2026年福建省人教版高二數學選修一第三章綜合測試卷

2026年福建省人教版高二數學選修一第三章綜合測試卷一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.在選修一第三章中，函數f(x)＝ln(x2－2x＋3)的定義域為（）A．(－∞，1)∪(1，＋∞)B．[1，3]C．(－1，3)D．R解析：函數f(x)＝ln(x2－2x＋3)的定義域需滿足x2－2x＋3＞0，解不等式得(x－1)2＋2＞0恒成立，故定義域為全體實數R。選項D正確。2.若函數g(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在區間[1，3]上的最小值為2，則a，b的取值范圍可能為（）A．a∈(－1，1)，b∈(3，5)B．a∈[0，2]，b∈(4，6)C．a∈(－2，0)，b∈(2，4)D．a∈(1，3)，b∈(－1，1)解析：g(x)＝|x－a|＋|x－b|的最小值為|a－b|，由題意|a－b|＝2，結合選項分析，僅選項C滿足a∈(－2，0)，b∈(2，4)，此時|a－b|＝2。3.在選修一第三章中，若函數h(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在x＝2處取得最小值，則h(x)的最小值為（）A．1B．2C．3D．4解析：函數h(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|的最小值出現在x＝2處，此時h(2)＝|2－1|＋|2－2|＋|2－3|＝1＋0＋1＝2。選項B正確。4.若函數f(x)＝|x－1|－|x－2|在區間(－∞，＋∞)上單調遞減，則實數k的取值范圍是（）A．k∈(－∞，1)B．k∈(1，＋∞)C．k∈(－1，1)D．k∈[1，＋∞)解析：f(x)＝|x－1|－|x－2|在x＝1時發生分段，當x∈(－∞，1)時f(x)＝2－2x，單調遞減；當x∈(1，＋∞)時f(x)＝x－2，單調遞增。故f(x)在(－∞，1)上單調遞減，需k＜1。選項A正確。5.在選修一第三章中，若函數f(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝1處取得最小值，且最小值為3，則a，b的取值關系可能為（）A．a∈(－1，1)，b∈(3，5)B．a∈[0，2]，b∈(4，6)C．a∈(－2，0)，b∈(2，4)D．a∈(1，3)，b∈(－1，1)解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝1處取得最小值，需1為a，b的“中位數”，且最小值為|a－b|＝3。選項C中a∈(－2，0)，b∈(2，4)，1為其中位數，且|a－b|＝3。6.若函數g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在區間[1，3]上恒成立，則實數k的取值范圍是（）A．k∈(－∞，1)B．k∈(1，＋∞)C．k∈(－1，1)D．k∈[1，＋∞)解析：g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在[1，3]上恒成立，需g(x)的最小值≥k。由分段分析，g(x)在x＝2處取得最小值2，故k≤2。選項D正確。7.在選修一第三章中，若函數f(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝2處取得最小值，且最小值為4，則a，b的取值關系可能為（）A．a∈(－2，0)，b∈(4，6)B．a∈[1，3]，b∈(5，7)C．a∈(－1，1)，b∈(3，5)D．a∈(2，4)，b∈(－2，0)解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝2處取得最小值，需2為a，b的“中位數”，且最小值為|a－b|＝4。選項B中a∈[1，3]，b∈(5，7)，2為其中位數，且|a－b|＝4。8.若函數h(x)＝|x－1|－|x－2|在區間(－∞，＋∞)上恒成立，則實數k的取值范圍是（）A．k∈(－∞，1)B．k∈(1，＋∞)C．k∈(－1，1)D．k∈[1，＋∞)解析：h(x)＝|x－1|－|x－2|在x＝1時發生分段，當x∈(－∞，1)時h(x)＝2－2x，恒成立；當x∈(1，＋∞)時h(x)＝x－2，恒成立。故k≤1。選項A正確。9.在選修一第三章中，若函數f(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝3處取得最小值，且最小值為5，則a，b的取值關系可能為（）A．a∈(－3，1)，b∈(4，6)B．a∈[2，4]，b∈(6，8)C．a∈(－1，1)，b∈(3，5)D．a∈(3，5)，b∈(－3，－1)解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝3處取得最小值，需3為a，b的“中位數”，且最小值為|a－b|＝5。選項B中a∈[2，4]，b∈(6，8)，3為其中位數，且|a－b|＝5。10.若函數g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在區間[1，3]上恒成立，則實數k的取值范圍是（）A．k∈(－∞，1)B．k∈(1，＋∞)C．k∈(－1，1)D．k∈[1，＋∞)解析：g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在[1，3]上恒成立，需g(x)的最小值≥k。由分段分析，g(x)在x＝2處取得最小值2，故k≤2。選項D正確。二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若函數f(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝2處取得最小值，且最小值為3，則|a－b|＝________。參考答案：3解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝2處取得最小值，需2為a，b的“中位數”，且最小值為|a－b|＝3。2.函數g(x)＝|x－1|－|x－2|在區間(－∞，＋∞)上單調遞減的區間為________。參考答案：(－∞，1)解析：g(x)＝|x－1|－|x－2|在x＝1時發生分段，當x∈(－∞，1)時g(x)＝2－2x，單調遞減；當x∈(1，＋∞)時g(x)＝x－2，單調遞增。3.若函數h(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝1處取得最小值，且最小值為4，則a，b的取值關系可能為________。參考答案：a∈(－3，1)，b∈(5，7)解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝1處取得最小值，需1為a，b的“中位數”，且最小值為|a－b|＝4。4.函數f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在區間[1，3]上的最小值為________。參考答案：2解析：f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在[1，3]上分段，當x∈[1，2]時f(x)＝3－2x，單調遞減；當x∈[2，3]時f(x)＝x－2，單調遞增。故最小值在x＝2處取得，為2。5.若函數g(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝3處取得最小值，且最小值為5，則|a－b|＝________。參考答案：5解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝3處取得最小值，需3為a，b的“中位數”，且最小值為|a－b|＝5。6.函數h(x)＝|x－1|－|x－2|在區間(－∞，＋∞)上恒成立的實數k的取值范圍是________。參考答案：k≤1解析：h(x)＝|x－1|－|x－2|在x＝1時發生分段，當x∈(－∞，1)時h(x)＝2－2x，恒成立；當x∈(1，＋∞)時h(x)＝x－2，恒成立。故k≤1。7.若函數f(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝2處取得最小值，且最小值為4，則a，b的取值關系可能為________。參考答案：a∈(0，2)，b∈(4，6)解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝2處取得最小值，需2為a，b的“中位數”，且最小值為|a－b|＝4。8.函數g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在區間[1，3]上恒成立的實數k的取值范圍是________。參考答案：k≤2解析：g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在[1，3]上恒成立，需g(x)的最小值≥k。由分段分析，g(x)在x＝2處取得最小值2，故k≤2。9.若函數h(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝1處取得最小值，且最小值為3，則a，b的取值關系可能為________。參考答案：a∈(－1，1)，b∈(3，5)解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝1處取得最小值，需1為a，b的“中位數”，且最小值為|a－b|＝3。10.函數f(x)＝|x－1|－|x－2|在區間(－∞，＋∞)上恒成立的實數k的取值范圍是________。參考答案：k≤1解析：h(x)＝|x－1|－|x－2|在x＝1時發生分段，當x∈(－∞，1)時h(x)＝2－2x，恒成立；當x∈(1，＋∞)時h(x)＝x－2，恒成立。故k≤1。三、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若函數f(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝2處取得最小值，則a，b的取值關系一定為a∈(1，3)，b∈(－1，1)。參考答案：×解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝2處取得最小值，需2為a，b的“中位數”，但a，b的具體取值范圍不唯一，如a∈(0，2)，b∈(4，6)也滿足條件。2.函數g(x)＝|x－1|－|x－2|在區間(－∞，＋∞)上單調遞減。參考答案：×解析：g(x)＝|x－1|－|x－2|在x＝1時發生分段，當x∈(－∞，1)時g(x)＝2－2x，單調遞減；當x∈(1，＋∞)時g(x)＝x－2，單調遞增。故g(x)在(－∞，＋∞)上不單調遞減。3.若函數h(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝3處取得最小值，則|a－b|＝3。參考答案：×解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝3處取得最小值，需3為a，b的“中位數”，且最小值為|a－b|，但|a－b|不一定等于3，如a∈(2，4)，b∈(6，8)時|a－b|＝4。4.函數f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在區間[1，3]上的最小值為1。參考答案：×解析：f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在[1，3]上分段，當x∈[1，2]時f(x)＝3－2x，單調遞減；當x∈[2，3]時f(x)＝x－2，單調遞增。故最小值在x＝2處取得，為2。5.若函數g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在區間[1，3]上恒成立，則實數k的取值范圍是k≤1。參考答案：×解析：g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在[1，3]上恒成立，需g(x)的最小值≥k。由分段分析，g(x)在x＝2處取得最小值2，故k≤2。6.函數h(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝2處取得最小值，則a，b的取值關系一定為a∈(－1，1)，b∈(3，5)。參考答案：×解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝2處取得最小值，需2為a，b的“中位數”，但a，b的具體取值范圍不唯一，如a∈(0，2)，b∈(4，6)也滿足條件。7.函數f(x)＝|x－1|－|x－2|在區間(－∞，＋∞)上恒成立的實數k的取值范圍是k≤2。參考答案：×解析：h(x)＝|x－1|－|x－2|在x＝1時發生分段，當x∈(－∞，1)時h(x)＝2－2x，恒成立；當x∈(1，＋∞)時h(x)＝x－2，恒成立。故k≤1。8.若函數g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在區間[1，3]上恒成立，則實數k的取值范圍是k≤3。參考答案：×解析：g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在[1，3]上恒成立，需g(x)的最小值≥k。由分段分析，g(x)在x＝2處取得最小值2，故k≤2。9.函數h(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝1處取得最小值，則a，b的取值關系一定為a∈(－2，0)，b∈(2，4)。參考答案：×解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝1處取得最小值，需1為a，b的“中位數”，但a，b的具體取值范圍不唯一，如a∈(0，2)，b∈(4，6)也滿足條件。10.函數f(x)＝|x－1|－|x－2|在區間(－∞，＋∞)上恒成立的實數k的取值范圍是k≤1。參考答案：√解析：h(x)＝|x－1|－|x－2|在x＝1時發生分段，當x∈(－∞，1)時h(x)＝2－2x，恒成立；當x∈(1，＋∞)時h(x)＝x－2，恒成立。故k≤1。四、簡答題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1.請簡述函數f(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在什么情況下取得最小值，并說明最小值是多少。參考答案：當x為a，b的“中位數”時，f(x)取得最小值，最小值為|a－b|。2.函數g(x)＝|x－1|－|x－2|在區間(－∞，＋∞)上的單調性如何？請說明理由。參考答案：g(x)在x＝1時發生分段，當x∈(－∞，1)時g(x)＝2－2x，單調遞減；當x∈(1，＋∞)時g(x)＝x－2，單調遞增。故g(x)在(－∞，＋∞)上不單調。3.請解釋函數h(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝2處取得最小值的條件是什么。參考答案：當2為a，b的“中位數”時，h(x)在x＝2處取得最小值，最小值為|a－b|。4.函數f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在區間[1，3]上的最小值是多少？請說明理由。參考答案：f(x)在[1，3]上分段，當x∈[1，2]時f(x)＝3－2x，單調遞減；當x∈[2，3]時f(x)＝x－2，單調遞增。故最小值在x＝2處取得，為2。5.請簡述函數g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在區間[1，3]上恒成立的條件是什么。參考答案：g(x)在[1，3]上恒成立，需g(x)的最小值≥k。由分段分析，g(x)在x＝2處取得最小值2，故k≤2。6.函數h(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝1處取得最小值，則a，b的取值范圍可能是什么？請舉例說明。參考答案：當1為a，b的“中位數”時，h(x)在x＝1處取得最小值，最小值為|a－b|。如a∈(0，2)，b∈(4，6)時|a－b|＝4。7.請解釋函數f(x)＝|x－1|－|x－2|在區間(－∞，＋∞)上恒成立的實數k的取值范圍是什么。參考答案：h(x)＝|x－1|－|x－2|在x＝1時發生分段，當x∈(－∞，1)時h(x)＝2－2x，恒成立；當x∈(1，＋∞)時h(x)＝x－2，恒成立。故k≤1。8.函數g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在區間[1，3]上恒成立的實數k的取值范圍是什么？請說明理由。參考答案：g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在[1，3]上恒成立，需g(x)的最小值≥k。由分段分析，g(x)在x＝2處取得最小值2，故k≤2。五、應用題（本大題共8小題，每小題4分，共24分）1.某城市地鐵線路如圖所示，A，B，C為三個站點，A到B的距離為3km，B到C的距離為4km。若乘客在A，B，C三站之間任意換乘，求最短換乘路線的總長度。參考答案：最短換乘路線為A→B→C，總長度為3km＋4km＝7km。2.函數f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在區間[1，3]上的最小值是多少？請說明理由。參考答案：f(x)在[1，3]上分段，當x∈[1，2]時f(x)＝3－2x，單調遞減；當x∈[2，3]時f(x)＝x－2，單調遞增。故最小值在x＝2處取得，為2。3.函數g(x)＝|x－1|－|x－2|在區間(－∞，＋∞)上的單調性如何？請說明理由。參考答案：g(x)在x＝1時發生分段，當x∈(－∞，1)時g(x)＝2－2x，單調遞減；當x∈(1，＋∞)時g(x)＝x－2，單調遞增。故g(x)在(－∞，＋∞)上不單調。4.函數h(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝2處取得最小值，且最小值為5，則a，b的取值關系可能是什么？請舉例說明。參考答案：當2為a，b的“中位數”時，h(x)在x＝2處取得最小值，最小值為|a－b|＝5。如a∈(－3，1)，b∈(7，9)時|a－b|＝5。5.函數f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在區間[1，3]上恒成立的實數k的取值范圍是什么？請說明理由。參考答案：f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在[1，3]上恒成立，需f(x)的最小值≥k。由分段分析，f(x)在x＝2處取得最小值2，故k≤2。6.函數g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在區間[1，3]上的最小值是多少？請說明理由。參考答案：f(x)在[1，3]上分段，當x∈[1，2]時f(x)＝3－2x，單調遞減；當x∈[2，3]時f(x)＝x－2，單調遞增。故最小值在x＝2處取得，為2。7.函數h(x)＝|x－a|＋|x－b|（a≠b）在x＝1處取得最小值，且最小值為4，則a，b的取值關系可能是什么？請舉例說明。參考答案：當1為a，b的“中位數”時，h(x)在x＝1處取得最小值，最小值為|a－b|＝4。如a∈(－1，3)，b∈(5，7)時|a－b|＝4。8.函數f(x)＝|x－1|－|x－2|在區間(－∞，＋∞)上恒成立的實數k的取值范圍是什么？請說明理由。參考答案：h(x)＝|x－1|－|x－2|在x＝1時發生分段，當x∈(－∞，1)時h(x)＝2－2x，恒成立；當x∈(1，＋∞)時h(x)＝x－2，恒成立。故k≤1。【標準答案及解析】一、單項選擇題1.D2.A3.B4.A5.C6.D7.B8.A9.B10.D解析：2.定義域需滿足x2－2x＋3＞0，因判別式Δ＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，故x2－2x＋3恒正，定義域為R。3.g(x)＝|x－a|＋|x－b|的最小值為|a－b|，由題意|a－b|＝2，選項A中a∈(－1，1)，b∈(3，5)，|a－b|＝4＞2，不滿足；選項B中a∈[0，2]，b∈(4，6)，|a－b|＝4＞2，不滿足；選項C中a∈(－2，0)，b∈(2，4)，|a－b|＝4＞2，不滿足；選項D中a∈(1，3)，b∈(－1，1)，|a－b|＝4＞2，不滿足。二、填空題1.312.(－∞，1)13.a∈(－3，1)，b∈(5，7)14.215.516.k≤117.a∈(0，2)，b∈(4，6)18.k≤219.a∈(－1，1)，b∈(3，5)20.k≤1解析：2.f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝2處取得最小值，需2為a，b的“中位數”，且最小值為|a－b|＝3。3.g(x)＝|x－1|－|x－2|在x＝1時發生分段，當x∈(－∞，1)時g(x)＝2－2x，單調遞減。三、判斷題1.×22.×23.×24.×25.×26.×27.×28.×29.×30.√解析：2.f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝2處取得最小值，需2為a，b的“中位數”，但a，b的具體取值范圍不唯一，如a∈(0，2)，b∈(4，6)也滿足條件。3.h(x)＝|x－1|－|x－2|在x＝1時發生分段，當x∈(－∞，1)時h(x)＝2－2x，恒成立；當x∈(1，＋∞)時h(x)＝x－2，恒成立。故k≤1。四、簡答題1.參考答案：當x為a，b的“中位數”時，f(x)取得最小值，最小值為|a－b|。解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝2處取得最小值，需2為a，b的“中位數”，且最小值為|a－b|。2.參考答案：g(x)在x＝1時發生分段，當x∈(－∞，1)時g(x)＝2－2x，單調遞減；當x∈(1，＋∞)時g(x)＝x－2，單調遞增。故g(x)在(－∞，＋∞)上不單調。解析：分段函數的單調性需分段討論，g(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上單調性相反，故在(－∞，＋∞)上不單調。3.參考答案：當2為a，b的“中位數”時，h(x)在x＝2處取得最小值，最小值為|a－b|。解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝2處取得最小值，需2為a，b的“中位數”，且最小值為|a－b|。4.參考答案：f(x)在[1，3]上分段，當x∈[1，2]時f(x)＝3－2x，單調遞減；當x∈[2，3]時f(x)＝x－2，單調遞增。故最小值在x＝2處取得，為2。解析：分段函數的最小值需分段討論，f(x)在[1，2]上單調遞減，在[2，3]上單調遞增，故最小值在x＝2處取得，為2。5.參考答案：g(x)在[1，3]上恒成立，需g(x)的最小值≥k。由分段分析，g(x)在x＝2處取得最小值2，故k≤2。解析：g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在[1，3]上恒成立，需g(x)的最小值≥k。由分段分析，g(x)在x＝2處取得最小值2，故k≤2。6.參考答案：當1為a，b的“中位數”時，h(x)在x＝1處取得最小值，最小值為|a－b|。如a∈(0，2)，b∈(4，6)時|a－b|＝4。解析：f(x)＝|x－a|＋|x－b|在x＝1處取得最小值，需1為a，b的“中位數”，且最小值為|a－b|。7.參考答案：h(x)＝|x－1|－|x－2|在x＝1時發生分段，當x∈(－∞，1)時h(x)＝2－2x，恒成立；當x∈(1，＋∞)時h(x)＝x－2，恒成立。故k≤1。解析：分段函數的恒成立條件需分段討論，h(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上恒成立，故k≤1。8.參考答案：g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在[1，3]上恒成立，需g(x)的最小值≥k。由分段分析，g(x)在x＝2處取得最小值2，故k≤2。解析：g(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|在[1，3]上恒成立，需g(x)的最小值≥k。由分段分析，g(x)在x＝2處取得最小值2，故k≤2。五、應用題1.參考答案：最短換乘路線為A→B→C，總長度為3km＋4km＝7km。解析：最短換乘路線為A→B→C，總長度為3km＋4k