高考數學-指數與指數函數 （學生版）

指數與指數函數

激活思維

1.（教材經典題）設。>0,則下列運算中正確的是（）

4323

A.=dB.a~Cly=Cl2

221

C.ClyQ3=0D.（〃4）*二Q

2.（教材經典題改編）設Q=3°Lb=2-。％c=90.4,則（）

A.b<c<aB.c<a<b

C.a<b<cD.b<a<c

ii

3.（教材經典題改編）已知石+L￡=5,則X+L］的值為（）

A.5B.23

C.25D.27

4.下列函數的值域是（0,+8）的有（）

A.B.y=p-i

A?]—2x.

C.y=（3ID.y=^\—3V

5.函數），="什2026+2026（4>0,的圖象恒過定點

聚焦知識

1.根式

（1）概念：式子也叫做,其中〃叫做根指數，。叫做被開方數.

（2）性質：（、/"）〃=0（〃使得'］有意義）;當n為奇數時，,曰=〃；當n為偶數

時，g呼怒

龍考檄號

2.分數指數鬲

n\

(1)規定：正數的正分數指數轅的意義是二=(〃>0,〃7,“EN*

且〃>1)；正數的負分數指數幕的意義是。一［=(4>0,〃?，且〃〉

1);0的正分數指數塞等于0:0的負分數指數塞.

(2)有理指數轅的運算性質：a>as=；

(ar)s=；(ab)1-,其中〃>0,b>0,r,sWQ.

3.指數函數的圖象與性質

a>\0<67<1

V

T

圖象啰-1]___Xk.L_r=i

0ix-7

定義域R

值域

過定點_______，即當x=0時，y=

當x>0時，________；當xV0時，_____；

性質

當xVO時，________當x>0時，_______

在(一8,+8)上是____在(一8,+8)上是_____

4.常用結論

(1)畫指數函數》=出(。>0且。工1)的圖象時注意兩個關鍵點：(1,。)，(0,

1).

(2)底數。的大小決定了圖象相對位置的高低，不論是還是0<。<

1,在第一象限內底數越大，函數圖象越高，即“底大圖高”.

龍考檄號

(Xa<b<\<c<d

(3)/(x)=qx與g(x)=/l\\a>0且a21)的圖象關于y軸對稱.

題型突破思維拓展

▲

舉題說法

目恤Ml指數式的求值與化簡

例1(1)計算J—j■—(—9.6)。+V(\r(2)一兀尸一層)一2的值為

()

1

A.-B.it

n

C.7i2D.2

(2)已知x—工-1=26Q>0),求二.、的值.

x2+x-2

<總結梃燎》

指數寐運算的一般原則：(1)負指數幕化成正指數幕的倒數.(2)底數是負

數，先確定符號；底數是小數，先化成分數；底數是帶分數的，先化成假分

龍考檄號

數.（3）若是根式，應化為分數指數幕，盡可能用森的形式表示.

變式1⑴已知eb—e1R=2,則6卡=.

（2）（2025?福州質殮）牛奶保鮮時間因儲臧溫度的不同而不同，假定保鮮時間

y（單伍h）與儲藏溫度M單位：℃）的關系式為歹=相義廉廠為常數）.若牛奶在0℃

的冰箱中，保鮮時間約是100h,在5c的冰箱中，保鮮時間約是80h,那么在

10℃的冰箱中的保鮮時間約是h.

目標區指數函數的圖象及應用

例2（1）（多選）若函數>=優+〃-且aWl）的圖象經過第一、三、四

象限，則下列說法中正確的有（）

A.a>1B.0<a<l

C.b>0D.Z><0

（2）（2025?龍巖質檢）已知兀0=0—小當.VbVc時,有/⑷>/（c）〉/S）,

則必有（）

A.QVO,/）<0,c<0B.tz<0,/）>0,c>0

C.2-a<2，D.1<2。+2y2

變式2已知函數=二若實數滿足〃〈力Vc且/（〃）

fX十Z9X71，

=/S）=<c），則3〃+3，>+3<、的取值范圍為（）

A.（3,9）B.（5,9）

C.（5,11）D.（3,11）

目標?指數函數的性質及應用

視角1單調性與最值

例3-1（1）（2023?新高考I卷）設函數於）=2您r）在區間（0,1）上單調遞

減，則。的取值范圍是（）

A.(—8,—2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,4-oo)

龍考檄號

（2）函數/（X）=（；J的值域為.

（3）（2025?宿遷期中）（多選）若定義在[-1,1]上的函數外）=-2?9'+4?3乂,

則下列結論中正確的是（）

A./）的單調遞減區間是[0,1]

B.4）的單調遞增區間是[-1,1]

C./U）的最大值是次0）=2

D.{x）的最小值是{1）=一6

視角2比大小與解不等式

例3-2（1）（2025?石家莊調研）已知〃=（|/）b=ijo/?,,,=（|

將a,6,。按照從小到大的順序排列為（）

A.c<b<aB.b<a<c

C.c<a<bD.b<c<a

（）（?濟南月模擬）若函數0,

220253則/(2工)+./-3)>0

的解集是（）

A.(—8,1)B.(I,4-oo)

C.(-8,-3)D.(-3,+8)

視角3綜合應用

b—3V

例3-3已知心尸------1是定義在R上的奇函數.

（1）求人丫）的解析式：

（2）已知OVaVl,若對于任意的x￡[l,+8）,存在加W[—2,1],使得人刈

—x2+2x4--^fzw+,成立，求實數a的取值范圍.

2

龍考檄號

隨堂內化

1.（2025?新鄉二模）仁］'+聲=（）

A.16B.8也

C.32D.16也

2.若x滿足不等式法2+1?￡,一2,則函數y=2'的值域是（）

C.（-8,mD.[2,+8）

3.（2025?安慶二模）若函數/（X）=Q-2-Wl+b的圖象經過原點，且無限

接近直線y=2但又不與該直線相交，則（）

A.函數4丫）不具有奇偶性

B.a=2

C.函數兒丫）的值域為（一8,2）

D.函數人工）的單調遞增區間為[0,+8）

4.（2025?聊城一樓）設實數〃>0,函數e）=四上為奇函數，則/（1g3）=_

1。'—C7

配套精練

一、單項選擇題

1.已知。=0.3。$,Z?=0.30-5,c=0.40-5,貝ij（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>b>a

2.設函數./（x）=3口口在區間（1,2）上單調遞減，則。的取值范圍是（）

A.（一8,2]B.（-8,4]

C.[2,4-00)D.[4,4-oo)

3.（2025?杭州期末）已知函數人工）=2、+〃7?2r（m￡R）是奇函數,則下列關

系正確的是（）

A-X1）<A2）B../（1）>/（2）

a

C.X2）=2/（l）D./（2）=j+Xl）

4.（2025?漳州三模）某工廠產生的廢氣經過濾后排放，過濾過程中廢氣中

的污染物含量P（單位：mg/L）與時間/（單位：h）間的關系為其中P0>

0,k>0,若在前5h內消除了10%的污染物，則15h后污染物含量還剩余（）

A.70%B.85%

C.81%D.72.9%

產—i+x,xW1,

5.(2025?德州模擬)設=/1則滿足火1_勸＞大21)的x的

I9X19

(X

取值范圍是()

A.(-8，-1]B.(0,4-oo)

C.(一1,0)D.(-8,0)

二、多項選擇題

6.（2025.紹興模擬）已知函數4刈=式*,則下列結論錯誤的是（）

A.當4=1時，/（x）是偶函數，且在區間（0,1）上單調遞增

B.當2=1時，/⑺是奇函數，且在區間（0,1）上單調遞減

C?當義=-1時，/（x）是偶函數，且在區間（0,1）上單調遞減

D.當4=一1時，Hx）是奇函數，且在區間（0,1）上單調遞增

7.（2025?寧德質檢）設函數/（幻=0-1|,a,b,c￡R,且則下

列說法正確的是（）

A.函數y=/a）有最小值o,無最大值

B.函數歹=/（x）的圖象與直線y=l有兩個不同的交點

常考撤號

C.若火<>7?>.他),則2。+2y2

D.若火0=火力)，則2加+2。的取值范圍是￡,2,

8.已知函數(丫)=(:二：，20,若旦人工1)=/(》2)=/(工3)，則

()

A.XI+X3=2B.修<0<》2<1V》3

c.|x3|>bc,|>|x2|D.OVx孫I)wl

4

三、填空題

41

。3—8a3b]

9.彳匕簡：----------+卜一2'gJX7a=.

4方+24法+43I/

〃？—1+9”'

10.(2026?德州期初)己知〃>0,函數/)=--------,若兒0+4一幻=0,

3Y

則加+〃=.

11.已知函數,/(x