高一數學 第一課時 總體取值規律的估計

9.2用樣本估計總體

9.2.1總體取值規律的估計

第一課時總體取值規律的估計

課標要求1.掌握頻率分布表的作法以及頻率分布直方圖的畫法.2.掌握用頻率分

布直方圖估計總體.

【引入】收集數據是為了尋找數據中蘊含的信息.因為實際問題中數據多而且雜

亂，往往無法直接從原始數據中發現規律，所以需要根據問題的背景特點，選擇

合適的統計圖表對數據進行整理和直觀描述.在此基礎上，通過數據分析，找出數

據中蘊含的信息，就可以用這些信息來解決實際問題了.

一、頻率分布直方圖

探究我國是世界上嚴重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出.某市政府為了

節約生活用水，計劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一戶居民月用水

量標準4,用水量不超過。的部分按平價收費，超出。的部分按議價收費,為使大

部分居民的日常生活不受影響，那么標準。定為多少比較合理呢？

(1)為了確定一個較為合理的用水標準，你認為需要做哪些工作？

提示為了確定一個較為合理的用水標準m必須先了解全市居民日常用水量的

分布情況，比如月均用水量在哪個范圍的居民最多，他們占全市居民的百分比情

況等.

(2)為了了解全市居民用戶月均用水量的整體分布情況，應該采用怎樣的方法？

提示采用抽樣調查的方式，通過分析樣本觀測數據來估計全市居民用戶月均用

水量的分布情況.

(3)假設通過簡單隨機抽樣，獲得100位居民用戶的月均用水量數據(單位：t)如下

表：

9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.4

10.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.2

7.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.622.4

3.67.18.825.63.218.35.12.03.0

12.022.210.85.52.024.39.93.6

5.64.47.95.124.56.47.54.720.5

5.515.72.65.75.56.016.02.49.5

3.717.03.84.12.35.37.88.14.3

13.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.6

3.221.6

上述100個數據中的最大值和最小值分別是多少？由此說明樣本數據的變化范圍

是什么？

提示最大值是28.0t,最小值是1.3t,樣本觀測數據的變化范圍為26.7t.

(4)樣本數據中的最大隹和最小值的差稱為極差，如果將上述100個數據按組距為

3進行分組,那么這些數據共分為多少組？

提示26.7:3=8.9.因此這些數據共分為9組.

⑸以組距為3進行分組，上述100個數據共分為9組，各組數據的取值范圍可以

如何設定？

提示[1.2,4.2),[4.2,7.2),…，[25.2,28.2].

⑹試列出頻率分布表.

提示

分組頻數累計頻數頻率

[1.2,4.2)正正正正下23().23

[4.2,7.2)正正正正正正T320.32

[7.2,10.2)正正下130.13

[10.2,13.2)正7F90.09

[13.2,16.2)正在90.09

[16.2,19⑵正50.05

[19.2,22.2)T30.03

[22.2,25⑵40.04

[25.2,28.2|T20.02

合計1001.00

⑺請畫出頻率分布直方圖.

提示

【知識梳理】

畫頻率分布直方圖的步驟

(1)求極差：極差是一組數據中最大值與最小值的差.

(2)決定組距與組數：當樣本容量不超過100時，常分成5?12組,一般取等長組

距，并且組距應力求“取整”.

(3)將數據分組：分組時，第一組的左端點略小于數據中的最小值，最后一組的右

端點略大于數據中的最大值，分組區間一般是“前閉后開”.

頻率

(4)列頻率分布表：一般分四列，即分組、頻數、頻率.其中頻數合計應是樣

本容量，頻率合計是1.

頻率

(5)畫頻率分布直方圖：橫軸表示樣本數據，縱軸表示就.小長方形的面積=組距

頻率

乂輸=穌洛小長方形的面積和等于1.

頻率

溫馨提示頻率分布直方圖的縱軸表示,頻數分布直方圖的縱軸表示頻數.

例1為了了解學校高一年級男生的身高情況，選取一個容量為6()的樣本(6()名男

生的身高)，分組情況如下(單位：cm)：

分組[147.5,155.5)[155.5,163.5)[163.5,171.5)[171.5,179.5]

頻數62127m

頻率a().1

⑴求出表中4,機的值；

⑵畫出頻率分布直方圖.

_27

解(1)依題意得6+21+27+加=60,則加=6.〃=布=0.45.

(2)根據頻率分布表，可求第一組、第二組的頻率分別為強=0.1,磊=()35.

作出頻率分布直方圖如圖所示.

頻率

組距

()

()

0

()

0

0

1475155.51635171.51795身高.m

思維升華1.在列頻率分布表時，極差、組距、組數有如下關系:

(D若黯為整數’則篝=組數.

⑵若極箍差不為整數’則極糯差的整數部分+1=組數.

2.繪制頻率分布直方圖的注意點：

(D各組頻率的和等于1,因此，各小矩形的面積的和也等于1.

(2)橫軸表示樣本數據，縱軸表示頻薪率，這樣每一組的頻率可以用該組的組距為底、

疝?為高的小矩形的面積表示.

(3)畫頻率分布直方圖的關鍵是確定矩形的高，一般地，頻率分布直方圖中兩坐標

軸上的單位長度不一致.

訓練1從某校高三學生中抽取50名參加數學競賽，成績分組(單位：分)及各組的

頻數如下：

[40,50),2；[50,60),3；[60,70),1()；

[70,80),15；[80,90),12；[90,100],8.

(1)列出樣本的頻率分布表；

(2)畫出頻率分布直方圖；

(3)估計成績在［60,90)分的學生比例.

解(1)頻率分布表如下：

成績分組頻數頻率頻率/組距

[40,50)20.040.004

150,60)30.060.006

[60,70)100.20.02

170,80)150.30.03

[80,90)120.240.024

[90,100]80.160.016

合計501.000.1

(2)頻率分布直方圖如圖所示.

(3)學生成績在［60,90)分的頻率為().2+0.3+0.24=().74=74%,所以估計成績在

［60,90)分的學生比例為74%.

二、頻率分布直方圖的相關計算與應用

例2為了了解高一年級學生的體能情況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數

測試，將所得數據整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小

矩形的面積之比為2：4：17：15：9：3,第二小組的頻數為12.

頻率/蛆距

0.040

0.036

0.032

0.028

0.024

().02()

0.016

0.012

().(X)8

(HMM

09()1(X)10120130140150次數

(1)第二小組的頻率是多少？樣本量是多少？

(2)若次數在110以上(含110次)為達標，則該校全體高一年級學生的達標率約是

多少？

(3)求樣本中不達標的學生人數.

解(I)頻率分布直方圖是以面積的形式來反映數據落在各小組內的頻率大小的,

因此第二小組的頻率為

2+4+17+15+9+3

叱…‘一?目第二小組的頻數12八

所以樣本谷量=第二小組的頻率=萬麗=150.

17+15+9+3

(2)樣本數據中次數在110以上(含110次)的頻率為2+4+17+15+9+3義10°%=

88%.

所以估計全校高一年級學生的達標率約為88%.

(3)樣本的達標率為88%,樣本量為150,不達標的學生頻率為1-0.88=0.12,

所以樣本中不達標的學生人數為150X().12=18.

思維升華由頻率分布直方圖進行相關計算時，需掌握下列關系式：

頻率

⑴贏X組距=頻率.

⑵常頻數忘=頻率，此關系式的變形為：樣本量X頻率=頻數.

訓練2(鏈接教材P198練習T1)第19屆亞運會于2023年9月23日至2023年

10月8日在杭州舉行，志愿者的服務工作對亞運會的舉辦十分重要.某高校承辦了

杭州志愿者選拔的面試工作.現隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組:

第一組［45,55),第二組［55,65),第三組［65,75),第四組［75,85),第五組［85,

95J,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7,

第一組和第五組的頻率相同.

(1)求a,b的值；

(2)根據組委會要求，本次志愿者選拔錄取率為19%,請估算被錄取至少需要多少

分.

解(1)因為第三、四、五組的頻率之和為0.7,

所以(0.045+0.020+〃)X10=0.7,

解彳導。=0.005.

由題意可知，(0.005X2+6+0.045+0.020)X10=1,

解得方=0.025.

⑵由頻率分布直方圖得[45,55),[55,65),[65,75),[75,85)的頻率分別為0.05,

0.25,0.45,0.2,

因為0.05+0.25+0.45=0.75<0.81,

0.05+0.25+0.45+0.2=0.95>0.81,

所以錄取分數應該落在第四組，

設錄取分數為X,

則0.75+0.02-(x-75)=0.81,解得人=78,

所以被錄取至少需要78分.

【課堂達標】

1.對于頻率分布直方圖，下列說法中正確的是()

A.小長方形的高表示取某數的頻率

B.小長方形的高表示該組個體在樣本中出現的頻數

C.小長方形的高表示該組個體在樣本中出現的頻率與組距的比

D.小長方形的高表示該組個體在樣本中出現的頻數與組距的比

答案C

解析在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應各組的頻率，小長方形

的高表示該組個體在樣本中出現的頻率與組距的比.

2.一個容量為20的樣本數據，分組與頻數如下表：

分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

頻數234542

則樣本在[10,50)內的頻率為()

A.0.5B.0.24

C.0.6D.0.7

答案D

解析因為樣本在“0,50)內的頻數為2+3+4+5=14,樣本容量為20,所以在

14

[10,50)內的頻率為而=0.7.

3.某班組織學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖所示，數據的分組依

次為[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人數是15,則該班

的學生人數為()

頻率

獺

().02().....................................

().015------------------------------------

0.010...........................

().005--?------

°2。4060&)1伽成績/分

A.45B.50

C.55D.60

答案B

解析根據題中頻率分布直方圖可知成績低于60分的有第一、二組數據，在頻率

分布直方圖中，對應矩形的高分別為().005,().010,每組數據的組距為2(),

則成績低于60分的頻率為(0.005+0.010)X20=0.3.

因為低于60分的人數是15,

所以該班的學生人數是15-0.3=50.

4.從某小區抽取100戶居民用戶進行月用電量調查，發現他們的用電量都在50?

350kW.h之間，進行適當分組后(每組為左閉右開的區間)，畫出頻率分布直方圖

如圖所示.

頻率

組距

().0060

().0036

0.0024

().0012

050100150200250300350

月用電量/(kW?h)

則該直方圖中X的值為.

答案0.0044

解析由(0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)X50=I,得x=0.0044.

?課時精練?

一、基礎鞏固

1.關于頻率分布表，下列敘述中正確的是（）

A.從頻率分布表可以看出樣本數據相對于平均數的波動大小

B.頻數是指落在各個小組內的數據

C.每小組的頻數與樣本量之比是這個小組的頻率

D.組數是樣本平均數除以組距

答案C

解析對于A選項，頻率分布表使樣本數據被妥善整理，從而以更簡潔的數據形

態呈現，無法通過頻率分布表看出數據相對于平均數的波動情況；

對于B選項，頻數是指落在各個小組內的數據的個數；

對于C選項，每小組的頻數與樣本量之比等于這個小組的頻率，C正確；

對于D選項，組數一般由樣本數據的極差除以組距得到.

2,采用簡單隨機抽樣抽到一個容量為20的樣本數據，分組后，各組的頻數如下表：

分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

2

頻數23X5)'

已知樣本數據在區間［20,40）內的頻率為0.35,則樣本數據在區間［50,60）內的頻

率為（）

A.0.70B.0.50

C.0.25D.0.20

答案D

3+Y

解析由題意得黃=0.35,解得x=4,

則尸20—2—3—4—5—2=4,

4

故所求頻率為4=0.20.

3.如圖是某中學高一學生體重（單位：kg）的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的

前三組的頻率之比為1：2：3,則第三小組的頻率為（）

A.0.125

C.0.375D.0.500

答案C

解析由頻率分布直方圖，知前三組的頻率之和為1一（0.0125+0.0375）X5=

0.750,

所以第三小組的頻率為0.750X4"=0.375.

1IJIJ

4.某小區抽取了200個用戶的月平均用電量（單位：千瓦時），繪制了頻率分布直方

圖如圖所示（每組區間包含左端點，不包含右端點），則樣本中月平均用電量在［220,

260）的用戶數為（）

月平均用電量/千瓦時

A.80B.60

C.50D.30

答案A

解析由(0.002+0.0095+0.011+0.01250.005+0.0025)X20=1,得x

0.0075,

，月平均用電量在［220,260)的用戶數為200X20X(0.0125+0.0075)=80.

5.(多選)某高中高一、高二、高三年級的學生人數分別為12()0,900,900.現按照

分層隨機抽樣的方法抽取300名學生，調查學生每周平均參加體育運動的時間(單

位：h).樣本數據整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是

()

A.每個年級抽取的學生人數分別為120,90,90

B.估計高一年級每周平均體育運動時間不足4h的人數約為300

C.估計該校學生每周平均體育運動時間不少于8h的人數約為600

D.估計該校每周平均體育運動時間不少于8h的百分比約為10%

答案ABC

解析由題意可知，高一、高二、高三年級的學生人數之比為4：3：3,所以300

人中各年級抽取的人數分別為120,90,90,故A正確；

由題圖知，高一年級每周平均體育運動時間不足4h的人數約為1200X(0.025+

0.1)X2=300,故B正確；

由題圖知，該校學生每周平均體育運動時間不少于8h的人數約為3000X(0.075

+0.025)X2=600,故C正確;

由C知，該校學生每周平均體育運動時間不少于8h的百分比約為儡=20%,

JUUU

故D錯誤.

6.相關部門對某城市“五朵金花”之一的某景區在“十一”黃金周中每天的游客

人數作了統計，其頻率分布如表所示.

10月10月10月10月10月10月10月

時間

1日2日3日4日5日6日7日

頻率0.050.080.090.130.300.150.20

已知10月1日這天該景區的營業額約為8萬元，假定這七天每天游客人均消費相

同，則這個黃金周該景區游客人數最多的那一天的營業額約為萬元.

答案48

解析設這個黃金周該景區游客人數最多的那一天的營業額約為X萬元.由泰=

焉，得x=48,則游客人數最多的那一天的營業額約為48萬元.

7.某校從參加高一年級期末考試的學生中抽出60名學生，將其成績(均為整數，

單位：分)分成六段：[40,50),[50,60),…，[90,100],畫出如下部分頻率分

答案().3

解析第四小組的頻率為I一(0.025+0.015X2+0.01+0.005)X10=0.3.

8.某工廠對一批產品進行了抽樣檢測.如圖是根據抽樣檢測后的產品凈重(單位：克)

數據繪制的頻率分布直方圖，其中產品凈重的范圍是[96,106],樣本數據分組為

[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知樣本中產品凈

重小于100克的個數是36,則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產

品的個數是________.

凈電/克

答案90

解析???樣本中產品凈重小于100克的頻率為(0.050+0.100)X2=0.3,頻數為36,

???樣本容量為是言=120.

??,樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品的頻率為

（0.100+0.150+0.125）X2=0.75,

?,?樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品的個數為120X0.75=90.

9.一個頻數分布表（樣本容量為50）不小心被損壞了一部分，只記得樣本中數據在

［20,60）內的頻率為0.6,試估計樣本在［40,50）,［50,60）內的數據個數之和.

分組[10,20)(20,30)[30,40)1/

頻數34

解根據題意，設分布在［40,50）,［50,60）內的數據個數分別為x,），.

??,樣本中數據在［20,60）內的頻率為0.6,樣本容量為50,

4+5+x+y._

=0.6,斛仔x+y=21.

即樣本在［40,50）,［50,60）內的數據個數之和為21.

10.杲校高一杲班的杲次數學測試成績（滿分為100分）如卜

56,58,62,63,63,65,66,68,69,71,72,72,73,74,75,76,77,78,

79,95,98,其中［80,90）內的成績缺失.

頻率分布直方圖也受到了不同程度的破壞，但可見部分如圖,據此解答下列問題:

（1）求分數在［50,60）內的頻率及全班人數；

⑵求分數在［80,90）之間的頻數，并計算頻率分布直方圖中［80,9（0間的矩形的高.

解（1）由頻率分布直方圖，分數在［50,60）的頻率為0.008X10=0.08.

又分數在［50,60）之間的頻數為2,

2

所以全班人數〃=萬欣=25.

⑵由統計數據，分數在［80,90）之間的頻數為25—21=4.

4

???分數在［80,90）之間的頻率為去=0.16.

設頻率分布直方圖中網），90）間的矩形高為〃，則10〃=（）.16,???〃=（）.（）16.

因此頻率分布直方圖中［80,90）間的矩形的高為0.016.

二、綜合運用

11.(多選)供電部門對某社區1000位居民12月份人均用電情況進行統計后，按人

均用電量分為[0,10),[1(),20),[20,30),[30,40),[40,50]五組，整理得到

如下的頻率分布直方圖，則有關這100()位居民，下列說法正確的是()

A.12月份人均用電量人數最多的一組有400人

B.12月份人均用電量在[20,30)內的有300人

C.12月份人均用電量不低于20度的有500人

D.在這1()()()位居民中任選1位協助收費，選到的居民用電量在[3(),40)一組的概

率端

答案ABC

解析根據頻率分布直方圖知，12月份人均用電量人數最多的一組是[10,20),

有1000X0.04X10=400(人)，A正確；

12月份人均用電量在[20,30)內的人數為1000X0.03X10=300,B正確；

12月份人均用電量不低于20度的人數是1000X(0.03+0.01+0.01)X10=500(A),

C正確；

用電量在[30,40)內的有()01X10X1000=100(A),所以1000位居民中任選1

位，選到的居民用電量在[30,40)一組的概率為揭=京，D錯誤.

12.某學校隨機抽取部分新生調查其上學所需時間(單位：分鐘)，并將所得數據繪

制成頻率分布直方圖(如圖)，其中，上學所需時間的范圍是[(),100],樣本數據分

組為[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].則

(1)圖中的x=;

(2)若上學所需時間不少于1小時的學生可申請在學校住宿，則該校600名新生中

估計有名學生可以申請住宿.

答案(1)0.0125(2)72

解析(1)由頻率分布直方圖知20工=1-20X(0.025+0.0065+().003+0.003),解

得x=0.0125.

(2)上學時間不少于1小時的學生的頻率為0.003X2X20=0.12,

因此估計有0.12X600=72(名)學生可以申請住宿.

13.某高校在2024年的某招生考試成績中隨機抽到100名學生的筆試成績(滿分

200分)，按成績分組，得到的頻率分布表如下：

組號分組頻數頻率

第1組[160,165)50.05

第2組1165,170)①0.35

第3組[170,175)30②

第4組1175,180)200.20

第5組[180,185J100.10

合計1001.00

(1)請先求出頻率分布表中①②處應填寫的數據，并完成如圖所示的頻率分布直方

圖；

頻率/組距

^I8

n7

6

n715

JV4

n*IX3