初中數(shù)學《圓中相似》含答案

專題07圓中相似

【小題熱身】

1.如圖，AABC內(nèi)接于OO,4E14C于點E,是OO的直徑，若鹿=6,AE=2,AC=3,則

長是（）

A.7B.8C.9D.10

2.如圖，MBCSMDE,NBAC=/DAE=900,AB=4,AC=3,b是QE的中點，若點E是直線

4c上的動點，連接8/，則8戶的最小值是（）

A.2B.2c.5D.4

3.如圖，的直角項點0,另一項點A及斜邊46的中點。都在上，AC=6,BC=8,則

的半徑為.

4.如圖，力8是。。的直徑，力C是。。的弦，ODJ.4c于D,連接。C,過點D作DF7/OC交AB于F,

過穹點4的切線交4C的延長線于￡.若彳。=4,2,則8E=____________.

5.如圖，在“8。中，Z5=90°,AB=6,BC=4,點0在力C邊上，°°與邊48、8c分別切于點。、

CO

E,則37的值為__________.

二

ADB

6.如圖，△ABC內(nèi)接于OO,AHLBC于點H,若/4c=8,AH=6,O。的半徑OC=5,則A8的值為

?

7.如圖，在R/AJOB中，408=90。，O/=4,OB=6,以點。為圓心，3為半徑的與。8交于

點C,過點C作CO~L°8交48于點。,點P是邊。力上的點，則PC+P。的最小值為____.

)

8.如圖，在中，N，4CB=90。,*4,。=6,OC半徑為2,〃為圓，一動點，連接4尸，

初中

AP+-BP

BP,2的最小值為

【磨刀霍霍】

9.如圖，力8為的直徑，C為0°上一點、,力。和過C點的切線互相垂直，垂足為。.

(1)求證：4c平分N加8；

(2)若仞=4,AC=5f求48.

10.如圖，以△力4。的邊力〃為直徑作O°,交8c于點。，過點。的切線OE,XC于點E.

（1）求證：AB=AC.

（2）若/8=10,8求DE的長.

11.如圖，在。。中，48為。。的直徑，直線。E與。。相切于點。，割線4c,DE于點E且交。。于點

F,連接OF.

(1)求證：4D平分乙847；

(2)求證：DF1=EFAB.

初中

D

F

12.如圖，力〃是O0的直徑，力。是。°的弦，點F是以延長線上的一點，過0°上一點C作。。的切

線交DF于點E,4c平分NR4B.

(1)求證：CE1DF.

(2)若力E=2,CE=4,求OO的半徑.

13.如圖，在“4。中，，48:4C,以為直徑的0°交4c于點0,過點。作OE_L4c于點R

(1)求證：。后是。。的切線：

(2)若8=8，0°的半徑等于5,求線段CE的長.

14.如圖，已知力8為圓直徑，M切圓于點8,過點A作力C〃0尸，交圓。于點C,連接產(chǎn)C.

(1)求證：夕。為圓。的切線；

(2)若。「-I。，AC=2,求圓。的半徑.

初中

15.如圖，*△/8C中，N5=90。，點￡＞為/C上一點，以6為直徑的交4"于點E,連接小,

CE平分N4CB.

(1)求證：力七是0°的切線;

(2)若==2右，BE=2,求°°的半徑.

16.如圖，點D是根8c中/〃邊上一點，以力。為直徑的與8c相切于點g連接C0.

⑴求證：/BCD=NA；

(2)若的半徑為3,4c=2CD,求8c的長.

17.如圖，是。。的直徑，彳力與。°交于點4點E是半徑。力上一點(點￡不與點0,A重合).連

接。月交。。于點C,連接°,CB.若a=c。，々BC=ND.

(1)求證：力。是的切線.

(2)若力8=13,CA=CD=5t則力。的長是.

18.如圖，點C在以力〃為直徑的0°上，點。是8c的中點，連接°。并延長交0°于點邑作

/EBP=4EBC,交的延長線于點p.

初中

(1)求證：是0°的切線；

(2)若力。=2,PD=6,求。。的半徑.

19.如圖，C。為。。的宜徑，弦48_LC0,垂足為H,P是8延長線上一點，DELAP,垂足為

(1)求證：AE為。。的切線；

(2)已知PA=2,PD=1,求O。的半徑和。￡的長.

20.如圖，點I是AABC的內(nèi)心，AI的延長線和aABC的外接圓相交于點D,與BC相交于點E.

(1)求證：DI=DB；

(2)若AE=6cm,ED=4cm,求線段DI的長.

21.如圖，在△力"。中，AB=ACf以力〃為直徑作。。交8c于點。，過點。作0°的切線交4。于

點E,交4?延長線于點尸.

(1)求證：DELAC,

nr,_10

DT--------

(2)若48=1(),3,求花的長.

初中

B.D

22.如圖所示，AB是的直徑，C8,CE分別切0°于點8、點。,CE與8A的延長線交于點E,連接

OC,0D.已知AE=b,BC=c,請選用以上適當?shù)臄?shù)據(jù)，設計出計算的半徑r的一種方

案.

（1）你選用的已知數(shù)據(jù)是.

（2）寫出求解過程（結果用字母表示）.

初中

專題07圓中相似

【小題熱身】

1.如圖，.ABC內(nèi)接于0O,4ELBC于懸E,力力是0。的直徑，若止6,AE=2fAC=\則

力。長是（）

【答案】C

【分

連接CD,可證明AABE?aADC,利用線段成比例求出AD的長.

【詳解】

連接CD,

...AC=AC

??.ZB=ZD

?AD是直徑，

.?.ZACD=90°,

...AE1BC

.-.△ABE-AADC

AB_AE6_2

，而一就，即布一§

.*.AD=9

故選C.

初中

【點睛】

此題主要考查圓內(nèi)的線段求解，解題的關鍵是熟知相似三角形的判定與性質(zhì).

2.如圖，MBC?MDE,NBAC=NDAE=90',44=4,AC=3f廠是DE的中點，若點E是直線

8c上的動點，連接3尸，則的最小值是（）

A

/\\

6

-

C5D4

【答案】B

【分析】

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到4ADE=4ABE,推出點A,D,B,E四點共圓，得到乙DBE=90。，根據(jù)直角三

角形的性質(zhì)得到BF=5DE,當DE最小時，BF的值最小，DE最小,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結

論.

【詳解】

解:vAABC-AADE,

.??ZADE=ZABE,

.??點A,D,B,E四點共圓，

?"DAE=90°,

.?.ZDBE=9O°,

???F是DE的中點，

上

.-.BF=2DE,

.,?當DE最小時,BF的值最小，

???若點E是直線BC上的動點，

.?.當AE1BC時，AE最小，此時，DE最小,

???ZBAC=90°,AB=4,AC=3,

.-.BC=5,

ABxAC12

.*.AE=BC5,

vAABC-AADE,

ACBC

：.~AE=~DE,

35

???《，

初中

??QE=4,

.?.BF=2,

-----------飛~b

【點睛】

本題考查了相似三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，四點共圓，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，確定

出當DE最小時，BF的值最小是解題的關鍵.

3.如圖，《△/AC的直角項點C,另一項點A及斜邊48的中點。都在°°上，AC=6fBC=8,則

的半徑為.

B

【答案】8

【分析】

作輔助線，構建相似三角形，證明△8DEs^BC4列比例式求出0E的長，最后利用勾股定理求直徑

進而即可求解.

【詳解】

解：連接。人AE.CD,

B

A

初中

■：￡ACB=90°,

ME是O。的直徑，

."DE=90°,

?:乙EBD-ABC,乙BDE=KBCA=90°,

:ABDES^BCA,

DEBD

:.'AC=~BC,

???。是斜邊4B的中點，

'.BD=AD,

由勾股定理得：止用+82=1()，

?.BD=AD=^AB=5,

DE_5

.?.~6~=8,

15

：.DE=4,

'-0E=AE=8,

25

故答案為：8.

【點睛】

本題考查了圓中的基本性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線，構造相似三

角形，是解題的關鍵.

4.如圖，是。。的直徑，是。。的弦，ODtAC于D,連接0C,過點D作DF7/OC交4B于F,

DF=-

過點4的切線交力C的延長線于￡.若4)=4,2,則3E=.

【答案】2

【分析】

證明△力。尸?△力C。求得47,利月勾股定理求得CB的長，再利用△彳8￡?△4C8求得8E.

初中

【詳解】

解：如圖所示，連接8c

?./3是OO的直徑，ODLACyD

：.NACB=/ADO=90。

又NCAB=/CAB

...△血）0~ACB

ADAO

...JC-^-2

...心8

乂；DF//OC

:.&ADF~"C0

DFAD\

...CO-JC_2

CO=2DF=2x-=5

2

.,AB=2CO=\0

^.,.AC24-CB2=AB2

...82+CZ?2=102

...C8=6或08=-6（舍去）

又BE為切線

：.ZABE=ZADO=90°

又ZC4B=Z.CAH

:.“BEfACB

ACCB

：,7B~~BE

8_6

即10BE

BE=—

2

【點睛】

本題考查圓的相關性質(zhì)、相似匚角形的判定和性質(zhì).直徑所對的圓周角是直角.圓的切線垂直于過切點

的半徑.相似三角形的對應線段成比例.

初中

5.如圖，在“8C中，N8=90。，4B=6,BC=4,點O在力C邊上，O。與邊川？、8c分別切于點Q、

CO

E,則57的值為.

2

【答案】3

【分析】

本題首先利用切線性質(zhì)以及圓半徑相等求證正方形OEBD,繼而利用平行推出線段比例關系以及

△8E~CAB,最后通過正方形以及相似性質(zhì)列方程求解BE、CE以解本題.

【詳解】

連接OE、0D,如下圖所示：

???圓與AB、BC相切，ZB=90°

.-.ZOEB=ZODB=90\

四邊形OEBD為矩形,OEHAB,

又；OE、0D為半徑，

.?必邊形OEBD為正方形.

COCE

由平行可知：40一BE,CAB,

OECE

：.7B~~CB,

又；OE=BE,

OEBC-BEBC-OE

,.7B~~BC—-—BC-,

初中

OE4-OE

即6-4,求得OE=BE=2.4,

.-.CF=1.6,

COCE_\.6_2

故布一詬一百一？.

2

故填：3.

【點睛】

本題考查圓、止方形以及相似性質(zhì)的綜合，題十見到切線信息點通常需要連接圓心與切點構迨輔助線,

題目若涉及線段比例時，通常考查相似性質(zhì)，可據(jù)此作為思路指引.

6.如圖，"8C內(nèi)接于。。，AHLBC于點H,若AC=8,AH=6t。。的半徑0C=5,則4B的值為

【分析】

作直徑AE,連接CE,證明△ABH?A4EC,然后由相似三角形的對應邊成比例列式計算即可.

【詳解】

作直徑A￡,連接C￡.

??FE是直徑，.??〃CE=90°,HBMACE.

ABAHAB

---=---=-6=-1-5

又.：乙B=LE,??,△ABHS^AEC,：.AEAC,gp10----8,解得：AB2.

15

故答案為5.

【點睛】

本題考查了圓周角定理及相似三角形的判定與性質(zhì).掌握圓周角定理、相似三角形的判定定理是解題的

關鍵.

7.如圖，在中,4OB=90。,OA=4tOB=6,以點。為圓心，3為半徑的。°,與交于

初中

點C,過點C作交48于點。，點。是邊04上的點，則PC+PO的最小值為

【答案】2而

【分析】

延長C。，交00于一點￡,連接PE,由題意易得OC=8C=O￡=3,/BCD=/AOB=90。，則有

△BCDS/OA,CP=PE,然后可得6=2,PC+PQ=PK+PQ,要使尸C+PQ的值為最小，即

尸￡+尸。的值為最小，進而可得當D、P、E三點共線時最小，最后求解即可.

【詳解】

解：延長C。，交0°于一點已連接PE,如圖所示：

=以點。為圓心，3為半徑的

：.OC=BC=OE=3,

?：N4OB=90。，CDLOB,

:,ZBCD=ZAOB=90°t

,.,CD//OA,CP=PE,

:?BCDs^BOA,

CDBC_1

：^OA~~OB~2y

...OA=4f

:.CD=2,

?:CP=PE,

...PC+PD=PE+PD,

則要使PC+0。的值為最小，即PE+P。的值為最小，

.?.當。、P、E三點共線時最小，即尸E+?O=OE,如圖所示：

初中

.?.在Rt^DCE中，DE=y/cD2+CE2=2M,

...PC+PQ的最小值為2亞；

故答案為2J證.

【點睛】

本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握

線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵.

8.如圖，在用△力BC中,N4CB=90。,BC=4,CJ=6,0c半徑為2,P為圓上一動點，連接力尸，

AP—BP

BP，2的最小值為.

【分析】

連接“、彳。和。。，證明△皮公BCP,在根據(jù)勾股定理求解即可;

【詳解】

解：如圖，

CDCP

在CB上取點O,使CO=1,則有。尸一。"一',

初中

又...NPCO=ZBCP,

...△PC?BCP,

PD1

.?.茄=5,

PD=-BP

2,

AP+-BP=AP+PD

2

AP+-BP

要使2最小，只要4>+<。最小，

當點A,P,。在同一條直線時，zlP+力。最小，

AP+-BP

即：2最小值為力。，

在RtZX/iCQ中，CD=\t力C=6,

：.AD=4AC?+CD2=歷,

AP+-BPr—

2的最小值為"37.

故答案為：質(zhì)

【點睛】

本題主要考查了圓的綜合，結合相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理計算是解題的關鍵.

【磨刀霍霍】

9.如圖，48為。。的直徑，C為。。上一點，力。和過C點的切線互相垂直，垂足為。.

（1）求證：力。平分ND48；

（2）若月。=4,AC=5f求力8.

25

【答案】（1）見解析；（2）4

【分析】

（1）連接℃，由切線的性質(zhì)可知CD,即證明力。〃℃,再由平行線的性質(zhì)可證明

ZDAC=ZACOf最后由圓的基本性質(zhì)可知/。1°=乙4c0,繼而得到ND4C=N3O,即力C平分

ND4B.

ADAC

（2）連接圍，由圓周角定理的推論可知N/C8=90。，即易證△'。-△。臺，從而得到正一通，即

初中

可求出八8的長.

【詳解】

(1)證明：連接℃,

...C是。。上一點，OC是切線，

：.OCLCDt

又，：4D工CD,

：,AD//OCt

...ZDAC-Z.ACO.

又,；40=0C,

:.￡CAO=NACO,

..ZDAC=ZCAOf

即力C平分ND48.

(2)連接C8.

..”4是的直徑，

.,ZACB=90°t

又,：NDAC=/CAB,ZADC=9Q°,

???&DAC~ACAB?

ADAC4_5

AC-AB,即《一48,

【點睛】

本題為圓的綜合題.考查切線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，圓周角定理以及相似三角

形的判定和性質(zhì).作出常用的輔助線是解答本題的關鍵.

10.如圖，以△力8C的邊力4為直徑作交8c于點。，過點。的切線OE，4c于點E.

初中

c

(1)求證：AB=4C；

(2)若"8:10,80=8,求祝的長.

【答案】(1)見解析；(2)4.8.

【分析】

(1)連接。。，根據(jù)切線性質(zhì)可得°。工夫。，結合DEL4C,可證明ODMC,可推山N0OA=/C,再利

用。8=0。即可得出=則/8=",此題得證；

(2)連接4。，因為A8為圓的直徑，所以〃。8=90。利用勾股定理求出八。的長，根據(jù)(1)中的結論，

可得CO=80=8,"C=10,則可利用相似三角形的判定及性質(zhì)得出比例式，然后進行計算即可.

【詳解】

(1)證明：連接°。，

CK

為切線,

0D1ED

?;DE上AC.

:.0DHAC

初中

:"ODB=NC.

OB=ODf

:"B=NODB.

/B=NC.

:..4B=AC.

(2)解：連結力。，

Q4B為直徑,

/ADB=90°.

?.78=10,80=8,

.?..40=6.

'：AB=AC,ADLBC

.-.CD=BD=8tAC=lO

4DAE=/CAD,ZDEA=ZCDA=90°

:&DEASACDA

.ADDE

"7C~CD,

6DE

二.—=——

108

/.DE=4.8.

【點睛】

本題考查了切線性質(zhì)定理、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理等知識，熟練掌握切線的性質(zhì)、相似三

角形的判定與性質(zhì)等相關知識是解題的關鍵.

11.如圖，在。。中，A8為。。的直徑，直線。￡與。°相切于點。，割線力C,OE于點E且交于點

F,連接DF.

（1）求證：4。平分NBAC;

（2）求證：DF2=EFAB.

【答案】（1）見解析：（2）見解析

【分析】

（1）連接。。，然后根據(jù)切線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，可以得到4004=NDAC,再根據(jù)。4=。。，可以得到

乙OADMODA,從而可以得至1吐。47=4。八。，結論得證；

（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可以得到0B?DF=EF?48,再根據(jù)等弧所對?的弦相等，即可證明結論

初中

成立.

【詳解】

解：（1）證明：連接00,如圖所示,

???直線。￡與O0相切于點D，ACLDE,

.-.ZODE=ZDE4=90°,

.??00MC,

??^.ODA=^DAC>

,-0A=0D,

'.Z.0AD=Z.0DA,

:.乙DAC=L0AD,

：.AD平分48AC：

(2)證明：連接OF,BD,如圖所示,

-ACWE,垂足為E,48是。0的直徑,

：.￡DEF=Z-ADB=90°,

??2EFD+〃FD=180°,Z-AFD+Z.DBA=18Q°,

'-Z.EFD=Z.DBA,

:AEFDMDBA,

EF=DF

...育一定,

初中

:.DB?DF=EF?AB,

由(1)知，4?平分4847,

'.Z.FAD=Z.DAB,

??.DF=DB,

:.DRuElAB.

【點睛】

本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，解答本題的關鍵是

明我題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結合的思想解答.

12.如圖，力〃是。。的直徑，力。是。°的弦，點F是。力延長線上的一點，過。。上一點C作。。的切

線交DF于點E,4c平分NE48.

(1)求證：CE1DF.

(2)若46=2,底=4,求OO的半徑.

【答案】(1)見解析：(2)5.

【分析】

(1)連接8C、0C,根據(jù)切線及等腰三角形的性質(zhì)得到N8=〃C￡,根據(jù)圓周角定理得到〃CB=90。,利

用宜角三角形性質(zhì)及角平分線定義可得〃CE+ZC*=9O。，即可求出4CE4=90。，則結論得證；

(2)根據(jù)勾股定理求出AC,利用幺C8=NCE4=90。，^B=^ACE,證明根據(jù)相似三角形的

性質(zhì)列出比例式，計算即可求出的半徑.

【詳解】

(1)證明：連接BC、0C,

???0C1CE,

初中

??.N0C4+〃CE=90。，

必8是。。的直徑，

.??〃C8=90°,

???NOC4+，OC8=90°,

??Z.OCB—Z-ACEt

???O8=OC,

.?.N8=Z_OC8,

?Z8+4648=90°,

.?."CE+NCA8=90°,

???AC平分ZF48,

.,.ZCA￡=ZC4B,

??&CE+NCA￡=90°,

.-.ZCF4=90°,

???CE1DF：

(2)解：vzCM=90%

...Ac=>lAE2+CE2=722+42=2后,

^^ACB=￡CEA=90°,Z.B=Z,ACE,

：,AACB^AAEC,

ABAC

:.ACAE,

AB245

即韭F,

解得48=10,

.??00的半徑為5.

【點睛】

本邈考查的是切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，掌握圓的切線的性質(zhì)及相似三角形的判定

與性質(zhì)是解題的關鍵.

13.如圖，在△力“。中，，48=4C,以48為直徑的交4c于點。，過點。作DE_L4C于點￡.

(I)求證：。七是的切線：

(2)若8=8,0°的半徑等于5,求線段”的長.

初中

【答案】⑴證明見解析;(2)CE=6.4.

【分析】

(1)連結0D,則由已知可以證得ODIIAC,再由DELAC可得DELDD,從而得到DE是00的切線；

(2)連結AD,則由AB是直徑可得乙ADC=90。，所以由AC=AB及CD的長即可得到AD的長,再由題意得

到RTADEC-RTAADC后根據(jù)相似性質(zhì)可以求得CE的長度.

【詳解】

(1)證明：如圖，連結0D,

??OD=OB,??z.B=z.ODB,

又AB=AC,???ZB=ZC,

???ZC=Z.0DB,.,.0D||AC?

vDElAC,/.ZCED=90%

.-.ZODE=90°,/.DEIOD,

???DE是OO的切線；

(2)解：如圖，連結OD、AD,

vAB是宜徑，??.AB=2x5=10,ADJ_DE,

.,.AC=10,

,*,CD=89，AD=6,

zc=zc

?.?在RTADEC和RTAADC中，［ZDEC=ZADC

.??RTADEC-RTAADC,

DC_CE心三艾=6.4

=

：.7C~DCT.AC10

初中

【點睛】

本題考查圓的綜合運用，熟練掌握圓的有關性質(zhì)、切線判定定理、三角形相似的判定與性質(zhì)、勾股定理

的應用并靈活運用是解題關鍵.

14.如圖，已知力8為圓直徑，M切圓于點8,過點A作力C〃OP,交圓。于點C,連接尸C.

(1)求證：尸c為圓。的切線；

(2)若。尸=1。，AC=2,求圓。的半徑.

【答案】(1)見解析：(2)如

【分析】

(1)連接OC,證明△PB。三△PC。(S4S),由全等三角形的性質(zhì)得出NO8PNOCP,由切線的性質(zhì)得出

408P=90°,得到NPCO=90°,即可證明；

ACAB

(2)連接8C,證明aACB?△O8P,由相似三角形的性質(zhì)得出而=而，設。8=x,由比例線段求出x,則

可得出答案.

【詳解】

解：(1)如圖，連接。C,

-ACWOP,

:."AC=LBOP,iOCANCOP,

-OA=OC,

：.Z.OAC-Z-OCA,

:.乙BOPMCOP,

在aPB。和△pco中，

OB=OC

?￡BOP=KOP

OP=OP

:.APBO三NCO(%S),

：.Z.OBP=Z.OCP,

是。。的切線，

.??08JL8P,即/O8P=90°,

.-.ZOCP=90°,即OC工PC,

??.PC為。。的切線；

初中

（2）連接BC,

-AB為O。的直徑，

."CB=90°,

：.Z-ACB-Z-OBP,

,.'Z.CAO=Z.BOP,

??4CB?AOBP,

ACAB

.?.而二而，設08=x,

2_2x

.-5=7o,

解得x=J布，負值舍去，

???0。的半徑08=Ji°.

【點睛】

本題考查了切線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性

質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定是解題的關鍵.

15.如圖，Rt4/BC中，4=90。,點Z）為力C上一點，以C'。為直徑的0°交力8于點￡,連接以，

CE平分乙4cB.

（I）求證：力E是°。的切線；

（2）若CE=2下,BE=2,求。。的半徑.

【答案】（1）見解析；（2）的半徑為5

【分析】

（1）連接°七，由同圓半徑相等卻可間接證明N°￡C=N/CE,根據(jù)題意可知,BCE=乙4",即證明

40EC=4BCE,從而得出0￡〃8C,再由平行線的性質(zhì)可知N.4EO=N8=90。，即證明/E是0。的切

線.

初中

CD_CE

(2)連接OE,由圓周角定理可知NDEC=90°,即易證得出CE.BC.在RNBCE中,

利用勾股定理即可求出8c長，最后即可求出CO的長，即。0直徑，從而得出。。半徑.

【詳解】

(1)如圖，連接°E,

,：OE=OC,

?：?.NOEC=NACE?

???CE平分乙4C8,

:/BCE=NACE,

：.ZOEC=2BCE,

：.OEHBC,

./EO=N8=90。，

：.OE1AEt

是。。的切線.

(2)解：如圖，連接則ND￡C=90°,

:.NDEC=4B

...NDCE=Z.ECB,

:.ADCE?^ECB,

CDCE

,.CE=~BC.

在RNBCE中,BC=hE"T由一2一,

°一(團_(2⑸_5

BC4

初中

5

???0°的半徑為5.

【點睛】

本題考查切線的判定，圓的基本性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，相似三角

形的判定和性質(zhì)以及勾股定理.連接常用的輔助線是解答本題的關鍵.

16.如圖，點D是418c中48邊上一點，以力。為直徑的。。與8c相切于點c,連接CO.

(1)求證：/BCD=/A；

(2)若的半徑為3,AC=2CDt求BC的長.

【答案】(1)見解析：(2)4

【分析】

(1)連接0C,由切線的性質(zhì)得到OCLBC,然后由直徑AD可得/48=90。，再由等角的余角相等即可

推出

BC\

⑵首先判定MCQs△加C,推出總■一5,再設則4C=2x,建立方程求解.

【詳解】

(1)證明：如圖，連接℃.

?.?BC與。。相切于點C,

...0C_18c.

.../4CQ+NOCO=9()。

??"。為。。的直徑，

vZJCD=90°

?.4?4+NO。。=90。，

?：OC=OD,

?：NOCD=ZODC.

：/BCD=NA.

(2)?."BCD=/A,NB=NB,

初中

:.XBCDS'BAC

BDBCCDCD1

--==--=tanZ.A=-----=-

...BCBAACAC2,

設8。=工，則4c=2x,

BC2x1

/B6+x2,解得x=2,

：.BC=4.

【點睛】

錯因分析：第（1）問，未掌握利用直角找到互余角來轉(zhuǎn)化所要證角相等：第（2）問，不能正確通過證

明得到MCOSA8/C,從而得不出比例式.

本題考查了圓的綜合問題，熟練掌握切線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的定義是解

題的關鍵.

17.如圖，力“是。。的直徑，力。與。°交于點4,點￡是半徑。力上一點（點￡不與點O,A重合）.連

接。七交。。于點C,連接。，CB.若CA=CD,/ABC=/D.

（1）求證：力。是0°的切線.

⑵若48=13,以=。=5,則力。的長是.

120

【答案】（1）見解析；（2）13

【分析】

（1）根據(jù)圓周角定理得到N/C8=90。，在利用等腰三角形的性質(zhì)以及等量代換可得

NC4）+N84C=90。，進而得出結論：

（2）根據(jù)等腰三角形的判定可得"=。=8=5,再根據(jù)勾股定理和相似三角形求出答案E[J可.

【詳解】

解：（1）Q"是的直徑，

.?ZC8=90。，

/3/1C+N/48c=90°.

又，；CA=CD,

:"D=ACAD,

初中

又：NABC=ND,

/CW+/54c=90。，

即OA1ADt

?；4O是OO的切線；

（2）由（1）rij^/-ABC+ABAC=90°=ZD+ZDEA,

?;4ABC=ND,

"AC=/DEA,

CE—CA—CD—5,

:.DE=\0f

在RtAABC中，由勾股定理得，

BC=>JAB2-AC2=V132-52=12

'：/ACB=ADAE=^°tZABC='/D,

\ABCS~EDA,

ABBC

..~ED~~4D,

13_12

即歷一而，

,八120

AD=----

解得13.

【點睛】

本題考查切線的判定，圓周角定理以及相似三角形，掌握切線的判定方法和圓周角定理、相似三角形的

判定和性質(zhì)是解決問題的前提.

18.如圖，點C在以力人為直徑的上，點。是5c的中點，連接。。并延長交于點E,作

4EBP=/EBC,4尸交OE的延長線于點p.

（I）求證：依是0°的切線；

（2）若4c=2,PD=6f求0°的半徑.

【答案】（1）見解析；（2）近.

【分析】

（1）由A8為直徑，可得〃C8=90。，乂D為BC中點,。為48中點，可得。D||AC,從而NOOB=90。.由

OB=OE得乙OEB=^OBE,又乙OEB=^P+乙EBP,乙OBEMOBD+乙EBC,^P+Z.EBP=￡OBD+Z.EBC,又

乙EBPMEBC,得4P=4。8。.又匕8OD+/OBO=90",從而可得N8OD+4P=90°,即408P=90°.則可證P8為

初中

。0切線;

BPDP

(2)由(1)可得OD=1,從而P0=7,可證明aBOP?△08P,從而得比例。尸一尸，解得肥=保，最

后由勾股定理可求半徑08.

【詳解】

(1)證明：?〃8為直徑，

."C8=90°,

又。為8c中點，。為48中點，

2

故。。=EAC,ODWAC,

??./OD8=〃C8=90°.

???08=0E,

:?乙OEB:乙OBE,

乂：乙OEB=LP+乙EBP,408E=L0BD+乙EBC,

???4P+乙EBP=COBD+乙EBC,

又乙EBP=LEBC,

：.￡P=LOBD.

??280D+4。8。=90°,

.?"80。+"=90°,

.-.ZOBP=90°.

又。8為半徑，

故P8是G)0的切線.

(2)解：以。=2,

上

由⑴得。。=己心1,

又PD=6,

：.PO=PD+OD=6+1=7.

vzP=zP,Z.BDP=Z.OBP=90°,

:ABDP?AOBP.

BP_DP

:.OP=~BP,

即BP2=OP?DP=7x6=42,

...BP;旅.

.08=《OP2-BP。=J49-42=不

故。0的半徑為近.

【點睛】

初中

本題屬于圓的綜合問題，考查了圓周角定理，三角形中位線性質(zhì)定理，等腰三角形性質(zhì)，切線的判定與

性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理等知識點，熟練掌握相關知識點并靈活運用所學知識是解題

的關鍵.

19.如圖，CD為。。的直徑，弦481CD,垂足為P是CD延長線上一點，DEUP,垂足為

(2)已知PA=2,PD=lf求。。的半徑和D￡的長.

33

【答案】(1)見解析；(2)的半輕和。￡的長分別為：2,5

【分析】

(1)連接A0并延長交OO于點連接MD,首先通過垂徑定理和圓周角定理的推論及等量代換得出

LM=LEAD,然后再通過直徑所對的圓周角為90。及等量代換得出N/VME=90。，從而結論可證：

(2)首先在RtZXAOP中，根據(jù)勾股定理求出A0的長度，然后證明三Z^E。，從而證明Rt4

PEARtAPHA,然后利用相似三角形的性質(zhì)即可得出DE的長度，設圓的半徑為r,在RtzXOAH中利用勾

股定理即可求解半徑.

【詳解】

解：(1)證明：連接4。并延長交。。于點M,連接M。，如圖，

：.AD=BD,

:?乙M=LBAD,

?:乙EAD=CHAD.

:.乙M=LEAD,

'-AM為直徑，

.?.〃WM=90°,

：.ZLM+AMAD=9Q°,

初中

-.￡EAD+^MAD=90°,即4/VME=90°,

：.AMLAE,

ME為O。的切線;

（2）在RS40P中，根據(jù)勾股定理，得

AG2+AP2=OP2,

即2+4=（4。+1）2,

=3

解得4。一5,

?；乙EAD=LHAD,DH1AH,DELAE,AD=AD,

:AAHD三MED（.AAS）

:QE=DH,AH=AE,

設DE=x,AH=y,則D〃=x,AE=y,

?；4EPD=LHPA,4P￡O=NPHA=90°,

.-.RtAPFD-RtAPH;4,

DEPE_PD

：.7H~~PH~~PA,

即yi+x2,

3=6

，解得x5,y5,

3

即DE的長為G,

6

因為A”5,

33

答：OO的半輕和。E的長分別為：2,5.

【點睛】

本題主要考查圓的綜合問題，掌握圓的有關性質(zhì)，全等三角形及相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關

鍵,

20.如圖，點I是aABC的內(nèi)心，AI的延長線和4ABC的外接圓相交于點D,與BC相交于點E.

（1）求證：DI=DB;

（2）若AE=6cm,ED=4cm,求線段DI的長.

初中

【答案】(1)見解析；⑵29cm.

【分析】

(1)要證明ID=BD,只要求得NBID=NIBD即可:

(2)根據(jù)相似三角形的判定得出4BDE?aABD,進而利用相似三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】

.-.ZBAI=ZCALZABI=ZCBI.

又；NDBI=，CBI+NDBC,ZDIB=Z.ABI+ZBAI,

ZCBC=Z.DAC=ZBAI,

?\/DBI=Z.DIB,

.*.DI=DB.

(2)vzDBC=ZDAC=ZBAI,ZADB=ZBDA,

/.△BDE-AABD,

BDDE

...而一訪，

即BD2=DE?AD=DE?(AE+DE)=4X(6+4)=40,

DI=BD=^0=2^(cm).

【點睛】

本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，三角形的外接圓和外心，垂徑定理，圓周角定理，熟練掌握圓周角

定理是解此題的關鍵，有一定的難度.

21.如圖，在△力"。中，AB=ACt以48為直徑作O0交AC于點。，過點。作0°的切線Z)E交4c于

點E,交力8延長線子點尸.

初中

(I)求證：QE"L/C：

BF=2

(2)若在=I0,3,求力E的長.

【答案】(1)見解析；(2)/月=8

【分析】

(1)連接OD、AD,由AB=AC且NADB=90。知D是BC的中點，由。是AB中點知OD||AC,結合OD_LDE

可得結論；

OFOD

(2)通過證明ZSODF?ZSAEF,可得4產(chǎn)AE,可求A匚的長.

【詳解】

解：(1)連接。。、力。，

?.?OK切。。于點。，

:.0D人D