向量的加法運(yùn)算（教案）

第六章平面向量及其應(yīng)用

6.2.1向量的加法

一、教學(xué)目標(biāo)

1.理解向量加法的概念及向量加法的幾何意義;

2.熟練掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，會(huì)作已知兩向量的和向量;

3.理解向量加法運(yùn)算律，并能熟練地運(yùn)用它們進(jìn)行向量計(jì)算。

4.通過(guò)對(duì)向量加法的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

1.兩個(gè)向量的和的概念及其幾何意義；

2.向量加法的運(yùn)算律。

三、教學(xué)過(guò)程：

1、情景引入

在大型生產(chǎn)車間里，一重物被天車從A處搬運(yùn)到B處，如圖所示.它的

實(shí)際位移入公，可以看作水平運(yùn)動(dòng)的分位移

AC與豎直運(yùn)動(dòng)的分位移AD的合位

問(wèn)題1：根據(jù)物理中位移的合成與分解，你認(rèn)為A豆，AD,AC之間有什么關(guān)系？

【答案】AB=AC^AD.

問(wèn)題2：向量48,AC,CB之間有什么關(guān)系？

【答案】AB=AC+CB.

2、探索新知

（1）向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算:叫做I句量的加法。表示：AB+BC=AC.

規(guī)定：零向量與任一向量。，都有4+0=0+。=〃.

說(shuō)明：①共線向量的加法：ab_+

—>--->At

②不共線向量的加法：如圖（1）,已知向量。，b,求作向量〃+/?.

作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。（如圖（2））,作04=。，AB=b,則03=。十〃.

(1)(2)

(2).向量加法的法則：

三角形法則：根據(jù)向量加法定義得到的求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則。

表示：+=.【口訣】尾首相接首尾相連。

平行四邊形法則：以同一點(diǎn)A為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量。，〃為鄰邊作QA8CD,則

則以A為起點(diǎn)的對(duì)角線AC就是。與人的和,這種求向量和的方法稱為向量加法的平行

四邊形法則。

【口訣】共起點(diǎn)，和為對(duì)角線。

小組合作探究：

問(wèn)題I：若向量［和B共線，它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？你能否做出向量3+B嗎？

【答案】(1)當(dāng)"和否同向時(shí)，a+b=A8+BC=AC.

(2)當(dāng)〃和〃反向時(shí)，a+h=AB4-BC=AC

問(wèn)題2：日+川,向,曲之間具有什么樣的關(guān)系。

【答案】當(dāng)］和％反向或不共線時(shí)，I1+/IVZI+曲;當(dāng)［和B同向時(shí)，自+5HZI+I］

綜上，日+Z區(qū)向+向,

問(wèn)題3：向量的加法能否像數(shù)的加法也滿足交換律和結(jié)合律呢？

【答案】如圖所示：在平行四邊形/WC。中，/=而+正

AC=AD4-DC=b+a,所以a+K+a。

在圖(2)中，AD=AB-\-BCCD=AC-\-CD={ci-\-b)+c?

AD=AB+BC+CD=AB+BD=a+(b+c),所以，

(a+/7)+c=a+S+c)o

運(yùn)算律：

交換律：a+b=b+a.結(jié)合律：(o+/?)+c=a+S+c).

4.例題分析：

例1.化簡(jiǎn)下列各式：

⑴產(chǎn)方+而+80；

(2)(

(3)AB^BC^CD^DE.

解：⑴方+。戶+麗=(0戶+尸力)+麗=o月+M=o；

(2)(AB+MB)-}-B0-^~OM=(AB+MB)

=AO+OB=AB；

(3)AB+BC+CD^DE=AC+CD^DE=AD^DE

=AE.

例2.如圖，點(diǎn)。是平行四邊形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，則下列兩個(gè)等式一定成立的是哪個(gè)？

@AB+AD=AC；②BO+OC=ZM.u-----------------------------

解：麗+而=就，故①正確；/

BO+OC=~BC=AD,故②錯(cuò)誤

注意：向量求和，注意“首尾順次相連”；向量加法的結(jié)果還是向量4D

例3.小雨滴在無(wú)風(fēng)時(shí)以4m/s的速度勻速下落.一陣風(fēng)吹來(lái)，使何小雨滴以3m/s的速

度向東移動(dòng).那么小雨滴將以多大的速度落地？方向如何？

3

（提示：tan37°="）

解:如圖，設(shè)質(zhì)表示小雨滴無(wú)風(fēng)時(shí)下落的速度，0方表示風(fēng)的速度，以O(shè)A,0B為鄰邊作

平行四邊形OACB,則°乙就是小雨滴實(shí)際飛行的速度.在RtAOAC中，OA

=4m/s,

ACI=3m/s,所以O(shè)C|=5m/s.且tanNAOC=*即NA0CQ37°.

所以小雨滴實(shí)際飛行速度為5m/s,方向約為東偏南53°.

四、小結(jié)：1.理解向量加法的概念及向量加法的幾何意義；

2.熟練掌握問(wèn)量加法的平行四邊形法則和一:角形法則以及向量加法的運(yùn)算

律。

3.\a-^-b\<\a\+\b\

五、作業(yè)：習(xí)題3.16,7,9題

A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練

1」探究點(diǎn)二］在四邊形ABCD中,48+40=則四邊形

ABCD是()

A.梯形B.矩形

C.正方形D.平行四邊形

2.［探究點(diǎn)二］在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中+BC+而?

等于（）

A.0B.1c.6D.3

3（多選題）［探究點(diǎn)一］已知向量a〃b,且|a|R|b|,則向量a+b的

方向可能（）

A.與向量a的方向相同

B.與向量a的方向相反

C.與向量b的方向相同

D.與向量b的方向相反

PA+研+歷+而）+

4」探究點(diǎn)二1向量(0M化簡(jiǎn)后等于

()

A前B⑸

PCPM

r?nJL/?

5.［探究點(diǎn)二］如圖,在平行四邊形ABC。中，寫出下列各式的結(jié)

果：

⑴而+禮;

⑵互+CD+DC=

（3）A8+AD+CD_

（4）4C+BA+D/_

6.［探究點(diǎn)二］若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為工則pB+BC+Cq等

于.

*西

7」探究點(diǎn)一］已知||二3,4。3=60。,求|04+Ofi|

8」探究點(diǎn)三］一艘船在水中航行,如果此船先向南偏西30。方

向行駛2km,然后又向西行駛2km,你知道此船在整個(gè)過(guò)程

中的位移嗎？

9.［探究點(diǎn)二］如圖,在梯形ABCD中,AB〃CD,E,F,G,H分別是

梯形43co的邊AN乃C,CD,D4的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各式:

?\DG+EA+CB,

（2產(chǎn)6+CG+DA+EB

B級(jí)關(guān)鍵能力提升練

AB+CD+EF二（

10.在正六邊形ABCDEF中,)

A不“屁CD

D.Cr.D.0

河+而）+即+DA

11.（多選題）設(shè)a=）,b是任一非零向量,

則下列選項(xiàng)正確的有（）

A.a/Zb

B.a+b=a

C.a+b=b

D.|a+b|<|a|+|b|

12.如果⑶=6,|b|=3,那么|a+b|的取值范圍是,

13.ZX45C是正三角形，給出下列等式：

①1AB+BC|_|FC+CJ4|.

⑨+CBiiBA+BCi

③[AB+4C|_|6>4+CB|

其中正確的有.（寫出所有正確等式的序號(hào)）

14」蘇教版教材例題]在長(zhǎng)江南岸某渡口處，江水以12.5km/h

的速度向東流，渡船在靜水中的速度為25km/h.渡船要垂直地

渡過(guò)長(zhǎng)江,其航向應(yīng)如何確定？

C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練

15.在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)0且

IAB1=1匚］。4+0C=。8+0D?osZDAB=；.求

I反+玩|匕|而+就I

II與II.

參考答案

1.D由平行四邊形法則可得,四邊形48co是以A8,4。為鄰邊的平行四邊形.

2.B卜48+8C+CO|=|AC+。。|=內(nèi)。|=：］

3.ABCD3a〃b，且|a陰b|,；.a與b共線，它們的和的方向可能與a同向或反向，與b同向

或反向.

4.C

（PA^MA）+（A。+A。）+

歷/=赤+而+而+而+就二而+麗+嬴?+就=前+拓（+就=可+

正二正

5.(1)4C(2樣。(3).。(4)0(1)由平行四邊形法則可知,48+、。=〃.

(2而+而+而=詬+而=而

(3)^+AD+CD=AC+CD=AD

(4)4?+^+D4=F4+4C+D4=BC+D1=O

^"^^4

6.2因?yàn)樗倪呅蜛BC。是菱形，所以內(nèi)8+BC+CC|=|4D|=2.

7.解加圖,作平行四邊形OACB,

?.?|。4=|。句=3.，四邊形OACB為菱形.

連接OC/8,則0C_LA8,設(shè)垂足為D.

,/ZAOB=60\：.AB=\0A\=3.

3代

???在RtAOAD中,0。二丁,

__3^3

.?.|。。=|04?Ofi|=2x2=3百

8.解如圖，用AC表示船的第一次位移，用CC表示船的第二次位移，根據(jù)向量加法的三角形

法則知從°=AC+C。,

所以從。可表示兩次位移的和位移.由題意知，在Rt^ABC中,N8AC=30°,

則80入。=1,48=&.

在等腰三角形AC。中＜C=CO=2,

1

所以ZD=ZDAC=2ZACB=30°,

所以/84。=60。/。=2人6二26,所以兩次位移的和位移的方向是南偏西60。,位移的大小

為km.

9解(1)0G+EA+CB-GC+BE+CB—GB+BE-GE

(2)EG+CG+DA+EB=EG+GD+DA+AE=ED+DE=Q

10.D如圖，連接AD8E,設(shè)A。與BE交于O點(diǎn)，則8°=CD.OA=EF

.,.48+C。+課=4B+BO+0A=A0+。4二0.故選D.

11.ACVa=(^+BC)+(CO+DA)=AC+以=o,

又b為任一非零向量,???A,C正確.

12.[3,9]

13.①③對(duì)于①,1+四=陽(yáng)嚴(yán)+以|=|84,?.?|"|二盧4①正確;

對(duì)于②/。+以|=砂可,如下圖所示,

以BA.BC為鄰