吉林省長(zhǎng)春市經(jīng)開區(qū)2025-2026學(xué)年上學(xué)期期末九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷 （含答案）

長(zhǎng)春經(jīng)開區(qū)2025-2026學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷

本試卷包括四道大題，共24小題，共6頁(yè).全卷滿分120分.考試時(shí)間為120分鐘.

一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）

I.計(jì)算（2&y所得的結(jié)果是（）

A.2B.4C.6D.8

2.袋子中裝有4個(gè)黑球和2個(gè)白球，這些球的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同，在看不到球的條件下，隨機(jī)地從袋

子中摸出3個(gè)球，下列事件是必然事件的是（）

A.至少有一個(gè)黑球B.至少有一個(gè)白球C.至少有兩個(gè)黑球D.至少有兩個(gè)白球

3.一元二次方程/=9的解為（）

A.x}=x2=3B.再=-3,x2=3

C.X1=x2=>/3D.X1=-V3,x2=

4.在比例尺為1:40000的地圖上，量得兩地的距離是15cm,則兩地間的實(shí)際距離是（）

A.60000mB.6000mC.600mD.600ktn

ABC=30°,點(diǎn)。在C8延長(zhǎng)線上，且BD=L/iB,連接力。，則tan/D4c的

5.如圖，△48C中，ZC=90°

2

值為（）

A.I+V3B.2+百C.3D.3^3

二、多項(xiàng)選擇題（每小題3分，共9分）

6.下列式子中，不是最簡(jiǎn)二次根式的有（）

1

A.6B.C.，300D-旃

7.我們規(guī)定：若一個(gè)三角形中的某一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么我們把這個(gè)三角形叫作“7-三角形卜列

各組數(shù)據(jù)中，能作為一個(gè)“7-三角形”三邊長(zhǎng)的一組有（）

A.1,2,3B.1,1,V2C.1,2,6D.1,2,M

8.如圖，在△/8C中，AB=AC,4=90。，正方形MNPQ的頂點(diǎn)M、N均在邊上，頂點(diǎn)2、。分別在邊力C、

力B上,△力8C的面積為18.則下列語(yǔ)句中，正確的有（）

C.^ABQAfD.SMNC=4

三、填空題（每小題3分，共18分）

9.請(qǐng)任意寫出一個(gè)能使萬(wàn)而有意義的〃，值:

10.從1到9的連續(xù)自然數(shù)中任取一個(gè)，是偶數(shù)的概率是.

11.已知一元二次方程.d-6x+c=0有一個(gè)根為2,則另一個(gè)根為

12.cos60。的值等于,

3如圖'在平行四邊形"。中‘點(diǎn)人"分別為邊4。和對(duì)角線如上的點(diǎn)"EF〃通若DE*E1,

4

點(diǎn)尸（〃八6）在第二象限內(nèi).若。0與x軸負(fù)半軸的夾角。的正切值為:，則〃?的值

為.

四、解答題（本大題10小題，共78分）

15.已知甲袋有3張分別標(biāo)示1、2、3的號(hào)碼牌，乙袋有3張分別標(biāo)示6、7、8的號(hào)碼牌，榕榕分別從甲、乙兩袋

中各抽出一張?zhí)柎a牌.每張?zhí)柎a牌被抽出的機(jī)會(huì)相等，請(qǐng)借助列表或樹狀圖，求她抽空網(wǎng)張?zhí)柎a牌上數(shù)字乘枳為3

的倍數(shù)的概率.

16.解一元二次方程：X2-3X+5=0.

17.判析如的值在哪兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間，并簡(jiǎn)要寫出推理過(guò)程.

18.如圖，矩形48CO中，點(diǎn)E在邊BC上，連接。E,4F上DE于點(diǎn)、F,AB=24,AD=\5,BE=8.

（1）求證：AAEDs^DCE.

（2）求力尸的長(zhǎng).

19.一家小超市1月份的利潤(rùn)是50000元，3月份的利潤(rùn)達(dá)到60500元，求這兩個(gè)月的利潤(rùn)平均月增氏的百分率.

20.有長(zhǎng)度分別為3、5、6、9的四條線段，不采用樹狀圖與列表的方法，求任取其中三條線段能構(gòu)成三角形的概

率，并加以說(shuō)明.

21.如圖，小李在森林公園瞭望塔的點(diǎn)力處，測(cè)算塔下方的一棵樹的高度.觀測(cè)到點(diǎn)力處到地面的距離48為20米，

樹頂。處的俯角為44。，塔底8到這棵樹的距離為12米.求這棵樹的高度.（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：

sin44°=0.69,cos44°=0.72,tan44c=0.97）

B

22.如圖，正方形48co的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E在CO邊上，連接/E,/D4E=30。，點(diǎn)〃為力上的中點(diǎn)，線段。。過(guò)

點(diǎn)〃交力。、8C于點(diǎn)P、Q,PQLAE.求PM、的長(zhǎng).

23.【問(wèn)題探究】如圖①，△4%中，點(diǎn)。、E分別為邊4C、48的中點(diǎn)，若ND4C=40。，ZDJ^=70°,AD=3,

求AC的長(zhǎng).

nr\I

【方法拓展】如圖②，MB。中，點(diǎn)D為8c邊上的一點(diǎn)，—若/D4C=120°,ND48=30。，力。=3,求

力。的長(zhǎng).

圖①圖②

24.我們規(guī)定：若一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)都在一個(gè)三角形的邊上（不與端點(diǎn)重合），且這條線段截得的小三角形與原

三角形相似，相似比為則把這條線段叫做這個(gè)三角形的“半似位線

(1)等邊三角形的“半似位線”的條數(shù)為條.

(2)一個(gè)三角形的“半似位線”把三角形分成的兩部分圖形的面積之比是.

(3)若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)之比為1:2:石，則這個(gè)三角形的“半似位線”的條數(shù)為條.

(4)如圖，在△48C中，/B=90。,AB=40,8C=30.點(diǎn)P從點(diǎn)片出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿月8向終

點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)；在點(diǎn)。出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)力出發(fā)，以每秒。個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿折線4C—C8向終點(diǎn)8運(yùn)動(dòng).設(shè)

運(yùn)動(dòng)時(shí)旬為f秒.

①用含/的代數(shù)式表示PB的長(zhǎng)為.

②當(dāng)PQ為△人BC的“半似位線”時(shí)，直接寫出。的值.

參考答案

1.D

解：(2及y=22x(0)2=4x2=8.

故選：D.

2.A

A、是必然事件，故本選項(xiàng)符合題意；

R、是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)不符合題意:

C、是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)不符合題意;

D、是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)不符合題意,

故選：A.

3.B

解：X2=9,

/.x=±3,

=3,x2=-3.

故選：B.

4.B

解：設(shè)兩地間的實(shí)際距離是'em,

15:x=1:40000,

Ax=600000,

???600000cm=6000m,

???兩地間的實(shí)際距離為6000m,

故選：B.

5.A

解：在△ABC中，ZC=90°,ZJ5C=30°,

，AB=2AC，

設(shè)4C=x,則/8=2x,8C=口82—4(72=&?，

??BD=-AB,

2

???BD=x,則CO=3C+4O=百X+T=(W+1)x,

?DC(囪+l)x

??tanZDAC=--=--------=0+1，

ACx

故選：A.

6.BCD

解：A.右為最簡(jiǎn)二次根式；

B.被開方數(shù);含分母，故不是最簡(jiǎn)二次根式；

V33

c.而可簡(jiǎn)化為ioG，故不是最簡(jiǎn)二次根式；

D.喘分母中含有根號(hào)，故不是最簡(jiǎn)二次根式；

故選：BCD.

7.BC

解：A、1+2=3,不能構(gòu)成三角形，不符合題意；

B.12+12=(^)\該三角形為等腰直角三角形，三個(gè)角分別是90。,45。,45。的直角三角形，其中，90。+45。=2,符

合“7-三角形”的定義，符合題意；

C.12+(>/3)2=22,該三角形為直角三角形，最小的角的正弦為g,則最小的角為30。，

則三個(gè)的分別是30,60,,90,其中60。：30。=2,符合“7-三角形”的定義，符合題意.

D、12+22=(6)、是直角三角形，但是不滿足某一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，不符合題意；

故選：BC.

8.ABD

解：:AB=AC,ZJ=90°,

Zfi=ZC=45°,

?.?正方形MVP0,

:.QP\\MN,QM1BC,PNIBC,

&BMQ和△PNC是等腰直角三角形，

/.QP=MN=QM=BM=PN=NC,

:.BC=BM+MN+NC=3PN,故B選項(xiàng)符合題意；

??,QPIIMN,

AAQPsAABC,

.g絲」，

ABBC3

：.AB=3AQ,

BQ=2AQ,故A選項(xiàng)符合題意；

又?：QP〃MN,

AAQP=NB=45°,ZAPQ=ZC=45°,

：MQP和△M08是等腰直角三角形，QP=QM=6AQ,

:."QPs^MQB,

AQAQAQ_V2

"~QM=~QP=41AQ=T

SAA@I2J2

?.S.BQM=2s“PQ,故c選項(xiàng)不符合題意：

,,Sa80M=與GAPQ?則SaPNC=SdBQM=苞/也，

S正方形=XsBMQ~鋁40P，

：,S"BC=S“Qp+S^BQM+SJNC+S正方形北丫段二18,

即5SQPC+&aNPC+2SGNPC=18，

解得'YPC=4,故D選項(xiàng)符合題意.

9.2（答案不唯一）

解：要使，3-〃?有意義,需滿足3-620,

解得〃?《3.

因此，任意取小43的■個(gè)值即可，例如m=2.

故答案為：2（答案不唯一）.

l0-I

解:從1到9的自然數(shù)中，偶數(shù)包括2,4,6,8,共4個(gè)，總數(shù)為9個(gè),

因此任取一個(gè)數(shù)是偶數(shù)的概率為］4.

4

故答案為：

11.4

解：設(shè)方程的另一個(gè)根為“，

由根與系數(shù)的關(guān)系可得小+2=6,

/."7=4,

???方程的另一個(gè)根為4,

故答案為;4.

12.-##0.5

2

解：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可知，

cos6（）。的值為/,

故答案為：.

25

解：???DE=；E4,

/.AD=AE+DE=?力￡,

4

.AD5

??=一，

AE4

,四邊形/BCD是平行四邊形，

：.CD\\ABt

,:EF/!AB,

：.EF\\CDt

：?AADCS"EF,

.DCAD=5

,?甘?力￡―4，

EF=5,

DC5

.??。。=與，

4

?:四邊形ABCD是平行四邊形,

25

AAB=CD=--.

4

故答案為：V

4

9

14.-T

?—---=—

m3

-4m=3x6,

-4m=18,

9

9

故答案為：-Q

解：運(yùn)川列表法或畫樹狀圖法把所有等可能結(jié)果表示如下,

共有9種等可能結(jié)果，其中乘積為3的倍數(shù)有5種：（1,6）、（2,6）、（3,6）、（3,7）、（3,8）,

???抽出兩張?zhí)柎a牌上數(shù)字乘積為3的倍數(shù)的概率為［.

16.無(wú)實(shí)數(shù)根

解：在一元二次方程一一34+5=0中，。=11=-3,°=5,

/.A=（-3）2-4xlx5=-ll<0,

???方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

17.在24和25之間,見解析

解：Vl5xV40=>/600,

242=576，25—625,

24<V600<25，

24<x/15x5/40<25.

18.（1）見解析

72

⑵肝=不

（1）證明：???四邊形44CO是矩形，

AZ^C=ZC=90°,

JZADF+ZCDE=ZCDE+ZCED=90°,

ZADF=/DEC,

VAFIDE,

：.ZAFD=ZC=900,

???"FDS^DCE；

（2）解：根據(jù)題意，AD=BC=\5,AB=CD=24,

:.CE-BC-BE-15-8—7,

,DE=>JCD2+CE2=V242+72=25?

???“FDs^DCE,

,AFADAF15

..——=——，H即I1——=一,

CDDE2425

72

解得，JF=y.

19.10%

解：設(shè)這兩個(gè)月的利潤(rùn)平均月增長(zhǎng)的百分率是x，

根據(jù)題意得：50000（1+x）2=60500,

解得：$=0.1=10%,七二-2.1（不合題意，舍去）.

答：這兩個(gè)月的利潤(rùn)平均月增長(zhǎng)的百分率是10%.

20.《

解：從長(zhǎng)度分別為3,5,6,9的四條線段中任取三條，共有（3,5,6）、（3,5,9）、（3,6,9）、（5,6,

9）四種等可能結(jié)果，

其中能組成三角形的有（3,5,6）、（5,6,9）兩種等可能結(jié)果，

所以能組成三角形的概率（2=；1

21.8.4米

如圖，作CEJ.48于E,則四邊形E5OC為矩形，

BD

AP

在Rt^AEC中，tanZACE=——，

EC

貝ij4E=EC-tanZ/1C￡=12x0.97=11.64,

CD=BE=AB-AE=8.36。8.4米，

答：這棵樹的高度約為8.4米.

22.PM=2、M0=4方-2

解：在正方形ABC。中，ZD=90°,ZDAE=30°,AD=AB=BC=CD=6,

AAE=2DE,

AD2+DE2=AE2，

???62+DE2=（2DE）",

:?DE=2出（負(fù)值舍去），力石=46,

???點(diǎn)/為4?的中點(diǎn)，

Z.AM=EM=-AE=2y[3,

2

VPQ1AE,

AZ/4AfP=90°,且/尸力M=30°,

JAP=2PM

VPM2+AM2-AP2

：.PM2+AM2=（2PM）2,

:?AM=?PM=26，

/.PM=2,力尸=2尸.”=4,

AZ）P=JD-JP=6-4=2,則QP=MP=2,

如圖所示，連接PENCE。，

/.Z.D=Z.PME=90。,PE=PE,PD=PM,

RSPDEWRIAPME（UL）,

DE=ME=26,

:?CE=CD-DE=6-26

???點(diǎn)〃為力E的中點(diǎn)，PQA.AE,

???。。是線段力石的垂直平分線，則42=E。，

設(shè)C0=x,則8。=8。一。0=6-x,

在MA/8。中,AQ2=AB2+BQ2=62+（6-x）2,

在RsCE。中,EQ2=CE2+CQ2=（6-2>/3）?+x2,

AQ2=EQ2,

/.62+（6-X）2=（6-2^）2+?,

解得，x=2石+2,

Je2=62+(6-2^-2)2=64-16^,

在中，

MQ=^AQ2-AM2

=V64-16X/3-12

=752-1673

=^(4^3)2-2x2x475

=M§-2)2

=4>/3-2；

，PM=2,A/0=4百-2.

23.問(wèn)題探究：AC=6；方法拓展：AC=9

解；問(wèn)題探究?.?/)、E分別為邊8C、的中點(diǎn)

DE(iAC,DE=-AC

2

：.ZDAC=^ADE=40°

vZDAB=70°

:ZED=180°-ZDAB-/ADE=70°

/.Z.DAE=ZAED=70°

AD=DE=3(cm)

JC=2D￡=6(cm)

方法拓展：如圖，過(guò)8作〃4C,交力。延長(zhǎng)線于E,

A

vBE//AC,

就一、疝C

E

NE=ND4c=120。，

vZD/i5=30°,

.?Z8E=30。，

/.AE=3E,

BE/!AC,

.'.ABED^^CAD,

.Bl)DE_HE_\

"~CD~^4D~^4C~2,

:.AC=2BE,AD=IDE

vJD=3(cm),

3

DE=—(cm),

39

=JE=-+3=-(cm),

22

/.AC=9(cm).

24.(1)3條

(2)1:3

(3)4條

(4)①40-5/；②律■或4或竽或12

44

(1)解：如圖，在等邊△48。中，取各邊中點(diǎn)。，E,F,連接OE,EF,DF.

???點(diǎn)D尸分別是48,4C的中點(diǎn)，

/.DF//BC,DF=、BC,

2

DFI

：.“DFS.ARC,相似比為器=5，

???。尸是等邊△力8c三角形的“半似位線”.

同理可得DE,EF是等邊AABC三角形的“半似位線”.

???等邊三角形的“半似位線”的條數(shù)為3條.

故答案為：3.

(2)解:如圖，OE是△力8C的“半似位線”，

:.AADEsAABC,且相似比為上,

.反皿/1]_1

S“BC12)，

.S“DE-1

??q_q,

“四邊彩8cmJ

????個(gè)三角形的“半似位線”把三角形分成的兩部分圖形的面枳之比是1:3.

故答案為：1:3.

(3)解：???一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)之比為1:2:6,

???如圖，不妨設(shè)4B=k,BC=2k,AC=4ik(A>0)

取各邊的中點(diǎn)DE,F,連接OE,EF,DF,

：,DF/7AC,DF=-AC,

2

：.△BDFsABAC,且相似比為空=:，

AC2

???DF是LABC的“半似位線”,

同理可得，DE,EF是△48。的“半似位線

如圖，若G〃是的“半似位線"，豆△"BGs4*

：.BH=-AB=-kBG=-BC=-x2k=k,

222f2

此時(shí)8G=48,點(diǎn)G與點(diǎn)力重合，

不符合，半似位線”的定義，即G”不是△48C的“半似位線”.

如圖，若"N是△力8c的“半似位線"，且△/M/Vs△48C,

AMAN\

貝Ml|lJ——=——=-

ABAC2

:.AN=-AC=-xy/5k=—k?

222

此時(shí)4V點(diǎn)N不在邊力4上，

不符合“半似位線”的定義，即A/N不是△相。的“半似位線”.

如圖，若。。是△/8C的“半似位線”，且△0PCs”8C,

A

皿PCQCI

貝I」一=—=-

BCAC2

:?PC《BC=k,℃=g/c=；x&=當(dāng)，

符合畔似位線”的定義，即P。是的“半似位線”.

綜上所述，這個(gè)三角形的“半似位線”的條數(shù)為4條.

故答案為:4.

(4)解：①當(dāng)運(yùn)動(dòng)/秒時(shí)，AP=5t,

???PB=AB-AP=40-5t.

故答案為：40-5/.

②：在Rlz2\/i6CH』，AB=40,6c=30,

'AC=y/AB2+BC2=50-

(I)