流體力學 課件 第二章 流體靜力學

第二章流體的平衡研究內容：處于平衡狀態下的力學規律及在工程中的應用平衡（靜止）狀態絕對靜止（平衡）狀態：以地球作為慣性參考坐標系，當流體相對慣性參考坐標系沒有運動時的狀態。相對靜止（平衡）狀態：當流體相對慣性參考坐標系有運動，而相對某非慣性參考坐標系沒有運動時的狀態。主要內容作用在流體上的力流體靜壓強及其特性流體平衡微分方程流體靜力學基本方程壓強的計量液體的相對平衡靜止液體作用在固體壁面的總壓力§2-1

作用在流體上的力表面力作用在流體上的力質量力一、表面力表面力：作用在流體中的所取某部份流體（分離體）表面上的力，也就是該分離體周圍的流體（既可是同一種類的流體，也可是不同種類的流體）或固體通過接觸面作用在其上的力。如：壓力，內摩擦力（切應力）

F

切向力在流體中任取一塊流體，其體積為V，表面積為A，在這塊流體上任取一微元面積δA，作用在其表面上的力為δF，分解為

Fn

法向力法2(N/m2)(N/m2)

A

A

0向力：p

lim

Fn

A

A

0切向力：

lim

Fτ法向力又稱為壓強δFδFnVA

V

a

a

δFτ

V

g

δAzyx質量力：作用在流體內部所有流體質點上并與流體的體積或質量成正比的力，又稱體積力。例如：重力、慣性力、磁力二、質量力在這塊流體上，取一流體微團，其體積為V，由于地球引力的作用，產生的重力為ρgV。由于流體存在加速

單位質量流體的質量力用f

表示在笛卡爾直角坐標系中：度a，根據達朗貝爾原理，虛加的慣性力為

Va

。

x

y

zf

f i

f j

f

k

δFδFnτVA

V

a

a

δF

V

g

δAzyfx

，fy

，fz表示f

在直角坐標系x軸，y軸，z軸上的投影。

x在重力場中，fx

＝

fy＝0，fz＝

g

法向應力(壓力)p

表面力

切向應力

和表面張力

(一般不考慮)

質量力(體積力)

重

慣性力力流體所受的作用力§2-2

流體靜壓強及其特性靜壓強：靜止流體內的壓強。絕對靜止和相對靜止靜壓強的兩個特性：流體靜壓強的方向指向作用面的內法線方向。靜止流體中任一點靜壓強的大小與其作用面的空間方位無關，只是該點坐標的函數，即同一點上各方向的靜壓強均相等。特性1的證明流體中任意點所受的力均可分為切向應力和法向應力。向應力。因為靜止，故只存在壓力。若流體受拉力作用，要發生運動若作用力不垂直，則可以分解成法向和切向應力，不能滿足平衡狀態的要求。dy當流體處于靜止，du

0

，故切應力

0

，所以，只存在法F特性2的證明同一點上各方向的靜壓強均相等。p1p2Ap3p1

p2

p3

p(x,

y,

z)表面力質量力f

dxdydz61

受力分析xzyACBDdxdydzpxpzpypn

p

BCDn

2

1

pydxdz

2

1pxdydz

2

1zp

dxdyx方向的力平衡方程2

6x

n

n

x1

p

dydz

p

BCD

cos(

p

,

x)

1

f

dxdydz

0由于令流體元縮為一點，即2

6x

n

n

x1

p

dydz

p

BCD

cos(

p

,

x)

1

f

dxdydz

02n

BCD

cos(

p

,

x)

1

dydz3x

nxp

p

1

f

dx

0dx

0px

pn同理：py

pn,pz

pnpx

py

pz

pn

p(x,

y,

z)只要流體內部無切應力存在，無論流體是處于靜止還是流動狀態，流體內任意點的壓強大小都與其作用面的方位無關，只是空間點位置的函數。該結論無論是對絕對靜止、相對靜止的流體，還是對于流動的理想流體

(流體質點間可能有相對運動）都成立。對于粘性流體，如果流體質點間存在相對運動，則流體中就會產生切應力，此時流體中一點的法向應力（相應于靜止流體中的壓強）在不同方向的大小可能不相同。討

論§2-3

流體平衡微分方程質量力

f

dxdydz表面力：法向應力x方向右表面受力

x

2(

p

p

dx

)dydzz(

p

p

dx

)dydz

x

2一、歐拉平衡微分方程受力分析左表面受力xf

dxdydzx方向(

p

p

dx

)

x

2x

p

dx(

p

x

2

)fxdzdxdyyfyfzpx方向流體處于平衡（靜止）狀態，則x

x

x

2

x

2

F

(

p

p

dx

)dydz

(

p

p

dx

)dydz

f

dxdydz

0

xx

f

dxdydz

p

dxdydz

0

1

p1

p同理得：

f

y

y

0

f

z

z

0

f

1

p

0

x

x

(

p

)

p

dx

x

2xz

p

dx(

p

x

2

)fxdzdxdyyfyfp

z

流體平衡微分方程，又叫歐拉平衡微分方程，是歐拉在1775年提出的。寫成矢量形式為：f

p

0▽為哈密爾頓算子1

1f

gradp

0

或

x

i

y

j

z

k

p

p

p

p

i

x

j

y

k

z

(i

x

j

y

k

z

)

p壓強梯度流體平衡微分方程：建立了作用在靜止流體上的表面力和質量力相互平衡的關系式。二、壓強差公式及等壓面將歐拉平衡微分方程式兩邊同乘以dx、dy、dzx

y

z

x

y

z

(

f

dx

f

dy

f

dz)

p

dx

p

dy

p

dz

dpdp

(

fxdx

fydy

fzdz)壓強差公式

z

0zyx

1

p

0

f

f

y

x1

p

f

1

p

0

dx

dy

dz相加整理得到壓強差公式：等壓面：壓強相等的點組成的面dp

0fxdx

fydy

fzdz

0等壓面。重力場中，任何均質的靜止流體的水平面都是等壓面。

f

fx

i

f

y

j

fz

k

ds

dxi

dy

j

dzkf

ds

0f

ds

作用在靜止流體中任一點的質量力必垂直于通過該點的等壓面微分方程三、質量力的勢函數和有勢力x

yzf

,

f

,f

x

y

zx

y

z

dp

f

dx

f

dy

f

dz因為dp是壓力的全微分，所以?xdx+?ydy+?zdz也可稱作是某一函數（-

）的全微分，其必要且充分條件為：

fx

=

fz

,

fz

=

fx

,

fx

=

fy

z

y

x

z

y

x

f

grad

(

x

i

y

j

x

k

)單位質量流體的質量力是

的負梯度。

函數稱為質量力的勢函數，有勢函數存在的質量力成為有勢力。

的物理意義：

的偏導數為質量力在各坐標軸的投影，而流場中空間任意點均存在質量力，所以，這個空間可叫做質量力場，或叫勢力場。若空間A點處單位質量的流體在質量力的作用下移動了dl的距離，則質量力作功為：

f

dl

fxdx

fydy

fzdzf

grad

對于不可壓縮流體，

=常數，d

p

dx

dy

dz

d

x

y

z

p對于可壓縮流體，

常數，

p對于完全氣體的等溫流動，滿足狀態方程

RT0

ln

pRT0p對于完全氣體的等熵流動，滿足過程方程p

c

kk

pk

1

§2-4

流體靜力學基本方程一、重力場中液體的平衡方程在自然界和工程中，通常質量力只有重力的情況fx=0；fy=0；fz=－gdp

gdz

dp

dz

0

g對于不可壓均質重力流體，

＝常數積分得

gz

p

Cx

y

z

dp

f

dx

f

dy

f

dz代入

gz

p

C

g

p2

g

p1z2

z1靜力學基本方程適用于只有重量作用下的處于平衡狀態的不可壓均質流體，對非均質流體是不適用的。自由面

zhp012z2z1流體靜力學基本方程靜力學基本方程的物理意義及幾何意義物理意義z：單位重量流體的位能p

g單位重量流體的壓強勢能p0zx絕對真空p,Ga設測壓管截面積為s，則壓力為p·s，重量為Ｇ的流體流過橫截面時流過橫截面的體積=

G

g流體上升的高度＝pG

h

g

s在a點的壓力為p，接上測壓管后，由于p的作用，流體在壓差的作用下，沿管向上流動。G

pGhpzp

gz

p

z

h

壓力作功＝壓力×上升高度

p

s在a點和b點的靜力學基本方程bp

g

s

gph

g幾何意義z：單位重量流體的位置高度，或位置水頭p

g單位重量流體的壓強水頭p0H1絕對真空

2z2

z1Hph1

g

gh

p2流體靜力學基本方程的意義在不可壓靜止流體中，任意點單位重量流體的總勢能保持不變。或者，對某一基準線，任意點靜水頭的連線為一水平線。壓強水頭靜水頭位置水頭思考題舉出幾種不同性質的質量力。舉例說明流體靜壓強的第二特性。推導完全氣體的等熵流動p

c

k

，求質量力的 勢函數靜力學基本方程的物理意義及幾何意義上一節授課內容作用在流體上的力：質量力和表面力流體靜壓強及其特性流體靜壓強的方向指向作用面的內法線方向。同一點上各方向的靜壓強均相等。流體平衡微分方程壓強差公式流體靜力學基本方程1f

p

0

dp

(

fxdx

fydy

fzdz)

gz

p

C二、壓強計算公式h

p0

0

p

g

g可得壓強計算公式：p

p0

gh§2-4

流體靜力學基本方程p0zxhz=0,基準面pa列點a和自由液面間的靜力學基本方程

gz

p

C靜力學基本方程p

p0

gh物理意義1)深度為h處的壓強等于自由表面的壓強p0加高為h，底為１的液體的重量，并且壓強隨深度h按線性關系變化。自由表面壓強p0的任何變化，均會引起液體內部壓強p的變化。帕斯卡原理：液面的壓強以不變的數值在液體內傳遞如：水壓機，液壓傳動裝置在靜止流體中，深度相同的諸點壓力均相等。在均質重力流體中，等壓面為水平面，因為h＝常數。對非均質流體（即非同一種流體），雖為同一水平面，但卻并非全是等壓面。若F增大或減小，液體仍處于靜止平衡，則液體內任何一點的壓力也隨之增大或減小。由此可得結論：在平衡液體中，作用在液體部分邊界面上的外力所產生的壓力將均勻地傳遞到液體的每一點上去，這就是著名的帕斯卡原理。也是水壓機液壓傳動裝置的設計原理。若p0改變，則作用在流體內任意點的壓力將會發生相應改變。如圖所示：容器上加一活塞作用力為F，活塞面積為Ａ，則：A

Fp0液體中任意一點的壓力為：

ghAFp

p

gh

0Fp0ph§2-5

壓強的計量pa

gh

pv

gh標準大氣壓海平面z＝0密度

0=1.225kg/m3溫度T0=288K=15oC壓強p0＝101325Pa=760mmHghaphpv一、絕對壓強和相對壓強大氣壓強當地大氣壓強隨當地經緯度，海拔高度及季節，時間的不同而不同。水銀氣壓計絕對壓強

p以完全真空狀態為基準計量的壓強。相對壓強:以大氣壓強為基準計量的壓強。表壓強pg

（計示壓強）

p>papg

p

pa真空pv

（真空度）p<pa當表壓強為負時習慣上用真空度來表示。pv

pa

p壓強的單位帕斯卡Pa，工程大氣壓at，標準大氣壓atm，巴ba，米水柱，毫米汞柱1

atm=10.33mH2O=760mmHg=101325Pa1

bar=105Pa已知：油相對密度為0.68,水層高0.09

m，求：油水界面和油箱底部壓強。解：油水界面壓強p1

pa

gh

pa

0.68

1000

9.8

0.5

pa

3.33

103

Pa

用表壓強表示3m水油層高

0.5

m，

＝

1000

kg/1g

1ap

p

p

3.33

103

(Pa)油箱底部表壓強p2g

p2

pa

p1g

水gh水

Pa

3.33

103

1000

9.8

0.09

4.21

103例題pa二、液柱式側壓計1、測壓管測壓管是一根直徑均勻的玻璃管，直接連在需要測量壓強的容器上。pg

gh優點：結構簡單，測量直接而準確；缺點：只能測量較小的壓強為減輕毛細現象的影響，玻璃管直徑一般不小于10mmpv

ghhpg

Ahpapapv在連通的同一種靜止流體中，如果兩點高度相同，則它們的壓強相等。當沿著液柱向上移動時，壓強減小，向下移動時，壓強增大。等壓面：兩種液體的分界面

2

p

p1

p

1

gh1

pa

2

gh2找等壓面

p1＝p2聯立，則p=pa+

2gh2

1gh1計示壓強為：pg=p

pa=

2gh2

1gh1當被測流體是氣體時，

1gh１這一項通常忽略。2、U型管式測壓計等壓面U

型管測壓計可用來測氣體或液體壓強注意選取恰當密度的指示液以適應不同大小的被測壓強；水銀，酒精，水，CCl4

(比重1.595）。還可用作差壓計pA

1gh1

2gh2

3gh3

pBpA

pB

2gh2

3gh3

1gh1等壓面復式壓差計測量

p

pA

pBz1氣體

z3

)

2

g(z4

z3

)

pBpA

2

g(z2

z1

)

1

g(z2

z1

z4

z3

)

1g(z2

z3

)

p

pA

pB

2

g(z2pA

p1pB

p4位置上升壓強減少位置上升壓強減少位置下降壓強增加

1

23.傾斜微壓計測量微小流體壓強提高測量精度可調傾斜角

的玻璃管與一大容器相通，當p1=p2，即微壓計未感受到壓差時，液面在同一水平位置，如虛線所示。當p1<p2時，即有壓差時，玻璃中液面上升長度l

，液面上升高度h1

l

sin

，A2液2

2

2

122A面下降h

，由A

h

=A

l，則

h

A1

l則兩液面實際之高度差為：1

2A

h

h

h

l

sin

l

A1

l

sin

A1

A

2

2

酒精等壓面找等壓面，則：p2

p1

gh2

12A

p

p

gh

gl(sin

A1

)

Kl當A1，A2，

不變時，改變

，可得不同的K值。K=0.2，0.3，0.4，0.5，0.6.稱為微壓計常數AA2其中：K

g(sin

1

)酒精等壓面

13.6

1000

0.30

9.8

0.90

1000

1.20

0.20

9.8

2.76

104

Pa

h3

g

油

h1

h2

gp空氣

水銀例題儲油箱內油的相對密度為0.90，油箱頂部封存有部分壓縮空氣，U型管測壓計指示液為水銀，相對密度為13.6。求壓縮空氣強(計示壓強)。已知：油相對密度0.90，水銀13.6h1

1.2m,

h2

0.20m,h3

0.30m求：壓縮空氣壓強。解：p空氣

油

h1

h2

g

水銀h3g

0

z

ax任取一流體質點m，作用在其上的質量力為dp

(

fxdx

f

ydy

fz

dz)

(

adx

gdz)f

(

a,

0,

g)代入壓強差公式積分得到邊界條件：p

g

ax

gz

cx

0,

z

0,

p

p0p

p0

g

ax

gz

一、等加速水平運動容器中液體的相對平衡§2-6

流體的相對平衡c=p0流體靜壓力分布規律0p

1

a

等壓面為一系列與水平傾斜的平面

tg

ggsz

a

x

hazx

p

g

zs

z

p0

p0

ghh

是自由面下深度。等壓面方程自由液面方程積分得到dp

(

fxdx

f

ydy

fzdz)

0adx

gdz

0自由表面上有：液體內部有：x

0時，z

0

c

0x

0時，z

zsax

gz

cax

gz

cax

gzs

0以淹深表示的靜壓強分布p

p0

g

ax

gz

ax

gzs

0等加速水平運動容器中液體的靜壓強公式與靜止流體中的靜壓強公式形式完全相同。即液體中任一點的壓強等于自由表面上的壓強p0加上作用于該點處淹深為h的單位面積上的液柱重力所產生的壓強

gh。結

論體積力：f

(

2

x,

2

y,

g)dp

(

2

xdx

2

ydy

gdz)積分得到：

z

cg

2g

2

r

2

z

c2g

2

(x2

y

2

)p

g

自由面條件：r

0,0

z

0,

p

p

z

p0

2

r

2p

g

2g二、勻速轉動容器中流體平衡流體靜壓力分布規律y

2

yx

2

xrorRzp0zhozsz

c2g

2r

2軸對稱旋轉拋物面應用：洗衣機、離心鑄造、石油，化工、制藥，環保（油水分離機）自由面方程：等壓面方程自由液面方程以淹深表示的靜壓強分布dp

(

fxdx

f

ydy

fzdz)

0

z

2r

2

gzs

02grs2

2

2p

p

gh02gzs

2r

2

2

r

2p

g

2g

z

p0r

0，z

0時

c

0結

論等角速旋轉容器中，液體的靜壓強公式和靜止流體中的靜壓強公式形式完全相同。注意：在利用上述公式作習題時，所選坐標一定要和公式推導時所選的坐標一致。

7000 kg/m3

,

20

rad/s,

R

D

/

2

0.45m,

h

0.2m求：A

A圓盤受鐵水的作用力

2r

2

p

p0

g

2g

z

A

A面的壓強

2gR

2r

2F

g

08g

2

2

R4

hR2

h

2

r

dr

2

g

F

897

(kN)離心鑄造

例題2R

RR

h04g

2r2

2R4

0

0V

2

rhdr

2

r

h0

2g

dr

由于體積

R2H

不變2

4

R4g

R2H

R2h0

如圖所示一半徑為R的水杯繞垂直軸以恒定角速度

旋轉，杯內旋轉拋物液面最底點距杯底高h0。杯靜止時，液面高H.試求旋轉角速度

和液位差

H-h0

之間的函數關系。解：設旋轉杯內半徑r

處的自由液面高為h,則杯內液體體積為，R

Hrh0h例題szzs思考題表壓和真空的異同？用真空表測量流體壓強時，真空表的讀數為20kPa，若當地大氣壓強為98000Pa，則流體的絕對壓強為多少？作業2-2,2-3,2-4,2-6上一節授課內容

gh壓強計算公式：p

p0壓強的計量絕對壓強表壓pg真空pv相對壓強測壓管U型測壓計壓強的測量傾斜式微壓計等加速水平運動容器中液體的相對平衡液體的相對平衡勻速轉動容器中流體平衡§2-7

液體對固體壁面的總壓力F

A

dF

A

p0

gy

sin

dA

p0

A

g

sin

A

ydA靜止液體作用在平面的總壓力微元面dA處的作用力dF

p0

gy

sin

dA一、靜止液體作用在平面的總壓力ohDhchdpdAcDyDycxyFp0

0微元面dA處的壓強p

p0

gh

p

gy

sin

oDhchhdpdAcDyDcyxyFp0

A

ydA平面A對ox軸的面積矩cy

為平面A的形心C到ox軸的距離又有yc

sin

hchc為形心的淹深總壓力F

p0

A

g

sin

A

ydA

p0

ghc

A靜止液體中，作用在平壁面上的作用力，等于作用在該平壁面上形心處的靜壓強與該平壁面的乘積，且作用方向為垂直該平壁面。c

AydA

y

A若自由液面上的壓強為大氣壓，且壁面的另一側面也處于大氣壓強作用之下，則只需考慮靜止液體的作用力，而不計大氣壓的影響。cF

gh

AoDhchhdpdAcDyDycxyFp0

總壓力F

作用點（壓力中心）yD

位置總壓力F

對ox軸的力矩等于各微元面上的力dF對ox軸力矩的總和DFy

pdA

y

g

sin

y2

dA

A

Ay

dAAxI

2面積對ox軸的慣性矩一般有yD

yc壓力中心位于形心的下方ohDhchdpdAcDyDcyxyF

xD

g

sin

IxDyF

g

sin

I

I

gyc

sin

A yc

A

x

x

解：2

1000

9.81

5

32

441

kNh

h

2

sin

cF

p

A

g

b水下平板，求：總壓力和壓力中心h

3m,寬b

5m,

30o

gbh

4m3

bl

/

3

2

l

2hbl

2

/

2

3b y

dyy

AI

xlc

cy

A

(l

/

2)

l

bDy

3sin

022

A

y

dA

壓力中心位于距離底部的(L/3)處。

hFyDlpc例題ODy二、靜止液體作用在曲面的總壓力dAdFdFpzdFpx

dAxdAzAzhhcabcdpadFoAdAxzAxdF

ghdA作用在dA上的總壓力為:

dF

=dFpx

dFpz

總壓力的水平分力dFp

x

ghdAcos

ghdAx總壓力的X

方向分量Fpx

dFpx

ghdAx

ghc

AxAxhc是Ax的形心距離自由液面或其延長線的淹深為曲面ab上的液柱體積a

b

cd，又稱為壓力體。壓力體是壓力的垂直分力作用在dA上的垂直分力為：dFpz

ghdAsin

ghdAz則壓力的垂直分力為Fpz

dFpz

ghdAz

g

hdAz

gVpAz

AzAz個體積，它是個純數學概念，與這個體積內是否充滿液體無關。即總壓力的垂直分力等于壓力體內液體的重量。

hdAz

Vp總壓力大小F

pxpzF

2

F

2總壓力方向角

tg

1

F

pz

F

px

dAdFdFpzdFpx

dAxdAz壓力體例子壓力體與其內部是否有液體無關zVp

A

h

dAzabdabcc

cdabVpVpVp

V

p

壓力體積：受力曲面與自由面在垂直方向構成的空間體積壓力體是指所研究曲面（淹沒在靜止液體中的部分）到自由液面或自由液面的延長面間所包圍的一塊空間體積。bb

aa

cd該容器由兩個形狀、尺寸和淹深完全相同的二維曲面組成，容器內盛有某種液體。若研究該種液體對曲面ab和a

b

的垂直作用力，可通過壓力體計算求得。Fpz1bb

aa

c

d

c

dFpz2在分析求解靜止液體作用在曲面上的總壓力時，可依下列步驟進行：將總壓力F分解為水平分力Fpx和垂直分力Fpz；計算水平分力Fpx；確定壓力體Vp的體積和計算對應的垂直分力Fpz；計算總壓力F；確定總壓力方向

。求解過程阿基米德浮力定律Vp1Vp2VpVp

Vp1

Vp2

F浮=F1

F2

g

Vp1

Vp2

gVp沉體受到的浮力等于排開的液體重量。有一貯水容器，其壁面上有三個半球形的蓋子。已知d=0.5m，h=1.5m，H=2.5m，水的密度為1000kg/m3。Hdd132d求作用在每個蓋上的作用力。pah例題zxHd13

d2dpah對于底蓋1，因為作用在蓋子左半部和右半部的總壓力的水平分力大小相等，方向相反，因而總壓力的水平分力為0。底蓋1的總壓力等于總壓力的垂直分力：

2

2

6

4

d

2

h

1

d

3

Fpz1

gVp1

g

H

4

2.5

6579N2

2

6

1000

9.807

1.5

1

0.53

0.52

對于頂蓋2，與底蓋1類似，其總壓力的水平分力為0。頂蓋2的總壓力等于總壓力的垂直分力：

6

d

2

h

1

d

3

gVp

2

g

4

H

2

2Fpz

24

2.5

3049N2

2

6

1000

9.807

1.5

1

0.53

0.52

zxHd13

d2dpah對于側蓋3，其總壓力的水平分力為：

d

2Fpx3

ghc

Ax

gH

0.524

1000

9.807

2.5

4841N4側蓋