高一數學 第三課時 正弦定理、余弦定理的應用

第三課時正弦定理、余弦定理的應用

課標要求1.利用正弦、余弦定理探求三角形中邊與角的關系.2.利用正弦、余弦

定理判斷三角形的形狀.3.掌握正弦、余弦定理的簡單應用.

【引入】我們上兩節課學習了正弦定理和余弦定理，利用這兩個定理可以解決如

下問題.

(1)已知兩邊和夾角的問題：先利用余弦定理求第三邊，再用余弦定理的推論求另

外兩角；

(2)已知三邊的問題：利用余弦定理的推論求三個角；

(3)已知兩角和任一邊的問題：先由三角形內角和求第三個角，再利用正弦定理求

另外兩邊；

(4)已知兩功和其中一小對角的問題：可先由余弦定理求第三功，此時需從功的角

度進行檢驗，需滿足任意兩邊之和大于第三邊，再由余弦定理的推論求另外兩角；

也可由正弦定理求另外一邊的對角，此時需從角的角度進行檢驗，大邊對大加，

小邊對小角，內角和180。，再由內角和求第三個角，最后由正弦定理求第三邊.

一、利用正弦定理和余弦定理解三角形

例1在中，己知匕=3,c=34，B=30。，解三角形.

解法一由余弦定理62=/+/—2〃ccos8,

得32=4+(34)2—2小35?cos30°,

???〃2—9〃+18=0,解得〃=3或4=6.

當〃=3時，A=30°,?.C=120°；

當4=6時，由正弦定理，得

?々sinB6乂？

sinA=-j-=^-=l,

???A=90。，C=60°.

法二由正弦定理，得嬴=餐，

解得sin。=坐，

入c>b,--.30o<C<150°,

???C=60。或C=120°.

當C=60。時，A=90。，由勾股定理，得。=6；

當C=12()。時，A=30°=B,a=h=3.

思維升華若己知三角形的兩邊及其一邊的對角，則可直接應用正弦定理求出另

一邊的對角，但要注意此三角形解的個數的判斷；也可用余弦定理求解，在AABC

中，已知。，〃和A,由余弦定理/=廬+/—2Z?CCOS4,求出c,此時c的個數即

為三角形解的個數.

訓練1已知。O的半徑為R,在它的內接△A8C中有2R(sin2A—4/0=(啦〃一

/DsinB成立，求角C的大小.

解由正弦定理，得

a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.

因為2R(sii?A-sin2c)=(也干一b)sinB,

所以(2R)2(sin2A-sin2Q=2R(^2a一份sinB,

22

所以a—c=(y[2a—b)b1

即a2~\-b2—cr=yl2ab.

+反—c2、歷

因為ccsC="號"，所以cosC=竽.

因為0。＜。＜180。，所以。=45°.

二、利用正弦定理和余弦定理判斷三角形的形狀

例2在△ABC中，已知sinC=2sin(8+C)cosB,那么△ABC一定是()

A.等腰直角三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等邊三角形

答案B

解析因為sinC=2sin(B4-QcosB,sin(B+C)=sinA,

所以sinC=2sinAcosB,

a2+c2—tr

由正、余弦定理得c=2o—5"—,

化簡得層="，

所以。=仇所以△ABC為等腰三角形.

思維升華判斷三角形形狀的方法及注意事項

⑴利用余弦定理、正弦定理把已知條件轉化為邊（或角）的關系，通過因式分解、

配方等得出邊（或角）的不應關系，從而判斷三角形的形狀.

（2）統一成邊（或角）的關系后，注意等式兩邊不要輕易約分，否則可能會出現漏解.

/—序

訓I練2在△48C中，角4,C的對邊分別為a,b,c若中=再否7/則△A8C

一定是（）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

答案D

劭土匚」??+（?一加F人一―Er川蘇2〃CC0SB

解析由/=從+1_丹及余修定理可得/=2bccosA，

所以ASI

所以由正弦定理可得需=照，

所以sin/AcosA=sinBcosB,

即sin2A=sin2B.

因為A,8為△ABC的內角，

所以2A=28或2A+28=兀，

TT

所以A=5或4+3=5：

所以△ABC一定是等腰三角形或直角三角形.

三、正弦定理和氽弦定理的綜合應用

例3設△ABC的內角A,B,。的對邊分別為a,b,c,且戾inA=/acosB.

⑴求8的大小；

（2）若〃=3,sinC=2sinA,求a,c的值.

解（1）：Z?sinA=小4cosB,

；?由正弦定理，得sin，sinA=，5sinAcos

在△ABC中，sinAWO,

即得tanB=S，又區￡(O,兀)，

(2)VsinC=2sinA,，由正弦定理，得c=2m

由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,

jr

即9=Q2+4Q2—2a2acos彳，

J

解得。fC—267=2A/3.

思維升華利用正弦、余弦定理解三角形的注意點

正、余弦定理都是用來解三角形的，但在解題過程中要有意識地考慮用哪個定理

更合適，或是兩個定理都要用，應抓住兩個定理的特點：正弦定理“邊對角”，

余弦定理“邊夾角”，正確選擇定理是解決此類題目的關鍵.

訓練34A6C的內角4B,C的對邊分別為a,I),c,KasinA+csinC-^/Lzsin

C=Z?sinB.

⑴求5的大小；

(2)若A=75。，b=2,求mc的值.

解(1)由正弦定理，得〃2+/—也〃c=b2.

由余弦定理，得廬=a2+c2-2accosB.

故cosB=坐，

又0。<8<180。，因此B=45。.

(2)sinA=sin(30°+45°)

=sin30°cos450+cos30°sin450=

故由正弦定理，得〃=分.鬻=1+祗

A11IJLZ

由已知得，。=180°—45°—75。=60。，

,,.sinC八、/sin600r-

故c=b'~T>=2X-:so=勺6.

sinBsin4715v

【課堂達標】

1.在△ABC中，力=￥，A=60。，則3=()

J

A.45°B.90°

C.135°D.45。或135。

答案A

解析???在△A8C中，。=6，b=￥，A=60。，???由正弦定理得sin8=?4=

也

2，

?：b〈a,則8VA,???8=45。.

2.在△ABC中，若AB=g,BC=3,C=120°,則4c等于（）

A.lB.2

C.3D.4

答案A

解析在△ABC中，設角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,則由/二合十/一

2/7/JCOSC,

得13=9+〃-2X30X（—￡）,

即方+3b—4=0,解得人=1（負值舍去），

即AC=].

3.如果將直角三角形的三邊各增加同樣的長度，則新三角形的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.由增加的長度確定

答案A

解析設直角三角形的三邊長分別為〃，b,C,且/+3=/,三邊都增加K,

則3+x）2+S+x）2-（c+K）2=42+/+2f+2（4+/?）4一/-25—/=25+人一0次

+x2>0,

所以新三角形中最大邊所對的角是銳角，

所以新三角形是銳角三角形.

4.在△A8C中，角A,B,。的對邊分別為〃，b,c,若〃cos8+/?cos4=茨，則

b=.

答案2

解析因為4cosB+bcosA="c,

所以由正弦定理得，sinAcos8+sinBcosA=^bsinC,

則sin（A+8）=sinC=JbsinC,

又sinCWO,所以5=1,即b=2.

------------------------課時精練-------------------------

一、基礎鞏固

1.在△45C中,角A,B,C的對邊分別為小b,c.若。=2,4=45。,8=30。,則

b的值及外接圓的半徑分別為（）

A市,2y[2B.啦，啦

C.2啦，也D.2卷2啦

答案R

.2X1

解析由正弦定理可得/?=黑，=-^=也.

sill、/2

2

設△ABC的外接圓的半徑為R,

則由正弦定理可得2/?=看=妄=2啦，

2

所以R=巾.

2.在△ABC中，角A,B,。的對邊分別是a,b,c,若反osA+acos8=廿，a=b

=2,則△ABC的周長為（）

A.5B.6

C.7D.7.5

答案A

廬+/一/a2+C2—廿

解析由余弦定理的推論，得萬居,％,.=dnc=l,即△ABC的

周長為5.

3.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若力+c=2a,3sinA=5sin

4,則C等于（）

.兀

A-3By

C”D-

3D.6

答案C

解析由和

olll/IdillL>3sinA=5sinB,

3

得3ci=5b,即b=7a

■'t

7

亍

???由余弦定理的推論，

ZBr-+―一dI

付cosC=_2ab-=-2*

又Ce(0,7t),AC=y.

4.在3c中，角A,B,C的對邊分別為。，4c.若2〃cosB+b=2c,則A=()

p匹

A,6B4

r2兀

C.1D.—

答案c

解析2〃cosB+/?=2c,

???根據正弦定理得2sinAcos3+sinB=2sinC,

/.2sinAcosB+sinB=2sin(A+3)

=2(sinAcosB+cosAsinB),

/.sinB=2cusAsinB.

又sinB#0,**?cosA=2,

7T

又?:0<4<兀，,\A=T,

J

”,力一ccosAsin8

5.在△42C中，A,B,C所對的邊分別為％b,c,右a-ccosBsinA則

的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

答案A

..—ccosAsinB

解析,CLccosIsinA'

b—ccosAb

???由正弦定理得

a-ccosBa

整理得tzcosA=/?cosB,

由正弦定理得sinAcos.4=sinBcosB,

/.sin2/1=sin2B,

：.2A=2B或2A+28=兀，

即A=8或A+B=5

兀71

當A+3=I時，C=y此時△ABC為直角三角形，有ccos8=〃，則〃一ccos8=

0,分母無意義，故舍去，

???A=以此時△ABC為等腰三角形.

6.在△A8C中，sin8=2sinA,。+。=3,且cosC=〃則。=.

答案1

解析VsinB=2sinA,：.b=2at

又o+c=3,.，.c=3—67,

標+/一c2〃2+4Q2-(3—^)2]

AcosC=_lab-=五五=不

整理，得*+2°—3=0,

解得。=15=一3舍去).

7.在△ABC中，若b=acosC,則△ABC的形狀為.

答案直角三角形

解析?.,〃=4cosC,AsinB=sinAcosC,

則sin(A+C)=sinAcosC,即cosAsinC=0,

VA,Ce(0,兀)，???sinC#0,/.cosA=0,

jr

：.A=y.'.△ABC為直角三角形.

7T

122

8.在3c中，角A,B,C的對邊分別為mb,c,若A=^a+h-c=abic

=3,則角C=,a=.

答案與小

解析由4+/一/=曲,

2

/Bc層+廬一c1

付cosc--冰—=5,

VCe（o,兀），???。=?

由正弦定理一二=/7；,

sinAsinC

..3義]

csm4_____2n

付a-smc—m

2

9.在△ABC中，已知/tan8=〃tanA,試判斷△48C的形狀.

解設三角形外接圓半徑為七

tz2sinBZ?2sinA

則atan6=//tanA<->

cosBcosA

4/^sinXsinBd/^si/BsinA

即

cosBcosA

所以sinAcosA=sin3cosB

<=>sin24=sinIB

=2A=2B或24+2B=TC

oA=B或A+8=E

乙

所以△ABC為等腰三角形或直角三角形.

cosBb

10.在△ABC中，mb,c分別是角4,B,C的對邊，且工1=

LU、X--2a-be

⑴求8的大小；

(2)若/?=[?§,〃+c=4,求〃的值.

..cosBb

解⑴

?cosC~2〃+c'

???由正弦定理，得韜=sin8

2sinA+sinC*

/.2sinAcosB=—sin(B+C),

又sinA=sin(B+0W(),

/.cosB=-y

又0<8<兀，，8=丁.

⑵將b=yl13,ci~\~c—4,B=3,

代入b2=ci2+c2—2accosB得，

13=/+(4—a)2—2a(4-a>cos專，

即〃2-4〃+3=0,解得a=l或a=3.

二、綜合運用

2冗

11.在△A5C中,b,c分別為角A,B,。的對力，B=—,若/+02=4枇，則

sin(A+C)

sinAsinC------------"

答案邛

解析由余弦定理得，

序=4+廿一2scosB=5ac,

3

由正弦定理，得sin28=5sinAsinC=j,

3

所以sinAsin。=與，

訴,sin(A+C)____sinB_1()^3

所以sinAsinC=sinAsinC=3,

7T1

12.在△ABC中，8=78C邊上的高AO=g8C,且AD=I,貝ijAC=,

sinA=.

答案小噂

解析如圖，由40=1,8=彳，知3。=1,

A

BDC

又AD/BC=BD,

???8C=3,DC=2,AC=112+22=小.

^義3r

在AABC中，由正弦定理知，sinNBAC=sin臂。=j1=邛黑

13.已知△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，〃，c?，且4cosc+孚c=〃.

⑴求A的大小；

(2)若。=1,b=小,求c的值.

解⑴由6ZC0SC+乎c=b,

得sinAcosC+^^sinC=sinB.

因為sin5=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以丁sinC=cosAsinC.

A

因為sinCWO,所以cos4=^-.

jr

因為0<4<兀，所以4=不.

(2)由正弦尺.