2026高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)練：直線與圓

直線與圓

一、單選題

1.若直線小（〃L2）X+3），+3=0與直線4：2x+（〃-l）y+2=0平行，則，〃=（）

A.4B.-4C.I或TD.一1或4

【答案】D

【解析】根據(jù)直線一般方程的平行關(guān)系求〃?的值，并代入檢驗(yàn).

若直線《：（帆―2）x+3y+3=0與直線42x+（/〃—1）），+2=0平行，

R!）（m-2）（m-l）=3x2=6,整理可得帚-3丁-4=0,解得〃1=4或m=—1,

若〃7=4,直線4：2x+3），+3=0與直線小2.r+3y+2=。平行，符合題意：

若，〃=-1，直線4：工-丁-1=0與直線自：工一），+1=0平行，符合題意：

綜上所述：〃?=4或帆=一1.

故選：D

2.直線F=x+1與圓*-1）2+），2=3交于A3兩點(diǎn)，則|四|=（）

A.1B.2C.72D.2a

【答案】B

【解析】先求出圓心到直線的距離，再由幾何法求出弦長即可.

由題意可得圓心（,0）,半徑/=6,

到直線x-y+l=。的距離為4=號=拒，

由幾何關(guān)系可得|A3|=2\/r2—d~=2>/3-2=2.

故選：B.

3.已知點(diǎn)A,B為圓（x-6『+），2=16上兩點(diǎn)，|AB|=46,點(diǎn)P為線段A8的中點(diǎn)，點(diǎn)。為直線x-JJy+4=0上的動

點(diǎn)，則|PQ|的最小值為（）

A.3B.4C.5D.30

【答案】A

【解析】先根據(jù)垂徑定理得出|C4=2,即可得出點(diǎn)~的乳跡為圓，貝!問題轉(zhuǎn)化為求圓上的動點(diǎn)到定直線的距離的最小

值.

圓（x-6）2+丁=16的圓心坐標(biāo)為C（6,0）,半徑《=4,

因?yàn)辄c(diǎn)P為線段43的中點(diǎn)，|4網(wǎng)=46,

所以點(diǎn)P的軌跡是以。（6,0）為圓心，半徑為r=2的圓,

點(diǎn)。在直線x—6＞，+4=0上,

10

可得圓心C（6,0）到直線x-Gy+4=0的距離d==5,

4+3

所以|P。的最小值為"5-2=3.

故選：A

4.已知圓。過點(diǎn)（1,0）,且圓心化不軸的正半軸上，直線/：x+2y-1=0被圓C.所截得的弦長為竽，則過圓心C.且與

直線/垂直的直線的方程為（）

A.2x-y-4=0B.2x+y-4=0

C.2x-y-6=0D.2x4-y-6=0

【答案】C

【解析】設(shè)出圓心坐標(biāo)為（《0）（。＞0）,根據(jù)弦長利用勾股定理列方程求解〃，由兩直線垂直斜率的關(guān)系求出與直線/垂

直的直線的斜率即可寫出其點(diǎn)斜式方程.

設(shè)圓心坐標(biāo)為（“0）（。＞0）,則圓C的半徑為I。-1|,

由題意知：（痣^）+（竽）=（"1）2,解得〃=3或a=T（舍），

所以過圓心。且與直線/垂直的直線的方程為y=2（x-3）,B|J2x-y-6=0.

故選：C

5.已知點(diǎn)P（T,0）及拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)。，若線段PQ的垂直平分線經(jīng)過C的焦點(diǎn)，則。的橫坐標(biāo)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

/2\

【解析】設(shè)Q。，5，通過兩直線垂直，斜率乘積等于-1,列出等式求解即可.

4

拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1.0）,

設(shè)。（空,〃?），則P,Q中點(diǎn)坐標(biāo)為：

由線段P。的垂直平分線經(jīng)過C的焦點(diǎn)，

m

解得：W=16，

所以。的橫坐標(biāo)為4,

故選：B

6.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，己知曲線C62+），2丫=2/_2/，若點(diǎn)。為曲線。上的動點(diǎn)，則依耳的最大值為（）

A.當(dāng)B.72C.2D.272

【答案】B

【解析】對P的位置進(jìn)行分類討論，再利用換元法結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)求解最值即可.

設(shè)尸&，%），則說+N；『=2x；-2y；,

當(dāng)點(diǎn)P位于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，|。4=。；

可得如驍＜缶-仁

當(dāng)點(diǎn)P異于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),

而。“春江。“系江且看+居T-

J2

2

故令一AF=COS2。，-^=sinO且cos?。一sin?ONO>

“o+No不+5o

2

則|OP『=XQ+y；=（cos。一sin29）=2cos20,

由余弦函數(shù)性質(zhì)得OwQ/fW2,故|。修的最大值為拉，故B正確.

故選：B.

7.已知拋物線C:〉，2=8x,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/與拋物線C相交于A8兩點(diǎn)，且直線08的斜率之積為-2,則點(diǎn)。到

直線/的最大距離為（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【解析】設(shè)直線/：工=沖+〃，A（N，y）I（0），2）,聯(lián)立直線與拋物線的方程，表示出&辦%,與韋達(dá)定理聯(lián)立求出〃，

結(jié)合題意分析即可求解.

設(shè)直線，：x=my+〃，4（內(nèi),X）,8（孫％），

X=7??V+〃__，

則'可得…吁8〃=。,

所以乂先=一8〃,

又y：=8.q,為=此，所以百x,=?01,

1-64

,,v.y,6464c

所以《#08=^~=-----=-z-=-2,

x/2>'|J2-8〃

所以〃=4,所以直線/：x=/世+4恒過(4,0),

則點(diǎn)。到直線/的最大距離為4.

8.已知圓C：(x-lf+G，-2)2=25,直線/：(2〃7+1)/("7+1))，-7加-4=0(,〃￡/?),則直線/被圓C截得的弦長的最

小值為()

A.4石B.6&C.86D.10x/5

【答案】A

【解析】確定直線所過的定點(diǎn)，再根據(jù)圓的性質(zhì)，分析出當(dāng)圓心與定點(diǎn)的連線垂直于直線時(shí)，弦長最短，最后根據(jù)勾

股定理求出弦長的最小值.

將直線方程(2〃2+1)工+(m+1))，-7"?-4=0("?￡切進(jìn)行變形：

(2"?+l);r+(/〃+l)y-7〃7-4=0,(2x+y-7)，〃+(x+y-4)=()

2x+y-7=0

因?yàn)閙eR,所以可聯(lián)立方程組I八，

解得X=3.y=1.所以直線恒過定點(diǎn)%3,1).

已知圓C：(x-l)2+(y-2)2=25,則圓心C(L2),半徑r=5.

可得圓心。(1,2)與定點(diǎn)P(3,l)的距離為：

IPC\=J(3-1)?+(1_21=>/4+T=6

因?yàn)樾校?，所以點(diǎn)〃在圓C內(nèi)部.

當(dāng)圓心。與定點(diǎn)戶的連線垂直于直線時(shí)，弦長最短.

此時(shí)弦長的一半、圓心與定點(diǎn)的距離以及圓的半徑構(gòu)成直角三角形，其中圓的半徑為斜邊.

根據(jù)勾股定理，弦長的一定為J與|00|2=’25（有丁=同=2百.

所以弦長的最小值為2x2逐=4逐.

直線被圓C截得的弦長的最小值為46.

故選：A.

9.已知圓。：/+），2=1,直線/：），=奴+2,當(dāng)我變化時(shí)?，若過直線/上任意一點(diǎn)總能作圓C的切線，則攵的最大值為（）

A.0B.正C.1D.73

3

【答案】D

【解析】利用直線與圓的位置關(guān)系構(gòu)造不等式即可求得-石工攵工行.

由圓C:V+），2=1可知圓心c（o,o）,半徑r=1；

根據(jù)題意若過直線/上任意一點(diǎn)總能作圓C的切線，可知直線和圓相離或相切;

|0+2|

因此圓心到直線的距離d=>r=l,解得-

Jl+公

因此人的最大值為

故選：D

10.若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面中的對應(yīng)點(diǎn)都在一個(gè)以原點(diǎn)為圓心的圓上，則1的對應(yīng)點(diǎn)均在（）

Z

A.一條直線上B.一個(gè)圓上C.一條拋物線上D.一支雙曲線上

【答案】B

【解析】設(shè)出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，再求出!對應(yīng)點(diǎn)滿足的關(guān)系判斷得解.

Z

設(shè)復(fù)數(shù)z=a+〃i,a,bcR,則/+//=>0）,設(shè)！對應(yīng)點(diǎn)為（x，y）,

z

.1Ia+bia+biab.十0h

==+1a

而==-77=3~,?-2,,2~~>于是x=r，y=F，

za-bi（a-bf1v）（a+b\）Aa+brr廠廠

/+），2=（4）2+（4）2=4,所以！的對應(yīng)點(diǎn)均在一個(gè)圓上.

r-r-r-z

故選：B

11.過點(diǎn)P（3,l）作圓C:V+）,2+2x+4y—4=0的切線，記其中一個(gè)切點(diǎn)為A,則|必|=（）

A.16B.4C.21D.舊

【答案】B

【解析】求出圓。的圓心和半徑，再利用切線長定理求解.

圓C:1）2+（J+2）2=9的圓心。（一1,一2）,半徑r=3,

則IPC|=g-3)2+(-2-1)2=5，

所以|PA|二J|PC『一>=4.

故選：B

12.已知直線），=經(jīng)過圓］2+）/+2%=0的圓心，則的最小值為（）

A.—1B.—

4

C.0D.1

【答案】B

【解析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得出圓心坐標(biāo)，將其代入直線），=，a+〃中得出人=。，從而將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為

求二次函數(shù)的最小值.

X2+y2+2x=0可化為（x+l）2+/=1,故圓心為（T,o）,

因直線y=or+8經(jīng)過圓心，則=

則？=/+/,=/+。，此二次函數(shù)開口朝上，對稱軸方程為。=一；，

故其最小值為

I2）24

故選：B

二、多選題

13.已知圓C:F+）/—2x—4y+l=0,直線/:以一2）」2。+3=0（其中〃為參數(shù)），則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.圓C的半徑r=4B,直線/與圓。相交

C.直線/不可能將圓。的周長平分D.直線/被圓。截得的最短弦長為加

【答案】BD

【解析】對于A,根據(jù)條件得到圓心為。（1,2）,半徑為r=2,即可求解：對于B,根據(jù)條件可得直線過定點(diǎn)"（2,|）,

口定點(diǎn)在圓內(nèi),即可求解：對于C,當(dāng)有線過圓心時(shí)，直線平分圓,即可求解：對干D,當(dāng)CH_L/葉.直線/被圓。截

得的弦長最短，由弦長公式，即可求解.

對于選項(xiàng)A,由丁十/一2工一4），+1=0,得到+（y-2『=4,

所以圓C圓心為C（l,2）,半徑為r=2,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，

對于選項(xiàng)B，由ax?—2>-2〃+3=0,得至lj。（上一2）—2y+3=0,

x-2=0a

由，八，得到x=2,y=S所以直線過點(diǎn)”2,-,

-2y+3=02<2）

22,所以點(diǎn)，門在圓內(nèi)，故直線/與圓C相交，則選項(xiàng)B正確,

X|HC|=J（2-l）+g-2

乙）

對于選項(xiàng)C,當(dāng)直線/：d-2），-2〃+3=0過點(diǎn)C（l,2）,即〃二一1時(shí)，直線/平分圓C的周長，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤,

對于選項(xiàng)D,當(dāng)C〃J_/時(shí)，圓心到直線/的距離最大，直線/被圓C截得的弦長最短,

此時(shí)弦長為L=2戶方==后,所以選項(xiàng)D正確,

故選：BD.

14.已知直線Gnr+編—"=0（〃?，〃不司時(shí)為0,QO:X2+y2=4,拋物線C:丁=4.1的焦點(diǎn)為尸，則（）

A.直線/與恒有兩個(gè)交點(diǎn)

B.直線/被0。截得的最短弦長為2?

C.00與拋物線C交于M,N兩點(diǎn)，則|MN|=4/

D.當(dāng)加=〃=1時(shí)，直線/與拋物線C交于A8兩點(diǎn)，則-忸川二2及

【答案】AB

【解析】根據(jù)直線過定點(diǎn)可得直線/恒過定點(diǎn)P（LO），可判斷A正確，由直線和圓的位置關(guān)系以及弦長公式計(jì)算可得B

正確，聯(lián)立拋物線和圓方程可得C錯(cuò)誤，聯(lián)“.直線和拋物線方程根據(jù)韋達(dá)定理以及拋物線定義可得D錯(cuò)誤.

對于A,由直線/:〃?（x-l）+〃y=0（"?,〃eR）,知直線/恒過定點(diǎn)夕（1,0）.

又點(diǎn)。在0。內(nèi)，所以直線/與。。恒有兩個(gè)交點(diǎn)，A正確；

對于B,易知當(dāng)OP_L/時(shí)，直線/被。。截得的弦最短，

此時(shí)x=l,最短弦長為2"二了=2百，B正確；

4-\尸—4

對于C,聯(lián)立2；一得/+41=0,解得i2±2&，

y=4x

結(jié)合圖形知x=2（&-l）,代入），2=4x得，），=±2即可,

所以|MN|=4,2（夜-1）,C錯(cuò)誤;

對于D,易知直線/：x+)」l=O經(jīng)過拋物線。:9=敘的焦點(diǎn)F,

設(shè)A(N，X),8(孫必)，聯(lián)立F=4：八，整理得W—6x+l=0,

x+y—1=0

則,+*2=6.由拋物線的定義知，|人用=內(nèi)+&+〃=8,

所以忸H=MMCOS45O=4&,D錯(cuò)誤.

故選：AB.

15.在平面直角坐標(biāo)系入。\,中，曲線c上任意點(diǎn)到點(diǎn)C(l,l)的距離等丁I,若直線y=6(AeR)與曲線。交丁不同的

兩點(diǎn)A,B,則()

A.當(dāng)時(shí)，|A8|=1逐B(yǎng),線段A8中點(diǎn)的就跡長度為日兀

C./.而的取值范圍為[一川D.\O^\OB\=\

【答案】ABD

【解析】求圓心C(LI)到直線％-2>=0的距離，運(yùn)算求解即可判斷A；分析可知點(diǎn)M的軌跡是以。C為百徑的圓(圓。

內(nèi)部部分)，即可判斷B；根據(jù)數(shù)量積可得"?肥=cos/AC4,進(jìn)而可判斷C；分析可得|0碼。四=|0€/——=],即

可判斷D.

對于選項(xiàng)A,圓。：(<-1尸+()，-1)2=1的圓心坐標(biāo)為C(l,l),半徑為廠=1,

若直線)，=1x,圓心C到直線的距離為d=|CM|=甲=且,

2y/55

則1=21AM|=2—/=='行,故A正確；

對于選項(xiàng)B,如圖線段A8中點(diǎn)M滿足QW_LCM,

所以W的軌跡是以0C為直徑的圓(圓C內(nèi)部部分)，

所以線段A5中點(diǎn)的軌跡長度為\-2冗M(jìn)=671,故B正確；

222

對于選項(xiàng)C,AC-BC=|AC||BC|cosZACB=cosZACB,因?yàn)辄c(diǎn)4,8不重合，所以cosZACBvl,故C錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)D,|。4||。即=(QM|+|M4|X|0MTM4|)=|0M|2一|加4|2=|0C『-J2-(r2-J2)=|(?C|2-/=],故口正確.

故選：ABD

16.已知圓C:(x+2)2+)，=4,直線/:(〃7+l)x+2y-l+〃7=O(〃7wR),則()

A.直線/與圓C可能相切

B.當(dāng)初=0時(shí)，圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線/的距離等于1

C.直線/與直線2x-(/〃+l)y=0垂直

D.若圓C與圓W+9—2x+8)，+a=0恰有三條公切線，則〃=8

【答案】CD

【解析】對于A項(xiàng)，求出直線/經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)，判斷該點(diǎn)與圓的關(guān)系，即可判斷；對于B項(xiàng)，代入〃?=(),得出直線

的方程，求出圓心到直線的距離，即可得出答案；對于C項(xiàng)，根據(jù)兩直線的系數(shù)計(jì)算即可得出；對于D項(xiàng)，根據(jù)已知

可知兩惻外切，根據(jù)已知求出兩圓圓心、半徑，列出方程，求解即可得出答案.

對于A項(xiàng)，整理直線/:(〃?+1)X+2)，-1+〃?=O(〃2CR)

可得出/?i(x+l)+x+2y-l=0,

A+I=0,、

解方程組1?+2),_]=0可得，直線/過定點(diǎn)A(T/).

圓C:(x+2)2+>2=4的圓心為半徑為r=2,

22

WO\AC\=>/(-2+1)4-(0-1)=V2<2,

所以點(diǎn)A在圓內(nèi)，即直線/過圓內(nèi)一定點(diǎn)，

所以，直線/與圓C一定相交.故A錯(cuò)誤；

對于B項(xiàng)，當(dāng)機(jī)=0時(shí)，直線/化為x+2y-l=0.

此時(shí)有圓心C(-2,0)到走線/的距離d=卜產(chǎn)—"=攣，且1<"v2,

Vr+2~5

因此圓。上只有兩個(gè)點(diǎn)到直線/的距離?等于1.故B錯(cuò)誤;

對于C項(xiàng)，因?yàn)?/n+l)x2-2(m+)=o,

所以直線/與直線2.r-(,〃十1))，=0垂直.故C正確;

對于D項(xiàng)，要使圓C與圓V+)，2-2x+8y+a=。恰有三條公切線，則應(yīng)滿足兩圓外切.

圓丁十/一2x+8y+a=0可化為(x-lf+()，+4)2=\J-a(?<17),

圓心為M(l,-4),半徑為R=y/17-a.

因?yàn)閮蓤A外切，所以有|MC|=〃+R,

即y/17-a+2=^(-2-1)2+(0+4)2=5,

整理可得X/IE=3,化簡可得17-。=9,

解得。=8.故D項(xiàng)正確.

故選：CD.

三、填空題

17.已知圓屈：/+()，-4)2=1與拋物線。:9=2/"(〃>。)的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)瓦尸為。的焦點(diǎn)，則直線所被圓加截得的

弦長為.

【答案】邁

5

【解析】根據(jù)已知可得〃=2,進(jìn)而有"1,0)、￡(-1,4),寫出所:2x+y-2=0,求圓心到直線距離，再應(yīng)用圓中弦長

的幾何求法求直線E尸被圓“截得的弦長.

由題設(shè)，拋物線準(zhǔn)線為x=-5=-l,則〃=2,故口1,。),

由準(zhǔn)線與圓相切且圓心M(。，4),易知E(T,4),

所以EF:y=-2(x-l),即EF:2x+y-2=0,

2

故”(0,4)到：2x+y-2=0的距離d=

二2

所以直線E廣被圓M截得的弦長為2

故答案為：|V5

18.已知效物線/=4x上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為5，過點(diǎn)尸作圓f+V_4x-2y+I=0的切

線，切點(diǎn)為M，則歸歷|=一.

【答案】3

【解析】先根據(jù)拋物線的定義求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心坐標(biāo)和半徑，最后根據(jù)切線的

性質(zhì)，利用勾股定理求值.

在拋物線f=4x中，2〃=4,則〃=2,所以焦點(diǎn)廠（1,0）,準(zhǔn)線方程為x=—1.

設(shè)點(diǎn)尸（如先）（不，為＞°），根據(jù)拋物線的定義，可得用+1=5,解得x,=4.

把小=4代入尸=41，得）,：=4X4=16,因?yàn)?＞。，所以為=4,即P（4,4）.

將圓產(chǎn)+）,2一4入.-2），+1=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-2f+（.y-l）2=4,從而圓心為C（2,l）,半徑1=2.

故I尸M尸C『一|CM/=V22+32-22=3.

故答案為：3.

19.已知圓。的方程為f+9-2砂一i=o（〃zeR）.當(dāng)圓C的面積最小時(shí)，直線3x-4），+a=0（a＞0）與圓C相切，則。

的值為.

【答案】5

【解析】先求得圓C面積最小時(shí)圓的半徑，然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離等于半徑列方程求得

依題意，圓C的方程為丁+V-2〃少-1=0（/〃eR）,

所以Y=>+1,所以圓心為C(O,/n),半徑為47W，

所以當(dāng)切=0時(shí)，半徑最小，圓的面積最小，且半徑的最小值為I,

此時(shí)圓心。(0,0)到直線3x-4)，+〃=0(〃>0)的距離為

g=1,。=5或4=-5(舍去).

故答案為：5

20.已知A(—1,0),8(3,0),P是圓O：f+y2=36上的一個(gè)動點(diǎn)，則sin4M的最大值為.

【答案】

【解析】幾何法：利用正弦定理建立sin/AM與△尸外接圓半徑「的關(guān)系，再根據(jù)圓O與圓C(△抬8的外接圓)的

位置關(guān)系求出，?的最小值，進(jìn)而得到(sinNAPB)心.

代數(shù)法：通過設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，用向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示出cosNAP5,然后利用不等式求出cosZA依的最小值，再根據(jù)三

角函數(shù)關(guān)系求出sinNAP8的最大值.

方法一(幾何法)

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解：設(shè)圓C為的外接圓，且半徑為「，則?…》=2「,故(sin/AP0nm=——

由于點(diǎn)P既在圓。上，也在圓C上，即圓。與圓。有公共點(diǎn)，當(dāng)圓。與圓。內(nèi)切時(shí)，圓。的半徑最小，即

|明向=18

由于邊A8的垂直平分線為x=l,設(shè)C。/)，則Jj/=6-"TM，

兩邊平方得1+/=36-12“+產(chǎn)+4+/,兩邊消去產(chǎn)得：

1=36-1254+產(chǎn)+4,即12,4+尸=39,v4+r=—=—.

則大訪="+/=:，故(sin/APB)11m

方法二(代數(shù)法)

設(shè)P(6cosO,6sin0),AP=(6cosO+l,6sinO),8〃=(6cosO_3,6sin0)

33-12cos。11一4cose

w"APB-cos<AP.BP>=

V37+12cos<9-j45-36cos。J37+I2cos8-j5-4cos6

11-4cos^

--------------,>11一4cos。

V37+12cos<9-Jy(5-4cos<9)