函數的零點與方程的解（講義）-2027屆高三數學一輪復習

2.9函數的零點與方程的解

課標要求考情分析

◎考點考法：高考命題常以基本初等函

1.結合學過的函數圖象，了解函數零數及其圖象為載體，考查函數零點是否

點與方程解的關系.存在、存在的區間及個數，利用零點的

2.理解函數零點存在定理，并能簡單存在情況求參數是高考熱點，常以選擇

應用.題或填空題的形式出現.

3.了解二分法求方程的近似解.◎核心素養：數學抽象、邏輯推理、直

觀想象.

夯息固本主干知識整合'自主范?實

I體系構建I

函

數

的

零

函

點

數

的

零

點

與對于在區間［"」，］上圖象連續不斷11/(〃"⑹的函數B(x).通過不斷地把它的零點

方

程所在區間一分為二,使所存區間的兩個端點逐步逼近零點.進而得到零點近似值的

的定義方法叫做二分法

解―:---0---------------------------------------------------------------------------

⑴確定零點xM初始區間［",b］.驗證<㈤?用)<o；

求函數零(2)求區間(*6)的4點c;定區間.找中點.

I點近似值(3)計算〃<?),并進一步確定零點所在的區間：中值計算兩邊看;

記

的步驟①益的此時MK).則r就是函數的零點；問號去,異號算.

②若/⑷?危)<0(此時(?.c)),則令6H;零點落在異號間;

ik

③若/(「)?/⑹《)(此時(c./>)),則令"h.周而加始怎么辦"

(4)刊斷是否達到精確度￡：若1“-加<￡.則得到零點近似值梢確度上來判斷

“(或力；否則就復步驟(2)~(4)

牖惻結論］一

1.若連續不斷的函數K6在定義域上是單調函數，則7U)至多有一個零點.

2.若y=y&)在閉區間［〃，句上的圖象連續不斷，且有貝a)/(b)V0,則函數y=/U),定有

零點.

3.周期函數如果有零點，則必有無窮多個零點.

B獺自如一

1.下列函數圖象與A軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數零點的是()

解析根據二分法的慨念可知選項A不能用二分法求零點.

答案A

2

2.函數7U)=lnx-7的零點所在區間是()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,e)D.(e,3)

2

解析因為函數7U)=lnx-：的圖象在定義域(0,+8)內是一條連續不斷的曲線，且12)

27

=ln2—1<0,Xe)=lne--V=1—-V>0,所以必存在.gE(2,e),使得凡m)=0.所以函數

2

=InX-7的零點所在的區間是(2,e),故選C.

人

答案C

W+x—2xWO

3.函數yu)=,,'的零點個數為()

1-\~\nx,A>0

A.3B.2

C.7D.0

xWO,f.v>0,

解析由彳.或|

［好十工一2=0［-1+lnx=0,

解得4=-2或4=6,故7U)有兩個零點.

答案B

4.已知函數)，=；")的圖象是連續不斷的曲線，且有如下的對應值表:

X123456

y124.433-7424.5-36.7-123.6

則函數y=y(x)在區間［1,6］上的零點至少有個.

解析依題意，42)>0,y(3)<0,^4)>0,,A5)<0;根據零點存在定理可知，危;在區

間(2,3),(3,4),(4,5)上均至少含有一個零點，故函數)=人幻在區間［I,6］上的零點至少

有3個.

答案3

5.若函數yU)=2af—工一1在(()，I)內恰有一個零點，則實數a的取值范圍是.

解析當a=0時，函數的零點是工=-1,不符合題意.當aWO時，若/>0,,/(6逃1)

<0,則.若4=0,即。=一介函數的零點是彳=一2,不符合題意，故實數。的取值范

圍為(I,+8).

答案(1,+8)

去枕能之核心考點突破未能培優

考點一函數零點所在區間的判定基礎考點自練自悟

1.函數次x)=lc&x+r—2的零點所在的區間為()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

解析方法一函數/U)=logK+x—2的定義域為(0,+8),并且於)在(0,十8)上是

增函數，圖象是一條連續曲線.由題意知41)=一IVO,/(2)=k)g32>0,根據函數零點存在

定理可知，函數凡1)=1。83+工一2有唯一零點，且零點在區間(1,2)內.

米《(*)Tog產

h(x)=-x+2

方法二函數八X)的零點所在的區間轉化為函數g(?=k)g6,h(x)=-x+2圖象交點的

橫坐標所在的范圍.作出對函數圖象如圖所示，可知/U)的零點所在的區間為(1,2).故選B.

答案B

2.(多選)函數,?)=e『一工一2在下列哪個區間內必有零點()

A.(-2,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

解析/(-2)=i>o,y(-l)=1-l<0,y(o)=-l<o,/l)=e-3<0,X2)=e2-4>0,

VV

因為人一2)十一1)<。，次1)火2)<0,所以7U)在(一2,—1)和(1,2)內必存在零點.

答案AD

3.已知函數y(T)=lo匕x+x?—〃(〃>0,且〃W1).當2V〃V3V〃V4時.函數式r)的零點

的￡(〃，/?+1),則〃=.

解析對于函數y=logd,當x=2時，可得yvl,當x=3時，可得了>1,如圖，在同

一坐標系中畫出函數1y=log,x,y=—x+b的圖象,

判斷兩個函數圖象的交點的橫坐標在(2,3)內，所以函數人工)的零點均￡(2,3),即〃=

2.

答案2

窈同曾圓

函數零點所在區間的判斷方法及適用情形

(1)定理法：利用函數零點存在定理進行判斷.適用于容易判斷區間端點值所對應函數

值的正負的情形.

(2)圖象法：畫出函數圖象，通過觀察圖象與x軸在給定區間上是否有交點來判斷.適

用于容易畫出函數圖象的情形.

考點二函數零點個數的判定重難考點師生共研

例⑴函數於)=/［：后°，的零點個數為()

［A-2+Inx,x>0

A.5B.4

C.3D.2

(2)已知函數/U)是定義在R上的偶函數，且/U—2)=/U),當OWxWl時，凡v)=),設

函數g(x)="r)—log7|x|,則函數g(x)的零點個數為()

A.6B.8

C.12D.14

［解析I(1)當xWO時，/-1=0,解得1=-1;

當心>0時，兒t)=x—2+lnx在(0,+8)上單調遞增，并且川)=l—2+ln1=—1<0,

/(2)=2-2+ln2=ln2>0,即川次2)<0,

所以函數凡6在區間(I,2)內必有一個零點，

綜上，函數人x)的零點個數為2.

(2)依題意可知，函數人工)是定義在R上的偶函數，且人工-2)=兒0,

所以J(x)=fi-x)=fi-x-2)=凡丫+2),

即函數/U)是以2為周期的偶函數，

令g(X)「人幻-log7Mh。，即a)=log7|x|,

在同一平面直角坐標系中分別作出y=/(x)和y=log：H的圖象，如圖所示.

2

-8-7-6-5-4-3-2-rO^l23456789x

由圖象可知，兩函數圖象共有12個交點,

即函數雙幻共有12個零點.

[答案](1)D(2)C

導I學

函數零點個數的判斷方法

(1)直接求零點：令人。=0,有幾個解就有幾個零點.

(2)零點存在定理：首先確定函數人工)在區間m,加上是連續不斷的曲線，且貝。次"vo,

再結合函數的圖象與性質確定函數零點個數.

(3)利用圖象文點個數：作出兩函數圖象，觀察其文點個數印得零點個數.

F對點訓練

1.函數yu)=3'iiog2R—i的零點個數為()

A.0B.I

C.2D.3

解析函數於)=3斗Og2X|一1的零點,即3斗OgzM—1=0的解,即|10g2%|=(；)的解，

即)，=|】ogzd與圖象的交點，如圖所示，

從函數圖象可知，y=|iog2%l與y=G)有2個交點，即函數7U)的零點個數為2.

答案C

2.函數yU)=H36—Pcosx的零點個數為.

解析令36一爐20,解得一6WxW6,

所以人。的定義域為[-6,6].

令7(%)=。得36—A2=0或cosx=0,

由36—f=0得工=±6;

由cosx=0得工二^十女九，kGZ,

又x￡[—6,6],

”.，，?j、,3兀7t7t371

所以X的取值為一萬，一E，E，-y

故7U）共有6個零點.

答案6

考點三函數零點的應用多維探究發散思維

角度1根據零點的個數求參數

已知2￡R，函數八丫）=L:，當2=2時，不等式人工）<0的解集是

x“一4x十3,x<x.

，若函數./U）恰有2個零點，則人的取值范圍是

X—4,x，2,x22,

由於）<°引

[解析]①當％=2時，於）=<或

x-4<0

A<2,

,解得2Wx<4或la<2.所以不等式的解集為（1,4）.

A~—4A+3<0,

②函數y=x—4與丫=1—4x+3的圖象如圖所示.

結合圖象可知，當2W1時，函數段）有1個零點；當1<2W3時，函數段）有2個零點;

當3OW4時函數凡r）有3個零點；當》4時函數/（幻有2個零點.所以當/5）有2個零點時,

%的取值范圍是（1,3]U（4,+~）.

[答案I（I，4）（1,3]U（4,+8）

角度2根據函數的零點范圍求參數

已知函數次幻=1空2。+1）—:+〃?在區間（1，3]上有零點，則實數機的取值范圍

.1

B.(-8,--Ju(O,+8)

C.(-8,U(O,4-oo)

5

D-

-3

［解析］由于函數），=log2（x+l）,y=〃?一：在區間（1,3］上均單調遞增，所以函數,兒r）在

人

.川)V0,

（1,3］上單調遞增，由于函數凡r）=log2（x+l）—：+加在區間（1,3］上有零點，則，

人43)2(),

5

即4解得一￡<〃?<0.因此實數〃？的取值范圍-0）.故選D.

53

/什

，

->廠

、

案

塔D

題后導學

利用函數零點求參數（范圍）的方法

數形結先對解檸式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖

|合法

象，然后數形結合求解

r對點訓練

1.函數段)=2'+%—5的零點即W3—1,a),OWN",則。=()

A.1B.2

C.3D.4

解析函數兒r)=2'+%-5是連續增函數，12)=4+/—5=—3<0,；(3)=8+3—￡=?

>0,所以函數yU）=2'+%-5的零點在（2,3）內，所以〃=3.故選C.

答案C

f+2x,啟0,

2.已知函數yu）=/,、若曲線y=y（x）與直線y=ax恰有2個公共點,

In（1-A）,Owl,

則實數。的取值范圍是,

解析當xWO時，人t）=f+2x,其在（一8,一1）上單調遞減，在（-1,0）上單調遞增,

且/(x)=2x+2,則/(0)=2;

當(Xxvl時，“r)=ln(l—力，/(勸=一±<0,其在(0,1)上單調遞減，且/(0)=-1.

作出7U)的圖象，如圖，易知實數〃的取值范圍是［-1,2).

答案［一1，2)

課時作業知能達標訓練'鞏固提升

A級基礎過關

1.對于函數人x)，若八一1加3)<：0,貝i」()

A.方程兀6=0一定有實數解

B.方程“r)=0一定無實數解

C.方程￡￥)=0一定有兩實根

D.方程/(文)=0可能無實數解

解析因為函數yu)的圖象在(一1,3)上未必連續，所以盡管?—1加3)<(),但方程八幻

=0在(一I,3)上可能無實數解.

答案D

2.設函數yu)=2'+；的零點為X0,則X0所在的區間是()

A.(-4,-2)B.(-2,-1)

C.(1,2)D.(2,4)

解析易知凡6在R上單調遞增且./(X)的圖象是連續不斷的曲線，

12I1

/-2)=4-3<0,7(-1)=2_3>0，所以％()￡(_2,-1).

答案B

3.已知函數人x)=lrlx-21+f與g(x)=4x,則兩函數圖象所有交點的橫坐標之和為

()

A.0B.2

C.3D.4

解析原問題可以轉化為求方程In卜一2|=4x—x2的所有根之和，易知y=ln|x-2|和y

=41一（的圖象均關于直域x=2對稱，且兩個函數的圖象有2個交點，故兩個交點的橫坐

標之和為4.

答案D

4.已知e是自然對數的底數，關于x的方程egl=）有兩個不同的解即，=SV*），則

（）

A.Ai<l,X2>3B.X1>1>X2<3

C..n>l,X2>3D..n<l,X2<3

解析令/U）=eM2i-x,則函數/（?的圖象在R上連續???7（l）=e-l>0,12）=1—2

=-1<0,y（3）=e-3<0,./（4）=e2—4>0,???川加2）VO,求4）VO,???函數府）在區間（1,

2）,（3,4）上各有一個零點，即1<的<2,3<X2<4,故選C.

答案C

log2（X_1）,x>2,

5.（多選）設函數“x）=L.八則以下結論正確的是（）

2—3,xW2,

A.yu）為R上的增函數

B.大幻有唯一零點X0,且IV沏V2

C.若｛〃?）=5,則機=33

D./U）的值域為R

解析作出函數7U）的圖象如圖所示.由圖可知A錯誤；對于B,由圖象可知，貝幻有

唯一零點血段）在（-8,2]上單調遞增，且火1）<0,火2）>0,B正確；對于C,當xW2

時，2,3W1,故log2（〃？1）=5,解得〃?=33,C正確；對于D,7U）的值域為（0,I-）U（

3,I],即（一3,4-00）,D錯誤.故選BC.

答案BC

“v+a,x￡a,

6.已知?>0,若函數凡r）=,I,有兩個不同的零點，則a的取值范圍為

Inx+2,x>a

解析令X+。=0,x=一則x=—。是函數7U）的一個零點；令lnx+2=0,解得

x=p,要使得7U）有兩個不同的零點，則a￡（0,p）.

答案.?）

7.若函數次助=丁+62+以+。是奇函數，且有三個不同的零點，寫出一個符合條件的

函數：兀0=.

解析++為奇函數，故a=c=0,yCQMV+bxnNf+h)有三個不同

零點，：,b<0,.?J(x)=x3-x滿足題意.

答案V-M答案不唯一)

8.己知函數兒0=/+歷:+。的兩個零點為2,3.若函數g(x)=/U)+〃比的兩個零點分別

在區間(1,2),(2,4)內，則實數小的取值范圍為.

解析V2,3為方程f+Ar+c=()的兩根，

fi=2+3,4=—5,

<，4%)=x2—5x+6.

[e=2X3.、c=6.

:.g(x)=f+(m-5)x4-6,

p(D>o,

依題意<g(2)<0,解得一

L(4)>0,

故實數機的取值范圍是(一/0)

答案(T°)

B級能力提升

9.定義在R上的奇函數人幻滿足/u+i)=yq),則yu)在[-3,3]上的零點個數至少為

()

A.6B.7

C.12D.13

解析因為./U)是定義在R上的奇函數，所以10)=0,又由,/U+l)=凡丫)得貝X)的周期

為1,所以人-3)=4-2)=4-1)=A0)=/U)=/(2)=/(3)=0.又./Q)=/(—，,｛，=一｛一習,

因此G)=乂_，)=°，則乂-5)=乂-5)=乂-5)=乂5)=彳5)，(5)=0，故段)在L3,3]

上至少有13個零點，故送D.

答案D

\y[x—t,x20,

10.已知函數若7U)有兩個零點為，K2(X1>X2)，則如一X2

12(x4-!)-/,x<0,

的最小值是()

A.1B.2

3

C-D

41-5

16

解析根據題意可得而一，=0,解得汨=產(/20),2(X2-Fl)-r=0,解得X2=/一1”

2),則.巖一無2=/2一3+1=(—：)+]|(0&<2),當/=：時，XLM取得最小值得

答案D

11.已知Q0,函數?E)=2'+X—5,g(x)=x2-^x~4,A(x)=log2x+x-3的零點分別為a,

b,c,則()

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.b<c<a

解析因為./U)=2'+x—5單調遞增，

且.6)=2L6—3.4=[⑵6)5-[(3.4)5=5/256-令454.35424Vo,

/2)=4+2-5=1>0,

由函數零點存在定理可知，人工)有唯一零點〃，且1.6<“<2;

因為ga)=f+x-4左(0,+8)上單調遞增，且虱|)=一2<0,

月(1.6)=16—2.4=2.56—2.4>0,

由函數零點存在定理可知，gQ)有唯一零點兒且10<1.6;

因為力(%)=]og2x+x—3在(0,+8)上單調遞增，且力(2)=1+2—3=0,

則/?(%)有唯一零點e=2,

所以b<a<c.故選C.

答案C

12.定義在R上的函數,/U)滿足共一x)+/(x)=0,/x)=/U+2),且當x￡[0,1]時，啟)

=9一』+“，則方程<t)-x+2=0所有的根之和為()

A.6B.12

C.14D.10

解析囚為八一人)十yu)—o,八SR,

所以y(x)為奇函數.

又因為.A—x)={r+2),

所以yu)的圖象關于直線x=i對稱.

所以yu+2)=八一?=-j(x),

得人工+4)=-Ax+2)=-[一4叫=兒0,所以?r)的一個周期為4.

又因為xU[0,1]時,

f(x)=3.P-2x+1=3(x-(

所以?r)在［0,i］上單調遞增，且j(o)=o,yu)=i.

由題意可得下圖，

可得直線y=1(x—2)與y=flx)的交點的橫坐標為方程Mx)—x+2=0的根,

可得在(-2,2)與(2,6)上均有兩個交點，且關于(2,0)對稱，加上(2,0)點，共5個交

點，

所以這5個交點的橫坐標之和為2X2X2+2=10.故選D.

答案D

13.(多選)已知定義在R上的偶函數7U)滿足Ki+4)=/U)+/(2),且在區間［0,2：上是

增函數，則下列說法正確的是()

A.函數人x)的一個周期為4

B.直線刀=-4是函數人用圖象的一條對稱軸

C.函數段)在［-6,一5)上單調遞增,在［-5,一1)上單調遞減

D.函數段)在［0,100］內有25個零點

解析令工=-2,得火-2:4)=大-2)斗12),即大-2)=0.由于函數尺0為偶函數，故

,A2)=A-2)=0,所以/U+4)=/(x),函數#幻是以4為周期的函數，故A正確；因為共一4

+x)=/4-A)=/(4-8-x)=/(-4-x),所以直線x=-4是函數圖象的一條對稱軸，故B正

確；結合函數在區間［0,2］上是增函數，畫出函數./U)的大致圖象如圖所示，由圖可知，函

數在［-6,—4)上單調遞減，故C錯誤；根據圖象可知，12)=火6)=/(10)=…=498)=0,

故共有25個零點.故D正確.

答案ABD

21X9彳21,

14.已知函數yu)=2,'：］那么歡4))=_______，若存在實數。，使得大。)

r-rx—I,x<1,

=AA?))，則。的