小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)知識(shí)清單：巧用轉(zhuǎn)化思想解決不規(guī)則立體圖形的體積

小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)知識(shí)清單：巧用轉(zhuǎn)化思想解決不規(guī)則立體圖形的體積一、【核心概念】從“規(guī)則”走向“不規(guī)則”的思維跨越在小學(xué)數(shù)學(xué)的立體幾何領(lǐng)域，學(xué)生最初接觸的是長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐等有著標(biāo)準(zhǔn)公式的“規(guī)則立體圖形”。而當(dāng)面對(duì)一個(gè)土豆、一塊石頭、一個(gè)喝了一半水的瓶子或一個(gè)形狀怪異的零件時(shí)，我們無法直接套用公式進(jìn)行計(jì)算。這就引出了本知識(shí)清單的核心概念——“不規(guī)則立體圖形”。所謂不規(guī)則，是指物體的形狀并非標(biāo)準(zhǔn)的柱體、錐體或球體。解決此類問題的關(guān)鍵，并非去尋找一個(gè)萬能的新公式，而是建立一種核心的數(shù)學(xué)思想：【轉(zhuǎn)化】。【基礎(chǔ)】【核心思想】轉(zhuǎn)化思想的核心在于“變未知為已知，變不規(guī)則為規(guī)則”。在求體積時(shí)，我們通過某種方法，改變被研究物體的形狀或狀態(tài)，或者改變其所在的空間形式，使其變成一個(gè)或幾個(gè)我們能夠計(jì)算體積的規(guī)則立體圖形。在此過程中，一個(gè)至關(guān)重要的前提是【非常重要】——體積的大小保持不變。這種“形變而積不變”的原則，是打通規(guī)則與不規(guī)則之間壁壘的橋梁。本知識(shí)清單聚焦于人教版六年級(jí)下冊(cè)第三單元“圓柱與圓錐”的深化與拓展，將系統(tǒng)構(gòu)建解決不規(guī)則立體圖形體積問題的知識(shí)體系、方法策略與思維模型。這不僅是對(duì)圓柱、圓錐體積公式的靈活運(yùn)用，更是對(duì)小學(xué)階段“等積變形”思想的終極考驗(yàn)，也是為初中學(xué)習(xí)更為抽象的幾何變換打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)的【關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)】。二、【基本原理】“等積變形”思想的三大基石要順利實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，必須深刻理解并靈活運(yùn)用以下三大基本原理，它們是所有解題方法的理論依據(jù)。【高頻考點(diǎn)】（一）體積不變?cè)磉@是等積變形的第一要義。無論物體通過何種方式變形（如熔鑄、捏壓），只要物體本身沒有因?yàn)榉指疃粨p耗或增加，其占據(jù)空間的大小即體積是恒定不變的。【重點(diǎn)】1.【固態(tài)等積變形】：例如將一個(gè)正方體鐵塊熔鑄成一個(gè)圓柱形零件。在這個(gè)過程中，鐵塊的形狀、表面積都發(fā)生了改變，但鐵塊所含物質(zhì)的多少?zèng)]有變，因此【非常重要】正方體的體積=圓柱的體積。這是工業(yè)生產(chǎn)中材料重鑄的數(shù)學(xué)模型。2.【液態(tài)等積變形】：例如將一瓶水從一個(gè)圓柱形杯子倒入一個(gè)長(zhǎng)方體的魚缸。水的形狀隨容器而變，但只要沒有灑出，水的體積始終保持不變。這是解決液體轉(zhuǎn)移問題的核心。（二）排水法原理（阿基米德定律的兒童化表達(dá)）當(dāng)無法直接變形被測(cè)物體時(shí)（如測(cè)量一塊石頭的體積），我們可以借助水這一媒介，通過觀察水位的變化來反推物體的體積。【熱點(diǎn)】【高頻考點(diǎn)】1.【完全浸沒】：當(dāng)物體被完全浸沒在盛有液體的規(guī)則容器（底面通常是正方形、長(zhǎng)方形或圓形）中時(shí)，物體占據(jù)了原本屬于水的空間，從而迫使水位上升。1.2.原理：物體排開液體的體積，等于物體自身（浸沒部分）的體積。2.3.數(shù)學(xué)表達(dá)：V物體=V新總體積V原液體體積。3.4.由于容器是規(guī)則的，我們有更簡(jiǎn)便的計(jì)算方法：V物體=容器底面積×(現(xiàn)在水深原來水深)。5.【部分浸沒】：如果物體只有一部分浸入液體中，那么水位上升所對(duì)應(yīng)的體積，僅等于物體浸入液體部分的體積。6.【溢出情況】：如果容器原本就是滿的，或者放入物體后，水位上升到容器口導(dǎo)致水溢出，那么排開的水的體積就等于溢出水的體積。V物體=V排開水的體積=溢出的水的體積（當(dāng)物體完全浸沒且容器原滿時(shí)）。（三）空間重構(gòu)與割補(bǔ)原理有些不規(guī)則立體圖形是由規(guī)則圖形組合、挖空或切割而成的。我們可以通過“分”與“合”的策略，將其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則圖形的和或差。1.【組合體求積】：一個(gè)復(fù)雜零件可以看作是由幾個(gè)簡(jiǎn)單幾何體（如圓柱、長(zhǎng)方體）拼接而成，其總體積等于各部分體積之和。【基礎(chǔ)】2.【鏤空體求積】：一個(gè)空心管道可以看作是一個(gè)大的規(guī)則立體圖形，內(nèi)部被挖去了一個(gè)小的規(guī)則立體圖形，其體積等于外部大體積減去內(nèi)部空腔體積。【難點(diǎn)】3.【切割重組】：對(duì)于一些不規(guī)則的柱體或形體，可以通過想象或?qū)嶋H切割、平移、旋轉(zhuǎn)，將其拼補(bǔ)成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)則圖形。例如，一個(gè)斜著截取的圓柱，可以與另一個(gè)相同的斜截圓柱拼成一個(gè)完整的圓柱。三、【核心方法】四大策略打通不規(guī)則體積的計(jì)算路徑基于上述原理，我們提煉出解決小學(xué)數(shù)學(xué)中不規(guī)則立體圖形體積問題的四大核心方法。【解題步驟】（一）策略一：捏壓重塑法（適用于可變形的固態(tài)物體）1.【適用情境】：橡皮泥、土豆泥、可熔鑄的金屬塊等。2.【操作心法】：想象或動(dòng)手操作，將不規(guī)則的物體通過捏、壓、熔鑄等方式，變成一個(gè)我們熟悉的規(guī)則立體圖形（如長(zhǎng)方體、正方體、圓柱）。3.【解題步驟】：1.4.第一步（定等量）：明確變形前后，物體的體積（V）保持不變。2.5.第二步（求未知）：計(jì)算變形后規(guī)則圖形的體積，此體積即為原不規(guī)則物體的體積。3.6.第三步（反推）：如果需要求變形后的某個(gè)量（如高、底面積），則可利用規(guī)則圖形的體積公式進(jìn)行逆運(yùn)算。（二）策略二：排水法（適用于不可變形的固態(tài)物體）1.【適用情境】：石頭、雞蛋、不規(guī)則鐵塊、無法浸入液體的物體等。2.【操作心法】：將物體放入一個(gè)盛有液體的規(guī)則容器中，通過計(jì)算水位變化的那部分水的體積來得到物體的體積。關(guān)鍵是【非常重要】確保物體完全浸沒且不與水發(fā)生化學(xué)反應(yīng)（如溶解）。3.【解題步驟——三種考向】：1.4.【考向一：基礎(chǔ)型（上升法）】V物=S底×(h后h前)2.5.【考向二：下降型（取出法）】V物=S底×(h前h后)3.6.【考向三：溢出型（滿水法）】1.4.7.情況A（原滿）：放入物體，溢出水的體積即為物體體積。V物=V溢出水（可用量杯直接測(cè)量，或通過規(guī)則容器接住并計(jì)算）。2.5.8.情況B（原不滿）：放入物體后，水先上升到容器口，然后再溢出。此時(shí)，V物=使水滿到口的體積+溢出的體積=S底×(h容器口h原水)+V溢出水。（三）策略三：割補(bǔ)移拼法（適用于組合或切割的幾何體）1.【適用情境】：形狀怪異但可以分解的零件，如“一個(gè)圓柱上放一個(gè)圓錐”、“一個(gè)正方體中心挖了一個(gè)洞”、“斜著截?cái)嗟膱A柱的一半”等。2.【操作心法】：通過添加輔助線，將原圖形“分割”成幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)部分（和），或者看成是一個(gè)大規(guī)則圖形“挖去”了幾個(gè)小規(guī)則圖形（差）。3.【解題步驟】：...4.【分割求和】：V總=V1+V2+...+Vn。2.5.【挖空求差】：V總=V大規(guī)則V小規(guī)則（或多個(gè)小規(guī)則）。3.6.【移拼求整】：觀察圖形是否可以通過平移、旋轉(zhuǎn)一部分來構(gòu)成一個(gè)完整的規(guī)則圖形。例如，一個(gè)傾斜的圓柱，可以將其高看成是無數(shù)個(gè)極薄的圓片平移疊加而成，其體積=底面積×平均高。特別的，對(duì)于斜截圓柱，有時(shí)可以與另一個(gè)完全相同的斜截圓柱拼成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓柱，則原體積=拼成圓柱體積÷2。（四）策略四：轉(zhuǎn)換研究對(duì)象法（適用于求瓶子的容積）1.【適用情境】：像礦泉水瓶這樣，下部規(guī)則（圓柱），上部不規(guī)則（瓶頸）的容器容積問題。【熱點(diǎn)】【非常重要】2.【操作心法】：瓶子的容積=液體體積+空氣部分的體積。當(dāng)瓶子正放和倒放時(shí)，液體和空氣這兩部分的形狀發(fā)生改變，但它們的體積各自保持不變。我們利用倒置，將不規(guī)則的空氣部分轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圓柱體，從而求解。3.【解題模型】：1.4.步驟1：正放，求出規(guī)則部分（圓柱部分）的液體體積。V水=S底×h水(正)。2.5.步驟2：倒置（瓶口朝下），此時(shí)原本不規(guī)則的空氣部分被擠到了規(guī)則的圓柱部分，形成了一個(gè)規(guī)則的圓柱形空氣柱。V空氣=S底×h空氣(倒)。3.6.步驟3：瓶子的總?cè)莘e=V水+V空氣=S底×(h水(正)+h空氣(倒))。4.7.【特別注意】：此方法的精髓在于【轉(zhuǎn)化】。我們并沒有直接計(jì)算瓶子不規(guī)則的瓶頸部分，而是通過“倒置”這一操作，用規(guī)則部分的空氣柱體積代替了不規(guī)則部分的容積。整個(gè)過程中，瓶子的底面積（S底）是相同的，這是計(jì)算的橋梁。四、【進(jìn)階思維】從單一方法到綜合模型的建構(gòu)掌握了上述方法，我們還需要針對(duì)小學(xué)畢業(yè)考試和初中銜接的常見題型，建立更具體的數(shù)學(xué)模型。（一）模型一：“水瓶模型”——瓶子容積的經(jīng)典算法1.【題型特征】：給出一個(gè)瓶子（下部為圓柱），正放時(shí)量得水的高度，倒放時(shí)量得無水部分（空氣）的高度，以及底面直徑或半徑。【高頻考點(diǎn)】【必考】2.【公式歸納】：瓶子容積=底面積×(正放水高+倒放空高)3.【變形考向】：1.4.【求喝掉的水】：一瓶滿水，喝了一部分后，倒放。喝掉的水的體積=倒放時(shí)無水部分的體積=S底×h空倒。2.5.【求現(xiàn)有藥水】：給出瓶子的總?cè)莘e、正放藥水高、倒放空高。則現(xiàn)有藥水體積=總?cè)莘e×[h水正÷(h水正+h空倒)]。這本質(zhì)上是按比例分配。3.6.【底面為正方形/長(zhǎng)方形】：當(dāng)瓶子下部是長(zhǎng)方體或正方體時(shí)，原理完全一致，只需將底面積公式換成S=a×b即可。（二）模型二：“組合與鏤空模型”——復(fù)雜圖形的結(jié)構(gòu)化處理1.【題型特征】：圖形由多個(gè)簡(jiǎn)單幾何體堆疊或嵌套而成。【難點(diǎn)】2.【解題策略】：1.3.【堆疊型】：如一個(gè)圓柱上放一個(gè)圓錐（如圖釘形）。嚴(yán)格按照“分割求和”法，分別計(jì)算各部分體積后相加。注意圓錐體積公式V=1/3Sh的運(yùn)用，切勿忘記乘以1/3。【易錯(cuò)點(diǎn)】2.4.【挖洞型】：如在一個(gè)正方體中心挖一個(gè)圓柱形的孔。體積=正方體體積圓柱體積。計(jì)算時(shí)需注意孔是否穿透，穿透則減去全部圓柱體積；若未穿透（如盲孔），則減去對(duì)應(yīng)高度的圓柱體積。3.5.【套管型】：如一根空心鋼管（大圓柱套小圓柱）。體積=大圓柱體積小圓柱體積=環(huán)形底面積×高。即V=π(R2r2)h。（三）模型三：“斜截與半截模型”——利用對(duì)稱性巧解1.【題型特征】：一個(gè)圓柱被斜著切掉一部分，或者被切成一半。2.【解題技巧】：1.3.【半圓柱】：表面積計(jì)算較復(fù)雜，但體積計(jì)算可直接用完整圓柱體積÷2。2.4.【斜截圓柱（一頭高一頭低）】：其體積=底面積×(h高+h低)÷2。可以理解為，將這樣一個(gè)斜截柱體，可以與另一個(gè)完全相同的斜截柱體拼成一個(gè)高為(h高+h低)的完整圓柱，因此原體積是拼成后圓柱體積的一半。【拓展思維】3.5.【兩個(gè)相同物體拼合】：有時(shí)題目會(huì)提示或隱含“兩個(gè)這樣的物體可以拼成一個(gè)規(guī)則圖形”，此時(shí)應(yīng)快速反應(yīng)，先求規(guī)則圖形體積，再取一半。（四）模型四：“等積變形的逆向應(yīng)用”——求高或求底面積1.【題型特征】：給定一個(gè)形狀變化的過程，已知變形前的所有尺寸，求變形后圖形的高度、底面半徑等。2.【解題關(guān)鍵】：牢牢抓住體積V不變，建立方程。1.3.例如：一個(gè)棱長(zhǎng)為10cm的正方體鐵塊，熔鑄成一個(gè)底面積為50cm2的圓柱體，求圓柱的高。2.4.思維路徑：V正=V柱→10×10×10=50×h柱→解得h柱=1000÷50=20(cm)。3.5.再如：一個(gè)圓錐形沙堆，鋪在路面上（長(zhǎng)方體形狀）。體積不變，只是從圓錐形變成了長(zhǎng)方體（鋪成的路）。V圓錐=V長(zhǎng)方體（路面）。特別注意單位的統(tǒng)一（如米和厘米）。【易錯(cuò)點(diǎn)】五、【考點(diǎn)精析】命題趨勢(shì)與常見題型在六年級(jí)數(shù)學(xué)檢測(cè)及小升初考試中，本部分內(nèi)容主要呈現(xiàn)為以下幾種考查方式。（一）【基礎(chǔ)考點(diǎn)：直接套用排水法】1.【典型例題】：一個(gè)底面直徑是8cm的圓柱形玻璃杯，內(nèi)裝有一些水，水面高10cm。現(xiàn)將一塊石頭完全浸入水中，水面上升到12cm。求石頭的體積。2.【解題分析】：這是最基礎(chǔ)的排水法應(yīng)用。V石=S底×Δh=3.14×(8÷2)2×(1210)=3.14×16×2=100.48cm3。3.【變式】：如果將石頭取出，水面從15cm下降到12cm，求石頭體積。則用下降法，公式不變。（二）【高頻考點(diǎn)：水瓶倒置問題】1.【典型例題】：一個(gè)內(nèi)直徑是6cm的瓶子里，水的高度是10cm，把瓶蓋擰緊倒置放平，無水部分是圓柱形，高度是4cm。這個(gè)瓶子的容積是多少毫升？2.【解題分析】：直接套用“水瓶模型”公式。1.3.V=S底×(h水正+h空倒)=3.14×(6÷2)2×(10+4)=3.14×9×14=395.64cm3=395.64mL。4.【變式提升】：一瓶裝滿的礦泉水，小明喝了一些，把瓶蓋擰緊后倒置放平，無水部分高8cm，內(nèi)直徑5cm。小明喝了多少水？這問的是喝掉的水，其實(shí)就是倒置后無水部分的體積。V喝=S底×h空倒。（三）【難點(diǎn)考點(diǎn)：組合立體圖形的體積】1.【典型例題】：計(jì)算下圖（一個(gè)長(zhǎng)方體上面放一個(gè)圓柱）的體積。長(zhǎng)方體長(zhǎng)10cm，寬5cm，高4cm；圓柱底面直徑4cm，高3cm。2.【解題分析】：V總=V長(zhǎng)+V柱=10×5×4+3.14×(4÷2)2×3=200+37.68=237.68cm3。3.【綜合變式】：求一個(gè)“糧囤”的容積，下部是圓柱，上部是圓錐。需要分別計(jì)算后再相加，并注意圓錐公式中的1/3。（四）【思維考點(diǎn)：等積變形求未知量】1.【典型例題】：把一個(gè)長(zhǎng)15.7厘米、寬12厘米、高5厘米的長(zhǎng)方體鐵塊，熔鑄成一個(gè)底面直徑是10厘米的圓柱體鐵塊。求圓柱體的高。2.【解題分析】：體積不變。V長(zhǎng)=V柱。1.3.15.7×12×5=942cm3。2.4.圓柱底面積=3.14×(10÷2)2=78.5cm2。3.5.圓柱高=942÷78.5=12cm。（五）【拓展考點(diǎn)：利用體積比或份數(shù)】1.【典型例題】：一個(gè)圓柱形容器，底面積是200cm2，里面裝有深10cm的水。現(xiàn)在放入一個(gè)底面積為50cm2、高為12cm的圓柱形鐵塊，使其完全浸沒（水未溢出），此時(shí)水面上升了多少厘米？2.【易錯(cuò)警示】：很多學(xué)生會(huì)直接用50×12÷200=3cm。這是錯(cuò)誤的！因?yàn)殍F塊的底面積是50，它本身占據(jù)了容器底部的一部分空間。正確的思路是：水和鐵塊的整體形狀發(fā)生了變化，但水的體積沒變。更精確的方法是考慮水的體積被重新分布到容器與鐵塊之間的環(huán)形區(qū)域。1.3.法一（方程法）：設(shè)水面上升了xcm。則現(xiàn)在的底面積為水實(shí)際占用的底面積=容器底面積鐵塊底面積=20050=150cm2。原來水的體積=200×10=2000cm3。后來水的形狀是一個(gè)高為(10+x)的環(huán)柱體（截面為環(huán)形）。所以150×(10+x)=2000→1500+150x=2000→150x=500→x=10/3≈3.33cm。2.4.法二（體積轉(zhuǎn)換法）：也可以理解為，鐵塊排開的水的體積等于它自身浸入部分的體積（50×12=600cm3），但這些水是“擠”到了底面積為(20050)的環(huán)狀區(qū)域里，所以上升的高度=600÷150=4cm？顯然4cm是不對(duì)的，因?yàn)殍F塊高12cm，水原高10cm，如果上升4cm，則水高14cm，鐵塊沒完全浸沒（鐵塊高12cm，水深14cm，鐵塊完全浸沒）。這個(gè)結(jié)果和之前的方程法結(jié)果不一致，說明直接使用“排開水體積÷容器底面積”的通用公式在此處失效。因?yàn)閭鹘y(tǒng)的排水法公式V排=S容器底×Δh，是在物體不占據(jù)底面積（比如用細(xì)線吊著物體，物體完全在液體中但不接觸底）時(shí)才成立的。當(dāng)物體直接接觸底面時(shí)，有效底面積減少了。因此，對(duì)于“有物體占據(jù)底部”的排水問題，正確公式應(yīng)為：Δh=V物體÷(S容器S物體)？？？我們驗(yàn)證一下：600÷(20050)=4cm，但按此計(jì)算，最終水深14cm，物體高12cm，確實(shí)是完全浸沒的。而方程法算出的上升3.33cm，最終水深13.33cm，物體高12cm，物體完全浸沒于13.33cm的水中，也是成立的。為什么會(huì)出現(xiàn)矛盾？因?yàn)榉匠谭ǖ募僭O(shè)前提是：鐵塊放入后，水分布在鐵塊周圍。但鐵塊占據(jù)了底部空間，水的體積2000cm3，要分布在底面積為150cm2的區(qū)域，高度為2000/150≈13.33cm。而鐵塊高12cm，13.33cm>12cm，所以水完全淹沒了鐵塊。水面的高度就是13.33cm，減去原高10cm，上升3.33cm。那么“排開水體積”在此處到底是多少？實(shí)際上，鐵塊浸入水中的體積是50×12=600cm3。但是，這600cm3的體積并不是全部用來“排開水”而導(dǎo)致水位上升。因?yàn)殍F塊放入時(shí)，它原本占據(jù)的那部分空間（在底部）之前是空的（是空氣），現(xiàn)在變成了鐵，水并沒有從那里被排開。水被“排開”并被迫上升的體積，實(shí)際上是鐵塊浸入水中后，使得原來在鐵塊所在位置（指鐵塊高度范圍內(nèi)）的水被擠走了。這個(gè)計(jì)算比較復(fù)雜，屬于小學(xué)數(shù)學(xué)的“超綱”內(nèi)容，但卻是很好的思維訓(xùn)練題。在小學(xué)階段，遇到“在容器內(nèi)放入一個(gè)占據(jù)底面積的柱體”時(shí)，更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃悸肥牵盒聽顟B(tài)下，水存在于容器內(nèi)的剩余空間，水的體積不變，以此求新水深。而非簡(jiǎn)單套用Δh=V物/S容。這一點(diǎn)是極容易出錯(cuò)的【難點(diǎn)】和【易錯(cuò)點(diǎn)】，需要特別辨析。六、【易錯(cuò)點(diǎn)與避坑指南】1.【單位統(tǒng)一】★★★★★1.2.陷阱：題目中給出的長(zhǎng)度單位不一致（如高用米，底面半徑用厘米），或體積單位與容積單位轉(zhuǎn)換（1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米）時(shí)出錯(cuò)。2.3.對(duì)策：計(jì)算前，務(wù)必統(tǒng)一所有單位到同一度量衡。計(jì)算體積通常用厘米和立方厘米，求容積最后再轉(zhuǎn)換為升或毫升。4.【圓錐公式忘乘1/3】★★★★★1.5.陷阱：在組合圖形或等積變形中，涉及到圓錐體積計(jì)算時(shí)，直接使用底面積乘高，忘記乘以三分之一。2.6.對(duì)策：每次看到圓錐，無論是求體積還是等積變形，都要在草稿上醒目地寫上“V錐=1/3Sh”。7.【排水法中的“完全浸沒”】★★★★1.8.陷阱：題目中的物體可能沒有完全浸沒。例如，將一個(gè)高10cm的柱體放入水深5cm的容器中，如果柱體接觸底面，那么它浸入水中的高度只有5cm，而非整個(gè)柱體的10cm。2.9.對(duì)策：仔細(xì)審題，明確“浸沒”是指整個(gè)物體都在水面以下。對(duì)于部分浸沒，要找出浸入部分的體積。10.【瓶子倒置問題中的“底面積相同”】★★★★1.11.陷阱：誤以為倒置后空氣部分的底面積變了。實(shí)際上，在標(biāo)準(zhǔn)的“水瓶模型”中，瓶身下部和上翻后空氣所在的圓柱部分，其底面直徑（或邊長(zhǎng)）是相同的，都等于瓶身圓柱部分的底面直徑。2.12.對(duì)策：牢記轉(zhuǎn)化后的兩個(gè)圓柱共用同一個(gè)底面積。13.【組合圖形中的“重疊部分”】★★★1.14.陷阱：在計(jì)算兩個(gè)立體圖形堆疊的表面積時(shí)容易出錯(cuò)，但求體積時(shí)，容易出現(xiàn)“多減”或“漏加”重疊部分的體積。2.15.對(duì)策：求體積時(shí)，兩個(gè)物體堆疊，如果完全接觸（一個(gè)放在另一個(gè)上面），它們的體積就是直接相加，沒有重疊扣除的問題。如果是挖空，則是大減小。如果是一個(gè)物體貫穿另一個(gè)物體，要仔細(xì)判斷貫穿部分的體積是否被重復(fù)計(jì)算或遺漏。16.【等積變形中的“形狀改變，體積不變”】★★★★1.17.陷阱：學(xué)生在處理復(fù)雜的等積變形時(shí)，會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為某些線性量（如高、半徑）也是不變的。2.18.對(duì)策：時(shí)刻提醒自己，變化的只是形狀，不變的唯有體積。任何其他量都可能發(fā)生變化。利用體積相等列方程求解。七、【高階素養(yǎng)】從解題到解決問題作為最高標(biāo)準(zhǔn)的課程設(shè)計(jì)，我們必須引導(dǎo)學(xué)生超越單純的刷題，上升到核心素養(yǎng)層面。（一）空間觀念的培養(yǎng)解決不規(guī)則立體圖形的體積問題，是培養(yǎng)空間想象力的絕佳載體。學(xué)生需要在頭腦中對(duì)圖形進(jìn)行“虛擬操作”：平移、旋轉(zhuǎn)、分割、組合。教師要引導(dǎo)學(xué)生多觀察實(shí)物，多動(dòng)手操作（如用橡皮泥捏、用排水法測(cè)），將抽象的空間想象建立在豐富的感性經(jīng)驗(yàn)之上。（二）模型意識(shí)的建立將紛繁復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題，抽象成我們學(xué)過的數(shù)學(xué)模型。比如，測(cè)量一個(gè)土豆的體積，就是“排水法模型”；計(jì)算一個(gè)杯子的容積，就是“圓柱體積模型”；求一堆沙子的重量，就是“