高中數學 加練 專題5　第47練　極化恒等式

第47練極化恒等式(分值：40分)1.極化恒等式在平面向量中：(a+b)2=a2+b2+2a·b，(a-b)2=a2+b2-2a·b，兩式相減可得極化恒等式：a·b=14[(a+b)2-(a-b)2]2.幾何解釋(1)平行四邊形模型：向量的數量積等于“和對角線長”與“差對角線長”平方差的14，即a·b=14[(a+b)2-(a-b)2](如圖(2)三角形模型：向量的數量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差，即AB·AC=AM2-MB2(M為BC的中點)(如圖極化恒等式表明，向量的數量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長度之間的等量關系.一、單項選擇題(每小題5分，共25分)1.向量的數量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線長”與“差對角線長”平方差的四分之一，即如圖所示，a·b=14(|AD|2-|BC|2)，我們稱為極化恒等式.已知在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則AB·AC等于(A.-16 B.16 C.-8 D.8答案A解析由題設，△ABC可以補形為平行四邊形ABDC，由已知得AD=2AM，|AM|=3，|BC|=10，AB·AC=14(4|AM|2-|BC|2=14×(36-100)=-162.在同一平面內，M，N是兩個定點，P是動點，若MP·NP=4，則點P的軌跡為()A.橢圓 B.拋物線C.直線 D.圓答案D解析設M，N的中點為A，由極化恒等式可得MP·NP=|PA|2-14|MN|2=4，因為M，N3.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則PA·(PB+PC)的最小值是()A.-2 B.-32 C.-43 D答案B解析如圖，設BC的中點為D，AD的中點為M，連接DP，PM，則PA·(PB+PC)=2PA·PD=2|PM|2-12|AD|2=2|PM|2-32≥-32，當且僅當M與4.已知正方形ABCD的邊長為4，點E，F分別為AD，BC的中點，如果對于常數λ，在正方形ABCD的四條邊上，有且只有8個不同的點P，使得PE·PF=λ成立，那么λ的取值范圍是()A.(0，2] B.(0，2) C.(0，4] D.(0，4)答案D解析如圖所示，設EF的中點為O，則根據極化恒等式可得PE·PF=|PO|2-4=λ即|PO|2=λ+4，所以|PO|=λ+4，由對稱性可知每個邊上存在兩個點P，所以點P在邊的中點和頂點之間，故2<λ5.正△ABC的邊長為3，點D在邊AB上，且BD=2DA，△ABC的外接圓的一條弦MN過點D，點P為邊BC上的動點，當弦MN的長度最短時，PM·PN的取值范圍是()A.[-1，5] B.[-1，7]C.[0，2] D.[1，5]答案D解析如圖，設O為△ABC外接圓的圓心，因為BD=2DA，所以OD=13AC=1當弦MN的長度最短時，MN⊥OD，此時D為MN的中點.在△ABC中，由正弦定理知，外接圓的半徑R=12·ABsinC=12·即OM=3，所以MN=2MD=2O=2(3)2由極化恒等式可得PM·PN=PD2-=PD2-14×(22)2=PD因為點P為線段BC上的動點，所以當PD⊥BC時，|PD|min=|BD|sin60°=2×32=3當點P與點C重合時，|PD|max=|CD|，在△BCD中，由余弦定理知，CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos∠ABC=9+4-2×3×2×12=7所以|PD|max=|CD|=7，綜上，|PD|∈[3，7]，則PD2-2∈[1，5]所以PM·PN的取值范圍為[1，5].二、填空題(每小題5分，共15分)6.如圖，在平面四邊形ABCD中，O為BD的中點，且OA=3，OC=5.若AB·AD=-7，則BC·DC=.答案9解析由AB·AD=AO2-14BD2=9-14BD則BC·DC=CB·CD=CO2-14BD2=25-7.如圖所示，△ABC是邊長為8的等邊三角形，點P為AC邊上的一個動點，長度為6的線段EF的中點為B，則PE·PF的取值范圍是.答案[39，55]解析由向量極化恒等式知PE·PF=|PB|2-|BE|2=|PB|2-9.又△ABC是邊長為8的等邊三角形，所以當點P位于點A或點C時，|PB|取最大值8.當點P位于AC的中點時，|PB|取最小值，即|PB|min=8sinπ3=43所以|PB|的取值范圍為[43，8]，所以PE·PF的取值范圍為[39，55].8.如圖，正方形ABCD的邊長為2，P為正方形ABCD內一點(包含邊界)，且PA⊥PB，則PC·PD的取值范圍是.答案[0，4]解析如圖，∵PA⊥PB，∴點P在以AB為直徑的半圓上，取CD的中點O，連接PO，由向量極