現代信號處理教程（第三版）課件 第13 章 Hilbert Huang變換基礎

第4篇Hilbert－Huang變換

第13章Hilbert－Huang變換基礎13.1非平穩和非線性信號13.2已有非平穩信號分析方法簡述13.3關于瞬時頻率的進一步討論13.4經驗模式分解13.5Hilbert譜分析現實世界中信號絕大部分都是非平穩和非線性的，而教科書中討論的眾多數字信號處理的方法都是假定信號是線性的，確定性的，或平穩的。美籍華人科學家黃鍔（N.E.HUANG）教授針對非平穩和非線性信號的分析，于1998年提出了一個稱之為Hilbert－Huang變換的理論，從而為非平穩，特別是非線性信號的分析與處理開辟了一個高效和新穎的途徑。13.1非平穩和非線性信號“平穩”信號有兩種定義方法：一、若隨機信號

的均值為常數，即且自相關函數和選取起點無關，即稱是寬平穩的。寬平穩信號的二階矩（自相關函數，功率譜）不隨時間變化。二、頻率不隨時間變化的信號稱為時不變信

號，或平穩信號。以上兩個定義是一致的。不滿足上述條件的信號就是非平穩信號。自然界的絕大部分信號都是非平穩的。如我們的語音，人體所有生理信號，等等。

“非平穩”信號的模型：Chirp信號

Chirp信號，非平穩關于非線性信號非線性系統輸出的信號；線性系統也可能輸出非線性信號（系統飽和）。線性系統是針對復雜現象而提出的理想化模型。多數情況下，這一假設可近似成立。線性移不變系統（LSI），最大特點：滿足疊加原理。非線性系統：VanderPol微分方程Duffing微分方程在現實世界中確存在著很多非線性系統，其輸出（信號）是無法用線性系統來近似的。我們人體的電生理信號，如ECG，EEG，EMG，都是細胞膜電位通過人體系統后在體表疊加的結果。

人體組織是非線性的，因此，這些信號嚴格地說都是非線性信號，但目前我們都是把它們當作線性信號來處理。實際工作的需要，促使人們探索非平穩和非線性信號的處理方法。

傅里葉變換是信號分析和處理中的基本方法，已獲得了廣泛的應用，其本質是：將周期信號分解為常數幅度、離散常數頻率的正弦的組合。周期信號FS非周期信號將信號分解為常數幅度、連續常數頻率的正弦的組合。FT傅里葉變換的不足：1.不具有時間和頻率的“定位”功能;2.傅里葉變換對于非平穩信號的局限性3．傅里葉變換在分辨率上的局限性顯然，傅里葉變換對非平穩和非線性信號不適用。傅里葉變換的不足是推動新的信號處理的原動力！13.2已有非平穩信號分析方法簡述

短時傅里葉變換

對信號分段，求每一段的傅里葉變換，得到信號的聯合時頻分析，如譜圖。不足：

（1）如何確定多長的一段是局部平穩的？

（2）在分辨率方面也受到不定原理的制約，即為了好的時間定位，希望每一段盡量短，但這影響頻率分辨率，反之亦然。2.Wigner-Ville分布WVD給出了信號的能量隨時間和頻率的分布，被公認為是對非平穩信號分析和處理的重要工具，并已獲得廣泛應用。不足：

（1）是的FT，受不定原理的制約，即時間/頻率分辨率的制約；

（2）瞬時頻率是時間的單值函數，無法表示多分量信號頻率分布的特點，給出的只是多個頻率在一個時間點上的平均值;

（3）交叉項存在。3．小波變換

小波變換是過去二十年來信號處理領域最重要的進展。在HHT提出（1998）之前，它是分析和處理非平穩信號最成功的工具。不足：

（1）本質上也是加窗后的傅里葉變換；

（2）基函數需要預先指定，缺乏自適應性；

（3）如何選擇最優的小波基是一個仍未解決

的問題。13.3關于瞬時頻率的進一步討論瞬時頻率是描述非平穩和非線性信號最重要的工具，也是HHT中的核心內容。但接受和理解都比較困難。原因：來自于頻率的定義。，為得到頻率，至少需要一個周期的長度。小于一個周期的數據將無法求出頻率。“瞬時”，自然也就無法對應頻率；瞬時頻率的定義存在多樣性；瞬時頻率在計算方面還存在問題。將瞬時頻率永遠從通信工程師的詞典中刪除；瞬時頻率在給非線性失真波形賦以物理意義方面是概念上的創新。文獻上說：

傅里葉變換將信號分解為無窮多常數幅度和頻率的復正弦，得到的頻率又稱傅里葉頻率。顯然，傅里葉頻率是和正弦的周期緊密相連的。因此，用通常的頻率的定義來理解瞬時頻率，是行不通的。

但瞬時頻率是客觀存在的。如我們身邊絢麗的色彩，悠揚的旋律，都包含了不斷變化的頻率成分。問題是如何給出確切的定義和有效的計算方法。矛盾！瞬時頻率如何定義？Carson于1937年VanderPol于1937年給出：IF是相位函數的微分問題是：實際的信號總是實的，如何得到其相

位函數

？該問題引出了將實信號變成復信號的需要。理由：（1）實信號的幅頻響應偶對稱，這時求出的信號的

平均頻率（頻率中心）

，無實際的意義。（2）已在1.3節定義，平均頻率是若=0必=0，對非平穩信號，不符合實際（3）復信號易于確定其相位函數。將實信號變成復信號的方法：正交分量法解析信號法解析信號法：Gabor于1946年提出，主要特點

是通過Hilbert變換得到虛部。取正交分量構成復信號正交分量法：理想化方法，假定AM問題是：如何得到出幅度和相位？

因此，該方法不實用。其希爾伯特變換定義為:的解析信號定義為:表示為幅值和幅角的形式:其中:又稱：HilbertIF于是可求出IF:解析信號的特點：（1）可唯一地得到信號的幅度和相位

，從而得到IF;（2）解析信號的頻譜在負頻率處恒為零，克服了實

信號平均頻率為零的問題；

（3）由，可以突出

局部特征，

反映到極坐標里，使得相位函數對時間的微分

是瞬時頻率。基于解析信號的瞬時頻率的定義也存在問題：（1）對任意一個信號，總能求出Hilbert，進而

得到其瞬時頻率，但這樣的結果有無意義？

結論是：只有當為窄帶信號信號時，求

出的瞬時頻率才有物理意義。Bedrosian定理:若的包絡和載波滿足

則通過解析信號求得的瞬時頻率才有物理意義。含意：包絡可從信號的HT中分離出來，確保得到載波的正交分量。（2）由于

是時間的單值函數，因

此，要求所研究的信號

必須是單分量

信號。對多分量信號，要將其分解為

單分量信號。問題：如何分解？（3）信號

必須是零均值的，且相對于

零均值上、下對稱。瞬時頻率的其它定義：的WVD的Cohen類分布體現的瞬時頻率定義的多樣性瞬時頻率的“估計”因為實際數據是有限長數據是離散的基于相位函數的差分法基于過零點的方法，基于最小均方的LMS算法，基于遞歸最小二乘的RLS算法基于時頻分布的算法估計方法：相位函數差分法前向后向中心

第4篇Hilbert－Huang變換13.4經驗模式分解（EmpiricalModeDecomposition，EMDHHT有兩個步驟：經驗模式分解（EMD）Hilbert譜分析EMD將復雜信號分解為一系列簡單信號：稱為“固有模態函數（IntrinsicModeFunction，

IMF）”。一個IMF就是一個窄帶信號。這一分解無需先選定基函數；取決于信號本身；因而是自適應的；是高效的。

IMF的特點：數量有限，少量；是窄帶信號，方便求瞬時頻率；體現信號局部性質，適于非平穩非線性。（1）在持續時間內，其極值點的數目和過零點

的數目應該相等，或最多差一個；（2）在持續時間內，由信號的局部最大和局部

最小定義的上、下包絡的均值為零。IMF要

滿足：一個IMF波形EMD分解過程：給定

找出

的局部最大、最小值點，再利用三次樣條函數對其進行插值得到

的上包絡和下包絡極大值包絡極小值包絡記上包絡為，記下包絡為，求均值曲線，再求

完成了一次迭代。檢查是否符合IMF的要求。一般不會，按所示方法重新迭代，直到符合為止，這樣可得到一個IMF。

再繼續分解，得到新的IMF。包絡均值令滿足結束條件？否是Sifting步驟：插值計算

包絡

信號

一般不是窄帶信號，通過EMD分解，可將其分解為若干近似IMF的分量之和。EMD的關鍵步驟稱為Sifting。Sifting的結束條件可以有多種，包括：1、或的范數小于特定閾值；2、本身為窄帶信號，不能再分解出IMF分量Sifting結束滿足Sifting結束條件？開始EMD流程信號由頻率為1Hz，5Hz，10Hz，20Hz，50Hz,和100Hz的正弦信號之和，對其進行EMD分解;例例關于Sifting的停止準則:有多種；尚未完全解決。（1）Cauchy類型的停止準則要求：在時間T內小于給定閾值。（2）基于包絡均值的停止準則（3）“S”數停止準則：定義為連續迭代的次數，

而在這連續的迭代過程中，

的極值點的

個數和過零點的個數相等或最多差一個。（4）固定迭代次數的停止準則：

對白噪聲做EMD

分解時，EMD等效一個二進濾波器組，但如

果迭代次數大于10這一等效不再成立，因此建

議迭代的停止準則是10次。迭代過程中數據端點的處理：見教材。

EMD的特點：（1）EMD分解可以看作是廣義的傅里葉分解。對每一個IMFFS:

EMD用時變幅度、頻率代替FS中的固定幅度和固定頻率，有利于非平穩和非線性信號的分析與處理。（2）IMF的集合可看作是實現經驗模式分解的基函數。該基函數是依賴于數據的，因此是自適應的。即基函數適應了待分解信號的局部特征。而傅里葉變換和小波變換的基函數都是先驗的，且是固定的。

IMF基函數具有一般基函數的基本性質，如收斂性，完備性和正交性等。（3）收斂性：尚無理論證明，但在實際應用中可肯定

對任意小的正數

，總存在一個大的數

，使

得均值（4）完備性：信號

可以由其IMF分量完全重建。（5）正交性：IMF基函數的正交性在理論上也還沒有得

到證明。文獻[Hua98]定義了一個指標IO很小，說明各個IMF分量接近正交。（6）傅里葉變換、時頻分布、小波變換都受到不定原理的制約。而EMD是建立在局部的瞬時頻率上的，而瞬時頻率是通過Hilbert變換得到的，因此EMD不受不定原理的制約。（7）傅里葉變換只適用于確定性信號和平穩

信號；時頻分布和小波變換可適用于非

平穩信號但不適用于非線性信號，而EMD既適用于非平穩信號，也適用于非

線性信號。13.5Hilbert譜分析EMD:個IMF都是窄帶信號，適于做Hilbert變換殘余分量，不考慮HT構成解析信號，得到幅度、相位

求出信號的IMF并由此得到其時變的幅度和瞬時頻率后，有兩種方法來表示信號的特征：