高中數學必修第一冊《兩條平行直線間的距離》教案

2.3.4兩條平行直線間的距離教學設計

課題兩條平行直線間的距離單元第二單元學科數學年級高二

教材本節內容是在學習“兩點間距高公式”、“點到直線距離公式”后的又一重要內容，求“兩條

分析平行直線間的距離”通常轉化為其中一條直線上任意-■點到另一條直線的距離，即“點到

直線距離公式”，進而得到求兩條平行直線間距離的一般結論。通過本節的教學，讓學生體

會化歸與轉化的數學思想，了解由特殊到一般地研究數學問題，體現J'邏輯推理和數學運算

的數學學科素養。

1數學抽象：應用“點到直線距離公式”求平行線直線間的距離；

邏輯推理：求兩條平行直線間的距離；

教學2

3數學運算：兩條平行直線間的距離的推導；

目標

4數學建模：初步掌握用解析法研究幾何問題；

與

直觀想象：兩條平行直線間的距離；

核心5

6數據分析：從“點到直線距離公式”到“求平行線直線間的距離”再到例題，最后到課

素養

堂練習，讓學生體會數學知識的邏輯性和嚴密性.

重點求兩條平行直線間的距離.

難點求兩條平行直線間的距離.

教學過程

教學環節教師活動學生活動設計意圖

導入新課問題1：我們前面學習了兩點間的距離公式和復習引入我們已經學習

點到直線的距離公式，分別是什么？學生獨立思考了兩點間距離公

式，點到直線的

問題2：如何求兩條平行直線間的距離呢？距離公式，所以

容易想到兩條平

行直線間距離的

問題，很順利地

導入到新課。

講授新課點到直線和兩條平行線間的距離學生思考

點到直線的距離教師給出兩條

定義點到直線的垂線段的長度平行直線間的

點尸0（孫川）到直線Ax+By+C=O的距離的定義

公式距Jd筆普普

兩條平行直線間的距離

定義夾在兩條平行直線間公垂線段的長度

兩條平行直線A：4x+砂+G=0與，2：

公式Ar+bj+C2=0(G#C2)之間的距離

d=?

思考

已知兩條平廳直線21，%的方程，如何求。，

%間的距離？

在直線。上任取一點Po(x。Jo)，點

Po(Xo，為)到直線%的距離就是直線4與直線12間

的距離.這樣，求兩條平行直線間的距離就轉化為

求點到直線的距寓.

例7已知兩條平行直線k2x-7y-8=0,

6x-21y-1=0,求直線。與％間的距離.

分析：在，1上選取一點，如"與坐標軸的交點，用由特殊

點到直線的距離公式求這點到。的距離，即匕與G到一般

間的距離.地研究

解：先求!1與工軸的交點A的坐標.容易知道，點

A的坐標為(4,0).

點A到直線0的距離

|6x4-21x0-l|2323「

V624-2123V53159

所以A與％間的距離為含忌.

例8求證：兩條平行直線Ax+By+G=0與

Ax+8y+。2=0間的距離為

IG-Gl

分析：兩條平行直線間的距離即為這兩條平行直線

中的一條直線上的一點到另一條直線的距離.

證明：在直線Ax+By+G=0上任取一點

PoOo，%))，點Po(%oJo)到直線Ax+By+

C2=0

的距離就是這兩條平行直線間的距離.即

|Ax0+By0+C2\

J屋+解

因為點PoOo，為）在直線Ax+By+Ci=0±,

所以A%o+By。+G=。，即A%。+ByQ=—G

因此

|Ax+By+C\I-G+C2I|Ci-C\

a=-----0-0-2=———=—.——2

>JA2+B2y/A2+B2y/A2+B2

1兩條平行直線間的距離公式適用于兩條直線

的方程都是一般式，并且的系數分別對應相等

的情況，否則必須先將系數化為對應相等才能套用

公式.

2兩條平行直線間的距離可以轉化為點到直線

的距離.

求“兩條平行直線間的距離”通常轉化為其

中一條直線上任意一點到另一條直線的距離，且兩

條平行直線間的距離與其中一條直線上點的選取

位置無關，這樣，就可以不必記憶兩平行直線間的

距離公式了

課堂練習

1求與直線/：53—12)，+6=0平行且到/的距離為

2的直線方程.

解：

法一：設所求直線的方程為5x-12y+C=0.

在直線5x-12y+6=0上取一點為(0,

則點打到直線5x-12j+C=0的距離為

1―12X：+d_|c_6|

1\/524-(-12)213，

“JC-6|

由題意，得[[—2,

10

學生課堂練

所以C=32,或。=一20.

習，然后上臺

故所求直線的方程為5x-12y+32=0,或5x

-12j-20=0.演示自己的答加深學生對求兩

案。條平行直線間的

法二：距離方法的理解

設所求直線的方程為5.r-12j+C=0,

與運用，進一步提

由兩條平行直線間的距離公式得2=

高學生運用知識

1一6|

卜5?+(—12>'的能力，對練習中

解得C=32,或C=-20.出現的情況可采

故所求直線的方程為5x-12j+32=0,或5x取互評、互議的

-12j-20=0.

形式，達到及時查

漏補缺的效果。

2若平面內兩條平行直線匕：x+(a-l)y+2=

0

l2：ar+2y+l=0間的距離為呼,則實數

a=()

A.-2B.2或1C.-lD,-1或2

答案：c

提示：因為兩條直線平行

所以！=?工;所以。=2或a=?l.

當。=2時，兩平行直線即2%+2y+4=0

62x+2y+1=0,它們之間的距離為舄=

壺，不滿足條件.

當.=-1時，兩平行直線即21：x—2y+2=0

l2：-x+2y+l=0即%一2y—1=0,它們之

間的距離為器=等,滿足條件.

所以a=-1

3兩直線3%+3-3=0和6x4-1=0平行，則

它們之間的距離為________.

答案：手（由兩條直線平行得m=2）

4兩條平行直線2x-j+3=0和ax-3j+4=0間的距離為

d,則凡d分別為多少？

分析：根據兩條直線平行的性質求得。，再利月兩

條平行直線間的距離，計算d

解：根據兩條平行直線2x->+3=0和ax-3j+4=0

得1=三行得。=6

所以兩條平行直線即6x-3y+9=0和6x-3y+4=0

故它們之間的距離d=^==^