新能源汽車有限元分析 課件 第1-10章 概述、有限元方法的力學(xué)基礎(chǔ)-新能源汽車強(qiáng)度問題的有限元分析

第1章概述第1章概述1.1新能源汽車技術(shù)發(fā)展現(xiàn)狀新能源汽車技術(shù)發(fā)展迅速，在多個關(guān)鍵領(lǐng)域取得令人矚目的進(jìn)展。如圖1-1所示。從電池技術(shù)的革新，到充電設(shè)施的完善，再到智能駕駛的廣泛應(yīng)用，這些技術(shù)的迭代升級不僅重塑了汽車行業(yè)的格局，更為未來出行描繪了全新的藍(lán)圖。1.2有限元方法的起源與發(fā)展有限元方法的思想可以追溯到古人的“化整為零”、“化圓為直”的作法，如“曹沖稱象”的典故，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽采用割圓法來對圓周長進(jìn)行計算；這些實際上都體現(xiàn)了離散逼近的思想，即采用大量的簡單小物體來“沖填”出復(fù)雜的大物體。有限元法發(fā)展歷史1870年，英國科學(xué)家Rayleigh采用假想的“試函數(shù)”來求解復(fù)雜的微分方程，1909年Ritz將其發(fā)展成為完善的數(shù)值近似方法。1956年，Turner和Clough第一次用三角形單元離散飛機(jī)機(jī)翼，借助有限元法概念研究機(jī)翼的強(qiáng)度及剛度,并在1960年，正式提出有限元法（FEM）。有限元法發(fā)展歷史1.2有限元方法的起源與發(fā)展1.3有限元方法的基本思想有限元法——FEM(FiniteElementMethod有限單元法)一種將連續(xù)體離散化為若干個有限大小的單元體的集合，以求解連續(xù)體力學(xué)問題的數(shù)值方法。有限元分析——FEA(FiniteElementAnalysis)使用有限元法，以計算機(jī)為工具，對實際物理問題進(jìn)行模擬求解。真實系統(tǒng)有限元模型

有限元模型是真實系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。有限元分析步驟:結(jié)構(gòu)離散化1.3有限元方法的基本思想④①③●●●●●②325●劃分單元離散節(jié)點單元146對于實體結(jié)構(gòu)來說，必須經(jīng)過離散化的過程，將連續(xù)體劃分為一系列的離散單元的組合體，形成有限元分析的模型。有限元分析步驟:結(jié)構(gòu)離散化1.3有限元方法的基本思想①②③④①③●●●●●②325④●④①③●●●●●②●劃分單元離散節(jié)點單元單元分析整體分析

求解146組合1.3有限元方法的基本思想1.4有限元方法在新能源汽車中的應(yīng)用汽車結(jié)構(gòu)有限元分析的重要性1.4有限元方法在新能源汽車中的應(yīng)用人機(jī)工效環(huán)境舒適性安全性結(jié)構(gòu)分析工程設(shè)計虛擬試驗工藝分析整車及零部件強(qiáng)度分析;整車及零部件剛度分析；整車及零部件模態(tài)及動力學(xué)分析；疲勞壽命分析；基于計算流體力學(xué)（CFD）的流場分析。整車及部件碰撞安全性分析；汽車結(jié)構(gòu)有限元分析內(nèi)容1.4有限元方法在新能源汽車中的應(yīng)用感謝關(guān)注與支持第2章有限元方法的力學(xué)基礎(chǔ)本章的學(xué)習(xí)要求(1)

彈性力學(xué)的基本概念；(2)

彈性力學(xué)的基本假定和基本方程；(3)

平面問題中的平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題。重點和難點內(nèi)容：桿件在外力或溫度作用下的應(yīng)力、變形、材料的宏觀力學(xué)性質(zhì)、破壞準(zhǔn)則等。任務(wù)：解決桿件的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題。材料力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)彈性力學(xué)內(nèi)容：桿件系統(tǒng)（桿系結(jié)構(gòu)）在外力或溫度作用下的應(yīng)力、變形、位移等變化規(guī)律。任務(wù)：解決桿系的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題。內(nèi)容：彈性體在外力或溫度作用下的應(yīng)力、變形、位移等分布規(guī)律。任務(wù)：解決彈性體的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題。2-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容彈性力學(xué)內(nèi)容：彈性體在外力或溫度作用下的應(yīng)力、變形、位移等分布規(guī)律。任務(wù)：解決彈性體的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題。2-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓在材力中引入平截面假定，得出結(jié)果：橫截面正應(yīng)力按直線分布。在彈力中無須引入平截面假定，結(jié)果表明：對于深梁橫截面正應(yīng)力按曲線分布。最大正應(yīng)力與材力計算結(jié)果相差懸殊?！炷辽盍害襵2-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓材料力學(xué)結(jié)果彈性力學(xué)結(jié)果qq3q3qq2-1彈性力學(xué)的研究內(nèi)容位移應(yīng)力應(yīng)變外力內(nèi)力2-2彈性力學(xué)的基本概念1.外力：-其他物體對研究對象（彈性體）的作用力。

外力

體積力

表面力2-2彈性力學(xué)的基本概念體力：彈性體內(nèi)單位體積上所受的外力xyzO單位:N/m3面力：作用于物體表面單位面積上的外力xyzO—體力分布集度單位:N/m2—面力分布集度（矢量）2-2彈性力學(xué)的基本概念2.內(nèi)力：假想切開物體，截面兩邊互相作用的力（合力和合力矩)，稱為內(nèi)力。內(nèi)力是由于外力作用引起的相互作用力2-2彈性力學(xué)的基本概念2.內(nèi)力：假想切開物體，截面兩邊互相作用的力（合力和合力矩)，稱為內(nèi)力。內(nèi)力是由于外力作用引起的相互作用力xyzΔFpΔAστ2-2彈性力學(xué)的基本概念3.應(yīng)力：截面上某一點處，單位截面面積上的內(nèi)力稱為應(yīng)力ΔAPn(法線)應(yīng)力分量應(yīng)力的法向分量——正應(yīng)力應(yīng)力的切向分量——剪應(yīng)力

P點的內(nèi)力面分布集度2-2彈性力學(xué)的基本概念應(yīng)力關(guān)于坐標(biāo)連續(xù)分布2-2彈性力學(xué)的基本概念各邊邊長

dxdydz微元yxz各面上應(yīng)力分量

xx

xy

yy

xz

yx

yz

zx

zy

xx九個應(yīng)力分量

zz

zz

yy當(dāng)微小的平行六面體趨于無窮小時，六面體上的應(yīng)力就代表P點處的應(yīng)力。應(yīng)力：由外力引起的在P點的某一面上內(nèi)力分布集度2-2彈性力學(xué)的基本概念正應(yīng)力剪應(yīng)力

x面的應(yīng)力：第1個下標(biāo)x表示τ所在面的法線方向；第2個下標(biāo)y表示τ的方向.2-2彈性力學(xué)的基本概念正應(yīng)力剪應(yīng)力

y面的應(yīng)力：2-2彈性力學(xué)的基本概念正應(yīng)力剪應(yīng)力

z面的應(yīng)力：2-2彈性力學(xué)的基本概念用矩陣表示：只有6個量獨立。剪應(yīng)力互等定理應(yīng)力正負(fù)號的規(guī)定：正應(yīng)力——拉為正，壓為負(fù)。剪應(yīng)力——坐標(biāo)正面上，與坐標(biāo)正向一致時為正；坐標(biāo)負(fù)面上，與坐標(biāo)正向相反時為正。2-2彈性力學(xué)的基本概念4.應(yīng)變--

形狀的改變。描述微元體各部分線段的長度和兩線段夾角的改變。以通過一點的沿坐標(biāo)正向微分線段的正應(yīng)變和切應(yīng)變

來表示。xyzOPBCA應(yīng)變無量綱；應(yīng)變分量均為位置坐標(biāo)的函數(shù)2-2彈性力學(xué)的基本概念應(yīng)變正應(yīng)變：各線段單位長度的伸縮。

伸長為正，縮短為負(fù)。εxεyεz剪應(yīng)變：各線段之間的夾角改變。以兩正交線段的直角變小為正，變大為負(fù)。γyzγzxγxy

微元體的正應(yīng)變

剪應(yīng)變2-2彈性力學(xué)的基本概念2-2彈性力學(xué)的基本概念5.位移：一點位置的移動，用

表示,量綱為L。以坐標(biāo)正向為正。變形前

，變形后xyzOSwuvP位移分量：u——x方向的位移分量；v——y方向的位移分量；w——z方向的位移分量。2-2彈性力學(xué)的基本概念彈性力學(xué)問題：已知外力、物體的形狀和大?。ㄟ吔纾?、材料特性（E、μ）、約束條件等，求解應(yīng)力、應(yīng)變、位移分量。需建立三個方面的關(guān)系：（1）靜力學(xué)關(guān)系：應(yīng)力與體力、面力間的關(guān)系；（2）幾何學(xué)關(guān)系：應(yīng)變與位移間的關(guān)系（3）物理學(xué)關(guān)系：應(yīng)變與應(yīng)力間的關(guān)系2-3彈性力學(xué)的基本假定位移產(chǎn)生應(yīng)變應(yīng)變產(chǎn)生應(yīng)力應(yīng)力和外力平衡幾何方程物理方程平衡方程彈性力學(xué)問題：已知外力、物體的形狀和大小（邊界）、材料特性（E、μ）、約束條件等，求解應(yīng)力、應(yīng)變、位移分量。2-3彈性力學(xué)的基本假定1.發(fā)展簡史1956年，M.J.Turner(波音公司工程師)，R.W.Clough(土木工程教授)，H.C.Martin(航空工程教授)及L.J.Topp(波音公司工程師)等四位共同在航空科技期刊上發(fā)表一篇采用有限元技術(shù)計算飛機(jī)機(jī)翼的強(qiáng)度的論文，《StiffnessandDeflectionAnalysisofComplexStructures》，第一次用三角形單元離散飛機(jī)機(jī)翼，借助有限元法概念研究機(jī)翼的強(qiáng)度及剛度。一般認(rèn)為這是工程學(xué)界上有限元法的開端。2-3彈性力學(xué)的基本假定工程問題的復(fù)雜性是諸多方面因素組成的。如果不分主次考慮所有因素，則問題的復(fù)雜，數(shù)學(xué)推導(dǎo)的困難，將使得問題無法求解。根據(jù)問題性質(zhì)，忽略部分暫時不必考慮的因素，提出一些基本假設(shè)。使問題的研究限定在一個可行的范圍。基本假設(shè)是學(xué)科的研究基礎(chǔ)。超出基本假設(shè)的研究領(lǐng)域是固體力學(xué)其它學(xué)科的研究。2-3彈性力學(xué)的基本假定彈性力學(xué)的基本假定五個基本假定：1、連續(xù)性(Continuity)2、線彈性(Linearelastic)3、均勻性(Homogeneity)4、各向同性(Isotropy)5、小變形假定(Smalldeformation)2-3彈性力學(xué)的基本假定球墨鑄鐵的顯微表示實際上，組成固體的粒子之間存在間隙，但這種間隙與構(gòu)件的尺寸相比極其微小，

故略去不計。1、連續(xù)性(Continuity)：微觀不連續(xù)，宏觀連續(xù)2-3彈性力學(xué)的基本假定連續(xù)性(Continuity)：整個物體的體積都被組成這個物體的介質(zhì)所填滿,不留任何空隙。即，各個質(zhì)點之間不存在任何空隙。好處：物體內(nèi)的物理量,例如應(yīng)力形變和應(yīng)變,才可能是連續(xù)的,才可以用連續(xù)函數(shù)來表示。作用：使得σ、ε、u

等量表示成坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。保證中極限的存在。2-3彈性力學(xué)的基本假定2、線彈性(Linearelastic)物體的變形與外力作用的關(guān)系是線性的，除去外力，物體可回復(fù)原狀，而且這個關(guān)系和時間無關(guān)，也和變形歷史無關(guān)，稱為完全線彈性材料好處：應(yīng)力應(yīng)變之間的函數(shù)簡化為線性函數(shù)，且材料彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或應(yīng)變的變化而改變

2-3彈性力學(xué)的基本假定比例常數(shù)——彈性常數(shù)（E、μ）脆性材料——一直到破壞前，都可近似為線彈性的；塑性材料——比例階段，可視為線彈性的。作用：可使求解方程線性化2、線彈性(Linearelastic)假定物體完全服從虎克（Hooke）定律，應(yīng)力與應(yīng)變間成線性比例關(guān)系（正負(fù)號變化也相同）。2-3彈性力學(xué)的基本假定3、均勻性(Homogeneity)物體是均勻的,整個物體由同一材料組成因此，

E、μ等與位置

無關(guān)。好處：各部分物理性質(zhì)相同，不因位置改變而改變?？梢越厝∪我獠糠譃檠芯繉ο?。2-3彈性力學(xué)的基本假定普通鋼材的纖維組織均勻性假設(shè)，認(rèn)為物體內(nèi)的任何部分，其力學(xué)性能相同。力學(xué)性能指的是固體在外力的作用下表現(xiàn)出的變形和破壞方面的性質(zhì)。對于發(fā)生于晶粒那樣大小范圍內(nèi)的現(xiàn)象，均勻連續(xù)性假設(shè)則不成立微觀不均勻，宏觀均勻2-3彈性力學(xué)的基本假定4、各向同性(Isotropy)物體的彈性性質(zhì)在所有各個方向都相同因此，E、μ等與方向無關(guān)。好處：物體材料常數(shù)不隨坐標(biāo)方向改變而改變像木材，竹子以及纖維增強(qiáng)材料等，屬于各向異性材料。符合上述4個假定的物體，稱為理想彈性體。2-3彈性力學(xué)的基本假定灰口鑄鐵的顯微組織各向同性假設(shè)在物體內(nèi)各個方向上的力學(xué)性能相同。大多數(shù)工程材料雖然微觀上不是各向同性的，例如金屬材料，其各個晶粒呈結(jié)晶各向異性，但當(dāng)它們形成多晶聚集體的金屬時，呈隨機(jī)取向，因此在宏觀上表現(xiàn)為各向同性微觀各向異性，宏觀各向同性2-3彈性力學(xué)的基本假定高分子材料的顯微組織沿不同的方向力學(xué)性能不同，如：木材，膠合板，竹子等微觀各向異性，宏觀各向異性2-3彈性力學(xué)的基本假定

材料的均勻性假設(shè)與各向同性假設(shè)的區(qū)別均勻性和各向同性是完全不同的性質(zhì)，不應(yīng)混淆。如用矢量的長短來表示材料某力學(xué)性能的強(qiáng)弱，則圖a表示均勻而非各向同性的材料；圖b表示各向同性而非均勻的材料；圖c表示均勻且各向同性的材料。(a)(b)(c)2-3彈性力學(xué)的基本假定5、小變形假定(Smalldeformation):物體的位移和形變是微小的。即物體的位移遠(yuǎn)小于物體原來的尺寸,而且應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1。好處：變形與結(jié)構(gòu)原尺寸相比屬高階小量，可略去因變形引起的結(jié)構(gòu)尺寸變化，可用變形前的尺寸代替變形后的尺寸使求解的方程線性化。2-3彈性力學(xué)的基本假定變形遠(yuǎn)小于構(gòu)件的最小尺寸，所以通過靜力平衡求各桿受力時，把變形略去不計。對構(gòu)件進(jìn)行受力分析時可忽略其變形2-3彈性力學(xué)的基本假定小變形假定的應(yīng)用：a.簡化平衡條件：考慮微分體的平衡條件時，可以用變形前的尺寸代替變形后的尺寸。b.簡化幾何方程：在幾何方程中，由于

可略去

等項,使幾何方程成為線性方程。

2-3彈性力學(xué)的基本假定彈性力學(xué)基本假定，確定了彈性力學(xué)的研究范圍:理想彈性體的小變形問題。2-3彈性力學(xué)的基本假定彈性力學(xué)的基本假設(shè)，主要包括彈性體的連續(xù)性、均勻性、各向同性、完全彈性和小變形假設(shè)等。這些假設(shè)都是關(guān)于材料變形的宏觀假設(shè)。彈性力學(xué)問題的討論中，如果沒有特別的提示，均采用基本假設(shè)。這些基本假設(shè)被廣泛的實驗和工程實踐證實是可行的。2-3彈性力學(xué)的基本假定思考題彈性力學(xué)和材料力學(xué)相比，其研究對象有什么區(qū)別？彈性力學(xué)和材料力學(xué)相比，其研究方法有什么區(qū)別？試考慮在土木、水利工程中有哪些非桿件和桿系的結(jié)構(gòu)？2-3彈性力學(xué)的基本假定

彈性力學(xué)基本變量位移微元變形后的位置變形體的描述及所需變量應(yīng)

變應(yīng)

力微元的變形程度微元的受力狀態(tài)彈性模量等物體的材料特性2-4彈性力學(xué)的基本方程2-4彈性力學(xué)的基本方程幾何方程物理方程平衡方程彈性力學(xué)三大方程位移應(yīng)

變應(yīng)

力邊界條件位移應(yīng)變應(yīng)力2-4彈性力學(xué)的基本方程1.平衡方程：物體整體平衡，內(nèi)部任何部分也是平衡的。彈性力學(xué)要求變形體的任意一點均滿足平衡條件。平衡條件：（1）沿x方向主矢投影為零（2）沿y方向主矢投影為零（3）沿z方向主矢投影為零（4）關(guān)于任意點的主矩為零2-4彈性力學(xué)的基本方程：平衡方程彈性體受力以后仍處于平衡狀態(tài),因此其上的應(yīng)力和體力在x,y,z三個方向上分別滿足以下平衡方程。2-4彈性力學(xué)的基本方程：平衡方程A：微分算子矩陣形式2-4彈性力學(xué)的基本方程：平衡方程2.幾何方程：設(shè)變形前為平面正方形OACB，而變形后為OA’C’B’從以下幾個方面描述變形：（1）x方向的相對伸長量（2）y方向的相對伸長量（3）夾角的變化2-4彈性力學(xué)的基本方程：幾何方程BCACBA

xY0dxdyBCAC’xyOA’B’O’（1）x方向的相對伸長量2-4彈性力學(xué)的基本方程：幾何方程dxdyBCAC’xyOA’B’O’（1）y方向的相對伸長量2-4彈性力學(xué)的基本方程：幾何方程dxdyBCAC’xyOA’B’O’（3）夾角的改變同理：

2-4彈性力學(xué)的基本方程：幾何方程以上是考察了微原體在

xoy一個平面內(nèi)的變形情況，同樣方法來考察微原體在xoz和yoz平面內(nèi)的變形情況，可得2-4彈性力學(xué)的基本方程：幾何方程聯(lián)立得到幾何方程，表明應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系：2-4彈性力學(xué)的基本方程：幾何方程幾何方程描述幾何量應(yīng)變和位移之間的關(guān)系,其矩陣形式為L：微分算子2-4彈性力學(xué)的基本方程：幾何方程zxy材料常數(shù)：E,G,μE：彈性模量（elasticmodulus）G：剪切模量（shearmodulus）

：泊松比（Poisson’sratio）三個常數(shù)之間的關(guān)系：2-4彈性力學(xué)的基本方程：物理方程3.物理方程：廣義Hooke定律zxy材料常數(shù)：2-4彈性力學(xué)的基本方程：物理方程對稱D：彈性矩陣2-4彈性力學(xué)的基本方程：物理方程dyxyzuvwdzdx(x,y,z)SuSpΩT兩類邊界條件：Sp：力的邊界Su：位移邊界彈性力學(xué)邊界條件（(Boundarycondition)2-4彈性力學(xué)的基本方程：邊界條件彈性力學(xué)基本方程的一般形式為

平衡微分方程

(在內(nèi))幾何方程

(在內(nèi))物理方程

(在內(nèi))邊界條件

(在上)(在上)2-4彈性力學(xué)的基本方程：邊界條件彈性力學(xué)問題解法---（位移法、應(yīng)力法）物理方程

應(yīng)力平衡微分方程靜力邊界條件

變形(位移與應(yīng)變)變形協(xié)調(diào)方程(位移單值連續(xù))位移邊界條件以位移作為未知數(shù)幾何方程求應(yīng)變物理方程求應(yīng)力位移解法方程聯(lián)立求解2-4彈性力學(xué)的基本方程：邊界條件自然界的很多工程問題都很復(fù)雜，如果可以將三維問題簡化成二維問題，那么問題的解決就會簡單很多三維問題

二維問題2-5平面問題的基本理論三維問題

二維問題滿足平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題就可以將三維簡化為二維平面應(yīng)力平面應(yīng)變2-5平面問題的基本理論2-5平面問題的基本理論平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題就是所有的應(yīng)力都作用在彈性體的一個平面內(nèi)2-5平面問題的基本理論1.平面應(yīng)力問題yxyzt/2t/22-5平面問題的基本理論：平面應(yīng)力問題a.應(yīng)力中只有平面應(yīng)力存在；b.且僅為

。2-5平面問題的基本理論：平面應(yīng)力問題例題1：試分析AB薄層中的應(yīng)力狀態(tài)。2-5平面問題的基本理論：平面應(yīng)力問題縱向軸壓力管道縱向軸水壩2-5平面問題的基本理論：平面應(yīng)變問題條件是：（1）很長的常截面柱體；（2）體力作用于體內(nèi)，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變；（3）面力作用于柱面，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變；（4）約束作用于柱面，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變。

2-5平面問題的基本理論：平面應(yīng)變問題隧道擋土墻oyxyox2-5平面問題的基本理論：平面應(yīng)變問題彈性體受力以后仍處于平衡狀態(tài),因此其上的應(yīng)力和體力在x,y,z三個方向上分別滿足以下平衡方程2-5平面問題的基本理論平面問題的幾何方程：2-5平面問題的基本理論代入：

得：平面應(yīng)力問題的物理方程：在z方向：D2-5平面問題的基本理論代入：

得：平面應(yīng)變問題的物理方程：在z方向：2-5平面問題的基本理論平面應(yīng)力與平面應(yīng)變問題對于平面應(yīng)力情況下的彈性矩陣，應(yīng)采用：而對于平面應(yīng)變則采用：2-5平面問題的基本理論感謝關(guān)注與支持第3章有限元方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)本章的學(xué)習(xí)要求(1)

加權(quán)殘值法；(2)

虛功原理與最小勢能原理；(3)

變分原理與里茲法。重點和難點固體力學(xué)流體力學(xué)電磁場對于工程問題，還通常會有邊界條件和初始條件第3章有限元方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)彈性力學(xué)問題解

答控制方程變分原理

（精

確）

（近

似）（1）取微元體建立控制方程直接法（2）解控制方程（4）計算應(yīng)變能、外力勢能能量法（5）利用變分法直接近似計算里茲法、伽遼金法、有限元法（3）近似計算差分法、加權(quán)殘值法、有限元法第3章有限元方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1.簡明問題的解析方法基本變量：ux(x),σx(x),εx(x)微分方程的邊值問題微分方程3.1解析法基本方程：幾何方程物理方程平衡方程邊界條件3.1解析法1.簡明問題的解析方法基本方程：幾何方程物理方程平衡方程邊界條件c=F/A,c1=03.1解析法1.簡明問題的解析方法三維問題，運動方程為：對于三維問題，對應(yīng)工程應(yīng)變的幾何方程為：3.1解析法基本概念3.2加權(quán)殘值法通過引入權(quán)函數(shù)/試函數(shù)，將近似解帶入微分方程會有余值，在余值形式中引入權(quán)函數(shù)，把這種余值的加權(quán)積分，稱為加權(quán)余值法。權(quán)，然后知輕重。----《孟子》采用使余量的加權(quán)積分為零求得微分方程近似解的方法，稱為加權(quán)余量(余值、殘量)法?；靖拍?.2加權(quán)殘值法假定一個試函數(shù)作為方程的近似解待定系數(shù)試函數(shù)(形函數(shù))3）完備性。n

時,1）一定的連續(xù)條件。2）線性獨立。試函數(shù)要滿足：一般選用簡單形式的函數(shù)，一旦選定就是已知的了真正的求解系數(shù)利用加權(quán)的方法消除殘值的計算方法3.2加權(quán)殘值法是一種應(yīng)用廣泛的求解微分方程的方法.該方法先假定一族帶有待定參數(shù)的定義在全域上的近似函數(shù),該近似解不能精確滿足微分方程和邊界條件,即存在殘差.在加權(quán)平均的意義下消除殘差,就得到加權(quán)殘值法的方程.由于試函數(shù)定義在全域上,所得方程的系數(shù)矩陣一般為滿陣.選取不同的權(quán)函數(shù),可得到不同的加權(quán)參量法。

3.2加權(quán)殘值法設(shè)滿足以下方程和邊界條件的位移場為公式中的L為微分算子。由于平面彎曲梁的平衡方程為故3.2.1受均布外載荷簡支梁的Galerkin加權(quán)殘值法求解3.2加權(quán)殘值法3.2.1受均布外載荷簡支梁的Galerkin加權(quán)殘值法求解假設(shè)能找到事先滿足式中的邊界條件的一個試函數(shù)，將其帶入到控制方程，則一定存在殘差，記為對于更一般的情形，設(shè)有一組滿足所有邊界條件的試函數(shù)，將其線性組合為新的試函數(shù)其中c1,c2,c3…cn為待定系數(shù)。3.2加權(quán)殘值法3.2.1受均布外載荷簡支梁的Galerkin加權(quán)殘值法求解將試函數(shù)代入原始方程組，則必有殘差，真實的c1,c2,c3…cn使得殘值的積分為零，即其中w1,w2,w3…wn為權(quán)函數(shù)。以上為關(guān)于c1,c2,c3…cn的方程組，由上式可以求出他們，最后由線性組合形式的試函數(shù)得到真實的。如果將權(quán)函數(shù)w1,w2,w3…wn取為

1,

2,

3…

n，則該方法稱作伽遼金法。代入控制方程得殘差由Galerkin加權(quán)殘值方程分析可得，3.2加權(quán)殘值法若取一項試函數(shù)，用一個待定系數(shù)近似表達(dá)。可以寫成：3.2.1受均布外載荷簡支梁的Galerkin加權(quán)殘值法求解3.2加權(quán)殘值法求解上式可得3.2.1受均布外載荷簡支梁的Galerkin加權(quán)殘值法求解代入控制方程，由Galerkin法，可得得殘差，3.2加權(quán)殘值法若取兩項試函數(shù)，用兩個個待定系數(shù)，近似表達(dá)?？梢詫懗桑?.2.1受均布外載荷簡支梁的Galerkin加權(quán)殘值法求解3.2加權(quán)殘值法求解左式可得3.2.1受均布外載荷簡支梁的Galerkin加權(quán)殘值法求解3.2加權(quán)殘值法幾種函數(shù)結(jié)果比較

1、僅僅取1項試函數(shù)時，由伽遼金加權(quán)殘數(shù)法得到的結(jié)果與精確解得相對誤差為0.3861%。2、僅僅取2項試函數(shù)時，由伽遼金加權(quán)殘數(shù)法得到的結(jié)果與精確解得相對誤差為-0.027%。由以上比較可以看出，此解法精度還是比較高的。對于彈性體的平衡方程和位移邊界條件等，通?？梢圆捎媚芰糠ǎ缣摴υ怼⒆钚菽茉淼鹊玫脚c其等價的方程間接解法——虛功原理：3.3虛功原理與最小勢能原理（1）功：功包含了力和位移兩個因素。（2）實功：所謂實功，是指力在其自身引起的位移上所做的功。（3）虛位移是一種假想的、滿足約束條件（對于彈性體來說，其約束條件就是幾何方程和位移邊界條件）的，任意的微小的位移。（3）虛功：外力在虛位移上做的功,虛功是狀態(tài)量，沒有過程的概念。（4）應(yīng)變能：應(yīng)變能是由內(nèi)力（或應(yīng)力）所做的實功來計算的。虛位移原理虛位移是一種假想加到結(jié)構(gòu)上的可能的、任意的、微小的位移。所謂“可能的”是指結(jié)構(gòu)允許的，即滿足結(jié)構(gòu)的約束條件和變形連續(xù)條件的位移；所謂“任意的”是指位移類型（平移、轉(zhuǎn)動）和方向不受限制，但必須是結(jié)構(gòu)所允許的位移；所謂“微小的”就是在發(fā)生虛位移過程中，各力的作用線保持不變。在發(fā)生虛位移過程中真實力所做的功，稱為虛功。3.3虛功原理與最小勢能原理內(nèi)力的虛變形能：總的變形位移虛功等于應(yīng)力與虛應(yīng)變的乘積在整個梁上的積分，即：外力所做的虛功等于彈性體的虛應(yīng)變能幾何方程3.3虛功原理與最小勢能原理定義一個外力勢能V：系統(tǒng)發(fā)生虛位移時，外力和內(nèi)力均保持不變，則外力勢能的一階變分為：上式中，體力面力是不變的，因此只對位移求變分為最小勢能原理3.3虛功原理與最小勢能原理比較外力虛功和外力勢能的一階變分，可得因此，上式代入虛功原理方程，就可以得到：當(dāng)彈性體處于穩(wěn)態(tài)平衡，具有極值時，可以將彈性體的變分符號提出，得到：最小勢能原理3.3虛功原理與最小勢能原理定義彈性體的總勢能等于外力勢能和內(nèi)力勢能的和，也就是因此，總勢能的表達(dá)式就是：在所有滿足彈性體的幾何方程和位移邊界條件的允許位移中，真實位移必使彈性體的總勢能有駐值。當(dāng)彈性體為穩(wěn)定平衡時，其總勢能為極小值。

最小勢能原理3.3虛功原理與最小勢能原理在所有滿足彈性體的幾何方程和位移邊界條件的允許位移中，使彈性體的總勢能取最小的位移一定是彈性體滿足平衡條件的真實位移。

最小勢能原理彈性力學(xué)的平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件3.3虛功原理與最小勢能原理總勢能方程中包含了位移場函數(shù)u，因此如果我們能夠假設(shè)一個滿足幾何方程和位移邊界條件的位移場函數(shù)（位移場函數(shù)可以含有待定參數(shù)），那么將這個位移場函數(shù)代入總勢能泛函求極值就可以尋找到真實的位移。這也就是說，我們可以不用直接利用彈性體的平衡條件，而選擇間接利用最小勢能原理，對總勢能泛函求極值去得到位移解。3.3虛功原理與最小勢能原理3.4變分原理與里茲法間接解法——變分原理：變分法最終尋求的是極值函數(shù)：它們使得泛函取得極大或極小值。把一個物理學(xué)問題用變分法化為求泛函極值（或駐值）的問題，后者就稱為該物理問題的變分原理。在當(dāng)代，變分原理已成為有限元法的理論基礎(chǔ)。在實際應(yīng)用中，通常很少能求出精確的解析解，因此大多采用近似計算方法。3.4變分原理與里茲法間接解法——變分原理：變分法最終尋求的是極值函數(shù)：它們使得泛函取得極大或極小值。把一個物理學(xué)問題用變分法化為求泛函極值（或駐值）的問題，后者就稱為該物理問題的變分原理。在當(dāng)代，變分原理已成為有限元法的理論基礎(chǔ)。在實際應(yīng)用中，通常很少能求出精確的解析解，因此大多采用近似計算方法。3.4變分原理與里茲法2.里茲法該方法假設(shè)一位移函數(shù)，只令其先滿足位移邊界條件，然后通過建立方程，求解方程組，得到的結(jié)果近似滿足力邊界條件和平衡方程具體過程如下3.4變分原理與里茲法2.里茲法若能找到的近似解，由一組線性無關(guān)的函數(shù)的線性組合表示其中Φ1、Φ2、Φ3...為一族坐標(biāo)函數(shù)序列，滿足如下條件1、Φi∈[x1,x2]且滿足相應(yīng)的幾何邊界條件；2、互相線性無關(guān)；3、是完備的，即對于任何y∈[x1,x2]，和ε>0，存在正整數(shù)N和常數(shù)組ai，使得|y-ΣΦiai|<ε，其中

i=1,2,...,N3.4變分原理與里茲法3.4.1受均布外載荷簡支梁的Rayleigh-Ritz法求解解：用瑞利—里茲法。位移試函數(shù)滿足梁的位移邊界條件在x=0，l處，w=0總勢能3.4變分原理與里茲法3.4.1受均布外載荷簡支梁的Rayleigh-Ritz法求解根據(jù)則所以故3.5有限元方法有限元法基本思想：把整個求解區(qū)域分成許多個有限小區(qū)域，這些小區(qū)域稱之為單元。在每個單元上構(gòu)造近似位移函數(shù)，即進(jìn)行所謂的分片插值。在每一個單元上求勢能。將所有單元上的勢能加起來得彈性體的總勢能。最后應(yīng)用最小勢能原理求解單元節(jié)點位移。3.5有限元方法將左邊的應(yīng)力板離散為右邊的四分之一形狀之后用三角形單元離散直接法虛功原理變分原理加權(quán)殘值法有限元計算格式用于簡單結(jié)構(gòu)問題，如桿梁等用于結(jié)構(gòu)問題，如彈性力學(xué)等用于泛函存在的普遍問題，如溫度場、流體場等具有普遍性問題，如結(jié)構(gòu)場、溫度場、流體場等3.5有限元方法感謝關(guān)注與支持第4章有限元方法的求解過程本章的學(xué)習(xí)要求(1)

單元的位移模式和形函數(shù)；(2)

應(yīng)力矩陣和應(yīng)變矩陣；(3)

單元剛度矩陣與整體剛度矩陣；(4)等效節(jié)點力；(5)整體平衡方程的求解。重點和難點第4章有限元方法的求解過程基于全域

的函數(shù)展開與逼近第4章有限元方法的求解過程基于子域

的函數(shù)展開與逼近第4章有限元方法的求解過程為所采用的基函數(shù)，它定義在全域

上第4章有限元方法的求解過程基于子域

的函數(shù)展開與逼近4.1單元的位移模式和形函數(shù)分片插值的思想:針對每一個單元選擇試探函數(shù)(插值函數(shù)),積分計算在單元內(nèi)完成。一維函數(shù)的整體插值與分片插值4.1單元的位移模式和形函數(shù)在有限元的位移法求解中。按照有限元分片插值思想,首先假設(shè)一種函數(shù)來近似表示單元內(nèi)部的實際位移分布,該函數(shù)稱為位移函數(shù),又稱位移模式。位移函數(shù)必須具備的條件（１）在節(jié)點上的值應(yīng)等于節(jié)點的位移；（２）所采用的函數(shù)必須保證有限元的解收斂于真實解。4.1單元的位移模式和形函數(shù)(1)常數(shù)項(2)線性項(3)位移連續(xù)性

(4)幾何各向同性

充分條件剛體位移坐標(biāo)位置無關(guān)的常應(yīng)變

必要條件（完備性條件）位移函數(shù)應(yīng)滿足的條件協(xié)調(diào)單元的有限元解一定是收斂的,但非協(xié)調(diào)單元的解不一定不收斂。4.1單元的位移模式和形函數(shù)（4）幾何各向同性單元的位移分布不應(yīng)與人為選取的坐標(biāo)方位有關(guān),即位移函數(shù)中坐標(biāo)x,y應(yīng)該是能夠互換的。為滿足這種幾何各向同性要求,位移多項式應(yīng)按下圖所示的巴斯卡三角形來選擇。巴斯卡三角形4.1單元的位移模式和形函數(shù)位移函數(shù)一般為多項式形式，進(jìn)行數(shù)學(xué)運算（如微分，積分）較簡單而且提高多項式的階次可以近似地表示精確解，其一般形式為：為待定系數(shù)或二維問題一維問題4.1單元的位移模式和形函數(shù)4.1單元的位移模式和形函數(shù)4.1單元的位移模式和形函數(shù)4.1單元的位移模式和形函數(shù)4.1單元的位移模式和形函數(shù)用插值法把求解多項式中的待定系數(shù)

轉(zhuǎn)化為推導(dǎo)相對應(yīng)的

，顯然

是x的函數(shù)

4.1單元的位移模式和形函數(shù)單元內(nèi)任一點的位移單元的節(jié)點位移單元形函數(shù)矩陣4.1單元的位移模式和形函數(shù)研究一個2節(jié)點一維等截面桿單元：L—桿長A—截面積E—彈性模量1.一維桿單元的位移模式和形函數(shù)推導(dǎo)（1）設(shè)定位移函數(shù)

一個單元包含兩個節(jié)點，只能求解兩個待定系數(shù)，因此設(shè)：（2）形函數(shù)矩陣的推導(dǎo)兩個節(jié)點坐標(biāo)為xi、xj

，兩個節(jié)點位移為所以有位移模式采用一次多項式是因為單元只有2個軸向位移分量，只能對應(yīng)2個多項式系數(shù)。4.1單元的位移模式和形函數(shù)1.一維桿單元的位移模式和形函數(shù)推導(dǎo)4.1單元的位移模式和形函數(shù)得到形函數(shù)矩陣1.一維桿單元的位移模式和形函數(shù)推導(dǎo)4.1單元的位移模式和形函數(shù)通過形函數(shù)將單元內(nèi)任一點位移表示成了節(jié)點位移的插值函數(shù)形式1.一維桿單元的位移模式和形函數(shù)推導(dǎo)4.1單元的位移模式和形函數(shù)1.一維桿單元的位移模式和形函數(shù)推導(dǎo)4.1單元的位移模式和形函數(shù)一維單元形函數(shù)的性質(zhì)1.一維桿單元的位移模式和形函數(shù)推導(dǎo)4.1單元的位移模式和形函數(shù)三節(jié)點三角形單元，三個節(jié)點的編號為i,j,m,三個節(jié)點的坐標(biāo)分別為：

每個節(jié)點的位移在單元內(nèi)有兩個分量：2.二維三角形單元的位移模式和形函數(shù)推導(dǎo)4.1單元的位移模式和形函數(shù)（1）位移函數(shù)的設(shè)定：

最簡單的情況，可以選取位移函數(shù)為坐標(biāo)的線性函數(shù)形式2.二維三角形單元的位移模式和形函數(shù)推導(dǎo)4.1單元的位移模式和形函數(shù)位移函數(shù)(displacementfunction)位移函數(shù)真實位移分布近似位移分布2.二維三角形單元的位移模式和形函數(shù)推導(dǎo)4.1單元的位移模式和形函數(shù)三節(jié)點三角形單元位移函數(shù)位移函數(shù)寫成矩陣形式為：（2）形函數(shù)矩陣的推導(dǎo)：2.二維三角形單元的位移模式和形函數(shù)推導(dǎo)4.1單元的位移模式和形函數(shù)

三個節(jié)點的位移分別為將節(jié)點位移和節(jié)點坐標(biāo)代入位移函數(shù)得6個方程,可以求出6個待定系數(shù).2.二維三角形單元的位移模式和形函數(shù)推導(dǎo)4.1單元的位移模式和形函數(shù)位移函數(shù)寫成矩陣形式

求解2.二維三角形單元的位移模式和形函數(shù)推導(dǎo)4.1單元的位移模式和形函數(shù)

A為三角形單元

ijm的面積由克來姆法則可知：若2A0，方程有唯一解：2.二維三角形單元的位移模式和形函數(shù)推導(dǎo)4.1單元的位移模式和形函數(shù)為了描述方便，引入系數(shù)

ai=xjym-xmyjbi=yj-ymci=-xj+xmaj=xmyi-xiymbj=ym-yicj=-xm+xiam=xiyj-xjyjbm=yi-yjcm=-xi+xj2.二維三角形單元的位移模式和形函數(shù)推導(dǎo)經(jīng)過數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得：令：即為三角形單元的形函數(shù)則：4.1單元的位移模式和形函數(shù)2.二維三角形單元的位移模式和形函數(shù)推導(dǎo)4.1單元的位移模式和形函數(shù)以矩陣表示:

形函數(shù)矩陣單元節(jié)點位移陣列形函數(shù)節(jié)點位移單元內(nèi)任意一點的位移2.二維三角形單元的位移模式和形函數(shù)推導(dǎo)4.1單元的位移模式和形函數(shù)當(dāng)節(jié)點在某坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移而其他節(jié)點的位移為零時,單元內(nèi)的位移分布形狀。三節(jié)點三角形單元形函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)其他節(jié)點的位移為零的物理意義:2.二維三角形單元的位移模式和形函數(shù)推導(dǎo)4.1單元的位移模式和形函數(shù)形函數(shù)的形狀4.1單元的位移模式和形函數(shù)形函數(shù)具有以下三條性質(zhì)：(1)在節(jié)點上的值為1,而在其他節(jié)點處為零,即同理4.1單元的位移模式和形函數(shù)：二維三角形單元的位移模式和形函數(shù)推導(dǎo)(3)單元每一條邊的形函數(shù)只與該邊上的節(jié)點位置有關(guān),而與其他節(jié)點的位置無關(guān)。例如在邊上,有(2)在單元的任一處,三個形函數(shù)之和等于1,即4.2應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣形函數(shù)N（插值函數(shù)）幾何方程物理方程應(yīng)變矩陣B應(yīng)力矩陣S單元剛度矩陣k虛功原理等效節(jié)點力整體剛度矩陣K節(jié)點位移單元內(nèi)各點位移單元內(nèi)各點應(yīng)變單元內(nèi)各點應(yīng)力4.2應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣形函數(shù)N（插值函數(shù)）幾何方程物理方程應(yīng)變矩陣B應(yīng)力矩陣S單元內(nèi)各點位移單元內(nèi)各點應(yīng)變單元內(nèi)各點應(yīng)力設(shè)定位移函數(shù)并求得形函數(shù)以后，就可以通過節(jié)點位移得到單元內(nèi)任一點的位移，進(jìn)而利用幾何方程，就可以得到單元內(nèi)任一點的應(yīng)變，通過物理方程，又可以求得應(yīng)力。4.2應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣彈性體平面問題的基本量及基本方程的矩陣表示，以平面三節(jié)點三角形單元為例幾何方程:物理方程:簡寫D為彈性矩陣4.2應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣其中4.2應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣4.2應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣4.2應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣(l=i，j，m)

應(yīng)變矩陣bi、bj、bmci、cj、cm常數(shù)矩陣與單元形狀有關(guān)4.2應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系：4.2應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣應(yīng)力矩陣(l=i，j，m)

應(yīng)力分量也是一個常量。在一個三角形單元中各點應(yīng)力相同，一般用形心一點表示。其應(yīng)變也可同樣表示。4.2應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣單元的應(yīng)變列陣與應(yīng)力列陣三節(jié)點三角形單元:(1)位移的誤差是坐標(biāo)Δx或

Δy尺寸的二階小量;(2)應(yīng)變和應(yīng)力的誤差是坐標(biāo)Δx或

Δy尺寸的一階小量;要根據(jù)工程計算精度確定單元尺寸(3)應(yīng)變和應(yīng)力為常量;(4)整個彈性體內(nèi)位移連續(xù),應(yīng)變和應(yīng)力不連續(xù);(5)提高計算精度方法:減小單元尺寸或采用高精度單元.4.2應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣基本未知量4.3單元剛度矩陣

單元分析的主要目的是建立單元的剛度矩陣。建立單元剛度矩陣的方法有直接法、變分法等,下面利用基于變分原理的虛功虛位移原理來建立。單元節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關(guān)系在位移型有限元法中，對單元的力學(xué)特性分析，最終是需要建立節(jié)點位移和節(jié)點力之間的關(guān)系，也就是確定單元的剛度矩陣。應(yīng)用虛功原理來建立這種關(guān)系式。

4.3單元剛度矩陣

虛功原理：設(shè)有一受外力作用的物體，如下圖所示：

4.3單元剛度矩陣以平面三角形單元為例：設(shè)作用在單元節(jié)點上的力為

,則單元節(jié)點力列陣為：若單元在節(jié)點處發(fā)生虛位移：相應(yīng)的單元內(nèi)部引起的虛應(yīng)變物體在外力和內(nèi)力以及邊界固定點A、B、C處支反力作用下處于平衡狀態(tài)。4.3單元剛度矩陣

根據(jù)虛功原理：外力虛功等于內(nèi)力虛功。所以節(jié)點力在節(jié)點的虛位移上所作的虛功應(yīng)等于單元內(nèi)部應(yīng)力在虛應(yīng)變上所作的虛功。這就是單元保持平衡狀態(tài)所必須滿足的條件，即單元的平衡條件。則節(jié)點力在虛位移上所做的虛功為：4.3單元剛度矩陣單元內(nèi)存儲的應(yīng)變能為由于且節(jié)點位移僅與節(jié)點坐標(biāo)有關(guān),因此將

移到積分以外4.3單元剛度矩陣外力虛功等于虛應(yīng)變能平衡方程4.3單元剛度矩陣稱為單元剛度方程，式中的k稱為單元的剛度矩陣，反映了節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關(guān)系。同樣，可采用最小勢能原理來建立單元節(jié)點力與節(jié)點位移的關(guān)系式。這里得到的單元剛度矩陣k是普遍公式，適用于各種類型的單元。4.4單元的等效節(jié)點載荷有限元分析的重要一步是把一個連續(xù)的結(jié)構(gòu)看成是由離散單元在節(jié)點處連接拼裝而成。而把作用在結(jié)構(gòu)上的荷載統(tǒng)統(tǒng)考慮作用在節(jié)點上。然而結(jié)構(gòu)上的載荷，常常是分布作用在單元上。對這種非節(jié)點荷載的處理：方法一：把分布荷載改用若干集中荷載代替，并把集中荷載的作用點選作節(jié)點方法二：等效節(jié)點荷載法。4.4單元的等效節(jié)點載荷等效節(jié)點載荷實際上作用在物體上的外力可以直接作用在節(jié)點上，也可以不作用在節(jié)點上，然而在有限元法中要求作用在物體上的各種外力必須用作用在節(jié)點上的力表示。（有限元法中，單元與單元之間只能通過節(jié)點聯(lián)系）作用在物體上的各種外力也必須用作用在節(jié)點上的力表示，這一過程稱為外力的靜力等效移置，所得到的節(jié)點力稱為等效節(jié)點力。4.4單元的等效節(jié)點載荷靜力等效原則對于剛體來說，所謂靜力等效原則就是單元上原有的外力系和將外力系向各節(jié)點移置所得的等效節(jié)點力，二者向同一點簡化應(yīng)具有相同的主矢和主矩。對于彈性體來說，所謂靜力等效就是指單元上的外力系和將該力系向各節(jié)點移置后的等效節(jié)點力，二者在虛位移上的虛功相等，也即外力作用在單元上所引起的變形能和移置后等效節(jié)點力在單元上引起的變形能相等，在一定的位移模式下這種移置是唯一的。4.4單元的等效節(jié)點載荷實際上作用在物體上的外力可以直接作用在節(jié)點上，也可以不作用在節(jié)點上，然而在有限元法中要求作用在物體上的各種外力必須用作用在節(jié)點上的力表示。這一點體現(xiàn)了有限法中“離散化”這一概念，即將連續(xù)體離散成只有在節(jié)點處相連的單元體，單元與單元之間的聯(lián)系只能通過節(jié)點。單元內(nèi)任意點的位移、應(yīng)力、應(yīng)變等變量最終都用單元節(jié)點位移來表示。

同樣，作用在物體上的各種外力也必須用作用在節(jié)點上的力表示，這一過程稱為外力的靜力等效移置，所得到的節(jié)點力稱為等效節(jié)點力。等效節(jié)點載荷4.4單元的等效節(jié)點載荷

荷載向節(jié)點移置單元的節(jié)點荷載列陣必須將作用于單元中的外荷載向節(jié)點移置,化為等效節(jié)點荷載;這種移置按靜力等效原則進(jìn)行。4.4單元的等效節(jié)點載荷載荷移置與等效節(jié)點載荷1.由于在進(jìn)行有限元分析中，單元和單元之間僅通過節(jié)點相互聯(lián)系當(dāng)外載不是直接作用在節(jié)點上，那么需要將非節(jié)點載荷向節(jié)點移置，也就是真實外載（理想化）節(jié)點上的集中載荷移置后的載荷稱之為等效節(jié)點載荷。２.結(jié)構(gòu)的非節(jié)點載荷移置將各單元所受的非節(jié)點外載荷分別移置到各單元的相應(yīng)節(jié)點上，在公共節(jié)點處應(yīng)用載荷疊加原理３.載荷移置的原則——能量等效的原則單元的實際載荷與移置后的等效節(jié)點載荷在相應(yīng)的虛位移上所做的虛功相等。4.4單元的等效節(jié)點載荷載荷移置與等效節(jié)點載荷４.單元載荷移置的方法（１）直接法：利用能量等效原則，直接進(jìn)行單元載荷移置＊只適用于線性位移函數(shù)的單元（２）普遍公式法：根據(jù)能量等效原則，推導(dǎo)出普遍公式＊適用于各種類型的單元說明：由圣維南原理可知，載荷移置后，只會在結(jié)構(gòu)的局部產(chǎn)生誤差。對整個結(jié)構(gòu)的變形或應(yīng)力狀態(tài)的影響不大，由于有限元分析中，單元一般都很小，移置的結(jié)果不會帶來很大的誤差。4.4單元的等效節(jié)點載荷彈性體靜力等效原則-虛功原理虛功等效：就一個單元來說，把作用在單元上的外力移置到節(jié)點上后，應(yīng)當(dāng)與原來的實際外力所作虛功等效。計算方法：對任意允許的微小虛位移，原外力所作虛功等于移置后的等效節(jié)點力所做的虛功。彈性力學(xué)中三種外力。4.4單元的等效節(jié)點載荷虛功原理Fe：等效節(jié)點力FC：集中力q:表面力G：體積力

：節(jié)點虛位移

：單元虛位移場:集中力作用處虛位移4.4單元的等效節(jié)點載荷單位體積中的體積力如式所示。ijmxy·PVyijmxy·uvPVx4.4單元的等效節(jié)點載荷(1)體積力勢能單元上體積力具有的勢能

為單元內(nèi)各點位移：4.4單元的等效節(jié)點載荷（2）表面力勢能面積力雖然包括單元之間公共邊上互相作用的分布力，但它們屬于結(jié)構(gòu)內(nèi)力，成對出現(xiàn)，集合時互相抵消，在結(jié)構(gòu)整體分析時可以不加考慮，因此單元分析時也就不予考慮。只考慮彈性體邊界上的表面力，它只在部分單元上形成表面力（右下圖）。設(shè)邊界面上單位面積受到的表面力如下式：①②③④

qs

4.4單元的等效節(jié)點載荷l—單元邊界長度t—單元厚度A—表面力作用面積①②③④

qs

沿厚度均勻分布，則單元表面力的勢能

為4.4單元的等效節(jié)點載荷（3）集中力勢能當(dāng)結(jié)構(gòu)受到集中力時，通常在劃分單元網(wǎng)格時就把集中力的作用點設(shè)置為節(jié)點。于是單元集中力

Pg

的勢能Wg為p①②③④③

e

③p/2

g

4.4單元的等效節(jié)點載荷（4）總勢能把上式中括符內(nèi)的部分用列陣

代替，

具有和

相同的行、列數(shù)。綜合以上諸式，單元外力的總勢能V為就是單元等效節(jié)點力單元外力勢能為4.5整體分析-整體剛度矩陣和平衡方程總剛集成總剛集成的任務(wù):將所有單元的剛度矩陣集成為整個結(jié)構(gòu)的剛度矩陣,稱為整體剛度矩陣或總體剛度矩陣,簡稱總剛?？倓偧稍恚簡卧治鰰r已對單元的每一個節(jié)點建立了平衡方程.如i節(jié)點的平衡方程為：它表明單元在任一節(jié)點發(fā)生位移時,都將在節(jié)點i處產(chǎn)生節(jié)點力(實際上是節(jié)點力引起位移),且力的大小等于各個節(jié)點位移所引起節(jié)點力的疊加。4.5整體分析-整體剛度矩陣和平衡方程在整體結(jié)構(gòu)中,一個節(jié)點往往為幾個單元所共有,根據(jù)線性疊加原理,該節(jié)點上的節(jié)點力應(yīng)為所有單元引起的節(jié)點力之和。結(jié)構(gòu)平衡時,每個節(jié)點也是平衡的。設(shè)作用在節(jié)點i上的載荷為{Fi},則節(jié)點i處的平衡方程為：4.5整體分析-整體剛度矩陣和平衡方程對結(jié)構(gòu)中的所有節(jié)點,則有式中,n為節(jié)點總數(shù)。將上式記為整個結(jié)構(gòu)的平衡方程稱為有限元方程(剛度方程)4.5整體分析-整體剛度矩陣和平衡方程

是所有節(jié)點的位移分量組成的列陣,稱為節(jié)點位移列陣;

是所有作用在節(jié)點上的載荷組成的列陣,稱為節(jié)點載荷列陣;[K]就是要求的總剛矩陣,表達(dá)式為

中每個元素kij的物理意義和單剛元素相同,即在節(jié)點

j發(fā)生單位位移而其他節(jié)點位移為零時,在節(jié)點i處產(chǎn)生的節(jié)點力。4.5整體分析-整體剛度矩陣和平衡方程單元剛度矩陣k

等效節(jié)點力整體剛度矩陣K

節(jié)點位移邊界條件①②③④單元分析④①③●●●●●②325●146整體計算4.5整體分析-整體剛度矩陣和平衡方程通過節(jié)點平衡方程建立以整體剛度矩陣為系數(shù)、節(jié)點位移為未知量的線性代數(shù)方程組方程組的左端向量就是總體節(jié)點載荷列矩陣，可由單元載荷移置結(jié)果迭加求得。因此，整體結(jié)構(gòu)合成的主要任務(wù)是形成整體剛度矩陣。完成這一步的關(guān)鍵，在于怎樣將單元的剛度矩陣和節(jié)點荷載列陣，分別“組裝”成整體剛度矩陣和整體節(jié)點荷載列陣。這里通過研究任意節(jié)點的平衡來建立整體剛度矩陣，該方法不但比較直觀、易懂，而且對怎樣編寫計算機(jī)程序是很有幫助的。4.5整體分析-整體剛度矩陣和平衡方程結(jié)構(gòu)總體剛度方程的合成原則：(1)各單元變形后，應(yīng)在節(jié)點處保證協(xié)調(diào)地相互連接。即相聚于節(jié)點i的單元，在節(jié)點i處必須有相同的位移：（上標(biāo)1,2,···,n表示單元編號）

{δi1}={δi2}=···={δin}={δi}(2)各節(jié)點處應(yīng)滿足力的平衡條件，即環(huán)繞節(jié)點的各單元對其作用力的合力應(yīng)等于該節(jié)點上的節(jié)點載荷。∑—環(huán)繞節(jié)點i的所有單元求和:—節(jié)點上的載荷4.5整體分析-整體剛度矩陣和平衡方程

4.5整體分析-整體剛度矩陣和平衡方程●o①②33

2421①321②4234.5整體分析-整體剛度矩陣和平衡方程4.5整體分析-整體剛度矩陣和平衡方程BoundaryConditions4.6整體平衡方程的求解方法形成了載荷向量，集成了總剛度矩陣，并且引進(jìn)約束條件后，便可由整體平衡方程求解節(jié)點位移。這一過程實際上是將復(fù)雜的物理問題轉(zhuǎn)化為求解大型線性代數(shù)方程組的數(shù)學(xué)問題。線性代數(shù)方程式組的解法：直接法和迭代法。其中，直接解法主要包括高斯消去法，及其派生的Lower-UpperDecomposition（LU）、Lower-Diagonal-LowerTransposeDecomposition（LDLT）三角分解法。迭代法主要是指塞德爾迭代法。感謝關(guān)注與支持第5章桿系結(jié)構(gòu)的有限元分析方法本章的學(xué)習(xí)要求(1)

坐標(biāo)變換；(2)

一維拉壓直桿的有限元分析；(3)

二維平面拉壓直桿（平面桁架中的桿件）的有限元分析；(4)三維空間拉壓直桿的有限元分析。重點和難點第5章桿系結(jié)構(gòu)的有限元分析方法a)b)c)圖

桿件結(jié)構(gòu)實例第5章桿系結(jié)構(gòu)的有限元分析方法

(a)Liebherr塔式起重機(jī)

(b)Liebherr履帶式起重機(jī)(c)鋼結(jié)構(gòu)橋梁

(d)埃菲爾鐵塔

第5章桿系結(jié)構(gòu)的有限元分析方法桿系結(jié)構(gòu)包括平面或空間形式的梁、桁架、剛架、拱等，其組成形式雖然復(fù)雜多樣，但用計算機(jī)進(jìn)行分析時卻較為簡單。桿系結(jié)構(gòu)中的每個桿件都是一個明顯的單元。桿件的兩個端點自然形成有限元法的節(jié)點，桿件與桿件之間則用節(jié)點相連接。5.1結(jié)構(gòu)的離散化圖5-3彎曲桿件以及變截面桿的離散化在實際應(yīng)用場景中，桿件雖可能存在曲線形態(tài)，但在一定精度要求范圍內(nèi)，以直線段近似曲線部分，既能大幅簡化計算過程，又能較好地反映結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為。5.2坐標(biāo)變換圖5-4整體坐標(biāo)和局部坐標(biāo)有限元中的坐標(biāo)系有整體坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系。如果局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系不一致，則需進(jìn)行坐標(biāo)變換，將局部坐標(biāo)系下的單元特性轉(zhuǎn)換為整體坐標(biāo)系下的單元特性。5.2坐標(biāo)變換單元位移和單元力都是按局部單元坐標(biāo)系的坐標(biāo)分量定義的，由此建立的單元剛度矩陣屬于局部單元剛度矩陣。在進(jìn)行系統(tǒng)分析之前，需把單元力按統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)的分量表示出來，以便建立節(jié)點平衡方程。圖5-5坐標(biāo)系的方向約定5.2坐標(biāo)變換單元位移和單元力都是按局部單元坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸分量定義的，由此建立的單元剛度矩陣屬于局部單元剛度矩陣。在進(jìn)行系統(tǒng)分析之前，需把單元力按統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)軸的分量表示出來，以便建立節(jié)點平衡方程。因此，必須把局部坐標(biāo)系中的單元力以及單元剛度矩陣都轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系中去。此外，還需要把整體坐標(biāo)系中的節(jié)點位移轉(zhuǎn)換到局部坐標(biāo)系中去，以計算結(jié)構(gòu)內(nèi)力。這一轉(zhuǎn)換過程稱為坐標(biāo)變換。5.3一維拉壓直桿的有限元分析

如圖所示，作用于桿件兩端方向相反的兩個外力，其作用線與桿件軸線重合，使桿件發(fā)生拉伸（虛框）。桿件受力后的拉伸5.3一維拉壓直桿的有限元分析用有限元法求解拉壓桿的受力和變形問題的基本步驟為：（1）結(jié)構(gòu)離散，設(shè)定位移函數(shù)，推導(dǎo)形函數(shù)，形成每個單元剛度矩陣；（2）由各單元的剛度矩陣按節(jié)點號疊加整個系統(tǒng)的剛度矩陣；（3）引入約束條件；（4）以節(jié)點位移為未知量求解線性方程組（5）用每個單元的力-位移關(guān)系求的單元力。5.3一維拉壓直桿的有限元分析1結(jié)構(gòu)離散

一般原則：桿系的交叉點、邊界點、集中力作用點、桿件截面尺寸突變處等都應(yīng)該設(shè)置節(jié)點，節(jié)點之間的桿件即構(gòu)成單元。

桿系單元為一維單元。F節(jié)點1節(jié)點2單元①節(jié)點3節(jié)點2單元②5.3一維拉壓直桿的有限元分析自然離散,坐標(biāo)系建立成一維,單元劃分為兩個,給出相應(yīng)的節(jié)點1、2、3以及相應(yīng)的坐標(biāo)值。取桿單元的左端點為坐標(biāo)原點，下圖為單元1。5.3一維拉壓直桿的有限元分析單元描述:拉壓直桿單元節(jié)點坐標(biāo):在x軸的坐標(biāo)：單元節(jié)點位移:沿x軸的位移：單元節(jié)點力:L—桿長A—截面積E—彈性模量5.3一維拉壓直桿的有限元分析應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系：——桿單元位移——桿單元應(yīng)變——桿單元應(yīng)力應(yīng)變—位移關(guān)系：5.3一維拉壓直桿的有限元分析5.3.1一維拉壓桿單元的位移模式和形函數(shù)單元位移函數(shù)的設(shè)定位移函數(shù)：形函數(shù)：用插值法把多項式中的待定系數(shù)轉(zhuǎn)化為待定節(jié)點位移,從而得到插值形式的假設(shè)位移函數(shù)：ijlxuiuj5.3一維拉壓直桿的有限元分析5.3.1一維拉壓桿單元的位移模式和形函數(shù)則：

稱為形函數(shù)。將

寫成矩陣形式5.3一維拉壓直桿的有限元分析單元應(yīng)變：

所以：

B---單元應(yīng)變矩陣單元應(yīng)力：S---單元應(yīng)力矩陣5.3.2

單元的應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣5.3一維拉壓直桿的有限元分析5.3.3單元的剛度矩陣單元1的剛度矩陣：單元2剛度矩陣：

5.3一維拉壓直桿的有限元分析5.3.4單元的等效節(jié)點力如果桿單元沿桿軸向施加均勻分布荷載，如圖5-7所示：當(dāng)分布力集度q為常數(shù)時，軸向均布荷載轉(zhuǎn)換為作用在桿單元節(jié)點的等效節(jié)點荷載，計算公式為：5.3一維拉壓直桿的有限元分析5.3.5整體分析單元1的節(jié)點力列陣：單元2節(jié)點力列陣：

單元1的平衡方程：單元2的平衡方程：

5.3一維拉壓直桿的有限元分析5.3.5整體分析（建立整體平衡方程）整體剛度矩陣的組裝：整體剛度矩陣5.3一維拉壓直桿的有限元分析5.3.5整體分析（建立整體平衡方程）整體節(jié)點力列陣：整體平衡方程：

整體位移列陣：5.3一維拉壓直桿的有限元分析5.3.5整體分析（求解（引入邊界位移約束和載荷））

剛度矩陣是一個奇異陣，即它的行列式為0，矩陣的逆陣不存在，為使方程組有定解，需給系統(tǒng)加上一定的約束。引入邊界位移約束和載荷5.3一維拉壓直桿的有限元分析5.3.5整體分析（求解（引入邊界位移約束和載荷））

剛度矩陣是一個奇異陣，即它的行列式為0，矩陣的逆陣不存在，為使方程組有定解，需給系統(tǒng)加上一定的約束。引入邊界位移約束和載荷5.4二維平面拉壓直桿（平面桁架中的桿件）的有限元分析如果桿的軸線是直線,則稱為直桿；如果軸線為曲線,則稱為曲桿；如果桿的各個橫截面尺寸和形狀不變,則稱為等截面桿,反之則稱為變截面桿。桿件結(jié)構(gòu)5.4二維平面拉壓直桿（平面桁架中的桿件）的有限元分析

桿系單元分類桁架單元：桁架中的桿件剛架單元：剛架中的桿件區(qū)別：桁架節(jié)點：鉸節(jié)點傳遞力！

剛架節(jié)點：剛節(jié)點

傳遞力和力矩！5.4二維平面拉壓直桿（平面桁架中的桿件）的有限元分析和其他結(jié)構(gòu)采用鉸連接的桿稱為桁桿,如圖(a)所示。桁桿的連接處可以自由轉(zhuǎn)動,因此這類結(jié)構(gòu)只承受拉壓作用,內(nèi)部應(yīng)力為拉壓應(yīng)力。影響應(yīng)力的幾何因素主要是截面面積,與截面形狀無關(guān);5.4二維平面拉壓直桿（平面桁架中的桿件）的有限元分析桿件結(jié)構(gòu)可分為桁桿和梁兩類。和其他結(jié)構(gòu)采用固定連接的桿稱為梁,如圖(b)所示。梁的連接處不能自由轉(zhuǎn)動,因此梁不僅能夠承受拉壓,而且能承受彎曲和扭轉(zhuǎn)作用。這類桿件的內(nèi)部應(yīng)力狀態(tài)比較復(fù)雜,應(yīng)力大小和分布不僅與截面大小有關(guān),而且與截面形狀和方位有很大關(guān)系。建立有限元模型時,這兩類桿件結(jié)構(gòu)可用相應(yīng)的桿單元和梁單元離散。5.4二維平面拉壓直桿（平面桁架中的桿件）的有限元分析桿系結(jié)構(gòu)單元主要有鉸接桿單元和梁單元兩種類型。它們都只有2個節(jié)點i、j。

約定：單元坐標(biāo)系的原點置于節(jié)點i；節(jié)點i到j(luò)的桿軸（形心軸）方向為單元坐標(biāo)系中x軸的正向。y軸、z軸都與x軸垂直，并符合右手螺旋法則。對于梁單元，y

軸和z

軸分別為橫截面上的兩個慣性主軸。xyzij··5.4二維平面拉壓直桿（平面桁架中的桿件）的有限元分析坐標(biāo)系有限元中的坐標(biāo)系有整體坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系。對于一個結(jié)構(gòu)，整體坐標(biāo)系一般只有一個；而局部坐標(biāo)系有很多個，一個單元就有一個局部坐標(biāo)。并且局部坐標(biāo)系每一個單元的規(guī)定都是相同的，這樣，同類型單元剛度矩陣相同。XY○○○○○Pxyxy5.4二維平面拉壓直桿（平面桁架中的桿件）的有限元分析整體坐標(biāo)符號約定：

——結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)單元位移

——結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)單元力

——結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)單元剛度矩陣局部單元坐標(biāo)中的符號約定：——局部單元坐標(biāo)單元位移——局部單元坐標(biāo)單元力——局部單元坐標(biāo)單元剛度矩陣5.4二維平面拉壓直桿（平面桁架中的桿件）的有限元分析平面桁架的有限元分析：節(jié)點力向量的坐標(biāo)變換整體坐標(biāo)系OXY：節(jié)點位移為:

節(jié)點坐標(biāo)為：局部坐標(biāo)系Oxy：節(jié)點位移為

節(jié)點坐標(biāo)為：ijxyXYOαUjVjUiViujui5.4二維平面拉壓直桿（平面桁架中的桿件）的有限元分析網(wǎng)格離散單元分析：在局部坐標(biāo)系下建立單元平衡方程整體分析：在整體坐標(biāo)系下組裝整體平衡方程因此，組裝過程中需要兩個坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換：整體坐標(biāo)系:OXY局部坐標(biāo)系:OxyijxyXYOα5.4二維平面拉壓直桿（平面桁架中的桿件）的有限元分析xyiUXYUiViui

局部坐標(biāo)系中的ui是節(jié)點在整體坐標(biāo)下的位移分量Ui和Vi沿局部坐標(biāo)系x的投影，所以：5.4二維平面拉壓直桿（平面桁架中的桿件）的有限元分析平面桁架的有限元分析：節(jié)點位移向量的坐標(biāo)變換整體坐標(biāo)系OXY：節(jié)點位移為局部坐標(biāo)系Oxy：節(jié)點位移為ijxyXYαUjVjUiViujui局部坐標(biāo)系中的vi是節(jié)點在整體坐標(biāo)下的位移分量沿局部坐標(biāo)系y的投影，所以5.4二維平面拉壓直桿（平面桁架中的桿件）的有限元分析整體坐標(biāo)系OXY：節(jié)點位移為局部坐標(biāo)系Oxy：節(jié)點位移為ijxyXYαUjVjUiViujui5.4二維平面拉壓直桿（平面桁架中的桿件）的有限元分析組合上述結(jié)果，得平面鉸接桿單元的單元坐標(biāo)單元位移和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元位移之間關(guān)系：

i、j兩節(jié)點間的位移變換關(guān)系互不耦合。5.4二維平面拉壓直桿（平面桁架中的桿件）的有限元分析平面桁架的有限元分析：節(jié)點位移向量的坐標(biāo)變換ijxyXYOαUjVjUiViujui從整體坐標(biāo)到局部坐標(biāo)的坐標(biāo)變換矩陣[T]5.4二維平面拉壓直桿（平面桁架中的桿件）的有限元分析1.坐標(biāo)變換矩陣定義把單元位移從結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到局部單元坐標(biāo)系的變換矩陣定義為坐標(biāo)變換矩陣，用符號[T]表示。有

上式給出了結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)下單元位移轉(zhuǎn)換為局部單元坐標(biāo)下單元位移的轉(zhuǎn)換式，同時是坐標(biāo)變換矩陣[T]的定義式。5.4二維平面拉壓直桿（平面桁架中的桿件）的有限元分析在轉(zhuǎn)換矩陣中，有：

上式中，

為單元長度

令:

則轉(zhuǎn)換矩陣T可表示為：ijxyXYOα5.4二維平面拉壓直桿（平面桁架中的桿件）的有限元分析平面桁架的有限元分析：單元應(yīng)變計算5.4二維平面拉壓直桿（平面桁架中的桿件）的有限元分析平面桁架的有限元分析：單元應(yīng)力計算同理：5.4二維平面拉壓直桿（平面桁架中的桿件）的有限元分析在局部坐標(biāo)系中，有結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)單元剛度矩陣上式兩端左乘5.4二維平面拉壓直桿（平面桁架中的桿件）的有限元分析則整體坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣為用單元剛度矩陣組裝系統(tǒng)整體剛度矩陣的方法與一維桿單元情況相同，按節(jié)點號對子塊重新排列。5.4二維平面