2026年河北省中考數學真題及答案解析

第1頁（共1頁）2026年河北省中考數學試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題意）1．（3分）計算：a+a+b+b＝（）A．2ab B．2a+2b C．a2b2 D．a2+b22．（3分）如圖，點P在直線AB外，點C是直線AB上的動點，則∠1與∠2的關系一定成立的是（）A．∠1＞∠2 B．∠1＝3∠2 C．∠1﹣∠2＝90° D．∠1+∠2＝180°3．（3分）計算：30×A．5 B．5 C．56 D．4．（3分）河北博物院收藏的錯金銅博山爐（如圖1所示）是漢代頗具代表性的香薰器物．將它近似地看成由圓錐、半球和圓柱組成的幾何體（如圖2所示），則這個幾何體的主視圖中沒有出現的圖形是（）A．三角形 B．矩形 C．半圓 D．菱形5．（3分）嘉嘉在美術課上了解到，用不同比例的紅、黃兩種顏料能調配出多種暖色調顏色．如圖，根據紅色顏料的占比，可以將調配出的顏色分為①、②、③、④等四類．用6g紅色顏料和4g黃色顏料調配出的顏色屬于（）A．①類 B．②類 C．③類 D．④類6．（3分）計算：xx?1A．x?1x B．1?xx C．(x?1)7．（3分）如圖，將一個邊長為a的正方形分成6個全等的矩形，若這6個矩形周長之和比原正方形的周長多48，則a的值為（）A．6 B．8 C．12 D．168．（3分）擲兩枚質地均勻的骰子（六個面上分別刻有1到6的點數），若向上一面的點數之和為2的概率與點數之和為n的概率相等，則n＝（）A．3 B．4 C．11 D．129．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，過點A作AE∥DC交BC于點E，將△ABE沿AE翻折，得到△AB′E．B′A，B′E分別與直線DC交于M，N兩點，則△MB′N與△ABE的面積之比為（）A．12 B．13 C．1410．（3分）如圖，在⊙O中，ACB所對的圓心角為150°，點D在AC上．若∠CBO＝n°，則∠ADC＝（）A．90°+n° B．180°﹣n° C．195°﹣n° D．2n°11．（3分）平面直角坐標系中有A（1，n），B（m，6），C（m，n）三點．若直線AB經過原點，則點C一定在（）A．函數y=16x的圖象上 B．函數C．函數y＝﹣x+5的圖象上 D．函數y＝6x的圖象上12．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，若兩陰影部分的面積分別為m，n，則m﹣n＝（）A．18 B．110 C．1二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13．（3分）計算：4﹣（﹣6）＝．14．（3分）某樓梯裝有護欄，其側面如圖所示．其中AB∥CD，BD⊥DE于點D，AC⊥DE于點E，若∠BAC＝60°，AB＝4m，則CE＝m．15．（3分）已知關于x的一元二次方程x2+14x+m＝0有兩個實數根，其中一個根是另一個根的平方，則m＝16．（3分）一游客計劃從A地出發到B，C，D三地旅游，然后回到A地．該游客到三地的先后順序不確定，且每個地方只到1次，如A→D→B→C→A．若圖中兩地間連線上的數字表示兩地之間單次通行的交通費用（單位：百元），則此次旅游的交通費用最少為百元．三、解答題（本大題共8小題，共72分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（7分）（1）解方程：3x＝12+x；（2）解不等式：x?3＞x?118．（8分）用運算律或乘法公式可以簡化運算，例如：982＝982﹣22+22＝（98+2）×（98﹣2）+22＝100×96+4＝9604．（1）證明a2＝（a+b）（a﹣b）+b2，并用以上方法計算992．（2）計算：（﹣105）2．19．（8分）（1）尺規作圖：如圖1，在△ABC中，作出AB邊的垂直平分線l．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）如圖2，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，點D在BC邊上，且DA＝DB．若AC＝6，BC＝9，求線段CD的長．20．（8分）為培養學生的勞動觀念和家庭責任意識，某中學開展了“家長家務勞動時長”調查活動．在某一周，每名學生統計自己家長每天整理收納、燒菜做飯、洗衣清掃等家務勞動時間，計算出家長日均家務勞動時長t（單位：h）并提交．（計算方法：t=家長一周家務勞動時間總和收集數據淇淇隨機抽取了40名同學提交的數據，如下：3.62.11.93.22.43.12.02.61.93.21.32.82.91.42.12.51.73.52.62.62.33.72.71.93.32.02.62.01.62.83.42.52.12.21.82.43.02.53.52.3整理數據淇淇將數據適當分組后，繪制了如圖所示的不完整的頻數分布直方圖．分析數據（1）①補全上面的頻數分布直方圖；估計全校學生提交的數據中，t＞2.25的占比為%．②把頻數分布直方圖中各組數據用該組的中間值來代替（如1.25～1.75的中間值為1.5），并利用圖中信息，計算這40名學生提交的家長日均家務勞動時長的平均數t．（2）資料顯示，我國6周歲以上居民的日均家務勞動時長約為1.28h，淇淇發現t與之相比有明顯差異，請結合統計知識分析原因．（寫出一條即可）21．（9分）在學習了圓的相關知識后，同學們設計并開展了一項綜合實踐活動，下面是一個小組尚未完成的活動報告．主題求生活中的圓弧長研究內容本次活動選取學校的鉛球場地，將場地的一部分抽象為扇形OPQ（如圖1所示），已知扇形OPQ所在圓的半徑OM⊥PQ于點N，OP≈10.00m，用不同的方案分別求PQ的長l．工具軟尺（長度足夠）、測角儀（可測量角度的大小）等研究方案與實踐成果方案一方案二方案三用軟尺直接測量PQ的長．測量數據：第一次6.36m第二次6.32m用測角儀測角，利用弧長公式計算PQ的長．測量數據：∠POQ≈36°查閱文獻，發現北宋沈括的《夢溪筆談》中收錄了近似計算圓弧長度的“會圓術”．圖1中，弧長l=PQ+M測量數據：PQ≈6.20m，MN≈0.50m取兩次測量結果的平均數，則l＝6.34m．利用弧長公式…根據“會圓術”，…反思應用①方案一可通過的方法減少誤差；②我們可以利用上面的活動經驗解決一些生活中的問題．如圖2所示，公園里一座橋的主橋拱是圓弧形，已知其跨度AB為6m，拱高CD為1m，雖然弧長lAB和圓心角∠AEB計算過程如下：…請你幫助該小組完成活動報告，具體如下：（1）寫出“反思應用”①中減少誤差的方法．（寫出一種方法即可）（2）分別利用方案二（結果保留π）和方案三計算PQ的長l．（3）求圖2中弧長lAB和圓心角∠AEB．（π22．（9分）某登山愛好者根據經驗，總結出一個預估自己登山用時t（分鐘）的模型：t＝t1+t2．其中，t1＝kx（k為常數），x（千米）表示登山路線的長度；t2＝150h，h（千米）表示山頂與起點的海拔高度差．從A出發到山頂M的路線及相關數據如圖所示．（說明：本題中模型已簡化，且不計登山過程中休息和必要的預留時間）（1）①求k，h的值．②計算路線3的長度．（2）已知山頂M的海拔高度為1000米，B在如圖所示的一條等高線上，等高線上標注的數字表示其海拔高度（單位：米）．若該登山愛好者從B出發到山頂M的路線長度為3千米，根據本題模型，求該登山愛好者登到山頂M的預估用時．23．（11分）如圖，二次函數y＝（x﹣t）（x﹣3t）（其中t＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，頂點為P．將點B繞點A順時針旋轉90°得到點D．（1）若t＝1，求直線PD的函數表達式，并判斷點C關于二次函數圖象對稱軸的對稱點C′是否在直線PD上．（2）當3≤x≤6時，二次函數的最大值為9，求t的值．（3）連接OP，當點D不在直線OP上時，過點D作直線DE∥OP交y軸于點E（0，m），請直接寫出m的最小值．24．（12分）如圖1和圖2，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，正方形DEFG的頂點D，E，F分別在△ABC的三邊AB，BC，CA上．當點D從點B出發沿BA向點A移動時，點E，F隨之分別在BC，CA上移動（正方形DEFG的大小發生變化），當點F與點C重合時，移動停止．（1）tan∠ABC＝．（2）如圖1，當∠BED＝45°時，求證：BE＝CE．（3）①如圖2，當BD=207時，求②當BE=407時，直接寫出正方形（4）在移動過程中，每當點G移動1個單位長度時，點E均移動d個單位長度，直接寫出d的值．

2026年河北省中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題意）1．（3分）計算：a+a+b+b＝（）A．2ab B．2a+2b C．a2b2 D．a2+b2【解答】解：a+a+b+b＝2a+2b，故選：B．2．（3分）如圖，點P在直線AB外，點C是直線AB上的動點，則∠1與∠2的關系一定成立的是（）A．∠1＞∠2 B．∠1＝3∠2 C．∠1﹣∠2＝90° D．∠1+∠2＝180°【解答】解：∵點O在直線AB上，∴∠AOB是一個平角，∴∠AOB＝180°，∴∠1+∠2＝180°，故選：D．3．（3分）計算：30×A．5 B．5 C．56 D．【解答】解：原式=30×故選：A．4．（3分）河北博物院收藏的錯金銅博山爐（如圖1所示）是漢代頗具代表性的香薰器物．將它近似地看成由圓錐、半球和圓柱組成的幾何體（如圖2所示），則這個幾何體的主視圖中沒有出現的圖形是（）A．三角形 B．矩形 C．半圓 D．菱形【解答】解：這個幾何體的主視圖中沒有出現的圖形是菱形．故選：D．5．（3分）嘉嘉在美術課上了解到，用不同比例的紅、黃兩種顏料能調配出多種暖色調顏色．如圖，根據紅色顏料的占比，可以將調配出的顏色分為①、②、③、④等四類．用6g紅色顏料和4g黃色顏料調配出的顏色屬于（）A．①類 B．②類 C．③類 D．④類【解答】解：∵紅色顏料質量為6g，黃色顏料質量為4g，∴調配出的顏料總質量為6+4＝10（g），∴紅色顏料的占比為610∵50%＜60%＜75%，∴該顏色屬于③類，故選：C．6．（3分）計算：xx?1A．x?1x B．1?xx C．(x?1)【解答】解：原式==(x?1=x?1故選：A．7．（3分）如圖，將一個邊長為a的正方形分成6個全等的矩形，若這6個矩形周長之和比原正方形的周長多48，則a的值為（）A．6 B．8 C．12 D．16【解答】解：如圖所示：依題意設AE＝x，AH＝DH＝y，∴AB＝3x，AD＝2y，∵四邊形ABCD是正方形，且邊長得a，∴AB＝AD＝a，∴3x＝2y＝a，∴y＝1.5x，a＝3x，∴正方形ABCD的周長為：4a＝12x，每個小矩形的周長為：2（x+y）＝5x，∴6個矩形周長之和：6×5x＝30x，又∵6個矩形周長之和比原正方形ABCD的周長多48，∴30x﹣12x＝48，解得：x=8∴a＝3x＝8．故選：B．8．（3分）擲兩枚質地均勻的骰子（六個面上分別刻有1到6的點數），若向上一面的點數之和為2的概率與點數之和為n的概率相等，則n＝（）A．3 B．4 C．11 D．12【解答】解：列表如下：1234561（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）共有36種等可能的結果，其中向上一面的點數之和為2的結果有1種，向上一面的點數之和為3的結果有2種，向上一面的點數之和為4的結果有3種，向上一面的點數之和為11的結果有2種，向上一面的點數之和為12的結果有1種，∴向上一面的點數之和為2的概率＝向上一面的點數之和為12的概率=1故選：D．9．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，過點A作AE∥DC交BC于點E，將△ABE沿AE翻折，得到△AB′E．B′A，B′E分別與直線DC交于M，N兩點，則△MB′N與△ABE的面積之比為（）A．12 B．13 C．14【解答】解：∵AD∥BC，AE∥DC，∴四邊形AECD為平行四邊形，∴AD＝CE，∵BC＝3AD，即BE+EC＝3AD，∴BE＝2CE，∵△ABE沿AE翻折，得到△AB′E，∴S△AB′E＝S△ABE，B′E＝BE，∠AEB＝∠AEB′，∵AE∥DC，∴∠ENC＝∠AEB′，∠AEB＝∠C，∴∠ENC＝∠C，∴NE＝CE，∴B′E＝BE＝2NE，∴B′N＝NE=12B′∵MN∥AE，∴△B′MN∽△B′AE，∴S△B′MNS△B′AE=（B′NB′E）2＝（∴△MB′N與△ABE的面積之比為14故選：C．10．（3分）如圖，在⊙O中，ACB所對的圓心角為150°，點D在AC上．若∠CBO＝n°，則∠ADC＝（）A．90°+n° B．180°﹣n° C．195°﹣n° D．2n°【解答】解：如圖，連接CO并延長交⊙O于點E，連接AE，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠CBO＝n°，∴∠BOC＝180°﹣∠B﹣∠OCB＝180°﹣2n°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝150°﹣（180°﹣2n°）＝2n°﹣30°，∴∠E=1∵∠ADC＝180°﹣∠E＝180°﹣（n°﹣15°）＝195°﹣n°，故選：C．11．（3分）平面直角坐標系中有A（1，n），B（m，6），C（m，n）三點．若直線AB經過原點，則點C一定在（）A．函數y=16x的圖象上 B．函數C．函數y＝﹣x+5的圖象上 D．函數y＝6x的圖象上【解答】解：∵直線AB經過原點，∴設直線AB的解析式為y＝kx，把A（1，n）代入解析式得n＝k?1，即k＝n，∴直線AB的解析式為y＝nx，把B（m，6）代入y＝nx，得6＝n?m，即mn＝6，∵點C的坐標為（m，n），∴點C橫縱坐標的乘積為m?n＝6，對函數y=6x變形，可得xy＝6，滿足點∴點C一定在函數y=6故選：B．12．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，若兩陰影部分的面積分別為m，n，則m﹣n＝（）A．18 B．110 C．1【解答】解：如圖，過點B作BJ∥x軸交直線l1于點J，過點F作EF∥x軸交直線I1于點E，∵CD∥x軸，GH∥x軸，∴CD∥BJ，GH∥EF，由圖可知，l1過（0，0），（1，3）；l2過（1，0），（2，3）；l3過（0，3），（3，2）；l4過（0，2），（3，1），設l1的直線解析式為y＝ax（a≠0），將（1，3）代入上式，則a＝3，∴l1的直線解析式為y＝3x；同理可得另外三條直線的解析式分別為：l2：y＝3x﹣3，l3：y=?13x+2，l∵直線l1與l2的斜率均為3，∴l1∥l2，∴四邊形JBDC，EFHG是平行四邊形，當y＝1時，1＝3x，解得x=13，則當y＝1時，1＝3x﹣3，解得x=43，則當y＝2時，2＝3x，解得x=23，則當y＝2時，2＝3x﹣3，解得x=53，則∴GH＝BC＝1，聯立l2與l3得：3x?3=?13x+3，解得：x∴B（1.8，2.4）；聯立I1與l3得：3x=?13x+3，解得：x∴A（0.9，2.7）；聯立l2與l4得：3x?3=?13x+2，解得：x∴F（1.5，1.5）；聯立l1與l4得：3x=?13x+2，解得：x∴I（0.6，1.8）；∴陰影部分n的面積=S陰影部分m的面積=S∴m?n=0.65?0.55=0.1=1故選：B．二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13．（3分）計算：4﹣（﹣6）＝10．【解答】解：原式＝4+6＝10．14．（3分）某樓梯裝有護欄，其側面如圖所示．其中AB∥CD，BD⊥DE于點D，AC⊥DE于點E，若∠BAC＝60°，AB＝4m，則CE＝2m．【解答】解：∵BD⊥DE，AC⊥DE，∴BD∥AC，又∵AB∥CD，∴四邊形ABDC是平行四邊形，∴CD＝AB＝4m，∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠BAC＝60°，在Rt△CDE中，∠CED＝90°，∠DCE＝60°，∴CE=CD?cos60°=4×1故答案為：2．15．（3分）已知關于x的一元二次方程x2+14x+m＝0有兩個實數根，其中一個根是另一個根的平方，則m＝?【解答】解：設一元二次方程x2+14x+m=0的兩根分別為根據根與系數的關系可得t+t2=?14，t?整理t+t2=?14解得t1將t=?12代入m＝t3，得驗證判別式：Δ=(1故答案為：?116．（3分）一游客計劃從A地出發到B，C，D三地旅游，然后回到A地．該游客到三地的先后順序不確定，且每個地方只到1次，如A→D→B→C→A．若圖中兩地間連線上的數字表示兩地之間單次通行的交通費用（單位：百元），則此次旅游的交通費用最少為21百元．【解答】解：根據題意，從A地出發到B，C，D三地旅游，然后回到A地，且每個地方只到1次，共有以下不同的路線方案：方案一：路線為A→B→C→D→A，交通費用為：3+5+7+6＝21（百元）；方案二：路線為A→B→D→C→A，交通費用為：3+8+7+4＝22（百元）；方案三：路線為A→C→B→D→A，交通費用為：4+5+8+6＝23（百元）；方案四：路線為A→C→D→B→A，交通費用為：4+7+8+3＝22（百元）；方案五：路線為A→D→B→C→A，交通費用為：6+8+5+4＝23（百元）；方案六：路線為A→D→C→B→A，交通費用為：6+7+5+3＝21（百元）；因為21＜22＜23，所以此次旅游的交通費用最少為21百元，故答案為：21．三、解答題（本大題共8小題，共72分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（7分）（1）解方程：3x＝12+x；（2）解不等式：x?3＞x?1【解答】解：（1）3x＝12+x，移項，合并同類項得：2x＝12，系數化為1得：x＝6；（2）x?3＞x?1去分母得：2x﹣6＞x﹣1，移項，合并同類項得：x＞5．18．（8分）用運算律或乘法公式可以簡化運算，例如：982＝982﹣22+22＝（98+2）×（98﹣2）+22＝100×96+4＝9604．（1）證明a2＝（a+b）（a﹣b）+b2，并用以上方法計算992．（2）計算：（﹣105）2．【解答】（1）證明：∵右邊＝（a+b）（a﹣b）+b2＝（a2﹣b2）+b2＝a2﹣b2+b2＝a2＝左邊，∴a2＝（a+b）（a﹣b）+b2，∴992＝（99+1）（99﹣1）+12＝100×98+1＝9801；（2）解：（﹣105）2＝（﹣105）2﹣52+52＝[（﹣105）+5]×[（﹣105）﹣5]+25＝（﹣100）×（﹣110）+25＝11000+25＝11025．19．（8分）（1）尺規作圖：如圖1，在△ABC中，作出AB邊的垂直平分線l．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）如圖2，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，點D在BC邊上，且DA＝DB．若AC＝6，BC＝9，求線段CD的長．【解答】解：（1）如圖，直線l即為所求；（2）∵DA＝DB，∴∠B＝∠BAD，∴∠CDA＝∠B+∠BAD＝2∠B，∵∠BAC＝2∠B，∴∠BAC＝∠CDA，∵∠C＝∠C，∴△CDA∽△CAB，∵AC＝6，BC＝9，∴CDCA∴CD6解得CD＝4．20．（8分）為培養學生的勞動觀念和家庭責任意識，某中學開展了“家長家務勞動時長”調查活動．在某一周，每名學生統計自己家長每天整理收納、燒菜做飯、洗衣清掃等家務勞動時間，計算出家長日均家務勞動時長t（單位：h）并提交．（計算方法：t=家長一周家務勞動時間總和收集數據淇淇隨機抽取了40名同學提交的數據，如下：3.62.11.93.22.43.12.02.61.93.21.32.82.91.42.12.51.73.52.62.62.33.72.71.93.32.02.62.01.62.83.42.52.12.21.82.43.02.53.52.3整理數據淇淇將數據適當分組后，繪制了如圖所示的不完整的頻數分布直方圖．分析數據（1）①補全上面的頻數分布直方圖；估計全校學生提交的數據中，t＞2.25的占比為62.5%．②把頻數分布直方圖中各組數據用該組的中間值來代替（如1.25～1.75的中間值為1.5），并利用圖中信息，計算這40名學生提交的家長日均家務勞動時長的平均數t．（2）資料顯示，我國6周歲以上居民的日均家務勞動時長約為1.28h，淇淇發現t與之相比有明顯差異，請結合統計知識分析原因．（寫出一條即可）【解答】解：（1）①由統計數據可得，1.25＜t＜1.75的數據有4個，3.25＜t＜3.75的數據有6個，補全頻數分布直方圖如下：12+7+640∴估計全校學生提交的數據中，t＞2.25的占比為62.5%，故答案為：62.5；②第一組的組中值為（1.25+1.75）÷2＝1.5，同理可得其余各種的組中值為2.0、2.5、3.0、3.5，∴t=1.5×4+2.0×11+2.5×12+3.0×7+3.5×640答：這40名學生提交的家長日均家務勞動時長的平均數為2.5h；（2）本次調查的樣本是某中學學生的家長，群體具有特殊性，家長群需要照顧家庭，承擔更多家務，勞動時長普遍高于全國全年齡段居民的平均水平，且樣本僅來自一所學校，不具備代表性，因此與全國均值存在明顯差異．21．（9分）在學習了圓的相關知識后，同學們設計并開展了一項綜合實踐活動，下面是一個小組尚未完成的活動報告．主題求生活中的圓弧長研究內容本次活動選取學校的鉛球場地，將場地的一部分抽象為扇形OPQ（如圖1所示），已知扇形OPQ所在圓的半徑OM⊥PQ于點N，OP≈10.00m，用不同的方案分別求PQ的長l．工具軟尺（長度足夠）、測角儀（可測量角度的大小）等研究方案與實踐成果方案一方案二方案三用軟尺直接測量PQ的長．測量數據：第一次6.36m第二次6.32m用測角儀測角，利用弧長公式計算PQ的長．測量數據：∠POQ≈36°查閱文獻，發現北宋沈括的《夢溪筆談》中收錄了近似計算圓弧長度的“會圓術”．圖1中，弧長l=PQ+M測量數據：PQ≈6.20m，MN≈0.50m取兩次測量結果的平均數，則l＝6.34m．利用弧長公式…根據“會圓術”，…反思應用①方案一可通過多次測量取平均值的方法減少誤差；②我們可以利用上面的活動經驗解決一些生活中的問題．如圖2所示，公園里一座橋的主橋拱是圓弧形，已知其跨度AB為6m，拱高CD為1m，雖然弧長lAB和圓心角∠AEB計算過程如下：…請你幫助該小組完成活動報告，具體如下：（1）寫出“反思應用”①中減少誤差的方法．（寫出一種方法即可）（2）分別利用方案二（結果保留π）和方案三計算PQ的長l．（3）求圖2中弧長lAB和圓心角∠AEB．（π【解答】解：（1）方案一可通過多次測量取平均值的方法減少誤差，故答案為：多次測量取平均值；（2）方案二：PQ的長l=36×π×10方案三：∵l=PQ+MN2OP，PQ≈6.20m，MN≈0.50m，∴l=6.20+0.5（3）∵CD⊥AB，AB＝6m，∴AD=BD=1在Rt△ADE中，由勾股定理得，AE2＝AD2+DE2，CD＝1m，∴AE2＝32+（AE﹣1）2，解得AE＝5（m），由“會圓術”可得，lAB設∠AEB的度數為n，則由lAB=nπ×AE解得n＝72°．22．（9分）某登山愛好者根據經驗，總結出一個預估自己登山用時t（分鐘）的模型：t＝t1+t2．其中，t1＝kx（k為常數），x（千米）表示登山路線的長度；t2＝150h，h（千米）表示山頂與起點的海拔高度差．從A出發到山頂M的路線及相關數據如圖所示．（說明：本題中模型已簡化，且不計登山過程中休息和必要的預留時間）（1）①求k，h的值．②計算路線3的長度．（2）已知山頂M的海拔高度為1000米，B在如圖所示的一條等高線上，等高線上標注的數字表示其海拔高度（單位：米）．若該登山愛好者從B出發到山頂M的路線長度為3千米，根據本題模型，求該登山愛好者登到山頂M的預估用時．【解答】解：（1）①由題意得，t＝kx+150h，代入兩組數據得，6k+150h=2104k+150h=180解得k=15h=0.8②由①得，t＝15x+150×0.8＝15x+120，路線3同樣從A到M，海拔差仍為h＝0.8km，將t＝195代t＝15x+120，得15x+120＝195，解得x＝5即路線3的長度為5千米；（2）由等高線圖可知，B點位于400米等高線上，海拔為400m＝0.4km，山頂M海拔為1000m＝1km，因此海拔差：h＝1﹣0.4＝0.6km，將x＝3kmk＝15代入得，t＝15×3+150×0.6＝45+90＝135，即預估用時為135分鐘．23．（11分）如圖，二次函數y＝（x﹣t）（x﹣3t）（其中t＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，頂點為P．將點B繞點A順時針旋轉90°得到點D．（1）若t＝1，求直線PD的函數表達式，并判斷點C關于二次函數圖象對稱軸的對稱點C′是否在直線PD上．（2）當3≤x≤6時，二次函數的最大值為9，求t的值．（3）連接OP，當點D不在直線OP上時，過點D作直線DE∥OP交y軸于點E（0，m），請直接寫出m的最小值．【解答】解：（1）對于y＝（x﹣t）（x﹣3t），當y＝0時，（x﹣t）（x﹣3t）＝0，解得x1＝t，x2＝3t，∴A（t，0），B（3t，0），若t＝1，則A（1，0），B（3，0），y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴AB＝3﹣1＝2，P（2，﹣1），∵將點B繞點A順時針旋轉90°得到點D，∴AD＝AB＝2，∠BAD＝90°，∴D（1，﹣2），設直線PD：y＝kx+b，則2k+b=?1k+b=?2解得k=1b=?3∴直線PD：y＝x﹣3；對于y＝（x﹣2）2﹣1，當x＝0時，y＝3，∴C（0，3），由y＝（x﹣2）2﹣1可得對稱軸為直線x＝2，∴點C關于二次函數圖象對稱軸的對稱點C'為（4，3），當x＝4時，y＝4﹣3＝1≠3，∴點C'不在直線PD上；（2）由（1）可得A（t，0），B（3t，0），∴對稱軸為直線x=t+3t當2t＜3，即t＜1.5時，∵拋物線y＝（x﹣t）（x﹣3t）中，1＞0，則拋物線開口向上，∴當3≤x≤6時，y隨著x的增大而增大，∴當x＝6時，函數取得最大值，∴（6﹣t）（6﹣3t）＝9，整理得，t2﹣8t+9＝0，解得t=4?7或t=4+當3≤2t≤6，即32≤t≤3時，若2t≤92，即32∴當x＝6時，函數取得最大值9，∴（6﹣t）（6﹣3t）＝9，整理得，t2﹣8t+9＝0，解得t=4?7或t=4+7，均不在若2t＞92時，即94∴當x＝3時，函數取得最大值，∴（3﹣t）（3﹣3t）＝9，整理得，t2﹣4t＝0，解得t＝4或t＝0，均不在94當2t＞6，即t＞3時，∴當3≤x≤6時，y隨著x的增大而減小，∴當x＝3時，函數取得最大值，∴（3﹣t）（3﹣3t）＝9，整理得，t2﹣4t＝0解得t＝4或t＝0（舍去）；綜上：t的值為4?7（3）∵A（t，0），B（3t，0），∴同（1）可求D（t，﹣2t）對于y＝（x﹣t）（x﹣3t），對稱軸為直線x＝2t，∴把x＝2t代入