2026年重慶市部編版高中數(shù)學選修第2冊第3單元測試卷

2026年重慶市部編版高中數(shù)學選修第2冊第3單元測試卷一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.在選修2冊第3單元《數(shù)列與極限》中，已知數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，則該數(shù)列的前n項和S_n的表達式為（）A．n^2-1B．2^n-nC．n^2D．2^n-1解析：由遞推關(guān)系a_n+1=2a_n+1，可得a_n+1+1=2(a_n+1)，即{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故a_n+1=2^n，進而a_n=2^n-1。前n項和S_n=1+2+4+…+2^n-1=2^n-1，選D。2.若數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=3^n-1，則b_5的值為（）A．242B．243C．244D．245解析：由T_n=3^n-1，得b_1=T_1=2。當n≥2時，b_n=T_n-T_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故b_5=2×3^4=162，選項均錯誤，需重新計算。實際T_n=3^n-1，b_n=2×3^{n-1}，b_5=162，選項錯誤，需修正題目。3.已知數(shù)列{c_n}滿足c_1=2，c_n+1=c_n+2n，則c_10的值為（）A．1022B．1023C．1024D．1025解析：由遞推關(guān)系c_n+1=c_n+2n，得c_n+1-c_n=2n，累加可得c_n=2+2(1+2+…+(n-1))=2+2×n(n-1)/2=n^2+n，故c_10=10^2+10=110，選項錯誤，需修正題目。4.在研究數(shù)列極限時，若lim(x→∞)(a_n+b_n)=5且lim(x→∞)(a_n)=3，則lim(x→∞)(b_n)等于（）A．2B．3C．5D．8解析：由極限運算法則，lim(x→∞)(b_n)=lim(x→∞)(5-a_n)=5-3=2，選A。5.已知數(shù)列{d_n}是等差數(shù)列，且d_3+d_7=18，則d_5+d_9的值為（）A．24B．26C．28D．30解析：設(shè)公差為d，則d_3+d_7=2d_5=18，故d_5=9，d_5+d_9=2d_7=18+4d=26，選B。6.若數(shù)列{e_n}的前n項和S_n=n^2+n，則e_4的值為（）A．18B．20C．22D．24解析：e_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故e_4=8，選項錯誤，需修正題目。7.在研究數(shù)列極限時，若lim(x→∞)(a_n)=2且lim(x→∞)(b_n)=∞，則lim(x→∞)(a_n/b_n)等于（）A．0B．1/2C．2D．不存在解析：由無窮小與無窮大的關(guān)系，lim(x→∞)(a_n/b_n)=0，選A。8.已知數(shù)列{f_n}是等比數(shù)列，且f_2f_4=81，則f_3f_5的值為（）A．27B．81C．243D．729解析：設(shè)公比為q，則f_2f_4=f_3^2=81，故f_3=9，f_3f_5=f_4^2=81，選B。9.若數(shù)列{g_n}的前n項和T_n=2^n-1，則g_6的值為（）A．32B．64C．128D．192解析：g_n=T_n-T_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故g_6=32，選A。10.在研究數(shù)列極限時，若lim(x→∞)(a_n)=1且lim(x→∞)(b_n)=0，則lim(x→∞)(a_n^2+b_n^2)等于（）A．1B．0C．1/2D．不存在解析：由極限運算法則，lim(x→∞)(a_n^2+b_n^2)=1^2+0^2=1，選A。二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若數(shù)列{h_n}滿足h_1=1，h_n+1=3h_n，則該數(shù)列的通項公式h_n=________。解：由遞推關(guān)系h_n+1=3h_n，得{h_n}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，故h_n=3^{n-1}。2.已知數(shù)列{p_n}的前n項和S_n=2^n-1，則p_5=________。解：p_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故p_5=16。3.若數(shù)列{q_n}是等差數(shù)列，且q_3=7，q_7=15，則該數(shù)列的公差d=________。解：由q_3+q_7=2q_5=22，得q_5=11，故公差d=q_7-q_5=15-11=4。4.在研究數(shù)列極限時，若lim(x→∞)(a_n)=2且lim(x→∞)(b_n)=5，則lim(x→∞)(3a_n-2b_n)等于________。解：由極限運算法則，lim(x→∞)(3a_n-2b_n)=3×2-2×5=-4。5.已知數(shù)列{r_n}是等比數(shù)列，且r_2r_6=64，則r_4的值為________。解：設(shè)公比為q，則r_2r_6=r_4^2=64，故r_4=8。6.若數(shù)列{s_n}的前n項和T_n=n^2+n，則s_4=________。解：s_n=n^2+n，s_4=4^2+4=20。7.在研究數(shù)列極限時，若lim(x→∞)(a_n)=∞且lim(x→∞)(b_n)=0，則lim(x→∞)(a_n+b_n)等于________。解：由無窮大與無窮小的關(guān)系，lim(x→∞)(a_n+b_n)=∞。8.已知數(shù)列{t_n}是等差數(shù)列，且t_1+t_9=20，則t_5+t_7=________。解：由t_1+t_9=2t_5=20，得t_5=10，故t_5+t_7=2t_6=20。9.若數(shù)列{u_n}的前n項和V_n=3^n-1，則u_6=________。解：u_n=V_n-V_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故u_6=48。10.在研究數(shù)列極限時，若lim(x→∞)(a_n)=0且lim(x→∞)(b_n)=∞，則lim(x→∞)(a_n/b_n)等于________。解：由無窮小與無窮大的關(guān)系，lim(x→∞)(a_n/b_n)=0。三、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若數(shù)列{v_n}是等比數(shù)列，且v_2=4，v_4=16，則該數(shù)列的公比q=2。（√）解：由v_2v_4=v_3^2=64，得v_3=±8，故公比q=v_3/v_2=±2。2.若數(shù)列{w_n}的前n項和W_n=2n^2+n，則w_n=4n+1。（×）解：w_n=W_n-W_{n-1}=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))=4n-1。3.在研究數(shù)列極限時，若lim(x→∞)(a_n)=3且lim(x→∞)(b_n)=∞，則lim(x→∞)(a_n+b_n)=∞。（√）解：由無窮大與有限數(shù)的和為無窮大，lim(x→∞)(a_n+b_n)=∞。4.已知數(shù)列{x_n}是等差數(shù)列，且x_1=1，x_5=9，則x_10=25。（√）解：公差d=x_5-x_1=8，x_10=x_1+9d=1+9×8=73。5.若數(shù)列{y_n}的前n項和Z_n=5^n-1，則y_n=5^n。（×）解：y_n=Z_n-Z_{n-1}=5^n-1-(5^{n-1}-1)=4×5^{n-1}。6.在研究數(shù)列極限時，若lim(x→∞)(a_n)=∞且lim(x→∞)(b_n)=∞，則lim(x→∞)(a_n-b_n)不存在。（√）解：若a_n=b_n+常數(shù)，則極限存在；否則不存在。7.已知數(shù)列{z_n}是等比數(shù)列，且z_3=8，z_5=32，則z_4=16。（√）解：設(shè)公比為q，則z_4^2=z_3z_5=8×32=256，故z_4=16。8.若數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n^2+n，則a_n=2n。（×）解：a_n=S_n-S_{n-1}=2n，但需驗證n=1時是否成立，實際a_1=S_1=2。9.在研究數(shù)列極限時，若lim(x→∞)(a_n)=0且lim(x→∞)(b_n)=0，則lim(x→∞)(a_n^2+b_n^2)=0。（√）解：由極限運算法則，lim(x→∞)(a_n^2+b_n^2)=0。10.已知數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，且b_1=2，b_4=8，則b_2+b_3=10。（√）解：公差d=b_4-b_1=6，b_2+b_3=2+b_1+3d=2+2+3×6=22。四、簡答題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1.已知數(shù)列{c_n}滿足c_1=1，c_n+1=2c_n+n，求該數(shù)列的通項公式c_n。解：由遞推關(guān)系c_n+1=2c_n+n，得c_n=2c_{n-1}+(n-1)，累加可得c_n=2^{n-1}+(n-1)×2^{n-2}+…+1=2^{n-1}+n-1。2.若數(shù)列{d_n}的前n項和T_n=3n^2+n，求d_5的值。解：d_n=T_n-T_{n-1}=3n^2+n-(3(n-1)^2+(n-1))=6n-2，故d_5=28。3.在研究數(shù)列極限時，若lim(x→∞)(a_n)=2且lim(x→∞)(b_n)=5，求lim(x→∞)(a_n^2+b_n^2)。解：由極限運算法則，lim(x→∞)(a_n^2+b_n^2)=2^2+5^2=29。4.已知數(shù)列{e_n}是等比數(shù)列，且e_2=4，e_4=16，求e_6的值。解：設(shè)公比為q，則e_4=e_2q^2=16，得q=2，故e_6=e_4q^2=64。5.若數(shù)列{f_n}的前n項和S_n=2^n-1，求f_6的值。解：f_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故f_6=32。6.在研究數(shù)列極限時，若lim(x→∞)(a_n)=∞且lim(x→∞)(b_n)=0，求lim(x→∞)(a_n/b_n)。解：由無窮大與無窮小的關(guān)系，lim(x→∞)(a_n/b_n)=∞。7.已知數(shù)列{g_n}是等差數(shù)列，且g_1=3，g_5=9，求g_10的值。解：公差d=g_5-g_1=6，g_10=g_1+9d=3+9×6=57。8.若數(shù)列{h_n}的前n項和T_n=n^2+n，求h_4的值。解：h_n=T_n-T_{n-1}=2n，故h_4=8。五、應(yīng)用題（本大題共8小題，每小題4分，共24分）1.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，第一年產(chǎn)量為1000件，以后每年比前一年增產(chǎn)20%，求第5年的產(chǎn)量。解：設(shè)第n年的產(chǎn)量為a_n，則a_n=1000×1.2^{n-1}，故a_5=1000×1.2^4≈2074件。2.已知數(shù)列{c_n}的前n項和S_n=2n^2+n，求該數(shù)列的前10項和。解：S_10=2×10^2+10=210。3.在研究數(shù)列極限時，若lim(x→∞)(a_n)=3且lim(x→∞)(b_n)=7，求lim(x→∞)(3a_n-2b_n)。解：lim(x→∞)(3a_n-2b_n)=3×3-2×7=-9。4.已知數(shù)列{d_n}是等比數(shù)列，且d_2=8，d_4=32，求該數(shù)列的前5項和。解：設(shè)公比為q，則q=2，d_1=4，S_5=4(1-2^5)/(1-2)=124。5.若數(shù)列{e_n}的前n項和T_n=3^n-1，求該數(shù)列的前5項和。解：T_5=3^5-1=242。6.在研究數(shù)列極限時，若lim(x→∞)(a_n)=∞且lim(x→∞)(b_n)=0，求lim(x→∞)(a_n+b_n)。解：lim(x→∞)(a_n+b_n)=∞。7.已知數(shù)列{f_n}是等差數(shù)列，且f_1=5，f_3=9，求該數(shù)列的前10項和。解：公差d=4，S_10=10×5+45×4=380。8.若數(shù)列{g_n}的前n項和S_n=n^2+n，求該數(shù)列的前8項和。解：S_8=8^2+8=72。【標準答案及解析】一、單項選擇題1.D2.B3.C4.A5.B6.D7.A8.B9.A10.A解析：1.由遞推關(guān)系a_n+1=2a_n+1，得a_n=2^n-1。2.T_n=3^n-1，b_n=2×3^{n-1}，b_5=162。3.c_n=n^2+n，c_10=110。4.lim(x→∞)(b_n)=5-3=2。5.2d_5=18，d_5=9，2d_7=26。6.p_n=2^{n-1}，p_5=16。7.lim(x→∞)(a_n/b_n)=0。8.r_4^2=64，r_4=8。9.u_n=2×3^{n-1}，u_6=48。10.lim(x→∞)(a_n/b_n)=0。二、填空題1.3^{n-1}2.163.44.-45.86.207.∞8.209.4810.0解析：1.等比數(shù)列通項公式。2.p_n=S_n-S_{n-1}=2^{n-1}。3.q_5=11，d=q_5-q_3=4。4.極限運算法則。5.r_4^2=64，r_4=8。6.s_n=n^2+n，s_4=20。7.無窮大與無窮小的和為無窮大。8.t_5+t_7=2t_6=20。9.u_n=2×3^{n-1}，u_6=48。10.極限運算法則。三、判斷題1.√2.×3.√4.√5.×6.√7.√8.×9.√10.√解析：1.v_3=±8，q=±2。2.w_n=4n-1。3.無窮大與有限數(shù)的和為無窮大。4.d=8，x_10=73。5.y_n=4×5^{n-1}。6.a_n=b_n+常數(shù)