2026華東師大版九年級數(shù)學(xué)上冊第23章《解直角三角形》教案

第23章解直角三角形

23.1測量

【教學(xué)目標(biāo)】

1.熟練運(yùn)用勾股定理進(jìn)行測量；（重點(diǎn)）

2.熟練運(yùn)用相似三角形進(jìn)行測量.（重點(diǎn)）

【教學(xué)過程】

―■、情境導(dǎo)入

胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔，被譽(yù)為“世界古代八大奇跡之一”，古希臘數(shù)學(xué)

家，天文學(xué)家泰勒斯曾經(jīng)利用相似三角形的原理測量金字塔的高度.

你能根據(jù)圖示說出他測量金字塔的原理嗎?

二、合作探究

探究點(diǎn)利用勾股定理進(jìn)行測量

頸I如圖，在離水面高度為5米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為13米,

此人以0.5米每秒的速度收繩.問6秒后船向岸邊移動了多少米（假設(shè)繩子始終是直的，結(jié)果保留

根號）?

c

解析：開始時，AC=5米，BC=13米，即可求得AB的值，6秒后根據(jù)BC,AC長度即可求得

AB的值，然后解答即可.

解:在RtZ\ABC中，BC=13米,AC=5米，貝ijAB=A/BC2AC2=12米.6秒后，13'C=130.5X6

=10米，則AB，=地'C2-AC2=54（米）,則船向岸邊移動的距離為（12—5/）米.

方法總結(jié)：本題直接考查勾股定理在實際生活中的運(yùn)用，可建立合理的數(shù)學(xué)模型，將已知條

件轉(zhuǎn)化到同一直角三角形中求解.

例3如圖所示，在一次夏令營活動中，小明坐車從營地A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東60。方向走了

10O\Rkm到達(dá)B點(diǎn)，然后再沿北偏西30°方向走了100km到達(dá)目的地C點(diǎn)，求出A、C兩點(diǎn)之間

的距離.

解析：根據(jù)所走的方向可判斷出AABC是直角三角形，根據(jù)勾股定理可求出解.

北

j

解:VAD//BE,.,?NABE=NDAB=60°.VZCBF=30°,AZABC=180°—NABE-/CBF=

180°-60°-30°=90°.在RtAABC中，AB=100^/5km,BC=100km,AAC=^AB2+BC2=

1

(100V3)2+1002=200(km),：?A、C兩點(diǎn)之間的距離為200km.

方法總結(jié)：先確定△ABC是直角三角形，再根據(jù)各邊長，用勾股定理可求出AC的長.

探究點(diǎn)二：運(yùn)用相似三角形解決高度(長度)測量問題

畫?如圖所示，某同學(xué)身高(AB)是1.66m,測得他在地面上的影長(BC)為2.49m,如果

這時操場上旗桿的影長為42.31n(BE),那么旗桿的高度(DE)是多少米？

解析：首先根據(jù)已知條件求△ABCsaDEB.然后得出比例式，最后求出結(jié)果.

解：???AC〃DB(平行光)，「?NACB=NDBE,VZABC=ZDEB=90°,AABC^ADEB,，有.

ABBCAB?BE口門叩行■?日口

G=俞，DE="=28.2m,即旗桿高度是28.2m.

UnntDC

方法總結(jié)：同一時刻，同一地點(diǎn)對于都垂直于地面的兩個物體來說，它們的影長之比等于它

們的高度之比.

硒1如圖所示，為了估算河的寬度，在河對岸選定一點(diǎn)A,再在河的這一邊選定點(diǎn)B和點(diǎn)C,

使得AB_LBC,然后選定點(diǎn)E,使EC_LBC,確定BC與AE的交點(diǎn)D,若測得BD=180rr.,DC=60m,

EC=50m,則河寬為m.

解析：VZABD=ZDCE=90°,ZADB=ZEDC,AAABD^AECD,???萼=果，AB=^^

llv*vU\_/Ly

BD-EC180mX50m

XVBD=180m,DC=60m,EC=50m,，AB==150m,故填150.

*CD60m

方法總結(jié)：被測量對象無法接近，對其寬度的測量便采用此間接的方式完成，構(gòu)造相似三角

形就是一種行之有效的途徑.

【板書設(shè)計】

1.運(yùn)用勾股定理進(jìn)行測量；

2.運(yùn)用相似三角形進(jìn)行測量.

23.2直角三角形的性質(zhì)

【教學(xué)目標(biāo)】

1.理解并掌握直角三角形的性質(zhì)；(重點(diǎn))

2.能利用直角三角形的性質(zhì)解決問題.(難點(diǎn))

【教學(xué)過程】

一、情境導(dǎo)入

用兩個全等的含30°角的直角二角尺，你能拼出一個等邊二角形嗎？說說理由，并把你的發(fā)

現(xiàn)和大家交流一下.

2

二、合作探究

探究點(diǎn)一：在直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半

的O等腰三角形的一個底角為75°,腰長4cm,那么腰上的高是_______cm,這個三角形的

面積是cm2.

A

解析：因為75°不是特殊角，但是根據(jù)“三角形內(nèi)角和為180°”可知等腰三角形的頂角為

30°,依題意畫出圖形，則有NA=30°,BD±AC,AB=4sm,所以BD=2cm,SAABC=|AC-BD=

]x4X2=4(cm2).故答案為2,4.

方法總結(jié)：作出準(zhǔn)確的圖形、構(gòu)造含30°角的直角三角形是解決此題的關(guān)鍵.

曲如圖，某船于上午11時30分在A處觀測到海島B在北偏東600方向；該船以每小時

10海里的速度向東航行到C處，觀測到海島B在北偏東30°方向；航行到D處，觀測到海島B

在北偏西30°方向；當(dāng)船到達(dá)C處時恰與海島B相距20海里.請你確定輪船到達(dá)C處和D處的時

間.

解析：根據(jù)題意得出NBAC,ZBCD,NBDA的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BC、AC、CD

的長度.根據(jù)速度、時間、路程關(guān)系式求出時間.

解：由題意得NBCD=90"-30°=60°,ZBDC=90°-30°=60°.AZBCD=ZBDC=60°,

??.△BCD為等邊三角形.在AABD中，?.?NBAD=90。-60°=30°,ZBDC=60°,AZABD=90°,

即AABD為直角三角形，???NABC=30°.,??BC=20海里，???CD=BD=20海里.又??,BD=1AD,???AD

=40海里.???AC=AD—CD=20(海里).??,船的速度為每小時10海里，因此輪船從A處到C處的時

間端=2(h),從A處到D處的時間為^=4(h).???輪船到達(dá)C處的時間為13時30分，到達(dá)D

處的時間為15時30分.

方法總結(jié)：方位角是遵循“上北下南左西右東”的原則，弄清楚方位角是解決這類題的關(guān)鍵,

再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)解題.

探究點(diǎn)二：直角二角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用

的II如圖，折疊矩形的一邊AD,使點(diǎn)D落在邊BC的點(diǎn)F處，已知AB=12cm,BC=15cm,求：

(1)線段BF的長；

3

（2）線段EC的長.

解析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)求得AF=15cm,AB=12cm,在RtZ\ABF中，勾股定

理即可求解；（2）設(shè)EC=xcm,則FC=6cm,DE=12-x（cm）,在RtZXEFC中，根據(jù)勾股定理建立方

程，解方程即可求解.

解：（1）???四邊形ABCD是矩形，???AD=BC,DOABNB=NC=90°.二?折疊矩形的一邊AD,使點(diǎn)

D落在邊BC的點(diǎn)F處,AB=12cm,BC=15cm,.-.AF=AD=BC=15cm.

VAF2-AB2V152-122

在Rt￡ABF中，ABF==9cm.

（2）設(shè)EC=xcm,DC=AB=12cn,由折疊的性質(zhì)可得DE=EF=DOEC=12-x（cm）,FC=BC-BF=15-9=6cm,

在R二AEFC中，EF2=EC2+FC2,Z.（12-x）2=x2+62,解得x=4.5.

即EC的長為4.5cm.

方法總結(jié)：翻折變換（折疊問題）實質(zhì)上就是軸對稱變換.折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換,

它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.

【板書設(shè)計】

1.直角三角形的性質(zhì)：

（1）直角三角形兩個銳角互余；

（2）直珀三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）；

（3）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

含30°銳角的直角三角形的性質(zhì)

直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半

23.3銳角三角函數(shù)

第1課時銳角三角函數(shù)

【教學(xué)目標(biāo)】

1.理解正弦、余弦、正切的概念；（重點(diǎn)）

2.熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的概念進(jìn)行有關(guān)計算.（重點(diǎn)）

【教學(xué)過程】

一、情境導(dǎo)入

牛莊打算新建一個水站，在選擇水泵時，必須知道水站（點(diǎn)A）與水面（BC）的高度（AB）.斜坡

與水面所成的角（NC）可以用量角器測出來，水管的長度（AC）也能直接量得.

二、合作探究

探究點(diǎn)一：銳角二角函數(shù)

【類型一】正弦函數(shù)

的II如圖，sinA等于（）

4

B

2

A.2B.C.〈D.A/5

解析：根據(jù)正弦函數(shù)的定義可得sinA=J,故選C.

乙

方法總結(jié)：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做/A的正弦，記作sinA.即sinA=

NA的對邊a

斜邊一c.

【類型二】余弦函數(shù)

的?在RtZXABC中，ZC=90°，AB=13,AC=12,則cosA=()

551212

ARCD

,1312135

解析：???RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=13,AC=12,?,.COSA=G=R.故選C.

AD1J

方法總結(jié)：在直角三角形中，銳角的余弦等于這個角的鄰邊與斜邊的比值.

【類型三】正切函數(shù)

砸1如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，AABC的三個頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則tanA=

34

A.5-B.5-

BC4

解析：在直角△ABC中，???/ABC=90°,?,?加而=內(nèi)=3.故選以

AD6

方法總結(jié)：在直角三角形中，銳角的正切等于它的對邊與鄰邊的比值.

探究點(diǎn)二：求三角函數(shù)值

___3

硒1如圖，在aABC中，/C=90°,點(diǎn)D在BC上，AD=BC=5,cosNADC=),求sinB的值.

□

5

3

解析：先由AD=BC=5,cos/ADC=三及勾股定理求出AC及AB的長，再由銳角三角函數(shù)的定

□

義解答.

3________

角單：VAD=BC=5,cosZADC=j,ACD=3.ftRtAACD+,VAD=5,CD=3,AAC=-\/?\D2-CD2

=152-32=4在RtZ\ACB中,VAC=4,BC=5,?，,AB=、JAC2+BC2=小2+52=何,AsinB=

AC__4__4迎

訕=而=41?

方法總結(jié)：在不同的直角三角形中，要根據(jù)三角函數(shù)的定義，分清它們的邊角關(guān)系，結(jié)合勾

股定理是解答此類問題的關(guān)鍵.

的@如圖，在AABC中，AD是BC上的高，tanB=cosZDAC.

(1)求證：AC=BD；

12

(2)若sinC=R,BC=36,求AD的長.

1o

解析：(1)根據(jù)高的定義得到NADB=NADC=90°,再分別利用正切和余弦的定義得到tanB

ADAD，再利用tanB=cosNDAC得到*=名所以AC=BD；(2)在RtAACD中,根

cosZDAC=-

OlJAL/

據(jù)正弦的定義得sinC=^=3可設(shè)AD=12k,AC=13k,再根據(jù)勾股定理計算出CD=5k,由于

AC1o

BD=AC=13k,于是利用BC=BD+CD得到13k+5k=36,解得k=2,所以AD=24.

AD

(1)證明：:AD是BC上的高，AZADB=ZADC=90°.在RtaABD中，tanB=±,在RtZ\ACD

DIJ

ADADAD

中，cosNDAC=—.VtanB=cosZDAC,/.AC=BD；

ACDDAC

AD12_______

(2)解：在RtZ\ACD中，sinC=—AD=12k,AC=13k,ACD=^/AC2-AD2=5k.VBD

Av115

=AC=13k,.*.BC=BD+a)=13k+5k=36,解得k=2,AAD=12X2=24.

【板書設(shè)計】

銳角三角函數(shù)

6

1.正弦的定義

2.余弦的定義

3.正切的定義

4.求三角函數(shù)值

第2課時特殊角的三角函數(shù)值

【教學(xué)目標(biāo)】

1.經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)的意義；（重點(diǎn)）

2.能夠進(jìn)行30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計算；（重點(diǎn)）

3.能夠結(jié)合30°、45°、60。的三角函數(shù)值解決簡單實際問題.（難點(diǎn)）

【教學(xué)過程】

一、情境導(dǎo)入

問題1：一個直角三角形中，一個銳角的正弦、余弦、正切值是怎么定義的？

問題2：兩塊三角尺中有兒個不同的銳角？各是多少度？設(shè)每個三角尺較短的邊長為1,分別

求出這幾個銳角的正弦值、余弦值和正切值.

二、合作探究

探究點(diǎn)一：特殊角的三角函數(shù)值

【類型】利用特殊的三角函數(shù)值進(jìn)行計算

砸1計算：

(l)2cos60°?sin30°一msin450?sin60°；

解析：將特殊角的三角函數(shù)值代入求解.

解：（1）原式=2X）x1一鎘X半X算=:一,=一1；

3

⑵原式==272-3,

方法總結(jié)：解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值.

【類型二】已知三角函數(shù)值求角的取值范圍

2

的■若cosa則銳角a的大致范圍是（）

A.0°<a<30°

B.30°<a<45°

C.45°<a<60°

D.0°<a<30°

解析：Vcos30°cos45°=坐，cos60°=：,且<<￡<坐，/.cos600<cosa<

232

eos45°,I.銳角a的范圍是45°VaV60°.故選C.

方法總結(jié)：解決此類問題要熟記特殊角的三角函數(shù)值和三角函數(shù)的增減性.

【類型三】根據(jù)三角函數(shù)值求角度

7

磔3若，5tan(a+10°)=1,則銳角a的度數(shù)是()

A.20°B.30°C.40°D.50°

解析：???/tan(a+10°)=1,Atan(a+10°)=^~.Vtan30°=牛，Ja+10°=30°,

Aa=20°.故選A.

方法總結(jié)：熟記特殊角的三角函數(shù)值是解決問題的關(guān)鍵.

探究點(diǎn)二：特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用

【類型一】利用三角形的邊角關(guān)系求線段的長

的?如圖，在AABC中，ZABC=90n,ZA=30n,D是邊AB上一點(diǎn)，ZBDC=45rt,AD=4,

求BC的長.

解析：由題意可知ABCD為等腰直角三角形，則BD=BC,在Rt^ABC中，利用銳角三角函數(shù)

的定義求出BC的長即可.

解：VZB=90°,NBDC=45。，.?.△BCD為等腰直角三角形，???BD=BC.在Rt/^ABC中,tan

BCBC/3

NA=tan30°—TZ>即4_二=；，解得BC=2(4^+1).

ADDC-r46y

方法總結(jié)：在直角三角形中求線段的長，如果有特殊角，可考慮利用三角函數(shù)的定義列出式

子，求出三角函數(shù)值，進(jìn)而求出答案.

【類型二】判斷三角形的形狀

的@已知AABC中的NA與NB滿足(l—tanA)2+|sinB一半|=0,試判斷aABC的形狀.

解析：根據(jù)非負(fù)性的性質(zhì)求出lanA及sinB的值，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出NA及NB

的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論.

解：V(l-tanA)2+|sinE-^|=0,AtanA=l,sinB=乎，AZA=45°,ZB=60°,

ZC=180°—45°-60°=75°,，△ABC是銳角三角形.

方法總結(jié)：一個數(shù)的絕對值和偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個數(shù)或式的絕對值或偶次方相加和為

0時，則其中的每一項都必須等于0.

【類型三】構(gòu)造三角函數(shù)模型解決問題

的總要求tan30°的值，可構(gòu)造如圖所示的直角三角形進(jìn)行計算.作RlZ\ABC,使NC=90°,

斜邊AB=2,直角邊AC=1,那么BC=/,ZABC=30°，：.tan30°卷=J=坐在此圖的基

礎(chǔ)上，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，探究tanl5。與tan75。的值.

8

解析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及勾股定理首先求出CD的長，進(jìn)而得出tanl5°=歹，tan75°

點(diǎn)求出即可.

解：作NB的平分線交AC于點(diǎn)D,作DE_LAB,垂足為E.〈BD平分NABC,CD1BC,DE1AB,

???CD=DE.設(shè)CD=x,貝ijAD=l-x,AE=2—BE=2—BC=2一小.在RtZkADE中,DE24-AE2=AD2,

BCA/3

x2十(2—4)2=(1—x)2,解得x=2#—3,??.tanl50,tan75°

CD—2:一3

=2+4

方法總結(jié)：解決問題的關(guān)鋌是添加輔助線構(gòu)造含有15°和75。的直角三角形，再根據(jù)三角函

數(shù)的定義求出15。和75。的三角函數(shù)值.

【板書設(shè)計】

1.特殊角的三角函數(shù)值：

304560

ooQ

S]_亞也

inQ222

C更亞

osQ222

t

也1

anQ3小

2.應(yīng)用特殊角的三角函數(shù)值解決問題.

第3課時用計算器求銳角三角函數(shù)值

【教學(xué)目標(biāo)】

1.初步掌握用計算器求三角函數(shù)值的方法；（重點(diǎn)）

2.熟練運(yùn)用計兌器求三角函數(shù)值解決實際問題.（難點(diǎn)）

【教學(xué)過程】

一、情境導(dǎo)入

教師講解：通過上面幾節(jié)課的學(xué)習(xí)我們知道，當(dāng)銳角NA是30°、45。或60°等特殊角時，

可以求得這些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果銳角NA不是這些特殊角，怎樣得到它的

三角函數(shù)值呢？我們可以借助計算器來求銳角的三角函數(shù)值.

二、合作探究

探究點(diǎn)一：用計算器求銳角三角函數(shù)值及銳角

【類型一】已知角度，用計算器求函數(shù)值

9

砸1用計算器求下列各式的值(精確到0.0001)：

(Dsin47°；

(2)sinl2°30'；

(3)cos25°18'；

(4)sinl8°+cos550-tan59°.

解析：熟練使用計算器，而計算器給出的結(jié)果，根據(jù)有效數(shù)字的概念用四舍五入法取近似數(shù).

解：根據(jù)題意用計算器求出:

(l)sin47°^0.7314；

(2)sinl2°30'^0.2164；

(3)cos25°18'鳧0.9041；

(4)sinl8n+cos55"—tan59c弋一o7817.

方法總結(jié)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練使用計算器，使用計算器時要注意按鍵順序.

【類型二】已知三角函數(shù)值，用計算器求銳角的度數(shù)

圓2.已知下列銳角三角函數(shù)值，用計算器求銳角NA,NB的度數(shù)(結(jié)果精確到0.1。)：

(l)sinA=O.7,sinB=O.01；

(2)cosA=0.15,cosB=0.8；

(3)tanA=2.4,tanB=O.5.

解析：由三角函數(shù)值求角的度數(shù)時，用到鬲,區(qū)，畫］鍵的第二功能鍵，要注意按鍵的

順序.

解：(l)sinA=O.7,得NA心44.4°；sinB=O.01得/Bg0.6°；

(2)cosA=0.15,得NA-81.4°；cosB=0.8,得NB-36.9。；

(3)由tanA=2.4,得NA^67.4°；由tanB=O.5,得NB-26.6°.

方法總結(jié)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練使用計算器，在使用計算器時要注意按鍵順序.

【類型三】利用計算器驗證結(jié)論

麗(1)通過計算(可用計算器)，比較下列各對數(shù)的大小，并提出你的猜想：

①sin3002sinl5°cosl5°；

②sin3602sinl80cos18°；

③sin4502sin22.5°cos22.5°；

@sin60°_________2sin30°cos30°；

⑤sin8002sin40°cos40°.

猜想：已知0°<a<45°,則sin2a2sinacosa.

(2)如圖，在△ABC中，AB=AC=1,ZBAC=2a,請根據(jù)提示，利用面積方法驗證結(jié)論.

解析：(1)利用計算器分別計算①至⑤各式中左邊與右邊，比較大小；(2)通過計算4ABC的

面積來驗證.

解：(1)通過計算可知：

①sin30°=2sinl5°cosl5°；

②sin36°=2sinl8°cosl8°；

③sin450=2sin22.5°cos22.5°；

?sin60°=2sin30°cos30°；

⑤sin800=2sin40°cos400:

sin2a=2sinacosa.

10

(2)VSA/\BC=|AB?sin2a?AC=|sin2a

SAABC=TX2ABsina?ACcosa=sina?cos

乙

Q,.*.sin2a=2sinacosa.

方法總結(jié)：本題主要運(yùn)用了面積法，通過用不同的方法表示同一個三角形的面積，來得

到三角函數(shù)的關(guān)系，此種方法在后面的學(xué)習(xí)中會經(jīng)常用到.

【類型四】用計算器比較三角函數(shù)值的大小

硒1用計算器比較大小：20sin87°________tan87°.

解析：20sin87°-20X0.9986=19.974,tan87°219.081,V19.974)19.081,

20sin87°>tan87°.

方法總結(jié)：利用計算器求值時，要注意計算器的按鍵順序.

探究點(diǎn)二：用計算器求三角函數(shù)值解決實際問題

的@如圖，從A地到B地的公路需經(jīng)過C地，圖中AC=20km,NCAB=25°,ZCBA=37°,

因城市規(guī)劃的需要，將在A、B兩地之間修建一條筆直的公路.

(1)求改直的公路AB的長；

(2)公路改直后比原來縮短了多少千米？

解析：(1)作CH1AB十H.在RtAACH中根據(jù)CH=AC-sinZCAB求出CH的長，由AH=AC-cos

NCAB求出AH的長，同理可求出BH的長，根據(jù)AB=AII+BH可求得AB的長；(2)在RtZ\BCH中，

CH

由BC=-可求出BC的長,由AC+BC-AB即可得出結(jié)論.

sinZCBA

解：(1)作CH_LAB于H.在RtZ\ACH中，CH=AC-sinZCAB=AC-sin25°^20X0.42=8.4km,

CH8.4

AH=AC?cosZCAB=AC?cos250比20X0.91=18.2km.在RtABCH中，BH=

tanZCBAtan37°

11.1km,r.AB=AH+BH=18.2+11.1=29.3km.故改直的公路AB的長為29.3km；

CHCH84

(2)在RtZ^BCH中，BC=.■晨=]4km,則AC+BC—AB=20+14—29.3=

sinZCBAsi…n37。0.6

4.7km.

答：公路改直后比原來縮短了4.7km.

方法總結(jié)：根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此類問題的關(guān)鍵.

【板書設(shè)計】

1.已知角度，用計算器求函數(shù)值；

2.已知三角函數(shù)值，用計算器求銳知的度數(shù)；

3.用計算器求三角函數(shù)值解決實際問題.

23.4解直角三角形

第1課時解直角三角形及其簡單應(yīng)用

【教學(xué)目標(biāo)】

11

1.理解解直角三角形的意義和條件，能根據(jù)元素間的關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)年P(guān)系式，求出所有未

知元素；（重點(diǎn)）

2.能夠把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用解直角三角形求解，通過生活中

的實際問題體會銳角三角函數(shù)在解題過程中的作用.（難點(diǎn)）

【教學(xué)過程】

一、情境導(dǎo)入

世界遺產(chǎn)意大利比薩斜塔在1350年落成時就已傾斜.設(shè)塔頂中心點(diǎn)為B,塔身中心線與垂直

中心線夾角為NA,過點(diǎn)B向垂直中心線引垂線，垂足為點(diǎn)C.在RtAABC中，ZC=90°,BC=5.2m,

AB=54.5m,求NA的度數(shù).

在上述的RtAABC中，你還能求其他未知的邊和角嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：解直角三角形

【類型一】利用解直角三角形求邊或角

的O已知在RtAABC中，ZC=90°,NA、NB、NC的對邊分別為a,b,c,按下列條件解

直角三角形.

（1）若a=36,ZB=30°,求NA的度數(shù)和邊b、c的長；

（2）若a=6，Lb=6^/6,求NA、NB的度數(shù)和邊c的長.

解析：（1）已知直角邊和一個銳角，解直角三角形；（2）已知兩條直角邊，解直角三角形.

解：（1）在RtZ\ABC中，???NB=30°,a=36,AZA=90°-ZB=60°,VcosB=-,即c

c

羨疝=近=24^/§,.\b=sir.B?c=]X24嫡=12項;

2

(2)在RtZSABC中，；a=6也,b=6m,AtanA=^=^-f：.ZA=30°,AZB=60°,Z.c

DJ

=2a=12yf2.

方法總結(jié)：解直角三角形時應(yīng)求出所有未知元素，解題時盡可能地選擇包含所求元素與兩個

已知元素的關(guān)系式求解.

【類型二】構(gòu)造直角三角形解決長度問題

的■一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長線上，AB〃CF,ZF=ZACB=90°,NE=

30°,ZA=45°,AC=12位,試求CD的長.

解析：過點(diǎn)B作BMJ_FD于點(diǎn)M,求出BM與CM的長度，然后在AEFD中可求出NEDF=60°,

利用解直角三角形解答即可.

12

解：過點(diǎn)B作BM_LFD于點(diǎn)M,在aACB中，ZACB=99°,ZA=45°，AC=12^2,Z.BC=AC

=12^2.VAB^CF,.e.BM=sin45°BC=12啦X平=12,CM=BM=12.?AEFD中，ZF=90°,

ZE=30°,???NEDF=60°,二人二二：；。二4/,，CD=CM—MD=12—4第.

方法總結(jié)：解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，然后利用所學(xué)的三角函數(shù)的關(guān)

系進(jìn)行解答.

【類型三】運(yùn)用解直角三角形解決面積問題

____3

砸1如圖，在△ABC中，已知NC=90°,sinA=y,D為邊AC上一點(diǎn)，ZBDC=45°,DC=

6.求AABC的面積.

CD八

解析：首先利用止弦的定義設(shè)BC=3k,AB=7k,利用BC=CD=3k=6,求得k值，從血求得

AB的長，然后利用勾股定理求得AC的長，再進(jìn)一步求解.

BC3

解：VZC=90°,???在RlZ\ABC中，sinA=/=；,設(shè)BC=3k,則AB=7k(k>0),ftRtA

ADi

BCD中，VZBCD=90°,.,.ZBDC=45°,AZCBD=ZBDC=45°,ABC=CD=3k=6,.\k=2,

???AB=14.在RtZXABC中,屁=582-1^2=4142-62=4四,.\SAABC=^AC?BC=^X4y/wx

6=12，五所以AABC的面積是12班.

方法總結(jié)：若已知條件中有線段的比或可利用的三角函數(shù)，可設(shè)出一個輔助未知數(shù)，列方程

解答.

探究點(diǎn)二：解直角三角形的簡單應(yīng)用

【類型一】求河的寬度

m根據(jù)網(wǎng)上消息、，益陽市為了改善市區(qū)交通狀況，計劃在康富路的北端修建通往資江北岸

的新大橋.如圖，新大橋的兩端位于A、B兩點(diǎn)，小張為了測量A、B之間的河寬，在垂直于新大橋

AB的直線型道路1上測得如下數(shù)據(jù)：ZBDA=76.1°,ZBCA=68.2°,CD=82米.求AB的長(精

確到Q1米).參考數(shù)據(jù)：sin76.l°^0.97,cos76.1°^0.24,tan76.1°0；sin68.2°^0.93,

cos68.2°^0.37,tan68.2°*2.5.

解析：設(shè)AD=xm,則AC=(x+82)m.在RtZXABC中,根據(jù)三角函數(shù)得到AB=2.5(x+82)m,

在R二AARI)中，根據(jù)二角函數(shù)得到AR=4x,依此得到關(guān)于x的方程，進(jìn)一步即可求解.

13

AB

解：設(shè)AD=xm,貝ljAC=(xI82)m.在RtAABC中，tanZBCA=—,AAB=AC-tanZBCA=2.5(x

+82).在Rt/XABD中,tanNBDA=牌,.??AB=AD?tan/BDA=4x,?..2.5(x+82)=4x,解彳導(dǎo)x=￥.

zlU15

410

AAB=4x=4X—^546.7m.

答：AB的長約為546.7m.

方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計算出

所要求的物體的高度或長度.

【類型二】求不可到達(dá)的兩點(diǎn)的高度

如圖，放置在水平桌面上的臺燈的燈臂AB長為30cm,燈罩BC長為20cm,底座厚度為

2cm,燈臂與底座構(gòu)成的/BAD=60°.使用發(fā)現(xiàn)，光線最佳時燈罩BC與水平線所成的角為30°,

此時燈罩頂端C到桌面的高度CE是多少（結(jié)果精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù)：4%1.732）?

解析：首先過點(diǎn)B作BF_LCD于點(diǎn)F,作BGJ_AD于點(diǎn)G,進(jìn)而求出FC的長，再求出BG的長,

即可得出答案.

解：過點(diǎn)B作BF_LCD于點(diǎn)F,作BGJ_AD于點(diǎn)G,???四邊形BFDG是矩形，???BG=FD.在

入△BCF中，NCBF=30°,ACF=BC-sin30°=20X；=10cm.在RtZ\ABG中，VZBAG=60°,

乙

.*.BG=AB-sin60°=30X乎=154cm,JCE=CF+FD+DE=10+154+2=12+

38.0（cm）.

答：此時燈罩頂端C到桌面的高度CE約是38.0cm.

方法總結(jié)：將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三

角形問題.

【板書設(shè)計】

1.解直角三角形的基本類型及其解法；

2.解直角三角形的簡單應(yīng)用.

第2課時仰角、俯角問題

【教學(xué)目標(biāo)】

1.使學(xué)生掌握仰角、俯角的意義，并學(xué)會正確地判斷；（重點(diǎn)）

2.初步掌握將實際問題轉(zhuǎn)化為解直角二角形問題的能力.（難點(diǎn)）

【教學(xué)過程】

一、情境導(dǎo)入

14

，兇口角水平線

［、^線

在實際生活中，解直角三角形有著廣泛的應(yīng)用，例如我們通常遇到的視線、水平線、鉛垂線

就構(gòu)成了直角三角形.當(dāng)我們測量時，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰

角，在水平線下方的角叫做俯角.今天我們就學(xué)習(xí)和仰角、俯角有關(guān)的應(yīng)用性問題.

二、合作探究

探究點(diǎn)：利用仰（俯）角解決實際問題

【類型一】利用仰角求高度

的II星期天，身高均為1.6米的小紅、小濤來到一個公園，用他們所學(xué)的知識測算一座塔的

高度.如圖，小紅站在A處測得她看塔頂C的仰角a為45°,小濤站在B處測得塔頂C的仰角B

為30°,他們又測出A、B兩點(diǎn)的距離為的.5m,假設(shè)他們的眼睛離頭頂都是10cm,求塔高（結(jié)果

保留根號）.

解析：設(shè)塔高為所利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出PM的長，再利用獷tan3。。，求出x的值

解：設(shè)塔底面中心為0,塔高xm,MN〃AB與塔中軸線相交于點(diǎn)P,得到△CPM、4CPN是直角

x—（］6—01）CP

三角形，則:-----K―:——=tan45°,Vtan45°=1,；.PM=CP=x—1.5.在RtZ\CPN中，—=

IMrlN

x-1.5“口83^3+89

tan30,即x-1.5+41.5=號斛得4

小田用^83市+89

答：塔高為言in.

方法總結(jié)：解決此類問題要了解角與角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形.

當(dāng)圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形.

【類型二】利用俯角求高度

福如圖，在兩建筑物之間有一旗桿EG,高15米，從A點(diǎn)經(jīng)過旗桿頂部E點(diǎn)恰好看到矮建

筑物的墻角C點(diǎn)，且俯角Q為60°,又從A點(diǎn)測得D點(diǎn)的俯角&為300.若旗桿底部G點(diǎn)為BC

的中點(diǎn)，求矮建筑物的高CD.

15

*CiniM

6C

解析：根據(jù)點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，可判斷EG是aABC的中位線，求出AB.在RtZXABC和RtZ^AFD

中，利用特殊角的三角函數(shù)值分別求出BC、DF,繼而可求出CD的長度.

解：過點(diǎn)D作DF_LAF于點(diǎn)F,,?,點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，EG〃AB,...EG是AABC的中位線,...AB

=2EG=30m.在RtAABC中，VZCAB=30°,.-.BC=ABtanZBAC=30X^=RtAAFD

J

中,VAF=BC=l（）V3m,AED=AF-tanP=1073X-^-=10m,.*.CD=AB-FD=30-10=20m.

o

答：矮建筑物的高為20nl.

方法總結(jié)：本題考查了利用俯角求高度，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)

的知識求解相關(guān)線段的長度.

【類型三】利用俯角求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離

砸1如圖，為了測量河的寬度AB,測量人員在高21n的建筑物CD的頂端D處測得河岸B處

的俯角為45°,測得河對岸A處的俯角為30°（A、B、C在同一條直線上），則河的寬度AB約是

多少m（精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：出y1.41,班21.73）?

解析：在RtZ\ACD中，根據(jù)已知條件求出AC的值，再在RtZ\BCD中，根據(jù)NEDB=45°,求

出BC=CD=21m,最后根據(jù)AB=AC—BC,代值計算即可.

解「,在RSACD中，CD=21,NDAC=3。。，???AC="m.???在RtABCD

m噬=22

3

中，ZEDB=45°,AZDBC=45°,.-.BC=CD=21m,???AB=AC-BC=21/-21-15.3（m）.則河

的寬度AB約是15.3m.

方法總結(jié)：解決此類