高中數學：直線與平面平行

8.5.2直線與平面平行

【學習目標】1.從定義和基本事實出發，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與平面的平行關系，

掌握直線與平面平行的判定定理以及直線與平面平行的性質定理.（重點）2.能利用直線與平面平行的判定定

理和性質定理解決問題.（難點）

【導語】

在三維空間的深邃舞臺上，直線與平面的關系如同無聲的對話——若直線始終與平面保持恒定的距離，既

不靠近，亦不遠離，一者便達成了“平行”的默契.從天花板垂落的燈線完美避開地面，到棱柱側棱與底面

的優雅共處，這種平行關系以隱形的規則編織著立體幾何的美感.但如何確認一條直線與整個平面保持平

行？是方向的選擇，還是距離的堅守？讓我們穿透表象一起來解開直線與平面平行背后的空間密碼？

一、直線與平面平行的判定定理

問題1在前面學習直線與平面的位置關系時，我們是如何定義直線與平面平行的呢？

提示直線與平面沒有公共點.

問題2如圖，門扇的兩邊是平行的.當門扇繞著一邊轉動時，另一邊與墻面有公共點嗎？此時門扇轉動的

一邊與墻面平行嗎？

提示無論門扇轉到什么位置，因為轉動的一邊與固定的一邊息是平行的，所以它與墻面沒有公共點，且

與墻面是平行的.

問題3如圖，將一本書平放在桌面上，翻動書的封面，封面邊緣A8所在直線（A3離開桌面）與桌面所在

的平面有什么樣的位置關系？通過上面的3個問題，試著總結一下，如何判定直線與平面平行呢？

B

提示A8平行于桌面所在平面.由問題1可以看出，當直線與平面沒有公共點時，可以得出線面平行；由

問題2,3可知，在轉動門和翻書的過程中，門和書的邊緣始終與墻面和桌面中門和書的另一邊緣保持平

行，從而確保了線面平行.由此，我們可以歸納出：如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么

該直線與此平面平行.

知識梳理直線與平面平行的判定定理

文字語言如果平面外二條直線后此平面內的二條直線平行\那么該直線寫此平面平行

符號語言Ma,bua,旦a"a

--------a

圖形語言口

簡記線線平行，則線面平行

例1已知直線〃與直線〃平行，直線a與平面a平行，則直線b與平面a的關系為（）

A.平行

B.相交

C.直線〃在平面a內

D.平行或直線人在平面a內

答案D

解析依題意，直線。必與平面a內的某條直線平行，

又則人與該直線平行或重合，因此直線人與平面a的位置關系是平行或直線力在平面a內.

反思感悟判斷直線與平面是否平行的注意點

（1）平行問題是以無公共點為主要特征的，直線與平面平行即直線與平面沒有公共點，緊緊抓住這一點，平

行的問題就可以順利解決.

（2）熟凍掌握直線與平面的位置關系和正確理解直線與平面平行的判定定理是解決此類題目的關鍵，可以采

用直接法，也可以使用排除法.

跟蹤訓練1（多選）下列說法正確的是（）

A.若直線/平行于平面a內的無數條直線，則/〃a

B.若直線a在平面a外，貝lja〃a

C.若直線a與平面a內的任意一條直線都不相交，則。〃“

D.若直線〃〃4bua,那么直線“就平行于平面a內的無數條直線

答案CD

解析A錯誤，直線/還可以在平面。內；B錯誤，直線。在平面。外，包括平行和相交；易知，C,D正

確.

二、直線與平面平行的判定定理的應用

例2（課本例2）求證：空間四邊形相鄰兩邊中點的連線平行于經過另外兩邊的平面.

己知：如圖所示，空間四邊形ABCO中，E,產分別是48,A3的中點.

求證：EF〃平面BCD.

證明連接80.

\*AE=EB,AF=FD,

:?EF〃BD.

又EFC平面BCD,"Du平面BCD,

.?.石尸/平面BCD.

例2如圖，四邊形A8CO是平行四邊形，P是平面A8C￡＞外一點，M,N分別是A8,PC的中點.求

證：MN〃平面尸AD

證明方法一（平行四邊形）

如圖，取P。的中點G,

連接GA,GN.

P

VG,N分別是△POC的邊P。，尸。的中點，

:.GN〃DC,GN=-DC.

2

為平行四邊形ABCD的邊A8的中點，

.\AM=-DCAM//DC,

2t

:.AM"GN,AM=GN,

，四邊形人MNG為平行四邊形，：,MN//AG.

又MMC平面PAD,AGu平面PAD,

〃平面PAD.

方法二（中位線）

如圖，連接CM并延長，交OA的延長線于點。，連接PQ,

???在底面ABC。中，M為48的中點，AB//CD.

?""〃。。且4人。（7,

2

.?.在△QCO中，AM為△QC。的中位線，

:?M為QC的中點.

又???在△PQC中，N為PC的中點，

:.MN〃PQ,

又平面2A。，戶Qu平面PAD,

；?MN〃平面PAD.

反思感悟證明線面平行的方法：利用直線與平面平行的判定定理證明線面平行，關鍵在于在平面內找到

該直線的平行線，即要證直線。與平面Q平行，必須先在平面”內找到直線"并證明直線。與人平行，

從而實現由立體向平面轉化.在尋找平行線時，常考慮平行四邊形、中位線定理或平行線分線段成比例定理

的逆定理等.

跟蹤訓練2如圖，在三棱柱A8C-48G中，E,尸分別是4G，BC的中點.求證：GP〃平面A8E.

證明取AB的中點G,連接EG,FG,

B

因為E,F,G分別是4G,BC,A6的中點,

所以FG〃AC,且/G=/C,ECI=1A)C|.

因為4C〃4G,且AC=4G,

所以FG〃EG,且尸G=EG,

所以四邊形/GEG為平行四邊形，所以C1〃EG.

又因為￡Gu平面A8E,GRZ：平面A3E,

所以G尸〃平面ABE.

三、直線與平面平行的性質定理及應用

直線與平面平行的性質定理

一條直線與一個平面壬紅，如果過該直線口勺平面與此平面相交，那么該直線

文字語言

與交線平行

符號語言a//a,auB,anB=b=a〃b

圖形語言

/ab/

簡記線面平行，則線線平行

例3（課本例3）如圖所示的一塊木料中，棱8c平行于面AC.

（I）要經過面A'C內的一點P和棱笈。將木料鋸開，在木料表面應該怎樣畫線？

⑵所畫的線與平面AC是什么位置關系？

解（1）如圖所示，在平面4c內，過點P作直線EG使E尸〃B'C,并分別交棱AB,DC干點E,E連接

BE,CF,則E凡BE,CF就是應畫的線.

（2）因為棱BC平行于平面4C,平面8U與平面AC相交于BC,所以8c〃萬。.由（1）知，EF//B'C\所以

E尸〃8c而8c在平面AC內，E尸在平面AC外，所以E/7〃平面AC

顯然，BE,。尸都與平面AC相交.

例3如圖所示，在四棱錐P-A8C。中，底面A8C。是平行四邊形，AC與BO交于點O,M是PC的

中點，在。M上取一點G,過G和AQ作平面交平面8DM于G”,求證：AP//GH.

證明如圖，連接MO.

???四邊形A8CO是平行四邊形,

???O是AC的中點.

又M是PC的中點，

又AAU平面8QM,OMu平面8OM,

???AP〃平面BDM.又APu平面APGH,

平面4PG”n平面:.AP〃GH.

反思感悟利用直線與平面平行的性質定理解題的步驟

找找一個與平面相交且過該直線的平面

—7確定兩平面的交愛

(由性質定理列條件，下結論

跟蹤訓練3如圖，在四棱錐A48C。中，底面A8C。為梯形，AB//CD,A8=4,C￡)=2,點M在棱

PD上.

P

(1)求證：CO〃平面PA&

(2)若P8〃平面MAC,探索平面MAC的哪條線與P8平行，作出此線，并求黑的值.

MD

(1)證明因為CD"NB、COU平面PAB,A8u平面PAB,

所以8〃平面PAB.

⑵解連接8。交AC于點。，連接M。,

因為尸8〃平面MAC,且P8u平面PB。,

平面PBZm平面M4OM。,

所以PB//MO,

則△OOMS^DR，，可得袈=器，

MDOD

又因為CO〃A8,可知△COQSAA。'

則得等2,

ODCD

因此黑=2.

MD

■課堂小結?

1.知識清單：

(1)直淺與平面平行的判定定理及應用.

(2)直淺與平面平行的性質定理及應用.

2.方法歸納：轉化與化歸.

3.常見誤區：證明線面平行時漏寫線在平面外(內)：利用線面平行時找不到交線.

一隨堂演練

I.在四棱錐P-A3C。中，E,尸分別為側棱PC,尸。上一點(不含端點)，貝ij“C。〃石尸”是“C。〃平面

BEF”的()

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析由CO〃EECDC平面BEF,EFu平面BEF,得CD〃平面PER

由CZ）〃平面BEF,CQu平面PCD,平面PCDD平面BEF=EF,得CD//EF.

故“CD//EF”是“CO〃平面8EF”的充要條件.

2.（多選）如圖，點4,B,C,M,N是正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中滿足MN〃平面

48c的是（）

BN

0-0

C

A

01s

ANM

CD

答案ACD

解析對于A,如圖，

EB

c

連接E凡因為M,N為正方體棱的中點，所以MN〃EF,

又E尸〃AC,所以MN〃AC,

又ACu平面ABC,MMt平面ABC,所以MN〃平面ABC,故A正確；

對于B,如圖，設。為“產的中點，連接ON,DC,AM,EF,GH,

N

匕B

因為A,B,C,M,N是正方體棱的中點，所以MN//GH,BCaEF、XGHHEF,

所以MN〃3C,

同理，AB〃DN,AM//CD.

所以A,B,C,D,M,N六點共面，即MNu平面A4C,所以MN〃平面ABC不成立，故B錯誤;

對于C,如圖,

因為B,C是正方體棱的中點，MXBC//EF,頭MN〃EF,所以BC//MN.

又8Cu平面48C,MNQ平面ABC,所以MN〃平面A8C,故C正確;

對于D,如圖，

建接CM因為CN為正方體棱的中點,

所以AN^CE,則四邊形AECN為平行四邊形.

連接NE交AC于點F,連接BF,則尸為NE的中點，

則8/為△“可￡的中位線，所以BFV/MN,

又8/u平面A8C,MNQ平面A8C,所以MN〃平面A8C,故D正確.

3.如圖所示，四邊形A8CO是梯形，AB//CD,且A8〃平面a,AD,3c與平面a分別交于點M,N,

且點M是AO的中點，A8=4,CZ)=6,貝ijMN=.

答案5

解析因為AB〃平面a,A8u平面A8CQ,平面平面a=MN,

所以43〃MN,

又點M是A。的中點，AB//CD.

所以MN是梯形A8CQ的中位線，

故MN=^AB+CD)=^X(4+6)=5.

4.如圖1,已知在正方形A8CD中，E,尸分別是AB,CO的中點，將AAOE沿。￡折起，如圖2所

示，則B尸與平面AOE的位置關系是.

答案平行

解析易知BF//DE、8網平面AZ）區DEu平面AOE,故3尸〃平面ADE.

課時對點練

［分值：100分］

單選題每小題5分，共35分；多選題每小題6分，共12分

基礎鞏固

1.下列說法中，與“直線。〃平面〃”等價的是（）

A.直線a與平面a內的任意一條直線都不相交

B.直線a與平面a內的兩條直線平行

C.直線a與平面?內無數條直線不相交

D.直線a上有兩個點不在平面a內

答案A

解析直線。〃平面直線。與平面a無交點Q直線〃和平面a內的任意一條直線都不相交，A正確；

若直線。與平面a內的兩條直線平行，則直線。可能在平面a內或與平面a平行，B錯誤；

若直線。與平面。內無數條直線不相交，則直線。可能在平面a內或與平面〃平行或與平面a相交，C錯

誤；

若直線。上有兩個點不在平面。內，則直線a可能與平面a平行或與平面。相交，D錯誤.

2.如圖所示，在正方體中，E,尸分別為四邊形A8CO和四邊形AEC'D'的中心，則正方體

的六個面中與E戶平行的平面有（）

A.1個B.2個

C.3個D.4個

答案D

解析由題圖知正方體的前、后、左、右四個面都與E戶平行.

3.如圖所示，在四棱錐P-A8C。中，點G,E,F,”分別是棱P8,AB,CD,PC上共面的四點，BC/1平

面GEFH,則G”與￡產的位置關系為（）

A.相交

C.垂直D.異面

答案B

解析因為BC//平面GEFH,8Cu平面PBC,

且平面尸平面所以G"〃6C,

因為BC〃平面GEFH,BCu平面ABCD,且平面ABCOD平面GEFH=EF,所以EF//BC,

因此

4.已知平面a與平面A相交于直線〃?，直線〃〃直線加，貝")

A.一定有直線〃〃平面a

B.一定有直線〃〃平面

C.一定有直線〃〃平面a且直線〃〃平面［i

D.直線〃〃平面a和直線〃〃平面/，至少有一個成立

答案D

解析當〃ua時，此時相。在，由〃〃〃7,〃7或，則〃〃夕；

當〃u4時，此時〃Qa,由〃〃加，相ua,則〃〃a；

當〃Qa,且〃必時，此時由〃〃〃?和〃?ua得〃〃a,且由〃〃和〃7或得〃〃.，

所以直線〃〃平面。和直線〃〃平面少至少有一個成立.

5.如圖，已知四棱錐RA8C。的底面是平行四邊形，AC交BD于點O,E為AO的中點,0EPA上,

AP=L4F,PC〃平面則2的值為(

A.1

2

C.2D.3

答案D

解析設A。與8E交于點G,連接/G,

因為E為A。的中點，貝

由四邊形48C。是平行四邊形，可得A。〃區C,則△AEGs^CBG,

又因為PC〃平面8￡居PCu平面PAC,平面BEFC平面PAC=GF,

所以“//PC,所以在煞=*=3.

AFAG

6.在正方體ABCD-ABiG。中，若平面A山G與平面ABCO的交線為/,則（）

\.l//CDB./〃AC

C./〃平面AiBiCDD./〃平面4CD1

答案D

解析因為點平面AiBG,點8￡平面A8CQ,所以

又因為直線4G〃平面ABC。，ACC平面A3G,故得4G〃/,

所以！是過點B且平行于4G的直線.

對于A,因為4G〃/,AiG〃AC,所以/〃AC,故/〃。。不成立，即A錯誤；

對于B,因為/〃AC,而ACflAC=C,故/〃AC不成立，即B錯誤；

對于C,因為/〃AC,而ACC1平面48CQ=C,故/〃平面48C。不成立，即C錯誤;

對于D,因為/〃AC,

又4Cu平面AC0,雙平面AC。，所以/〃平面人CD,即D正確.

7.（多選汝n圖，正方體ABCD-AIBIG。的棱長為2,E,尸分別是A。，的中點，點尸是底面A8CZ）內-

動點，則下列結論正確的為（）

A.不存在點P,使得kP〃平面A8CQ1

B.過B,E,廠三點的平面截正方體所得截面圖形是梯形

C.三棱錐G-40P的體積為4

D.三棱錐廣ACO外接球的表面積為9兀

答案BD

解析對于A,如圖，當P為8。的中點時，由中位線可得叮〃8。,

因為廣網平面48CD1,BAu平面A8G5,

所以FP〃平面ABG。，故A錯誤；

對于B,由中位線可得E尸〃AA,在正方體中，易證AR〃8G,所以E尸〃BG,

又因為E/W8G,所以過8,E,尸三點的截面E8G尸為梯形，故B正確；

對于3&錐Ci/P可三棱錐PT/「沁X2X2X2與故C錯誤;

對于D,三棱錐AACO的外接球可以補形為長方體的外接球，半徑R="^二|,

所以其外接球的表面積S=4兀寵2=9兀，故D正確.

8.（5分）如圖，在三棱臺。ERA8C中，AB=2DE,G,”分別為AC,8C的中點，M是AO上一點，且

AM=2MD,設點N是平面4BEO內一點，且MN〃平面R7”,則點N的位置是.（寫出一種即可）

答案棱8E上靠近點E的三等分點（答案不唯一）

解析點N可以是棱BE上靠近點E的三等分點.

證明如下：

如圖所示，連接

因為4歷=2MQ,BN=2NE,所以

又G,H分別為AC,8c的中點，

所以GH〃AB,所以MN〃GH,

又GHu平面FGH,MNQ平面FGH,

所以WN〃平面FGH.

故當N是棱BE上靠近點E的三等分點時滿足題意.（答案不唯一）

9.（5分）在三棱柱A8C-A8G中，E是棱CG的中點，。是棱BC上一點，BD=XDC,若46〃平面

ADE,則實數義的值為.

答案2

解析如圖所示，連接4c交AE于點M,連接。M,

則平面AiBCn平面ADE=DM,

又?.?48〃平面4OE,且48u平面A|8C,：.AiB//DM,

又△/14Ms△ECM,七是榜CG的中點.

二把=9二，則更二把，

AXMAXA2BDAXM2

:?BD=2DC,故2=2.

10.（10分）如圖,在正方體A8CD-A31Gd中,AAi=4,E,F,G分別為CD,CG,8右的中點.

（1）求三棱錐C8E/的表面積；（5分）

（2）求證：OG〃平面BEE（5分）

⑴解在正方體ABCO-A/Q"中，A4尸4,CB,CD,CG兩兩垂直，

由E,歹分別為CO,CG的中點，得BE=BFZBC2+CF?=2灼,EFZCE?+CF?=2五,

等腰△比尸底邊“'上的高h=」BE2-(|FF)2=3V2.

所以三棱錐C-BEF的表面積S=Sd&E盧S&CB吐S&CB/SdCEF

=ix2V2X3\^+|x4X2+ix4X2+jX2X2=16.

(2)證明連接/G,CG,BFQCG=Of連接EO,

由尸,G分別是棱CG,88的中點,得四邊形8C/G是矩形，則。是CG的中點,

而E是C。的中點，因此EO〃OG,

又EOu平面BEF,QGC平面BEF,

所以DG〃平面BEF.

IC綜合運用

11.如圖甲,在梯形4BCD中，AB//CD,CD=2AB,E,L分別為AD,。。的中點，以A尸為折痕把△ADF

折起，使點D不落在平面A3C廠內（如圖乙），那么在以下3個結論中，正確結論的個數是（）

①A/7〃平面BC。；②8E〃平面CDP；③CO〃平面8EE

圖甲圖乙

A.OB.1

C.2D.3

答案C

解析對于①，由題意得???四邊形A8C尸是平行四邊形，???4/〃BC,TA網平面8C。，BCu

平面BCD,???A/〃平面BCD,故①正確；對于②，取。尸的中點G,連接EG,GC（圖略），是AO的

中點，J.EG//AF,又AF痛BC,:?EG〃BC,EG=^C,與CG相交，；?BE與平面CDF

相交，故②錯誤；對于③，連接AC,交BF于點O,連接OE（圖略），???四邊形ABCb是平行四邊形，???。

是AC的中點，，。石〃CO,又OEu平面BEF,CW平面BE/,.二。。〃平面8E尸，故③正確.故正確的結

論有2個.

12.（多選）如圖，在由透明塑料盒制成的長方體容器A8CQ-Ai%G。內灌進一些水，將容器底面一邊BC固

定于地面上，再將容器傾斜（不考慮水流出）.隨著傾斜度的不同，下列說法正確的是（）

A.水的部分始終呈棱柱形

B.水面EFG”的面積不改變

C.棱始終與水面EFGH平行

D.水面EFGH的形狀為平行四邊形

答案ACD

解析根據題意，可得8c固定時，在傾斜的過程中，始終布〃尸G〃8C,

且平面AEPA〃平面。HGC,故水的部分始終呈棱柱形，故A正確；

水面E/G”的面積是改變的，因為Er的長度是變化的，而E”的長度是不變的，

所以水面EFG”的面積是改變的，故B錯誤；

因為AiO]〃AD〃E〃，AQ|Q水面EFGH,EHu水面EFGH,

所以Ai。〃水面EFGH,故C正確；

根據C項可知，EH//AD.FG//BC,且E”=AO,FG=BC,又A￡>〃BC,KAD=BCt所以E”〃尸G,

EH=FG,

所以四邊形ER7”為平行四邊形，故D正確.

13.（5分）在直三棱柱A8C-A|5iG中，。為AAi的中點，點尸在側面8CG8］上運動，當點產滿足條件

時，4/〃平面8CD（填一個滿足題意的條件即可）

答案P是CG的中點（答案不唯一）

解析取CG的中點尸，

連接4P,

???在直三棱柱45cA/Ci中，。為A4的中點，點P在側面ACG8i上運動，

???當點。滿足條件。是CG的中點時，人十〃。。，

???AiR平面8c。，COu平面8CO,

???4P〃平面BCD.

14.（13分）在棱長為1的正方體A8CDA山iCA中,E,尸分別為4山］,4。的中點.

（1）求五面體A8Q-A//的體積；（6分）

（2）若點P在線段4G上，