2026年上海市蘇教版高中三年級數(shù)學上冊第3單元數(shù)列綜合測試卷

2026年上海市蘇教版高中三年級數(shù)學上冊第3單元數(shù)列綜合測試卷一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.在等差數(shù)列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，則該數(shù)列的通項公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差數(shù)列通項公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。選項A正確。2.已知數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=2^n-1，則b_4的值為（）A.8B.16C.32D.63解析：由數(shù)列前n項和與通項關系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），當n=1時b_1=S_1=1，當n≥2時b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，故b_4=2^4-1=15。選項D正確。3.若數(shù)列{c_n}滿足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，則c_10的值為（）A.55B.100C.150D.200解析：由遞推關系c_{n+1}=c_n+2n可得c_2=c_1+2，c_3=c_2+4，…，c_{10}=c_1+2+4+…+18=1+2×(1+2+…+9)=1+2×45=91。選項A正確。4.在等比數(shù)列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，則該數(shù)列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比數(shù)列通項公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，兩式相除得q^2=9，故q=±3。選項C正確。5.已知數(shù)列{e_n}的前n項和T_n=n^2+n，則e_3的值為（）A.9B.12C.15D.18解析：由數(shù)列前n項和與通項關系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），當n=1時e_1=T_1=2，當n≥2時e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故e_3=2×3=6。選項B正確。6.若數(shù)列{f_n}滿足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，則f_5的值為（）A.15B.31C.63D.127解析：由遞推關系f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)可得f_2=f_1+log_2(2)=2+1，f_3=f_2+log_2(3)=3+1，…，f_5=2+1+log_2(4)+log_2(5)+log_2(6)=2+1+2+2+log_2(30)=9+log_2(30)。選項B正確。7.在等差數(shù)列{g_n}中，若a_3+a_7=18，則a_5+a_9的值為（）A.20B.24C.28D.32解析：由等差數(shù)列性質a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，又a_5+a_9=2a_7=2×(a_3+a_7)/2=18，選項B正確。8.已知數(shù)列{h_n}的前n項和S_n=3^n-1，則數(shù)列{log_3(h_n)}的前5項和為（）A.10B.15C.20D.25解析：由數(shù)列前n項和與通項關系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），當n=1時h_1=S_1=2，當n≥2時h_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故log_3(h_n)=n-1，前5項和為0+1+2+3+4=10。選項A正確。9.若數(shù)列{i_n}滿足i_1=1，i_{n+1}=i_n+n^2，則i_5的值為（）A.55B.120C.155D.190解析：由遞推關系i_{n+1}=i_n+n^2可得i_2=i_1+1^2=2，i_3=i_2+2^2=6，…，i_5=1+1^2+2^2+3^2+4^2=1+1+4+9+16=31。選項B正確。10.在等比數(shù)列{j_n}中，若j_1=1，j_6=64，則該數(shù)列的前6項和S_6等于（）A.127B.127/63C.127/64D.127/63解析：由等比數(shù)列通項公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_6=64可得q^5=64，解得q=2，故S_6=1×(1-2^6)/(1-2)=127。選項A正確。二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=5n^2+3n，則該數(shù)列的通項公式a_n為________。解：由等差數(shù)列前n項和公式S_n=n(a_1+a_n)/2，代入S_n=5n^2+3n可得a_1+a_n=10n+6，又a_n=S_n-S_{n-1}=10n+6-(10(n-1)+6)=10，故a_n=10。參考答案：10n+62.已知數(shù)列{b_n}滿足b_1=2，b_{n+1}=b_n+3n，則b_4的值為________。解：由遞推關系b_{n+1}=b_n+3n可得b_2=b_1+3=5，b_3=b_2+6=11，b_4=b_3+9=20。參考答案：203.在等比數(shù)列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，則該數(shù)列的公比q為________。解：由等比數(shù)列通項公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54，兩式相除得q^2=9，故q=±3。參考答案：±34.若數(shù)列{d_n}的前n項和T_n=n^2+n，則d_3的值為________。解：由數(shù)列前n項和與通項關系d_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），當n=1時d_1=T_1=2，當n≥2時d_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故d_3=2×3=6。參考答案：65.已知數(shù)列{e_n}滿足e_1=1，e_{n+1}=e_n+2n，則e_5的值為________。解：由遞推關系e_{n+1}=e_n+2n可得e_2=e_1+2=3，e_3=e_2+4=7，e_4=e_3+6=13，e_5=e_4+8=21。參考答案：216.在等差數(shù)列{f_n}中，若a_1=2，d=3，則a_10的值為________。解：由等差數(shù)列通項公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=2，d=3可得a_10=2+(10-1)×3=29。參考答案：297.已知數(shù)列{g_n}的前n項和S_n=2^n-1，則g_4的值為________。解：由數(shù)列前n項和與通項關系g_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），當n=1時g_1=S_1=1，當n≥2時g_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-1，故g_4=2^4-1=15。參考答案：158.若數(shù)列{h_n}滿足h_1=3，h_{n+1}=h_n/2，則h_5的值為________。解：由遞推關系h_{n+1}=h_n/2可得h_2=h_1/2=3/2，h_3=h_2/2=3/4，h_4=h_3/2=3/8，h_5=h_4/2=3/16。參考答案：3/169.在等比數(shù)列{i_n}中，若i_1=1，q=2，則i_6的值為________。解：由等比數(shù)列通項公式i_n=i_1q^{n-1}，代入i_1=1，q=2可得i_6=1×2^5=32。參考答案：3210.已知數(shù)列{j_n}的前n項和T_n=n(n+1)/2，則j_4的值為________。解：由數(shù)列前n項和與通項關系j_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），當n=1時j_1=T_1=1，當n≥2時j_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n-1，故j_4=2×4-1=7。參考答案：7三、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=3n^2+n，則該數(shù)列是等差數(shù)列。（）解：由等差數(shù)列前n項和公式S_n=An^2+Bn，代入S_n=3n^2+n可得A=3，B=1，故該數(shù)列是等差數(shù)列。參考答案：正確2.在等比數(shù)列{b_n}中，若b_1=2，b_3=8，則該數(shù)列的公比q=2。（）解：由等比數(shù)列通項公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_3=8可得8=2q^2，解得q=±2，故該命題不正確。參考答案：錯誤3.若數(shù)列{c_n}滿足c_1=1，c_{n+1}=c_n+n，則該數(shù)列的前n項和為n(n+1)/2。（）解：由遞推關系c_{n+1}=c_n+n可得c_2=c_1+1=2，c_3=c_2+2=4，…，c_n=n(n-1)/2，故前n項和為n(n+1)/2。參考答案：正確4.在等差數(shù)列{d_n}中，若a_1+a_5=12，則a_3+a_4=12。（）解：由等差數(shù)列性質a_1+a_5=2a_3，故a_3=6，又a_3+a_4=6+(6+d)=12+d，故該命題不正確。參考答案：錯誤5.已知數(shù)列{e_n}的前n項和T_n=n^2+n，則e_n=2n。（）解：由數(shù)列前n項和與通項關系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），當n=1時e_1=T_1=2，當n≥2時e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故該命題正確。參考答案：正確6.若數(shù)列{f_n}滿足f_1=1，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，則f_5=31。（）解：由遞推關系f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)可得f_2=1+log_2(2)=2，f_3=2+log_2(3)=2+1.585≈3.585，…，f_5≈10.954≠31，故該命題不正確。參考答案：錯誤7.在等比數(shù)列{g_n}中，若g_2=6，g_4=54，則g_6=486。（）解：由等比數(shù)列通項公式g_n=g_1q^{n-1}，代入g_2=g_1q=6，g_4=g_1q^3=54，兩式相除得q^2=9，故q=3，g_6=g_1q^5=6×3^4=486。參考答案：正確8.已知數(shù)列{h_n}的前n項和S_n=2^n-1，則數(shù)列{log_2(h_n)}是等差數(shù)列。（）解：由數(shù)列前n項和與通項關系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），當n=1時h_1=S_1=1，當n≥2時h_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-1，故log_2(h_n)=n-1，是等差數(shù)列。參考答案：正確9.若數(shù)列{i_n}滿足i_1=1，i_{n+1}=i_n+n^2，則i_5=55。（）解：由遞推關系i_{n+1}=i_n+n^2可得i_2=i_1+1^2=2，i_3=i_2+2^2=6，i_4=i_3+3^2=15，i_5=i_4+4^2=31，故該命題不正確。參考答案：錯誤10.在等差數(shù)列{j_n}中，若j_1=1，j_6=63，則該數(shù)列的前6項和S_6=21。（）解：由等差數(shù)列通項公式j_n=j_1+(n-1)d，代入j_6=63可得1+5d=63，解得d=12.6，故S_6=6×(1+63)/2=21×6=126，故該命題不正確。參考答案：錯誤四、簡答題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1.已知等差數(shù)列{a_n}的首項a_1=2，公差d=3，求該數(shù)列的前10項和S_10。解：由等差數(shù)列前n項和公式S_n=n(a_1+a_n)/2，代入a_1=2，d=3可得a_{10}=2+(10-1)×3=29，故S_10=10×(2+29)/2=155。2.若數(shù)列{b_n}滿足b_1=1，b_{n+1}=b_n+2n，求b_5的值。解：由遞推關系b_{n+1}=b_n+2n可得b_2=b_1+2=3，b_3=b_2+4=7，b_4=b_3+6=13，b_5=b_4+8=21。3.在等比數(shù)列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求該數(shù)列的公比q。解：由等比數(shù)列通項公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54，兩式相除得q^2=9，故q=±3。4.已知數(shù)列{d_n}的前n項和T_n=n^2+n，求d_3的值。解：由數(shù)列前n項和與通項關系d_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），當n=1時d_1=T_1=2，當n≥2時d_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故d_3=2×3=6。5.若數(shù)列{e_n}滿足e_1=2，e_{n+1}=e_n+3n，求e_4的值。解：由遞推關系e_{n+1}=e_n+3n可得e_2=e_1+3=5，e_3=e_2+6=11，e_4=e_3+9=20。6.在等差數(shù)列{f_n}中，若a_1=3，d=-2，求a_7的值。解：由等差數(shù)列通項公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，d=-2可得a_7=3+(7-1)×(-2)=-5。7.已知數(shù)列{g_n}的前n項和S_n=2^n-1，求g_4的值。解：由數(shù)列前n項和與通項關系g_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），當n=1時g_1=S_1=1，當n≥2時g_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-1，故g_4=2^4-1=15。8.若數(shù)列{h_n}滿足h_1=5，h_{n+1}=h_n/2，求h_6的值。解：由遞推關系h_{n+1}=h_n/2可得h_2=h_1/2=2.5，h_3=h_2/2=1.25，h_4=h_3/2=0.625，h_5=h_4/2=0.3125，h_6=h_5/2=0.15625。五、應用題（本大題共8小題，每小題4分，共24分）1.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，第一年產(chǎn)量為1000件，以后每年比前一年增產(chǎn)200件，求第10年的產(chǎn)量。解：由等差數(shù)列{a_n}滿足a_1=1000，d=200，故a_{10}=1000+(10-1)×200=2200件。2.某城市人口增長率為每年5%，若2020年人口為100萬，求2025年的人口數(shù)量。解：由等比數(shù)列{b_n}滿足b_1=100，q=1.05，故b_5=100×1.05^4≈127.63萬。3.某投資項目的年收益率為10%，若初始投資為10萬元，求5年后的本息和。解：由等比數(shù)列{c_n}滿足c_1=10，q=1.1，故c_5=10×1.1^5≈16.105萬元。4.某林場種植樹木，第一年種植100棵，以后每年比前一年多種植50棵，求第8年的種植數(shù)量。解：由等差數(shù)列{d_n}滿足d_1=100，d=50，故d_8=100+(8-1)×50=450棵。5.某公司員工工資每年上漲8%，若2020年工資為5000元，求2024年的工資水平。解：由等比數(shù)列{e_n}滿足e_1=5000，q=1.08，故e_4=5000×1.08^4≈7346.55元。6.某產(chǎn)品成本每年降低5%，若2020年成本為100元，求2023年的成本水平。解：由等比數(shù)列{f_n}滿足f_1=100，q=0.95，故f_3=100×0.95^3≈85.735元。7.某城市道路建設，第一年修建2公里，以后每年比前一年多修建0.5公里，求第10年的修建長度。解：由等差數(shù)列{g_n}滿足g_1=2，d=0.5，故g_{10}=2+(10-1)×0.5=6公里。8.某科技公司研發(fā)投入每年增長12%，若2020年投入為500萬元，求2026年的研發(fā)投入。解：由等比數(shù)列{h_n}滿足h_1=500，q=1.12，故h_6=500×1.12^6≈1497.62萬元。【標準答案及解析】一、單項選擇題1.A2.D3.A4