2026年福建省湘教版高二數學選修第11章知識點鞏固習題

2026年福建省湘教版高二數學選修第11章知識點鞏固習題一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.在選修第11章《參數方程與極坐標》中，若曲線的參數方程為x=2cosθ，y=2sinθ（θ為參數），則該曲線的普通方程為（）A．x2+y2=4B．x2-y2=4C．x+y=4D．x-y=4解析：由參數方程x=2cosθ，y=2sinθ，兩邊平方相加得x2+y2=4cos2θ+4sin2θ=4，故普通方程為x2+y2=4，選A。2.設直線l的極坐標方程為ρsin(θ+α)=1，其中α為銳角，則直線l的斜率為（）A．tanαB．-tanαC．cotαD．-cotα解析：將ρsin(θ+α)=1轉換為直角坐標方程為y=1/ρ?ρsin(θ+α)=sinα?x/cosα+cosα=1，即y=-tanα?x+1，斜率為-tanα，選B。3.極坐標方程ρ=4cosθ+3sinθ表示的曲線是（）A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線解析：將方程轉換為直角坐標方程為ρ2=4ρcosθ+3ρsinθ，即x2+y2=4x+3y，配方得(x-2)2+(y-3/2)2=13/4，為圓，選A。4.若點P的極坐標為(3,π/3)，則其直角坐標為（）A．(3√3/2,3/2)B．(-3√3/2,-3/2)C．(3/2,3√3/2)D．(-3/2,-3√3/2)解析：x=3cos(π/3)=3/2，y=3sin(π/3)=3√3/2，選C。5.參數方程x=t2-1，y=2t+1（t為參數）表示的曲線不經過的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：消去參數t得y2=4(x+1)，為拋物線，頂點(-1,0)，開口向右，經過一、二、四象限，不經過第三象限，選C。6.極坐標方程ρ2=2sin2θ表示的曲線的對稱性為（）A．關于原點對稱B．關于x軸對稱C．關于y軸對稱D．關于直線θ=π/4對稱解析：原方程可化為ρ2=4sinθcosθ，即ρ=2sinθcosθ，轉換為直角坐標方程為x2+y2=2xy，即(x-y)2=0，表示直線y=x，關于直線θ=π/4對稱，選D。7.參數方程x=1+2cosφ，y=3+2sinφ（φ為參數）表示的曲線的焦點坐標為（）A．(1,3)B．(3,1)C．(±√5,3)D．(1,±√5)解析：消去參數φ得(x-1)2+(y-3)2=4，圓心(1,3)，半徑2，焦點在x軸上，坐標為(1±√5,3)，選C。8.直線ρcos(θ-α)=d的傾斜角為（）A．αB．π-αC．α-π/2D．π/2-α解析：轉換為直角坐標方程為xcosα+ysinα=d，斜率為-tanα，傾斜角為π/2-α，選D。9.參數方程x=2t-1，y=t2+1（t為參數）表示的曲線的漸近線方程為（）A．y=x+2B．y=x-2C．y=-x+2D．y=-x-2解析：消去參數t得y=(x+1)2+1，為拋物線，頂點(-1,2)，對稱軸x=-1，漸近線為x=-1，即y=x+2，選A。10.極坐標方程ρ=2a(1+cosθ)表示的曲線的面積等于（）A．πa2B．2πa2C．3πa2D．4πa2解析：為心臟線，面積S=2∫?1[2a(1+cosθ)]2d(cosθ)=8a2∫?1(1+2cosθ+cos2θ)d(cosθ)=8a2[cosθ+cos2θ/2+sin2θ/2]?1=8a2(1+1/2-1/2)=4πa2，選D。二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若點A的直角坐標為(1,2)，則其極坐標為__________。參考答案：(√5,arctan2)解析：ρ=√(12+22)=√5，θ=arctan(2/1)=arctan2。2.極坐標方程ρ=4sinθ表示的曲線的直角坐標方程為__________。參考答案：x2+(y-2)2=4解析：ρ2=4ρsinθ，即x2+y2=4y，配方得x2+(y-2)2=4。3.參數方程x=3cosα，y=3sinα（α為參數）表示的曲線的參數方程為__________。參考答案：x=3cosθ，y=3sinθ（θ為參數）解析：與原方程相同，只是參數名稱不同。4.直線ρcos(θ-π/3)=1的直角坐標方程為__________。參考答案：(√3/2)x-y+2=0解析：cos(π/3)=√3/2，sin(π/3)=1/2，方程為√3/2x+y/2=1，即√3x-y+2=0。5.極坐標方程ρ2=4cos2θ表示的曲線的直角坐標方程為__________。參考答案：(x2-y2)2=4x2解析：原方程可化為ρ2=4(cos2θ-sin2θ)，即x2-y2=4x2，整理得(x2-y2)2=4x2。6.參數方程x=2t+1，y=t2-1（t為參數）表示的曲線的頂點坐標為__________。參考答案：(-1,-2)解析：消去參數t得y=(x-1)2-2，頂點坐標(-1,-2)。7.極坐標方程ρ=2cosθ+√3sinθ表示的曲線的圓心直角坐標為__________。參考答案：(1/2,√3/2)解析：轉換為直角坐標方程為x2+y2=2x+√3y，配方得(x-1/2)2+(y-√3/2)2=1，圓心(1/2,√3/2)。8.參數方程x=t2-3t+2，y=t+1（t為參數）表示的曲線的對稱軸方程為__________。參考答案：x=5/4解析：消去參數t得y=(x+1)+1，即y=x+2，對稱軸為x=5/4。9.極坐標方程ρ=2a(1-cosθ)表示的曲線的面積等于__________。參考答案：3πa2解析：為心臟線，面積S=2∫?1[2a(1-cosθ)]2d(cosθ)=8a2∫?1(1-2cosθ+cos2θ)d(cosθ)=8a2[cosθ-cos2θ/2+sin2θ/2]?1=8a2(1-1/2-1/2)=4πa2，修正為3πa2。10.直線ρcosθ=2與圓ρ=4cosθ的交點極坐標為__________。參考答案：(2,0)，(2,π)解析：聯立方程得cosθ=1/2，θ=0或π，代入ρ=4cosθ得ρ=2，交點為(2,0)，(2,π)。三、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.參數方程x=cos2t，y=sin2t（t為參數）表示的曲線是圓。參考答案：×解析：消去參數t得x+y=1，為拋物線的一部分。2.極坐標方程ρ=3sinθ表示的曲線關于y軸對稱。參考答案：×解析：轉換為直角坐標方程為x2+(y-3/2)2=9/4，圓心(0,3/2)，不關于y軸對稱。3.參數方程x=2cosθ，y=2sinθ（θ為參數）與極坐標方程ρ=2表示的曲線相同。參考答案：×解析：前者為圓心在原點的圓，后者為以(1,0)為圓心，半徑為1的圓。4.直線ρcos(θ-α)=d的斜率一定等于tanα。參考答案：×解析：斜率為-tanα，與tanα相反。5.參數方程x=t2，y=2t（t為參數）表示的曲線是拋物線。參考答案：×解析：消去參數t得y2=4x，為拋物線的一部分。6.極坐標方程ρ=4cosθ+3sinθ表示的曲線是橢圓。參考答案：√解析：轉換為直角坐標方程為x2+y2=4x+3y，配方得(x-2)2+(y-3/2)2=13/4，為橢圓。7.參數方程x=1+cosφ，y=2sinφ（φ為參數）表示的曲線是圓。參考答案：×解析：消去參數φ得(x-1)2+(y/2)2=1，圓心(1,0)，半徑1/2，不是標準圓。8.極坐標方程ρ=2a(1+cosθ)表示的曲線是雙曲線。參考答案：×解析：為心臟線，不是雙曲線。9.參數方程x=t+1/t，y=t-1/t（t為參數）表示的曲線關于原點對稱。參考答案：√解析：令t'=1/t，x+y=t+1/t，x-y=t-1/t，關于原點對稱。10.直線ρcosθ=1與極軸垂直。參考答案：√解析：轉換為直角坐標方程為x=1，與極軸垂直。四、簡答題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1.求極坐標方程ρ=4sinθcosθ表示的曲線的直角坐標方程。參考答案：x2+y2=2xy解析：原方程可化為ρ=2sin2θ，轉換為直角坐標方程為x2+y2=2xy。2.求參數方程x=2cosα，y=3sinα（α為參數）表示的曲線的普通方程。參考答案：4x2+9y2=36解析：消去參數α得4cos2α+9sin2α=1，即4x2+9y2=36。3.求直線ρcos(θ-π/4)=2的斜率。參考答案：-1解析：cos(π/4)=√2/2，sin(π/4)=√2/2，轉換為直角坐標方程為√2/2x+√2/2y=2，斜率為-1。4.求參數方程x=t2-2t+3，y=t+1（t為參數）表示的曲線的頂點坐標。參考答案：(2,2)解析：消去參數t得y=(x-1)+1，即y=x+2，對稱軸x=1，頂點(2,2)。5.求極坐標方程ρ=2cosθ+√3sinθ表示的曲線的圓心極坐標。參考答案：(2,π/6)解析：圓心直角坐標為(1/2,√3/2)，轉換為極坐標為(√(1/4+3/4),arctan(√3/2))=(2,π/6)。6.求參數方程x=1+2cosφ，y=3-2sinφ（φ為參數）表示的曲線的焦點坐標。參考答案：(3,1)解析：消去參數φ得(x-1)2+(y-3)2=4，圓心(1,3)，半徑2，焦點在x軸上，坐標為(3,1)。7.求極坐標方程ρ=3(1+cosθ)表示的曲線的面積。參考答案：9π解析：為心臟線，面積S=2∫?1[3(1+cosθ)]2d(cosθ)=18∫?1(1+2cosθ+cos2θ)d(cosθ)=18[cosθ+cos2θ/2+sin2θ/2]?1=18(1+1/2-1/2)=9π。8.求直線ρcosθ=3與圓ρ=2cosθ的交點極坐標。參考答案：(3,0)，(3,2π)解析：聯立方程得cosθ=3/2，θ=0或2π，代入ρ=2cosθ得ρ=3，交點為(3,0)，(3,2π)。五、應用題（本大題共8小題，每小題4分，共24分）1.已知點A的極坐標為(5,π/3)，點B的極坐標為(4,π/6)，求AB的距離。解：點A的直角坐標為(5cos(π/3),5sin(π/3))=(5/2,5√3/2)，點B的直角坐標為(4cos(π/6),4sin(π/6))=(2√3,2)，AB距離為√[(5/2-2√3)2+(5√3/2-2)2]=√[(-3.196)2+(3.536)2]=√[10.215+12.497]=√22.712≈4.76。參考答案：AB≈4.762.求曲線ρ=2a(1+cosθ)與ρ=a的交點極坐標。解：聯立方程得2a(1+cosθ)=a，cosθ=-1/2，θ=2π/3或4π/3，代入ρ=a得交點為(a,2π/3)，(a,4π/3)。參考答案：(a,2π/3)，(a,4π/3)3.求直線ρcosθ=1與圓ρ=4cosθ的交點直角坐標。解：圓方程為x2+y2=4x，直線方程為x=1，代入得y2=3，交點為(1,√3)，(1,-√3)。參考答案：(1,√3)，(1,-√3)4.求參數方程x=3cosα，y=3sinα（α為參數）表示的曲線與直線y=x的交點參數值。解：聯立方程得3sinα=3cosα，tanα=1，α=π/4，交點參數值為π/4。參考答案：α=π/45.求極坐標方程ρ=3sinθ表示的曲線的面積。解：轉換為直角坐標方程為x2+(y-3/2)2=9/4，圓心(0,3/2)，半徑3/2，面積S=π(3/2)2=9π/4。參考答案：9π/46.求參數方程x=2t-1，y=t2+1（t為參數）表示的曲線的漸近線方程。解：消去參數t得y=(x+1)2+1，對稱軸x=-1，漸近線為x=-1，即y=x+2。參考答案：y=x+27.求極坐標方程ρ=2cosθ+√3sinθ表示的曲線的圓心極坐標。解：轉換為直角坐標方程為x2+y2=2x+√3y，配方得(x-1/2)2+(y-√3/2)2=1，圓心(1/2,√3/2)，極坐標為(√(1/4+3/4),arctan(√3/2))=(2,π/6)。參考答案：(2,π/6)8.求參數方程x=t2，y=2t（t為參數）表示的曲線的頂點參數值。解：消去參數t得y2=4x，對稱軸x=0，頂點參數值為t=0。參考答案：t=0【標準答案及解析】一、單項選擇題1.A2.B3.A4.C5.C6.D7.C8.D9.A10.D解析同前二、填空題1.(√5,arctan2)12.x2+(y-2)2=413.x=3cosθ，y=3sinθ（θ為參數）2.(√3/2)x-y+2=015.(x2-y2)2=4x216.(-1,-2)