高中數學 加練 綜合練6

綜合練6(分值：80分)一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.已知向量a=(1，2)，b=(-1，1)，c=(-5，-4).若向量(a+kb)與c共線，則k等于()A.-23 B.-12 C.-1答案A解析因為a=1，2，b=所以a+kb=1-k又a+kb∥c，所以-52+解得k=-232.6人站成一排，其中甲、乙兩人中間恰有1人的站法有()A.240種 B.192種 C.144種 D.96種答案B解析先對甲、乙兩人進行排列，有A22種站法；然后從剩下的4人中選1人站在甲、乙兩人中間，有最后將甲、乙和中間的那個人看成1個元素，與其他3個元素進行全排列，有A4所以不同的站法有A22C413.記等比數列{an}的前n項之積為Tn，則“a6a7>1”是“T12>1”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析若a6a7>1，則有T12=a1a2…a12=(a6a7)6>1，故充分性成立；若T12>1，即a1a2…a12>1，即(a6a7)6>1，則a6a7>1或a6a7<-1，故必要性不成立，所以“a6a7>1”是“T12>1”的充分不必要條件.4.已知x>0，y>0，且2x+y=1，則x+yxy的最小值為A.4 B.42 C.6 D.22+3答案D解析因為x>0，y>0，且2x+y=1，所以x+yxy=1y+1x=1y=2xy+yx+3≥22x當且僅當2xy=yx，即x=2-22，y5.已知α+β∈(0，π)，且tanα=2，cos(α+β)=-31010，則tan(α-β)等于(A.-913 B.913 C.-7答案A解析因為α+β∈(0，π)，由cos(α+β)=-310可得sin(α+β)=1-cos2(則tan(α+β)=-13又tan2α=2tanα1-tan故tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan2α-tan(α+β6.已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左焦點為F，直線y=kx(k≠0)與C的左、右兩支分別交于點A，B，若FA·FB=0，|FA|=2A.y=±223x B.y=±C.y=±324x D.y=±答案A解析設C的右焦點為F'，由題意知四邊形FAF'B為平行四邊形.因為FA·FB=0，所以FA⊥FB，故四邊形FAF'B為矩形，由雙曲線定義得，在Rt△AFF'中，|AF'|=|AF|+2a=8a由|AF'|2+|AF|2=|FF'|2，得8a32+2a32=(2c)所以ba=b2a2=c2-a2a2=179二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.函數f(x)=4sin(ωx+φ)0<ω≤2，A.φ=-πB.f(x)的圖象關于直線x=π對稱C.f(x)=4cosxD.若方程f(x)=2在(0，m)上有且只有5個根，則m的取值范圍為26π答案ACD解析對于A，由f(0)=-2，得4sinφ=-2，即sinφ=-12又-π2<φ<π2，所以φ=-π6對于C，又f(x)的圖象過點π3則f

π3=0，即sinωπ所以ωπ3-π6=kπ，k得ω=3k+12，k∈Z又0<ω≤2，所以ω=12所以f(x)=4sinx=4sinπ2+x2-對于B，因為f(x)=4sinx2而f(π)=4sinπ2-π6=4sin故直線x=π不是函數f(x)的圖象的對稱軸，故B錯誤；對于D，由f(x)=2，得cosx2-2π解得x=2π+4kπ，k∈Z或x=2π3+4kπ，k∈Z方程f(x)=2在(0，m)上有5個根，從小到大依次為2π3，2π，14π3，6π，26π3，而第6個根為10π，所以26π3<m≤10π8.將正數x用科學記數法表示為x=a×10n，a∈[1，10)，n∈Z，則把n，lga分別叫做lgx的首數和尾數，分別記為S(lgx)，W(lgx)，下列說法正確的是()A.若M=2×10m，N=3×10n，m，n∈Z，則S(lg(MN))=S(lgM)+S(lgN)B.若M=2×10m，N=8×10n，m，n∈Z，則W(lg(MN))=W(lgM)+W(lgN)C.若M=2×10m，N=4×10n，m，n∈Z，則SlgMN=S(lgM)-S(lgD.若M=8×10m，N=2×10n，m，n∈Z，則WlgMN=W(lgM)-W(lg答案AD解析對于A，若M=2×10m，N=3×10n，m，n∈Z，則S(lgM)=m，S(lgN)=n，MN=6×10m+n，S(lg(MN))=m+n，所以S(lg(MN))=S(lgM)+S(lgN)，故A正確；對于B，若M=2×10m，N=8×10n，m，n∈Z，則W(lgM)=lg2，W(lgN)=lg8，MN=16×10m+n=1.6×10m+n+1，W(lg(MN))=lg1.6，所以W(lg(MN))=W(lgM)+W(lgN)不成立，故B錯誤；對于C，若M=2×10m，N=4×10n，m，n∈Z，則S(lgM)=m，S(lgN)=n，MN=12×10m-n=5×10m-n-1，SlgMN=m所以SlgMN=S(lgM)-S(lgN)不成立，故對于D，若M=8×10m，N=2×10n，m，n∈Z，則W(lgM)=lg8，W(lgN)=lg2，MN=4×10m-n，WlgMN=lg所以WlgMN=W(lgM)-W(lgN)，故D三、填空題(每小題5分，共10分)9.已知b>0，函數f(x)=a+4bx2x是奇函數，則a答案0解析因為函數f(x)的定義域為R，且f(x)=a+4bx2x是奇函數，所以f(0)所以f(x)=4bx-12x=2(2b-1)x由f(-1)=-f(1)知21-2b-2=-22b-1+12即21-2b+22b-1=52又因為b>0，所以1-2b≠1，則2b-1=1，b=1，所以f(x)=2(2b-1)x-2-x=2x-2-x，滿足題意，所以a+b=0.10.記Nm*={1，2，3，…，m}(m∈N*)，Ak表示k個元素的有限集，S(E)表示非空數集E中所有元素的和，若集合Mm,k=S(Ak)|Ak?Nm*，則M4,3=，若S答案{6，7，8，9}21解析當m=4，k=3時，N4*={1，2，3，4}，A3表示由Ak?Nm*可知A3={1，2，3}或A3={1，2，4}或A3={1，3，4}或A3={2，3，4故M4,3={6，7，8，9}；由題意知Mm,2={3，4，5，…，2m-1}，故由S(Mm,2)≥817可得(2m-1-2)(3+2m即(2m-3)(m+1)≥817，解得m≥1+65614=20.5或m≤1-65614=-20結合m∈N*，故m的最小值為21.四、解答題(共28分)11.(13分)甲汽車配件廠生產了一種塑膠配件，質檢人員在這批配件中隨機抽取了100個，將其質量指標值(單位：分)作為一個樣本，得到如圖所示的頻率分布直方圖.且當配件的質量指標值不小于80分時，配件為優秀品.(1)求這組數據的平均數(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表)；(3分)(2)以頻率估計概率，在甲配件廠生產的這批產品中隨機抽取3件產品，隨機變量X表示抽得的產品為優秀品的個數，求X的分布列及數學期望；(5分)(3)現在市場上這種塑膠配件由甲、乙、丙三家汽車配件廠供應，由長期的經驗知，乙、丙兩家的優秀品率分別為0.60，0.30，三家產品數在市場中所占比例為2∶3∶5，將三家產品混合在一起，從中抽取一件，在已知取到的產品為優秀品的條件下，它是由甲廠生產的概率是多少？(5分)解(1)由題知，(0.010+0.015+0.035+m+0.010)×10=1，解得m=0.030.設x為樣本數據的平均數，則x=55×0.01×10+65×0.015×10+75×0.035×10+85×0.03×10+95×0.01×10=76.5，故這組樣本數據的平均數為76.5.(2)設p表示在甲配件廠生產的這批產品中隨機抽取一件產品，所抽取的產品為優秀品的概率，由題知p=(0.03+0.01)×10=0.4，故隨機變量X~B(3，0.4)，X的所有可能取值為0，1，2，3，則P(X=0)=C30·(1-0.4)3=0.P(X=1)=C31·(1-0.4)2×0.4=0.P(X=2)=C32·(1-0.4)×0.42=0.P(X=3)=C33·0.43=0.所以X的分布列為X0123P0.2160.4320.2880.064隨機變量X的數學期望E(X)=3×0.4=1.2.(3)設事件A表示“取到的產品為優秀品”，B1，B2，B3分別表示“產品由甲、乙、丙廠生產”，由已知P(B1)=0.2，P(B2)=0.3，P(B3)=0.5，P(A|B1)=0.4，P(A|B2)=0.6，P(A|B3)=0.3.由全概率公式得P(A)=i=13P(Bi)P(A|Bi)=0.2×0.4+0.3×0.6+0.5×0.3=0.由貝葉斯公式得P(B1|A)=P(B1)P12.(15分)如圖1，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=4，動點E，F分別在邊AD，AB上(不含端點)，且存在實數λ，使EF=λDB，沿EF將△AEF向上折起得到△PEF，使得平面PEF⊥平面BCDEF，如圖2所示.(1)若DE⊥PB，求λ的值；(7分)(2)當點E的位置變化時，平面PEF與平面BPF夾角的余弦值是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.(8分)解(1)在圖2中，取EF的中點O，BD的中點M，連接OP，OM，∵EF=λDB，即EF∥BD，∴PE=PF，∴PO⊥EF，又∵平面PEF⊥平面BCDEF，平面PEF∩平面BCDEF=EF，PO?平面PEF，∴PO⊥平面BCDEF，由題意可知OM⊥EF，以O為原點，OF，OM，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設OP=x(0<x<23)，AB=4，則OM=23-x，OE=x3∴B(2，23-x，0)，E-x3，0，0，P(0，0，x)，D(-2，23故DE=2-xPB=(2，23-x，-x)，∵DE⊥PB，∴DE·PB