北京市2025-2026學年八年級下學期期末模擬自測數學試卷（二）人教版（含答案）

北京市2025-2026學年八年級下學期期末模擬自測數學試卷

一.選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）

1.（3分）（2025秋?順德區月考）若點力（2,-1）關于x軸對稱的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（3分）（2025秋?大連期中）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

3.（3分）下列說法中，正確的有（）

①三角形是邊的數量最少的多邊形；

②等邊三角形和長方形都是正多邊形；

③〃邊形就有〃條邊.〃個頂點,〃個內角：

④六邊形從一個頂點出發可以畫3條對角線，所有的對角線共有9條.

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.（3分）（2025?西安校級模擬）將直線y=2t-6向左平移〃?個單位后交y軸于正半軸，則機的值可能

是（）

A.1B.2C.3D.5

5.（3分）（2023秋?蜀山區期末）對于熨數a,b,定義符號/加{a,b}?其意義為；當時，min[a,

b}=b,當aVb時，加〃{a,b}=a,例如：〃〃力{2,-1}=-Lmin{2,5}=2,若關于x的函數y=〃"力{2x

?1,-x+5）,則該函數的最大值為（）

A.0B.2C.3D.5

6.（3分）（2024春?邳州市期中）已知：在菱形/出。。中，ZJ=120°,AB=2,則8。的長為（）

A.2B.V2C.V3D.2A/3

7.（3分）（2023秋?雁塔區校級期末）一次函數川=雙十。與的圖象如圖所示，下列結論中正確

的有（）

①對于函數與=依+〃來說，y隨x的增大而減小

②函數y=ax+d的圖象不經過第?象限

d-b

@a-c=—^-

@d=a+b-c

C.3個D.4個

8.（3分）（2025?西城區校級模擬）在菱形Z8CO中，點。為對角線8。的中點，點￡、廠分別為線段力8、

AD上的點，EO的延長線交線段CD于點11,FO的延長線交線段CB于點G,連接EG、GH、HF、FE.以

下結論：①EF=GH；②若EGLBD,則力E=CG；③存在無數個點E,使得四邊形E77/G為菱形；

④若四邊形"HG為矩形，則凡其中正確的結論是（）

A.①②③B.③④C.①②④D.①②③④

二.填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）

9.（3分）（2025?海州區校級二模）函數y=與中自變量x的取值范圍是.

人乙

10.（3分）（2024春?韶關期末）若點、A（a,h）在直線y=-*+2上，則o+b的值是.

11.（3分）（2023?原平市模擬）小華在復習四邊形的相關知識時，繪制了如圖所示的框架圖，④號箭頭

處可以添加的條件是.（寫出一種即可）

四邊形悍（拓四邊形|

12.（3分）（2024?周口一模）如圖，在△力8c中，ZACB=W,ZJ=30°,BC=2,。七是△/也C的中

位線，點。'在線段。夕上，洛沿著直線。4向右平移，使點。與點。’重合，點E,/的對應

點依次為b,A1,連接,EE1,當△以'E'是等腰三角形時，DD1的長

為.

EE'

A'-A，DD'B

13.（3分）（2025?匯川區四模）如圖，矩形川的對角線力C與4。相交于點O,若NDBC=30",則

N/OO的度數為

14.（3分）如圖，已知￡是正方形川?。。的邊。。上任意一點，過/作E/LL/IC于點E延長交直線

力￡于點G,則N8GC=

15.（3分）（2024春?西山區校級月考）菱形彳8C。在平面直角坐標系中的位置如圖所示，已知點4,B

的坐標分別為（一遙，0）和（0，-1）,點C,。在坐標軸上，則菱形ABCD的面積

為

y

D

A

￡C1

16.（3分）已知點尸（1,2）關于x軸對稱的點為P,直線）=履+6經過點P'與點4（3,2）,則直線

對應的函數表達式為

三.解答題（共9小題，滿分52分）

17.（5分）（2024?北陪區校級三模）在學習了平行線后，小西進行了如下思考，夾在一組平行線間的線段

的垂直平分線，與平行線的兩個交點和線段兩端點所構成的四邊形是口么四邊形.請根據小西的思路完

成以下作圖與填空.

已知：如圖，AD//BC,連接,4C.

（1）用直尺和圓規完成以下基本作圖：作線段4C的垂直平分線律，b分別交8C,AC,月。于點￡,

O,F,連接力CF.

（2）求證：四邊形力石。尸是菱形.

證明：?:AD〃BC,

???①,

;所是4C的垂直平分線，

：.OA=OC,AE=CE,

在△力。尸和△COE中，

(Z.FAO=4ECO

②，

K￡AOF=乙COE

【△AOFACOE(ASA),

工③，

???四邊形力EW是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)，

，：AE=CE,

???四邊形力EC廠是菱形(一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形).

在作圖過程中，小西進一步研究發現：夾在一組平行線間的線段的垂直平分線，與平行線的兩個交點和

線段兩端點所構成的四邊形矩.

18.(5分)(2025春?畢節市期末)全球首次“人機共跑”半程馬拉松于2025年4月19日在北京完賽，

經過2時40分42秒的奔跑，機器人“天工Ultra”率先沖過終點拱門，奪得桂冠.受到該項賽事啟發,

某中學機器人興趣小組也舉辦了“機器人競速比賽”，比賽中甲、乙兩臺機器人的賽跑路程s(w)和賽

跑時間/(〃〃〃)之間的關系如圖所示，請根據圖象信息回答下列問題：

(1)本次比賽全程是機器人先到達終點；

(2)機器人甲的平均速度是mlmin,其路程s和時間/的關系式是；

(3)機器人乙由于故障在途中停留了加〃,恢復運行后，機器人乙的速度機器人甲

的速度.(填”或“V”)

19.（5分）（2024春?海陵區校級J］考）如圖，在平行四邊形"8中，BE工AC于點、E,。尸_L4C于點E.求

證：AF=CE.

20.（6分）（2024?天山區校級二模）如圖，在菱形力灰力中，對角線/1C,8。交于點。，過點力作力E_L

BC于點E,延長AC到點產，使CF=BE,連接。尸.

（1）求證：四邊形力五尸。是矩形；

（2）連接OE,若月8=10,BE=6,求OE的長度.

21.（6分）（2023春?沙坪壩區校級期末）如圖，在矩形44。。中，BC=3,對角線4C,BD交于點、O,

將△8OC沿直線8。翻折至矩形力8c。所在平面內，得到△BOC',8C'與4D交于點、E,OC'與力。

交于點尸，連接力C',若C'O//DC,則點E到力C'的距離為.

22.（6分）（2025秋?新城區校級期中）某城市自來水實行階梯水價，收費標準如下表所示:

月用水量/〃N,良1212VxW18x>18

收費標準/（元加③）22.53

（1）當用水量超過12〃尸但不超過18m3時，寫出應交水費）,（元）與月用水量x（〃戶）之間的關系式;

（2〉某用戶9月份交水費34元，求所用水量.

23.（5分）（2025?西城區校級開學）在平面直角坐標系xQy中，函數y=r+方與y=3x+3的圖象交于點

(a,3).

（1）求。，b的值;

（2）當x>l時，對于x的每一個值，函數的值小于函數y=3"3的值，且大于函數y

的值，直接寫山帆的取值范圍.

24.（7分）（2025?雙流區）在平面直角坐標系xQv中，直線m為經過（0,2）且垂直于y軸的直線，直

線〃為經過（3,0）且垂直于工軸的直線.圖形G關于直線〃?的對稱圖形稱為圖形G的一次對稱圖形,

記作圖形Gi,圖形3關于直線〃的對稱圖形稱為圖形G的二次對稱圖形，記作圖形G2,根據定義，

回答下列問題：

（1）點力（1,-I）的一次對稱點的坐標與二次對稱點的坐標分別為,；

（2）點6（x,y）在第三象限，B\,62分別是點3的一次對稱點與二次對稱點，△。囪色為等腰直角

三角形.

①求y與x之間滿足的數量關系；

②已知M（l,0）,N（?l,-1）,寫出我BN+8M的最小值為；

（3）己知點C（1,a）,D（2,。），若以CO為邊的正方形CQP。（P、。在線段的上方）的二次

對稱圖形與過（0,〃+3）且垂直于y軸的直線有公共點，寫出〃的取值范圍.

y

n

4

-4-3-2-1i2：4x

-1

—2

25.（7分）（2023秋?徐州期末）如圖，直線48與小y軸分另！交于點/（6,0）、B（0,6）.尸為x軸上

的動點，連接8P,將線段尸4繞點?按順時針方向旋轉90°,得到線段PC,接BC.

（1）求直線48對應的函數表達式；

（2）當點P坐標為（2,0）時，在），軸上是否存在點。，使得18比=5婕/<?若存在，求出點力的坐

標；若不存在，請說明理由；

（3）連接。C,則8C+OC的最小值為.（直接寫結果）

參考答案與試題解析

選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）

1.（3分）（2025秋?順德區月考i若點4（2,?1）關于x軸對稱的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【考點】關于x軸、y軸對稱的點的坐標.

【專題】平面直角坐標系；幾何直觀.

【答案】A

【分析】先根據軸對稱的性質求出點力（2,-1）關于x軸對稱的點的坐標，再根據橫、縱坐標的正負

判斷所在象限，明確關于x軸對稱的點的坐標變化規律：橫坐標不變縱坐標變為原來的相反數.

【解答】解：???已知點力（2,-1）,關于x軸對稱的點的坐標：橫坐標保持2不變，縱坐標-1的相反

數是1,

???對稱點的坐標為（2,1）,

???點（2,1）的橫坐標和縱坐標都是正數，符合第一象限的坐標特征；

故選：A.

【點評】本題考查關于電標軸對稱的兩點的坐標之間的關系，判斷點所在象限，解題的關鋌是掌握關于

x軸對稱的兩個點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數.

2.（3分）（2025秋?大連期中）卜列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形.

【專題】平移、旋轉與對稱；幾何直觀.

【答案】。

【分析】軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心,

旋轉18（）。后與自身重合，根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A.選項中圖形不是軸對稱圖形，也不是中心刈?稱圖形，不符合題意；

B.選項中圖形是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，不符合題意；

C.選項中圖形是釉對稱圖形但不是中心對稱圖形，不符合逆意；

D.選項中圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，符合題意.

故選：

【點評】本題考查了中心對稱圖形，軸對稱圖形，掌握中心對稱圖形，軸對稱圖形的概念是關鍵.

3.（3分）下列說法中，正確的有（）

①三角形是邊的數量最少的多邊形：

②等邊三角形和長方形都是正多邊形；

③〃邊形就有n條邊，〃個頂點，〃個內角；

④六邊形從一個頂點出發可以畫3條對角線，所有的對角線共有9條.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點】多邊形內角與外角.

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【答案】C

【分析】①根據多邊形的定義可對①進行判斷；

②根據等邊三角形的三個內角相等，三條邊相等，長方形的四個內角相等，四條邊不一定相等得等邊

三角是正多邊形，長方形不一定是正多邊形，據此可對②進行判斷：

③根據〃邊形就有〃條邊，〃個頂點，〃個內角可對③進行判斷：

④根據六邊形從一個頂點出發可以畫3條對角線，再根據〃邊形對角線條數公式得六邊形的所有對角

線的條數為9條，由此可對④進行判斷，綜上所述即可得出答案.

【解答】解：①???一：角形是邊的數量最少的多邊形，

故①正確；

②???等邊三角形的三個內角相等，三條邊相等，

???等邊三角形正三邊形（正三角形），

???長方形的四個內角相等，四條邊不一定相等，

，長方形不一定是正四邊形（正方形），

故②不正確；

③???〃邊形就有〃條邊，〃個頂點，〃個內角，

故③正確：

④???六邊形從一個頂點出發可以畫3條對角線，

根據〃邊形對角線條數公式得六邊形的所有對角線的條數為：6x（；-3）=9（條），

故④正確，

綜上所述：正確的是①③④，共3個.

故選：C.

【點評】此題主要考查了多邊形的定義及相關概念，正多邊形的定義，熟練掌握多邊形的定義及相關概

念，正多邊形的定義是解決問題的關鍵.

4.（3分）（2025?西安校級模擬）將直線y=2x-6向左平移加個單位后交y軸于正半軸，則機的值可能

是（）

A.1B.2C.3D.5

【考點】一次函數圖象與幾何變換.

【專題】一次函數及其應用；運算能力.

【答案】D

【分析】根據上加下減，左加右減進行列式得y=2t+2〃L6,根據平移后交y軸于正半軸，得2〃??6>

0,解出加的取值范圍,即可作答.

【解答】解：???將直線y=2x-6向左平移〃?個單位后交y軸于正半軸，

??y=2（x+m）-6=2x+2m-6>

A2m-6>0,

">3,

故選：D.

【點評】本題考查了一次函數的平移規律，掌握平移規律是解題的關鍵.

5.（3分）（2023秋?蜀山區期末）對于實數a,b,定義符號〃〃〃{a,b},其意義為：當時，min{a,

b}=h,當a<b時,min{a,h}=a,例如：加〃{2,min{2,5}=2,若關于x的函數y=〃〃力{2x

-1,-x+5},則該函數的最大值為（）

A.0B.2C.3D.5

【考點】一次函數與一元一次不等式.

【專題】一元一次不等式（組）及應用：推理能力.

【答案】C

【分析】根據定義分情況列出不等式：①當-12-x+5時，尸加〃{2工-1,-x+5]=-x+5；②當

2x-1W-x+5時，-1,-x+5]=2x-1,再根據一次函數的性質可得出結果.

【解答】解：由題意得：

①當2x-12-x+5,即x22時，y=min{2x-1,-x+5}--x+5,

-l<0,y隨x的增大而減小，

???當尤"2時，y取得最人值3；

②當2x-1<-x+5,即x<2時，y=min{2x-1,-x+5}=2x-1,

，2>0,y隨x的增大而增大，

，當x<2時，y<3.

綜上可知，函數y=/M〃{2x-1,-x+5}的最大值為3.

故選：C.

【點評】本題考杳了新定義、一次函數與一元一次小等式，認真閱讀理解其意義，并利用函數的性質解

決函數的最值問題是解題的關鍵.

6.（3分）（2024春?邳州市期中）已知：在菱形48CQ中，ZJ=120°,AB=2,則8。的長為（）

A.2B.V2C.V3D.2V3

【考點】菱形的性質；等邊三角形的判定與性質.

【專題】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】D

【分析】連接4C，BD交于0,根據菱形的性質和直角三角形的性質即可得到結論.

【解答】解：如圖，連接/C,BD交于0,

???四邊形Z8CD是菱形，

：.AC1BD,BD=2BO,AC=2AO,/BAO=：乙BAD=60。,

???乙4。8=90°,480=30°,

：,AO=^AB=\,

:?BO=V3AO=V3,

???80=280=271

故選：D.

A

【點評】本題考查了菱形的性質，直角三角形的性質，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵.

7.（3分）（2023秋?雁塔區校級期末）一次函數尸=如+6與g=cx+d的圖象如圖所示，下列結論中正確

的有（）

①對于函數力來說，）?隨x的增大而減小

②函數y=Qx+d的圖象不經過第一象限

d-b

@a-c=^-

【考點】一次函數的性質；一次函數的圖象.

【專題】一次函數及其應用；推理能力.

【答案】C

【分析】①根據函數圖象直接得到結論；

②根據八d的符號即可判斷：

③當x=3時，y\=y2^

④當x=l時，根據圖象得不等式.

【解答】解：由圖象可得：對于函數pi=ax+/，，），隨x的增大而減小，故①正確;

Vtz<0,J<0,

???函數y=av+d的圖象經過第二，三，四象限，不經過第一象限，故②正確；

???一次函數y\=ax+b與y2=c:c^d的圖象的交點的橫坐標為3,

「?3a+b=3c+d,

3a-3c=d-b,即3-c）=d-b故,即a-c=幺”，③止確；

當x=l時，y\=a+b,y2=c+d,由圖象可知巾>”，

/.a+b>c+d,故④錯誤.

綜上①②③都正確，

故選：C.

【點評】本題考查了一次函數與一元一次不等式，一次函數的圖象與性質，利用數形結合是解題的關鍵.

8.（3分）（2025?西城區校級模擬）在菱形/18C。中，點。為對角線8。的中點，點E、6分別為線段44、

AD上的點，EO的延長線交線段CD于點H,FO的延長線交線段CB于點G,連接EG、GH、HF.FE.以

下結論：①EF=GH；②若EGtBD,則4E=CG；③存在無數個點E,使得四邊形為菱形；

④若四邊形EFHG為矩形，則/E=/凡其中正確的結論是（）

A.①②③B.③④C.①②④D.①②③④

【考點】矩形的性質：全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質；菱形的判定與性質.

【專題】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】A

【分析】證明四邊形"HG是平行四邊形，得出“=G〃，可判定①正確；證明△8MG絲得到

BG=BE從而可得力E=CG,可判定②正確；當E〃_LG尸時，可得四邊形EFHG是菱形，則存在無數

個點E，使得四邊形EF4G為菱形；可判定③正確；們SS乂無法證出△OBEg/XODR即力石=力尸無

法證出，故④不正確.

【解答】解：???四邊形4BCQ是菱形，點。為對角線8。的中點，

：,OB=OD,/ABD=/CBD=/ADB=/CDB,

'：/BOE=/DOH,ZBOG=ZDOF',

:.△BOEWXDOH（ASA）,ABOG^/\ADOF（ASA）,

：.OE=OH,OG=OF,

???四邊形EFHG是平行四邊形，

:,EF=GH,

故①正確:

設EC與皮）相交于如圖,

BGC

若EG上BD,則N8“G=NAM￡=90°，

r四邊形月6c。是菱形，

；?/GBM=/EBM,AB=BC,

又"：BM=BM,

：.4BMG仝叢BME（ASA）,

:.BG=BE,

：.AB-BE=BC~BG,

即AE=CG,

故②正確；

已證四邊形EFHG是平行四邊形，

當￡〃_LGb時，四邊形是菱形，

???存在無數個點E,使得四邊形以7/G為菱形，

故③正確；

要證AE=AF,則可證BE=DF,

即需要證△OBE咨△ODF,

???四邊形EF//G為矩形，

：,OF=OE,

*：OB=OD,ZABE=ZADF

但是我們SS/1無法證出△（沙￡絲△OOP,

即AE=AF無法證出，

故④不正確.

綜上，正確的有①②③.

故選：A.

【點評】本題主要考查菱形的性質和判定，矩形的性質、平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定

與性質等內容，熟練掌握菱形的性質和矩形的性質是解題的關鍵.

二,填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）

9.（3分）（2025?海州區校級二模）函數y=￡中自變量x的雙值范圍是應

【考點】函數臼變量的取值范圍.

【專題】函數及其圖象；運算能力.

【答案】》W2.

【分析】根據分式有意義的條件解答即可.

【解答】解：自變量的取值范圍是x#2；

故答案為：x#2.

【點評】本題考查了函數自變量的取值范圍，熟練掌握該知識點是關鍵.

10.（3分）（2024春?韶關期末）若點力（mb）在直線y=-.讓2上，則a+A的值是2

【考點】一次函數圖象上點的坐標特征.

【專題】一次函數及其應用；應用意識.

【答案】2

【分析】將點力（〃，b）代入直線y=-x+2中，進而得出答案.

【解答】解：???點/（。，b）在直線y=-x+2上，

:,b=-a+2,

/.a+b=2.

故答案為:2.

【點評】本題主要考查一次函數圖象上點的坐標特征，將點力（a,b）代入直線歹=?x+2中是解題的

關鍵.

11.（3分）（2023?原平市模擬）小華在復習四邊形的相關知識時，繪制了如圖所示的框架圖，④號箭頭

處可以添加的條件是有一組鄰邊相等（答案不唯一）.（寫出一種即可）

四邊形內（拓四邊形|

【考點】正方形的判定.

【專題】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】有一組鄰邊相等（答案不唯一）.

【分析】根據正方形的判定可得出答案.

【解答】解：有一組鄰邊相等的矩形是正方形，

故答案為：有?組鄰邊相等（答案不唯一）.

【點評】本題主要考查正方形的判定，掌握判定定理是解題關鍵.

12.（3分）（2024?周口一模）如圖，在△XS。中，ZACB=90a,ZJ=30°,BC=2,Z）E是的中

位線，點O'在線段。8上，珞△/）以沿著直線。8向右平移，使點。與點。'重合，點邑4的對應

點依次為,連接￡4',EE',當△"'E'是等腰三角形時，DD'的長為百或1.

【考點】三角形中位線定理；平移的性質；等腰三角形的性質；含30度角的直角三角形；勾股定理.

【專題】三角形；推理能力.

【答案】V5或1.

【分析】由題意得四邊形/EE'H、DEE1D）為平行四邊形，推出EE'=AAr=DD,求出力8

=4,AC=y/3,DE=^BC=1,AD=2,AE=V3,NADE=/CBA=60°,分兩種情況：當EE'=

AF：時,此時四邊形力￡/?'4'為菱形：當/E=EF.'時,則//AE=/A'/?J=30°：分別求解

即可得出答案.

【解答】解：由平移的性質可得：EE'=AA'，EE1//AA',EE'//DD',EEf=DD,,

???四邊形力H、DEE'Dr為平行四邊形，

：.EE'=AA'=DD',

???在△NBC中，ZACB=90°,Z/4=3O°,BC=2,OE是△/8C的中位線，

：.AB=4,AC=\IAB2-BCZ=273,DE=^BC=1,DE//BC,NC'84=6（）“，

：,AD=2,AE=y/3,N/DE=NCB4=60°,

點。'從點。向8的運動過程中，NHEEr逐漸變小，當點。'與點8重合時，點H與點。重合，

此時NTEE1=/DEE'=/ADE=^°，故NHEE'最小為60°,

E'是等腰三角形，

:'當EE'=AE'時，此時四邊形力七6A'為菱形，

：,EEf=AE=A卞'=AA'=V3,

:,DD'=EE'=V3：

當HE=EEr時，則NHAE=NA'EA=30°,

AZEAfD=ZA'AE+ZA'EA=60°,

?:/EDA=60°,

???△〃DE為等邊三角形,

??"D=DE=1,

：.DD'=EE'=AfD=\,

綜上所述，DD'為百或1,

故答案為：逐或1.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、平移的性質、三角形中位線

定埋、勾股定理、菱形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活

運用，采用分類討論的思想是解此題的關鍵.

13.(3分)(2025?匯川區四模)如圖，矩形"CO的對角線月C與8。相交于點O,若NDBC=30",則

【專題】等腰二角形與直角二角形：矩形菱形正方形：運算能力：推理能力.

【答案】120.

【分析】因為四邊形力4CQ是矩形，則4C=8O,OA=()C,()B=OD.所以。力=OD則NO4Q=N

力。。=3()°,得出N/OQ=18()°-ZOAD-ZJDO=18()°-30°-30°=120°.

【解答】解：???四邊形力8CO是矩形，

：.AC=BD,OA=OC,OB=OD.

：,OA-OD.

：,ZOAD=ZADO=30°,

???N/OQ=1800-ZOAD-ZADO=\SO°-30°-30°=120°.

故答案為：120.

【點評】本題考查了矩形的性質和等腰三角形的性質，矩形的對角線相等且互相平分是解此題的關鍵.

14.(3分)如圖，已知E是正方形的邊CO上任意一點，過石作E/L/C于點尺延長8尸交直線

【考點】正方形的性質.

【專題】矩形菱形正方形；圖形的相似：推理能力.

【答案】450.

【分析】設*￡1的中點為O,連接。。，OF,先利用直角三角形的性質證CM=OZ)=OE=O尸，進而得

點/I,。，E,尸在以點。為圓心。1為半徑的圓上，則再證△臺。廠和4。。尸全等得

NCBF=NCDF,進而得N?1G=NC8凡據此可證和△4”t相似得4^：BF=FG：FC,又N

AFB=NGFC,則△力以和△OFC相似最后根據相似三角形的性質得N4GC=NC",由此可得出答案.

【解答】解：設力石的中點為0,連接O。，OF,如圖：

:四邊形力8c。為正方形，為對角線，

AZJZ)C=90°,ZCAB=ZACB=ZACD=45°,BC=CD,

在中,點。為斜邊4/?的中點.

：,OD=OA=OE=^AE,

,JEFYAC,

為直角三角形，且點O為斜邊的中點，

.\OF=OA=OE=^AE,

：.OA=OD=OE=OF,

???點4D,E,〃在以點O為圓心04為半徑的圓上，

ZFAE=NEDF,

在△〃。尸和△CQ”中，

BC=CD,ZACB=ZACD,CF=CF,

:.△BCF/XCDF(SAS),

???4CBF=/CDF,

即：ZCBF=ZEDF,

:.NFAE=/CBF,

即：NFAG=NCBF,

又/AFG=4BFC,

:.△AFGS^BFC,

：,AFxBF=FGzFC,

叩；AF：FG=BF；FC,

又/AFB=/GFC,

△AFBsXDFC,

:"FAB=/FGC,

即：4CAB=ZBGC,

???NBGC=NCAB=45°.

故答案為：45c.

【點評】此題主要考查了正方形的性質，相似三角形的判定和性質，直角三角形的性質，理解正方形和

直角三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解答此題的關鍵，根據點與圓的位置關系構造

輔助圓是解答此題的難點.

15.（3分）（2024春?西山區校級月考D菱形力在平面直角坐標系中的位置如圖所示，已知點力，B

的坐標分別為（一6，0）和（0,-1）,點C,。在坐標軸上，則菱形NACO的面積為_2右_.

【考點】菱形的性質：坐標與圖形性質.

【專題】平面直角坐標系；矩形菱形正方形；運算能力.

【答案】2V5.

【分析】根據菱形的對角線互相垂直且平分得到4C=2遍，BD=2,再由菱形面積等于對角線乘積的

一半求解即可.

【解答】解：???四邊形力8c。是菱形，

：,OA=^AC,OB=^BD,

???點4,8的坐標分別為（一近，0）和（0,-1）,

：.0A=瓜OB=1,

:.AC=2炳,BD=2,

:■S菱形ABCD~xBD=x2^5x2=2炳,

故答案為：2遍.

【點評】本題考查了菱形的性質，坐標與圖形性質，熟練掌握菱形的性質是解決本題的關鍵.

16.（3分）已知點尸（1,2）關于x軸對稱的點為P',直線）=履+6經過點P'與點力（3,2）,則直線

對應的函數表達式為I，=2x-4.

t考點】待定系數法求一次函數解析式；美于X軸、y軸對稱的點的坐標；一次函數圖象上點的坐標特

征.

【專題】一次函數及其應用；推理能力.

【答案】y=2x-4.

【分析】點夕（1,2）關于x釉對稱的點為尸'，則點P'U,-2）,再由待定系數法即可求解.

【解答】解：點P（1,2）關于x軸對稱的點為P',

則點P'(1,-2),

由題意得:｛羥藍M

解得：｛d4'

則函數的表達式為：y=2x-4,

故答案為：y=2x-4.

【點評】本題考查的是待定系數法求函數表達式.熟悉圖象I-點的坐標特征是解題的關鍵.

三,解答題（共9小題，滿分52分）

17.（5分）（2024?北暗區校級三模）在學習了平行線后，小西進行了如下思考，夾在一組平行線間的線段

的垂直平分線，與平行線的兩個交點和線段兩端點所構成的四邊形是什么四邊形.請根據小西的思路完

成以下作圖與填空.

已知：如圖，AD//BC,連接,4C.

（1）用直尺和圓規完成以下基本作圖；作線段/C的垂直平分線EF,EF分別交8C,4。，4）于點E,

O,F,連接力￡CF.

（2）求證：四邊形力&才是菱形.

證明：-：AD//BC,

A?ZFAO=ZECO，

???斯是4C的垂直平分線,

：.OA-OC,AE-CE,

在△4OE和△COE中,

(Z.FAO=乙ECO

②

(Z.AOF=Z-COE

:.XAOF沿XCOE（ASA）,

:.③OF=OE,

???四邊形力石。尸是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）,

?；AE=CE,

???四邊形力七3是菱形（一組鄰邊相等的平彳j四邊形是菱形）.

在作圖過程中，小西進一步研究發現：夾在一組平行線間的線段的垂直平分線，與平行線的兩個交點和

線段兩端點所構成的四邊形是菱形.

【考點】作圖一復雜作圖；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定與性質；菱形的性質；菱形的

判定.

【專題】作圖題：幾何直觀；運算能力.

【答案】（1）見解析；

（2）NE4O=NECA,AO=OC,OF=OE,菱形.

【分析】（1）根據要求作出圖形；

（2）根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可.

：.（1）ZFAO=ZECA,

;敏是4。的垂直平分線，

：.OA=OC,AE=CE,

在△力。/和ACOE中，

LFAO=Z.ECO

AO=CO,

LAOF=乙COE

金△COE（ASA）,

:.③OF=OE,

???四邊形力是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）,

，：AE=CE,

???四邊形NEC尸是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）.

在作圖過程中，小西進一步研究發現：夾在一組平行線間的線段的垂直平分線，與平行線的兩個交點和

線段兩端點所構成的四邊形是菱形.

故答案為：ZFAO=ZECA,AO=OC,OF=OE,菱形.

【點評】本題考查作圖-復雜作圖，平行四邊形的判定和性質，菱形的判定，全等三角形的判定和性質

等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題.

18.（5分）（2025春?畢節市期末）全球首次“人機共跑”半程馬拉松于2025年4月19日在北京完賽，

經過2時40分42秒的奔跑，機器人“天工Ultra”率先沖過終點拱門，奪得桂冠.受到該項賽事啟發,

某中學機器人興趣小組也舉辦了“機器人競速比賽”，比賽中甲、乙兩臺機器人的賽跑路程s（加）和賽

跑時間/（〃〃力）之間的關系如圖所示，請根據圖象信息回答卜.列問題：

（1）本次比賽全程是800小，機器人甲先到達終點；

（2）機器人甲的平均速度是100m/min,其路程s和時間/的關系式是s=IOOf；

（3）機器人乙由于故障在途口停留了3min,恢復運行后，機器人乙的速度>機器人甲的

速度.（填”或“V”）

【考點】函數的圖象.

【專題】函數及其圖象；運算能力.

【答案】（1）800,甲；

（2）100,5-100/；

（3）3,>.

【分析】（1）觀察圖象即可；

（2）根據路程=時間X速度即可求；

（3）觀察圖象即可得到故障時間，速度即為圖象陡的程度，根據圖象比較速度大小即可.

【解答】解：（1）根據圖象可知，比賽全程是80S”，

機器人中所用時間為力，機器人乙所用時間為9min,

所以機器人甲先到終點;

故答案為：800,甲：

（2）根據象可知,平均速度為：8004-8=lOO/w/w/n,

路程s和時間,的關系式是：s=IOOf；

故答案為：100,s=100f；

（3）根據圖象可知，乙由于故隙在途中停留了5-2=3〃”〃，

Vs=vb同一時刻,s越人，y越人，

???圖象越為陡峭，

???恢復運行后，乙的線比甲陡，

???機器人乙的速度,機器人甲的速度.

故答案為：＞.

【點評】本題考查了用圖象表示變量間的關系，熟練掌握該知識點是關鍵.

19.（5分）（2024春?海陵區校級月考）如圖，在平行四邊形力88中，于點EDF_L4C于點F.求

證：AF=CE.

【考點】平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質.

【專題】三角形；圖形的全等；多邊形與平行四邊形；推理能力.

【答案】見解析.

【分析】易證A4BEZACDF，即可得證.

【解答】解：在平行四邊形力BCO中，

,:AB=CD，AB//CD,

:?/BAE=/DCF,又BE1AC,DFVAC,

:.NAEB=/CFD=900,

:?△ABEqACDF（/1/1S）,

:.AE=CF,

：.AF=AE+EF=FC+EF=CE,

：,AF=CE.

【點評】此題主:要考杳平行四邊形的性質，解題的關鍵是熟知平行四邊形的性質平行四邊形的性質.

20.（6分）（2024?天山區校級二模）如圖，在菱形dBCZ）中，對角線4C,BD交于點、O,過點/作4E_L

BC于點、E,延長8。到點R使C〃=8E,連接。足

（1）求證：四邊形/￡7：。是矩形：

【考點】矩形的判定與性質；菱形的性質.

【專題】等腰三角形與直.角三角形；多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】（1）見解答；（2）2、號.

【分析】（1）根據菱形的性質得到力。〃8c且4Q=5C,等量代換得到4C=￡R推出四邊形力￡心是

平行四邊形，根據矩形的判定定理即可得到結論；

（2）由菱形的性質得力。=48=8C=10,由勾股定理求出力?=8,JC=4V5,再由直角三角形斜邊上

的中線性質即可得出答案.

【解答】（1）證明：???四邊形力8c。是菱形，

：?AD〃BC且AD=BC,

*：BE=CF,

:,BC=EF,

:.AD=EF,

'：AD//EF,

???四邊形力￡尸。是平行四邊形，

VJE15C,

/.ZJEF=90°,

???四邊形力是矩形；

（2）解：:四邊形44C。是菱形，力。=10,

：.AD=AB=BC=\(),

*：BE=6,

在Rt△48E中，AE=7AB2-BE2=V102-62=8,

在RtA^EC中，AC=W1R2+EC?=V82+42=4^5,

???四邊形力8c。是菱形，

：.OA=OC,

：,OE=^AC=2VS.

【點評】本題考查J'矩形的判定和性質，菱形的性質，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線性質等知識：

正確的識別圖形是解題的關鍵.

21.（6分）（2023春?沙坪壩區校級期末）如圖，在矩形中，BC=3,對角線力C,BD交于點、O,

將△8OC沿直線4。翻折至矩形/3CQ所在平面內，得到△BOC',8C'與力。交于點E,OC'與力。

交于點凡連接力C',若C'O〃OC,則點￡至11/C'的距離為.

【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質.

【專題】矩形菱形正方形；展開與折疊；推理能力.

【答案】;.

【分析】由折疊的性質可得OC=OC,BC=BC=3,可證△OCO是等邊三角形，可得OC=OQ=CO

=AB=OC,可證四邊形480c是菱形，由直角三角形的性所可求力￡=1,即可求解.

【解答】解：如圖，過點￡作七〃_1力。于〃，

???四邊形力8c。是矩形,

:?AC=BD,AO=CO,BO=DO,AB=CD,AB//CD,

：,OC=OD=OB=OA,

：,ZODC=ZOCD,

,?,將△80C沿直線8。翻折至矩形/IBC。所在平面內，得到△4OC',

：.OC=OC,BC=BC=3,

VCZO//DC,

：,CO//AB,ZCOD=ZODC,

ZCOD=NODC=NOCD,

,/NCOD+ZODC+NOCD=180°,

，NCOQ=NOQC=NOCO=60°,

???△OC。是等邊三角形，

：.OC=OD=CD,

:?AB=CO,

???四邊形440。是平行四邊形，

VOB=OC,

???平行四邊形力80。是菱形，

：,AB=OB=AO=AC=CO,

???△ABO,△4CO都是等邊三角形，

AZABO=ZACO=ZCAO=60°,

/.ZABC=ZACB=30a,ZCAD=ABAC-BAD=30°,

:.BE=2AE,ZCAD=ZACE,

：,AE=CE,

:.BE+CE=BC=3,

：.2AE+AE=3,

：,AE=l,

???/旗〃=30°,EH1.AC,

：,EH=^AE=i,

???點E到心的距離為;.

故答案為：7

【點評】本題考查了翻折變換，矩形的性質，等邊三角形的判定和性質，宜角三角形的性質，靈活運用

這些性質解決問題是解題的關鍵.

22.（6分）（2025秋?新城區校級期中）某城市自來水實行階梯水價，收費標準如下表所示：

月用水量加3TW12124W18x>18

收費標準/（元加3）22.53

（1）當用水量超過12,7但不超過18〃尸時，寫出應交水費）,（元）與月用水量x（切3）之間的關系式;

（2）某用戶9月份交水費34元，求所用水量.

【考點】一次函數的應用.

【專題】一次函數及其應用：應用意識.

【答案】（1）y=2.5x-6（124W18）；

（2）此用戶9月份用水量為16m3.

【分析】（1）根據題意，用12加③的水費加上超過12/的水費即為應交水費，可列出函數關系式：

（2）結合（1）令y=34可解得x的值，即可得到答案.

【解答】解：（1）根據表格可得：當12VxW18時，y=2.5（x-12）+2X12=2.5x-6,

，應交水費y（元）與月用水量x（/）之間的關系式為y=2.5x-6（12<x<18）；

（2）72X12=24,2.5X18-6=39,且24V34V