2026年中考數學：平面直角坐標系（知識解讀+例題講義）原卷版

第09講平面直角坐標系

3"知識導航.‘十才

知識點1:函數

知識點2：平面直角坐標系相關概念

知識點3：點坐標的相關性質

知識梳理“力

知識點1：函數

i.變量與常量

變量：在?個變化過程中，數值發(fā)生變化的量稱為變量.

常量：在一個變化過程中，數值始終不變的量禰為常量.

2.函數

定義：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y,并且對于x的每一個確定的

值，y都有!1二確定的值與其對應，那么我們就把x稱為自變量,把v稱為因變量,y是x

的函數.

3.函數值

函數值：如果在自變量取值范圍內給定?個值a,函數對應的值為b,那么b叫做當自變量

取值為a時的函數值.

4.函數的表示方法

表示法定義優(yōu)點缺點

用數學等式（解析式）表示兩1.精準反映變量間數量關系1.不夠直觀，無法直接

解個變量之間的函數關系2.方便計算任意自變量對應的看出變化趨勢

析函數值2.部分實際問題難以用

法3.便于推導函數性質（單調性、解析式表達

最值、對稱性等）

圖用平面直角坐標系中的圖形1.最直觀，清晰展示函數變化1.讀取的數值是近似

像（直線或曲線）表示函數關趨勢（上升、下降）值，不夠精確

法系，圖象上每一點（x,y）都滿2.便于觀察特殊點（頂點、交2.無法直接得到數的精

足函數關系點、漸近線）確解析式

3.能快速分析函數的增減性、

對稱性

列將自變量的一系列取值和對1.直觀展示自變量與函數值的1.只能列出有限組對應

表應的函數值列成表格，表示函一一對應關系值，無法體現全部關系

法數關系2.查詢特定自變量的函數值方2.難以反映函數的整體

便快捷變化規(guī)律

知識點2：平面直角坐標系相關概念

1.定義：平面內由兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成的圖形。

2構成

橫軸（x軸）：水平向右為正方向

第三.象限一，第四望限

縱軸（y釉）：豎直向上為正方向

原點（0）：兩軸交點，坐標為。0）

3.象限：x軸、y軸將平面分為4個象限，坐標軸上的點不屬于任何象限。

4.點的坐標：平面內點對應有序數對（x,y）,x是橫坐標（垂至x軸的數），y是縱坐標（垂至

y軸的數），橫前縱后，順序不可換。

5.核心關系：坐標平面內的點與有序實數對一一對應。

知識點3：點坐標的相關性質

考點內容具體性質/規(guī)律

平面直角坐標系的①由橫軸（x軸，水平向右為正方向）和縱軸（y軸，豎直向上為正方向）組

構成成，兩軸互相垂直，交點為原點9,0）②兩軸將平面分為四個象限，按逆時針

方向依次為第一、二、三、四象限

各象限內點的坐設點P(x,y)

標特征①第一象限：x>0,y>0(+,+)

②第二象限：x<0,y>0(-,+)

③第三象限:x<0,y<0

④第四象限：x>0,y<0(+,-)

坐標軸上點的坐設點P（x,y）

標特征①x軸上的點：縱坐標為0,即F（x,0）

②y軸上的點:橫坐標為0,即P（0,y）

③原點：橫、縱坐標均為（），即P（（）,0）

點坐標的平移向右平移a個單位（a>0）,即（x+a,y）

P（x,y）向左平移a個單位（a>0）,即（x-a,y）

向上平移b個單位（b>0）,即（x,y+b）

向下平移b個單位（b>0）,即（x,y-b）

旋轉順時針旋轉90。，即（y,-x）

（繞原點0旋轉）逆時針旋轉90。，即（-y,x）

P（x,y）順時針/逆時針旋轉180o,即（-x,-y）

順時針旋轉270。,即（-y,x）

逆時針旋轉270。,即（y,-x）

對稱點的坐標規(guī)設點P（x,y）

律①到x軸的距離：|y|（縱坐標的絕對值）

②到y(tǒng)軸的距離：1x1（橫坐標的絕對值）

③到原點的距熟：P=y/x2+y2

平行于坐標軸的①平行于x軸的直線上的所有點：縱坐標相同，橫坐標為任意實數

直線上點的坐標②平行于y軸的直線上的所有點：橫坐標相同，縱坐標為任意實數

特征

型精講

【題型i根據點坐標判斷所在象限】

【典例1】（2025?四川?中考真題）在平面直角坐標系中，點P。,2）關于y軸對稱的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【變式1】（2025?貴州?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中有4B,C,。四點，根據

圖中各點位置判斷，哪一個點在第四象限（）

A.點4B.點BC.點CD.點0

【變式2】（2025?四川成都?中考真題）在平面直角坐標系30y中，點尸（-2/+1）所在的象

限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【變式3】（2024?江蘇宿遷?中考真題）點PS?+1,-3）在第象限.

【題型2自變量取值范圍】

【典例2】（2024?四川巴中?中考真題）函數y=475自變量的取值范圍是（）

A.x>0B.x>—2C.x—2D.x—2

2924

【變式1】（2024?黑龍江哈爾濱?中考真題）在函數、二三三中，自變量工的取值范圍是?

【變式2】（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）在函數y=鋁中，自變量x的取值范圍

是.

【變式3】（2024?上海?中考真題）函數/'（乃=蕓的定義域是（）

A.x=2B.XH2C.X=3D.XH3

【題型3從函數的圖象獲取信息】

【典例3】（2025?青海?中考真題）如圖，甲、乙兩車從4地出發(fā)前往B地，在整個行程中,

汽車離開力地的路程y（km）與時亥業(yè)之間的對應關系如圖所示，下列結論錯誤的是（）

A.乙車先到達B地B.A、8兩地相距300km

C.甲車的平均速度為100km/hD.在8：30時，乙車追上甲車

【變式1】（2025?廣東?中考真題）在理想狀態(tài)下，某電動摩托車充滿電后以恒定功率運行,

其電池剩余的能量y（W?h）與騎行里程%（km）之間的關系如圖.當電池剩余能量小J-

100W?h時，摩托車洛自動報警.根據圖象，下列結論正確的是（）

A.電池能量最多可充MOW-h

B.摩托車每行駛10km消耗能量300W-h

C.一次性充滿電后，摩托車最多行駛25km

D.摩托車充滿電后，行駛18km將自動報警

【變式2】（2025?廣西?中考真題）生態(tài)學家G.F.Gause通過多次單獨培養(yǎng)大草履蟲實驗，研

究其種群數量y隨時間t的變化情況，得到了如圖所示的“S”形曲線.下列說法正確的是

（）

0123456時間〃天

A.第5天的種群數量為300個B.前3天種群數量持續(xù)增長

C.第3天的種群數量達到最大D.每天增加的種群數量相同

【變式3】（2025?四川成都?中考真題）小明從家跑步到體育館，在那里鍛煉了一段時,可后

又跑步到書店買書，然后步行回家（小明家、書店、體育館依次在同一直線上），如圖

A.小明家到體育館的距離為2kmB.小明在體育館鍛煉的時間為45min

C.小明家到書店的距離為1kmD.小明從書店到家步行的時間為40min

【題型4用描點法畫函數圖象】

【典例4】（2024?北京?中考真題）小云有一個圓柱形水杯（記為1號杯），在科技活動中,

小云用所學數學知識和人工智能軟件設計了一個新水杯，并將其制作出來，新水杯（記

為2號杯）示意圖如F，

當1號杯和2號杯中都有UmL水時，小云分別記錄了1號杯的水面高度右（單位：cm）

和2號杯的水面高度電（單位：cm）,部分數據如下：

17mL040100200300400500

必02.55.07.510.012.5

/cm

h202.84.87.28.910.511.8

/cm

⑴補全表格（結果保留小數點后一位）；

（2）通過分析數據，發(fā)現可以用函數刻畫七與V,電與V之間的關系.在給出的平面直角坐

標系中，畫出這兩個函數的圖象：

八"/cm

13—7

1-2

ji—

10—

：9—

i8■■■}?

;7—

：6—

：5--

：-3--

\2-

IIIIIIIIIaIII

j____；_i_；_j_；_j_；_j_s_j_；_>

0L1()OJ2QOJ.3()O.L4Q0一.5Q0：勿mL

⑶根據以上數據與函數圖象，解決下列問題:

①當1號杯和2號杯中都有320mL水時，2號杯的水面高度與1號杯的水面高度的差

約為cm（結果保留小數點后一位）；

②在①的條件下，將2號杯中的一都分水倒入1號杯中，當兩個水杯的水面高度相同

時，其水面高度約為cm（結果保留小數點后一位）.

【變式1】（2025?北京?中考真題）工廠對新員工進行某種工藝品制作的培訓.在完成理論

學習后，新員工接下來先使用智能輔助訓練系統(tǒng)進行一次為期T日（T可取0,1,2

或3）的模擬練習，然后開始試制.記一名新員工在試制階段的第x日單日制成的合格

品的個數為y,根據以往的培訓經驗，對于給定的丁，可以認為y是x的函數.當7=0

對于給定的八在平面直角坐標系xOy中描出該廠值下各數對（％y）所對應的點，并根據

變化趨勢用平滑曲線連接，得到曲線當T=1和7=2時，曲線％,Q如圖所示.

⑴觀察曲線C1，當整數X的值為時，y的值首次超過35；

⑵寫出表中///的值，并在給出的平面直角坐標系中畫出T-3時的曲線Q；

⑶新員工小云和小騰剛剛完成理論學習，接下來進行模擬練習和試制.

①若新員工單口制成不少于45個合格品即可獲得“優(yōu)秀學員〃證書，根據上述函數關系,

小云最早在完成理論學習后的第日可獲得“優(yōu)秀學員〃證書；

②若工廠希望小騰在完成理論學習后的4日內制成的合格品的總數最多，根據上述函

數關系，在這4日中應安排小騰先進行日的模擬練習.

【變式2】(2023?遼寧阜新?中考真題)某中學數學興趣個組的同學們，對函數y=Q|x-燈+c

(mb,。是常數，。工0)的性質進行了初步探究，部分過程如下，請你將其補充完

整.

(1)當Q=1,b=c=0時，，即y=IH,當％NO時，函數化簡為y=x；當％v0時，函數

化簡為y=.

(2)當a=2,b=1,c=0時，即y=2l%-l|.

①該函數自變量x和函數值y的若干組對應值如下表：

X…-2-101234???

y—6m20246—

其中m=.

②在圖1所示的平面直角坐標系內畫出函數y=21工-1|的圖象.

圖1圖2

（3）當Q=-2,b—l,c—2時,即y=-2|x-1|+2.

①當工工1時，函數化簡為y=.

②在圖2所示的平面直角坐標系內畫出函數y=-2\x-l\+2的圖象.

⑷請寫出函數y=Q|z-b|+c（。，b,。是常數，a^O）的一條性質：.（若所

列性質多于一條，則僅以第一條為準）

【變式3】（2023?北京?中考真題）某小組研究了清洗某種含污物品的節(jié)約用水策略.部分

內容如下.

每次清洗1個單位質量的該種含污物品，清洗前的清潔度均為0.800要求清洗后的清潔

度為0.990

方案一：采用一次清洗的方式.

結果：當用水量為19個單位質量時，清洗后測得的清潔度為0.990.

方案二：采用兩次清洗的方式.

記第一次用水量為/個單位質量，第二次用水量為上個單位質量，總用水量為。】+上）

個單位質量，兩次清洗后測得的清潔度為C.記錄的部分實驗數據如卜.：

11.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.0

必0.81.01.31.92.63.2434.05.07.111.5

11.810.01038.98.17.77.87.08.09.112.5

C0.9900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990

對以卜實驗數據進行分析，補充完成以下內容.

（I）選出。是0.990的所有數據組，并劃“V”；

（n）通過分析（I）中選出的數據，發(fā)現可以用函數刻畫第一次用水量和總用水量

%1+小之間的關系，在平面直角坐標系xOy中畫出比函數的圖象；

y

ii

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

O12345678910111213~~x

結果：結合實驗數據，利用所畫的函數圖象可以推斷，當第一次用水量約為個單

位質量（精確到個位）時，總用水量最小.

根據以上實驗數據和結果，解決卜列問題：

（1）當采用兩次清洗的方式并使總用水量最小時，與采用一次清洗的方式相比、可節(jié)

水約個單位質量（結果保留小數點后一位）；

（2）當采用兩次清洗的方式時，若第一次用水量為6個單位質量，總用水量為75個

單位質量，則清洗后的清潔度C0.990（填，或.

【題型5動點問題的函數圖象】

【典例5】（2025?江蘇南京?中考真題）如圖，在長方形電子屏4BCD中，AB=8m,

AD=5m,一條公益廣告畫面的動態(tài)效果設計如下：動點P從點A出發(fā)沿邊AB,BC以2

m/s的速度向點C運動，隨著DP的移動，畫面逐漸展開.

⑴寫山展開的畫面面積S（單位：m2）關于點P的運動時間t（單位：s）的函數表達式;

⑵當展開的畫面面積達到甩子屏面積的%寸開始播放廣告語，播放時間持續(xù)3s,求播放

結束時展開的畫面面積.

【變式1】（2025?山東東營?中考真題）如圖，在同一平面內放置的RtZXEPG和矩形Z8CD,

EG與力B重合，FG=3cm,AB=4cm,BC=5cm,Rt△￡TG以lcm/s的速度沿口。方向

勻速運動，當點尸與點C重合時停止.在運動過程中，Rt^EFG與矩形48CD重疊部分

的面積S（cm2）與運動時間/（$）之間的函數關系圖象大致是（）

【變式2］（2025?湖北?中考真題）如圖1,在△4BC中，LC=90°,BC=4cm,AB=ncm.動

點、P,。均以lcm/s的速度從點C同時出發(fā)，點尸沿折線向點4運動，點Q沿邊

。向點A運動.當點,Q運動到點力時，兩點都停止運動.的面積S（單位：cm?）

與運動時間t（單位：s）的關系如圖2所示.（1）m=；（2）n=.

【變式3】（2025?浙江?中考真題）為了實時規(guī)劃路徑，衛(wèi)星導航系統(tǒng)需要計算運動點與觀

測點之間距離的平方.如圖1,點P是一個固定觀測點，運動點。從力處出發(fā)，沿筆

直公路A8向目的地8處運動.設AQ為x（單位：km）（0Wx式八）,。、?為（單位：

km2）.如圖2,y關于x的函數圖象與歹軸交于點C,最低點。（m,81）,且經過E（l,225）

和「（上225）兩點.下列選項正確的是（）

I

/

22

J

/81H-——*

/IlI?123456

p?hI__I_!I!.

P01wn~x

圖1圖2

A.m=12B.n=24

C.點C的縱坐標為240D.點(15,85)在該函數圖象上

隨堂檢測

1.（2025?貴州?模擬預測）在平面直角坐標系中，下列各點屬于第四象限的是（）

A.（4,-1）B.（-3,4）C.（1,3）D.（-3-1）

2.（2025?四川成都?模擬預測）已知第二象限的點P（—5,4）,那么點尸到y(tǒng)軸的距離為（）

A.5B.4C.-5D.-4

3.（2025?廣東東莞?模擬預測）已知點4（-3,2）,8（研+1）,且一IIX軸，則a的值為（）

A.-3B.-4C.2D.1

4.（2024?河北保定?一模）如圖，用八1工軸，點用（-3,5）,MN=3,則點N的坐標為（）

N

OX

A.（-6,5）B.（-3,2）C.（3-2）D.（-3,3）

5.（2025?新疆?模擬預測）若點雙機-1,5+m）在y軸上，則點力的坐標是（）

A.（-6,0）B.（6,0）C.（0,-6）D.（0,6）

6.（2025?河南鄭州三模）如圖，如果“馬”在點（一1，0）,"仕"在點（1，-3）,則“帥〃所在點的

坐標是（）

!V一工:碘W...+一?

—儂加…?"，」

A.(3,0)B.(1-3)C.(1,3)D.(2,-3)

7.(2025?江西吉安?二模)如圖，燒杯中裝有適量Ca(OH)2溶液，向燒杯中不斷滴入稀鹽酸

后，燒杯中的溶液的PH值變化情況用圖象可近似表示為()

8.(2025?河南鄭州?一模)如圖1,質量為機的小球從某高度處由靜止開始下落到豎直放置

的輕彈簧上并壓縮彈簧(已知自然狀態(tài)下，彈簧的初始長度為10cm).從小球剛接觸

彈簧到將彈簧壓縮至最短的過程中(不計空氣阻力，彈簧在整個過程中始終發(fā)生彈性形

變)，得到小球的速度儀cm/s)和彈簧被壓縮的長度〃(cm)之間的關系圖象如圖2所

示.根據圖象，下列說法正確的是()

▲i(cms)

26△Acin)

圖2

A.小球從剛接