即∠AEB＝90°，在Rt△AEB中，F是AB的中點，∴．故選：B．10．（3分）如圖，在菱形ABCD中，DE垂直平分BC，∠EDF∠ADC，DF，DE分別交對角線AC于G，H兩點，下列結論：①連接EF，則△DEF為等邊三角形；②過點G作GN⊥AD于點N，則GN＝GF；③AG＝GH＝CHEF；④M為邊AB上任意一點，連接MD和ME，若S△BME：S△DEC＝4：5，則有S△DAM：S菱形ABCD＝1：10；⑤逆時針旋轉∠FDE，使射線DF與邊AB交于點P，射線DE與邊BC交于點Q，若CQ，AP＝2，則PQ．其中正確的是（）A．①③④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤【解答】解：如圖，連接EF，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC+∠BCD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，∵DE垂直平分BC，∴DB＝CD，BE＝EC，∠DEC＝90°，∴DB＝CD＝BC，即△DBC為等邊三角形，∴∠DBC＝∠BCD＝∠CDB＝60°，∠ABC＝120°，∠ADC＝120°，∴△ABD也是等邊三角形，∠BAD＝60°，∵，∴∠EDF＝60°，∵DE⊥BC，△DBC為等邊三角形，∴DE平分∠CDB，∠CDE＝∠BDE＝30°，∴∠FDB＝∠EDF﹣∠BDE＝60°﹣30°＝30°，∴∠ADF＝∠ADB﹣∠FDB＝60°﹣30°＝30°，∵∠BAD＝∠BCD＝60°，DA＝CD，∠ADF＝∠CDE＝30°，∴△ADF≌△CDE（ASA），∴DF＝DE，∵∠EDF＝60°，∴△DEF為等邊三角形，故①正確，符合題意；如圖，過點G作GN⊥AD于點N，∵∠BAD＝60°，∠ADF＝30°，∴∠AFD＝90°，即GF⊥AB，∵AC平分∠DAB，GN⊥AD，GF⊥AB，∴GN＝GF，故②正確，符合題意；∵△ABD是等邊三角形，∴AD＝BD，∵DF⊥AB，∴，∵AB∥CD，∴△AFG∽△CDG，∴，∴，同理△CEH∽△ADH，，∴，∴，即，∵點E、F是BC、AB的中點，∴EF是△ABC的中位線，∴，∴AC＝2EF，∴，故③正確，符合題意；如圖，M為邊AB上任意一點，連接MD和ME，過點M作MH⊥BC交CB延長線于點H，設菱形邊長為a，則，∴S菱形ABCD＝BC?DE＝a?a，，∵S△BME：S△DEC＝4：5，∴，∴，解得，∵∠ABC＝120°，∴∠MBH＝60°，∴，∴，∴，∴，故④正確，符合題意；由旋轉性質知∠PDQ＝60°，∵∠ADB＝60°，∴∠ADP＝∠BDQ，∵∠ADP＝∠BDQ，DA＝DB，∠DAB＝∠DBQ＝60°，∴△DAP≌△DBQ（ASA），∴，∵，∴，∴，∴，如圖，過點P作PM⊥CB交CB延長線于M，∵∠ABC＝120°，∴∠PBM＝60°，∴，PM＝PB?sin60°，∴MQ＝BM+BQ，在Rt△PMQ中，PQ，故⑤錯誤，不符合題意．綜上所述，正確的是①②③④．故選：C．二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）11．（3分）2026年5月19日，哈爾濱市舉行萬人徒步活動，約有12000人參加．將數據12000用科學記數法表示為1.2×104．【解答】解：12000＝1.2×104．故答案為：1.2×104．12．（3分）在函數中，自變量x的取值范圍是x≥2．【解答】解：根據二次根式的性質得x﹣2≥0，解得x≥2．故答案為：x≥2．13．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且OA＝OC，請添加一個條件OB＝OD（答案不唯一），使四邊形ABCD是平行四邊形．【解答】解：添加條件：OB＝OD，∵在四邊形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）．故答案為：OB＝OD（答案不唯一）．14．（3分）“七八個星天外，兩三點雨山前”，數詞在這句詩詞中出現的概率為．（標點不計）【解答】解：∵“七八個星天外，兩三點雨山前”，共有12個漢字，其中數詞的個數為4，∴數詞出現的概率為：．故答案為：．15．（3分）關于x的不等式組只有3個整數解，則a的取值范圍是﹣2≤a＜﹣1．【解答】解：，解不等式①得x＞a+1，解不等式②得x≤2，∵關于x的不等式組只有3個整數解，∴該不等式組的整數解為0，1，2，∴﹣1≤a+1＜0，∴﹣2≤a＜﹣1．故答案為：﹣2≤a＜﹣1．16．（3分）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，∠P＝80°，則∠C＝50°．【解答】解：如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，連接OA，OB，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵OAPB是四邊形，∠P＝80°，∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝100°，∵∠C，∠AOB分別是弧AB所對的圓周角和圓心角，∴．故答案為：50°．17．（3分）王芳用一個圓心角為120°，半徑為4的扇形卡紙，圍成一個圓錐的側面，則這個圓錐底面圓的半徑為．【解答】解：設這個圓錐底面圓的半徑為r，則，解得．故答案為：．18．（3分）如圖，菱形ABCD的邊長為10，對角線BD＝16，P，Q為BD上兩個動點，且PQ＝2，則AP+AQ的最小值為．【解答】解：如圖，連接AC交BD于點O，∵四邊形ABCD是菱形，∴，AC⊥BD，OA＝OC，在Rt△AOB中，，∴AC＝2OA＝12，∵點A關于BD的對稱點是點C，∴AP＝CP，∴AP+AQ＝CP+AQ，將點C沿BD方向平移2個單位長度得到點C′，連接C′Q，AC′，∴CC′∥PQ，CC′＝PQ＝2，∴四邊形CC′QP是平行四邊形，∴CP＝C′Q，∴AP+AQ＝C′Q+AQ，當A，Q，C′三點共線時，C′Q+AQ最小，最小值為線段AC′的長，∵CC′∥BD，AC⊥BD，∴AC⊥CC′，∴∠ACC′＝90°在Rt△ACC′中，，∴AP+AQ的最小值為，故答案為：2．19．（3分）在綜合與實踐課上，老師帶領同學們以“直角三角形的折疊”為主題開展探究活動，同學們用一張直角三角形紙片進行折疊．已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝2，在AC邊上找一點D，將紙片沿BD折疊，使點A落在A′處，當△A′BD的某一邊與AC邊垂直時，A′D＝或或．【解答】解：已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝2，所以AB＝1，∠A＝60°．由折疊性質可知：A′D＝AD，A′B＝AB＝1，∠BA′D＝∠A＝60°．過B作BE⊥AC于點E，可得，．當A′D⊥AC時：∠A′DA＝90°，由折疊性質得∠ADB＝∠A′DB＝45°，在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠BDE＝45°，所以，所以，即．當A′B⊥AC時：，在Rt△A′DE中，∠A′ED＝90°，∠DA′E＝60°，所以．當BD⊥AC時：∠BDA′＝90°，則D，E重合，所以綜上，A′D的值為或或．故答案為：或或．20．（3分）如圖，B1是直線l：yx+2與y軸的交點，過點B1作A1B1⊥l交x軸于點A1，以A1B1為邊，向右作正方形A1B1B2C1，延長B2C1交x軸于點A2；以A2B2為邊，向右作正方形A2B2B3C2，延長B3C2交x軸于點A3；以A3B3為邊，向右作正方形A3B3B4C3，延長B4C3交x軸于點A4；…，按照這個規律進行下去，則點?n的縱坐標為．【解答】解：∵B1是直線yx+2與y軸的交點，∴B1（0，2），B0（﹣4，0），∴OB1＝2，OB0＝4，∴B1B02，∴，∵四邊形A1B1B2C1是正方形，∴∠A1B1B2＝∠B1A1C1＝90°，B1B2＝A1B1＝C1A1，∴∠A1B1B0＝180°﹣∠A1B1B2＝90°，∴，如圖，分別過點C1，C2，C3作x軸的垂線，垂足分別為E，F，H，∴∠B1OA1＝∠B1A1C1＝∠A1EC1＝90°，∴∠B0B1O+∠OB0B1＝∠B0B1O+∠A1B1O＝∠OA1B1+∠A1B1O＝∠OA1B1+∠C1A1E＝90°，∴∠OB0B1＝∠A1B1O＝∠C1A1E，∴C1E＝A1C1?sin∠C1A1E＝A1C1?sin∠OB0B1＝1，∴C1的縱坐標為1；∵四邊形A2B2B3C2，A3B3B4C3都是正方形，∴∠A2B2B3＝∠A2B2B0＝∠A3B3B4＝∠A3B3B0＝90°，A2B2＝B2B3＝A2C2，A3B3＝B3B4＝A3C3，同理可得：∠C2A2F＝∠C3A3H＝∠OB0B1，∵，∴，∴，，∴C2的縱坐標為，，∴，∴C3的縱坐標為，…；∴按照這個規律進行下去，則點?n的縱坐標為．故答案為：．三、解答題（本大題共8道題，滿分60分）21．（5分）先化簡，再求值：，其中x＝4cos60°+1．【解答】解：原式，∵，∴原式．22．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，每個小正方形的邊長均為1，△ABC的三個頂點坐標分別為A（1，﹣2），B（3，﹣2），C（2，﹣3）．（1）畫出△ABC關于x軸對稱的圖形△A1B1C1，并寫出A1的坐標；（2）畫出△A1B1C1繞點A1逆時針旋轉90°得到的△A1B2C2，并寫出C2的坐標；（3）求出（2）中線段A1C1所掃過的圖形面積．（結果保留π）【解答】解：（1）如圖所示：△A1B1C1即為所求；A1（1，2），根據圖像得：A1（1，2）；（2）根據圖像得：C2（0，3）；（3）根據網格得：，∵逆時針旋轉90°，∴掃過的圖形面積為：．23．（6分）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，交y軸于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）作射線BD交y軸于點D，使∠CBD＝15°，則CD的長為或．【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，∴，解得：，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）由條件可得B（3，0），∴OB＝3，∴OB＝OC＝3，∴∠ABC＝45°，∴當點D在點C上方時，如圖所示：∵∠CBD＝15°，∴∠ABD＝15°+45°＝60°，∴，∴；當點D在點C下方時，如圖所示：∵∠CBD＝15°，∴∠ABD＝45°﹣15°＝30°，∴，∴；綜上可得：CD的長為或．故答案為：或．24．（7分）為了傳承東北抗聯精神，某中學舉行“紅色經典”主題閱讀活動．該校采用簡單隨機抽樣的方法，對本校學生一周的閱讀時間（單位：min）進行了抽樣調查，把所得的數據分組整理，并繪制成如下兩幅不完整的統計圖．請根據相關信息，解答下列問題：（1）m＝45，C組對應的頻數25，并補全直方圖；（2）調查所得數據的中位數落在B組（填組別）；（3）該校共有1500名學生，根據抽樣調查結果，估計該校學生一周閱讀時間不少于60min的學生人數．【解答】解：（1）抽取的總人數為10÷10%＝100（人），∴m%＝45÷100×100%＝45%，則m＝45，∴C組對應的頻數為：100﹣10﹣45﹣20＝25，故答案為：45，25；（2）∵共100個數據，∴中位數是第50、51個數據的平均數，由頻數分布直方圖可得A組10個數據，B組45個數據，那么第50、51個數據在B組，∴中位數落在B組；故答案為：B；（3）該校共有1500名學生，根據抽樣調查結果，估計該校學生一周閱讀時間不少于60min的學生人數為：（人）．答：估計該校學生一周閱讀時間不少于60min的學生人數為675人．25．（8分）一條公路上依次有A，B，C三地，甲車從A地出發去C地，途經B地，到達C地后，立即按原路原速返回A地；乙車在甲車出發0.1小時后從A地去B地，到達B地停留2小時，立即按原路原速返回，結果比甲車提前0.3小時到達A地，兩車均按各自速度勻速行駛．如圖是甲車行駛過程中距離B地的路程y（km）與甲車行駛時間x（h）的函數圖象，結合圖象回答下列問題：（1）A，C兩地之間的距離為270km，乙車的速度為100km/h；（2）求線段EF的函數解析式；（3）請直接寫出乙車返回A地前，甲車行駛多少小時，甲乙兩車相距10km．【解答】解：（1）根據圖象得A，C兩地之間的距離為：180+90＝270km；根據圖象得：當甲到達C地時，用時3小時，∴返回A地時總的時間為6小時，∵乙車在甲車出發0.1小時后從A地去B地，到達B地停留2小時，立即按原路原速返回，結果比甲車提前0.3小時到達A地，∴乙車在路上行駛的總時間為：6﹣0.1﹣2﹣0.3＝3.6小時，∵乙車從A地去B地，然后返回A地，∴總路程為：180×2＝360千米，∴乙車的速度為；故答案為：270；100；（2）由圖象可知甲車的速度為：（180+90）÷3＝90km/h，∴90÷90＝1h，180÷90＝2h，∴E（4，0），F（6，180），設線段EF的函數解析式為y＝kx+b（k≠0），∴，解得：，∴y＝90x﹣360（4≤x≤6）；（3）設甲車行駛t小時，甲乙兩車相距10km，∵乙車在甲車出發0.1小時后從A地去B地，∴甲車提前行駛了90×0.1＝9km＜10km，∵100km/h＞90km/h，∴在從A到B的過程中，兩車之間的距離一直減小，不可能相距10km，∴甲車行駛到B地需要的時間為：180÷90＝2h，乙車行駛到B地需要的時間為：180÷100＝1.8h，∴當乙車停留，甲車到達B地后繼續行駛10km，即為兩車之間距離為10km，此時的時間為：；當甲車到達B地之前時，與乙車之間的距離為10km時，由（2）得乙車2小時后的時間為：0.1+1.8+2＝3.9小時，甲車行駛的路程為：180+90+（90﹣10）＝350km，∴行駛的時間為：，符合題意；當從B地返回A地的過程中，兩車之間距離為10km，100（t﹣0.1﹣1.8﹣2）＝90（t﹣2﹣1﹣1）+10，解得：t＝4h（符合題意），綜上可得：甲車行駛或或4h時，甲乙兩車相距10km．26．（8分）在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E為直線AC上一點，連接BE，過E點作EF⊥BE，交AD邊所在的直線于點F．（1）如圖①，當點E在OC上時，求證：AB+AFAE；（2）如圖②，當點E在OA上時；如圖③，當點E在CA的延長線上時，請分別寫出線段AB，AF，AE之間的數量關系，不需要證明．【解答】（1）證明：如圖①，過點E作EG⊥AC交AB的延長線于點G，∴∠AEG＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，AC，BD是對角線，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∴∠G＝90°﹣∠BAC＝45°，∴△AGE是等腰直角三角形，∴AE＝EG，∴，∵EF⊥BE，∴∠FEA+∠AEB＝∠FEB＝90°，∵∠AEB+∠BEG＝90°，∴∠FEA＝∠BEG，又∵∠FAE＝∠G＝45°，AE＝EG，∠FEA＝∠BEG，∴△AEF≌△GEB（ASA），∴AF＝BG，∴AG＝AB+BG＝AB+AF，∵，∴；（2）解：圖②：；圖③：．理由如下：如圖②，過點E作EH⊥AC交AB于點H，∴∠AEH＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，AC，BD是對角線，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∴∠AHE＝90°﹣45°＝45°，∴△AHE是等腰直角三角形，∴AE＝EH，∴，∵EF⊥BE，∴∠FEA+∠FEH＝∠AEH＝90°，∵∠FEH+∠HEB＝90°，∴∠FEA＝∠HEB，又∵∠DAC＝∠AHE＝45°，∴∠FAE＝∠BHE＝180°﹣45°＝135°，∵∠FAE＝∠BHE，AE＝EH，∠FEA＝∠HEB，∴△AEF≌△HEB（ASA），∴AF＝BH，∵AB＝AH+BH，∴；如圖③，過點E作EK⊥AE交AF于點K，∵四邊形ABCD是正方形，AC，BD是對角線，∴∠BAC＝∠DAC＝∠EAK＝45°，∴∠AKE＝90°﹣45°＝45°，∴△AKE是等腰直角三角形，∴AE＝EK，∴，∵EF⊥BE，∴∠FEK+∠KEB＝∠FEB＝90°，∵∠KEB+∠BEA＝90°，∴∠FEK＝∠BEA，又∵∠AKE＝∠BAC＝45°，∴∠FKE＝∠BAE＝135°，∵∠FEK＝∠BEA，EK＝AE，∠FKE＝∠BAE，∴△KEF≌△AEB（ASA），∴FK＝AB，∵AF＝AK+FK，∴．27．（10分）“節能減排，倡導綠色出行”．某新能源汽車生產廠家推出特惠A，B兩種型號的新能源汽車，已知銷售2臺A型汽車和1臺B型汽車總售價為21萬元，銷售3臺A型汽車和2臺B型汽車總售價為34萬元．已知A型汽車的成本為每臺7萬元，B型汽車的成本為每臺4.5萬元．（1）求A型汽車和B型汽車每臺售價分別為多少萬元？（2）若汽車廠家售出A，B兩種型號的汽車共50臺，售出A型汽車的數量不超過30臺，并且投入的總成本不低于295萬元，求有哪幾種銷售方案？（3）在（2）的條件下，全部售出，哪種銷售方案獲得的利潤最大？最大利潤為多少萬元？【解答】解：（1）設A型汽車每臺售價為x萬元，B型汽車每臺售價為y萬元，根據題意列二元一次方程組得，，解得，答：A型汽車每臺售價8萬元，B型汽車每臺售價5萬元；（2）設售出A型汽車a臺，a為整數，根據題意列一元一次不等式組得，，解不等式7a+225﹣4.5a≥295，得2.5a≥70，即a≥28，因此28≤a≤30，∵a為整數，可得a的取值為28，29，30，當a＝28時，50﹣a＝50﹣28＝22；當a＝29時，50﹣a＝50﹣29＝21；當a＝30時，50﹣a＝50﹣30＝20，答：共有3種銷售方案，方案1：售出A型汽車28臺，B型汽車22臺；方案2：售出A型汽車29臺，B型汽車21臺；方案3：售出A型汽車30臺，B型汽車20臺；（3）設總利潤為W萬元，每臺A型汽車利潤為8﹣7＝1（萬元），每臺B型汽車利潤為5﹣4.5＝0.