應(yīng)用多元分析期末復(fù)習(xí)練習(xí)題

多元復(fù)習(xí)

1、多元統(tǒng)計(jì)分析是運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法來解決多指標(biāo)問題的理論與方法。

2、多元分析研究的是多個(gè)隨機(jī)變量與相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)總體。

3、如果A與B是兩個(gè)PXP維的方陣，則AB與BA有完全相同的特征值。

4、隨機(jī)向量X的協(xié)方差矩陣一定是非負(fù)定矩陣。

5、若A為P階對(duì)稱矩陣，則存在正交矩陣T與對(duì)角矩陣八，則三者的關(guān)

系有A=TAT'。

6、設(shè)x是多元向量，服從正太分布即X?7Vz1〃,斤，a為P維常熟向量，

則其線性型a'x服從一元正態(tài)分布，即a'x?N（a〃,a'Ea）。

7、方差相同的兩個(gè)隨機(jī)變量的差與與是不相關(guān)關(guān)系。

8、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)是變量間離散程度的一種變量，并不能刻畫變量間可

能存在的關(guān)聯(lián)程度的關(guān)系。

9、變量的類型按尺度劃分為間隔變量、有序變量、名義變量類型。

10、公共因子方差與特殊因子方差之與為1。

11、聚類分析是建立一種分析方法，它將一批樣品或變量按照它們?cè)谛再|(zhì)

上的親疏關(guān)系進(jìn)行科學(xué)的分類。

12、聚類分析是分析如何對(duì)樣品或變量進(jìn)行量化分析，通常分為Q型聚類

與R型聚類。

13、聚類分析中Q型聚類是對(duì)樣品進(jìn)行聚類，R型聚類是對(duì)變量進(jìn)行聚類。

14、進(jìn)行判別分析時(shí)，通常指定一種判別規(guī)則用來判定新樣品的歸屬，常

見的判別準(zhǔn)則有：費(fèi)希爾判別準(zhǔn)則、貝葉斯判別準(zhǔn)則。

15、費(fèi)希爾判別法就是要找P個(gè)變量組成的線性判別函數(shù)使得各組內(nèi)點(diǎn)的

離差盡可能接近，而不同組間的點(diǎn)盡可能疏遠(yuǎn)。

16、當(dāng)X?跖2力,則展-〃）7'27一%-〃）服從卡方分布，即

n）丁下」yJ?

17、威爾克斯統(tǒng)計(jì)量表達(dá)式：A

18、霍特林統(tǒng)計(jì)量表達(dá)式：T2=n（x-u浦S」4-un）。

19、兩個(gè)變量間的平方馬氏距離：#G5=田_、八,廠一4_5；總體的

馬氏距離：萬2“1r“丫r-i（v__“Io

20、方差相等的兩個(gè)隨機(jī)變量的關(guān)系：cov：X1+x°?X1-xJ=0。

21、幾個(gè)變量間服從正態(tài)分布，各自獨(dú)立，樣品的均值向量服從正態(tài)分布。

22、從代數(shù)觀點(diǎn)看主成分是P個(gè)原始相關(guān)變量的線性組合。

23、變量共同度是指因子載荷矩陣中的第i行元素的平方與。

24、因子分析是指把每個(gè)原始變量分為兩部分因素，一部分是公共因子，

另一部分是特殊因子。

1、判別分析的目標(biāo)。

答：判別分析的目標(biāo)有兩個(gè)：一是根據(jù)已知所屬組的樣本給出判別函數(shù)，

并制定判別規(guī)則，再依此判斷（或預(yù)測(cè)）每一新樣品應(yīng)歸屬的組別。

另一是用圖形法或代數(shù)法描述各組樣品之間的差異性，盡可能地分離

開各組。

2、費(fèi)希爾判別的基本思想、目的、主要方法有哪些？

答：費(fèi)希爾判別的基本思想是投影（或降維），用幾個(gè)費(fèi)希爾判別函數(shù)或典

型變量來代替P個(gè)原始變量，以達(dá)到降維的目的。并根據(jù)這r個(gè)判別

函數(shù)對(duì)樣品的歸屬作出判別或?qū)⒏鹘M分離。各個(gè)判別函數(shù)都具有單位

方差，且彼此不相關(guān)。判別函數(shù)的方向并不正交，而作圖時(shí)仍將它們

畫成直角坐標(biāo)系，從直觀的幾何圖上進(jìn)行判別，區(qū)別各組，這是費(fèi)希

爾判別的重要應(yīng)用。為作圖時(shí)的需要，通常取判別函數(shù)個(gè)數(shù)r=2或3。

3、聚類分析與判別分析的區(qū)別與聯(lián)系。

答：判別分析與聚類分析都是研究事物分類（或組）的基本方法，但它們

卻有著不同的分類目的，彼此之間既有本質(zhì)的區(qū)別又有一定的聯(lián)系。

它們的本質(zhì)區(qū)別在于：在于判別分析中，組的數(shù)目是已知的，我們將

樣品分配給事先已定義好的組（或類）之一；而聚類分析中，無論是

類的數(shù)目還是類的本身在事先都是未知的。

它們的聯(lián)系在于：如果組不是已有的，則對(duì)組的事先了解與形成有時(shí)

可以通過聚類分析探索得到；還有，聚類分析的效果往往也可以通過

由前兩個(gè)（或三個(gè)）費(fèi)希爾判別函數(shù)得分產(chǎn)生的散點(diǎn)圖（或旋轉(zhuǎn)圖）

從直覺上進(jìn)行評(píng)估。

4、主成分的應(yīng)用分類。

答：主成分的應(yīng)用可分為兩類：（1）在一些應(yīng)用中，這些主成分本身就是

分析的目標(biāo)，此時(shí)需要給（用來降維的）前幾個(gè)只成分一個(gè)符合實(shí)際

背景與意義的解釋，以明白其大致的含義。（2）在更多的另一些應(yīng)用

中，主成分只是要達(dá)到目標(biāo)的一個(gè)中間結(jié)果（或步驟），而非目標(biāo)本身。

5、主成分與原始變量間的關(guān)系。

答（1）主成分保留了原始變量絕大多數(shù)信息。

（2）主成分的個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于原始變量的數(shù)目。

（3）各個(gè)主成分之間互不相關(guān)。

（4）每個(gè)主成分都是原始變量的線性組合。

6、因子分析與主成分分析的區(qū)別與聯(lián)系。

答：（1）主成分涉與的只是一般的變量變換，它不能作為一個(gè)模型來描述,

本質(zhì)上幾乎不需要任何假定；而因子分析需要構(gòu)造一個(gè)因子模型，

并伴隨有幾個(gè)關(guān)鍵性的假定。

（2）主成分是原始變量的線性組合；而在因子分析中，原始變量是因

子的線性組合，但因子卻一般不能表示為原始變量的線性組合。

（3）在主成分分析中，強(qiáng)調(diào)的是用少數(shù)幾個(gè)主成分解釋總方差；而因

子分析中，強(qiáng)調(diào)的是用少數(shù)幾個(gè)因子去描述協(xié)方差或相關(guān)關(guān)系。

（4）主成分的解釋是唯一的（除非含有相同的特征值或特征向量為相

反符號(hào))；而因子的解可以有很多，表現(xiàn)的比較靈活(主要表達(dá)在

因子旋轉(zhuǎn)上)。這種靈活性使得變量在降維后更易得到解釋，這是

因子分析比主成分分析更廣泛應(yīng)用的一個(gè)重要原因。

(5)主成分不會(huì)因其提取個(gè)數(shù)的改變而變化，但因子分析往往會(huì)隨模

型中因子個(gè)數(shù)的不同而變化。

1、正交因子模型的不受單位的影響。

證明：將X的單位做變化，通常是作一變換X*="，這里的

C=diag(C\,。2,…C〃)，Cj>0,j=1,2,....p,于是

令〃*=epi,A*=cA9￡*=cs、則有:

這個(gè)模型能滿足假定式的假定，即：

其中D*=由々￡0*2,靖…..o；2),b：2=/W,i=l,2,---,po

因此，單位變換后新的模型仍為正交因子模型。

2、正交因子模型的因子載荷是不唯一的。

證明：設(shè)T為任意mxm正交矩陣，令A(yù)*=AT,f*=Tf,則模型*=4+"+&

能表示為X=〃+A*f*+￡O

因?yàn)椋骸?r)=PE(f)=0

Mf)=o

E9)=o

所以仍滿足條件：MF)=I

/(￡)=〃=diag{G：,或,....0，)

cov(f,￡)=E(f,=0

從2=V（Af）+/（￡）=Ay（f）Al+夕?=/或x=〃+力"*+e都可以看

出E也可以分解為￡=/?+〃

顯然，因子載荷矩陣A不是唯一的。

3、性質(zhì)(7)設(shè)X,2),2>0,則(X-〃)A，(x-〃)?X2(77)。

-1

證明：令丫=Z2(x-//),于是/~”,(0,1)

所以九％幾……y〃獨(dú)立同分布于N(O,1)

所以由卡方分布的定義知:

4、設(shè)隨機(jī)變量x=（環(huán)町”3丫有密度函數(shù)

/6）2,!U一,in冉sinx?sin2），。＜冉①，七＜2/試證/芍，/兩兩獨(dú)

0,其他

立但不互相獨(dú)立。

證明：4（為.）=「「f（九巧，巧0牙2d々

J-QOJ—00

同理:《（%2）=；,右（才3）=

a71乙71

同理：〃…3）=*,3）==

從而F（X],3）=耳（/）右（巧）fg,演）=

））（）（）（）

f（X2iA3=與（彳24彳3,FX/2,*3工工（不）與（巧）叁*3

所以為4兩兩獨(dú)立但不互相獨(dú)立。

5、設(shè)P維隨機(jī)向量X的向量與協(xié)方差矩陣分別為u與￡,求證:

(1)E〈xx>=Z+/4i'

(2)E(x'Ax)==tr(E/D+〃勿〃

(3)假設(shè)〃=〃1,2=//與.』=/-,試?yán)?2)的結(jié)果證明

E(x，Ax)b?-tr(J)=p-1o

證明：(1)S=K(x)=￡(x-〃)(x

所以：E(xxD=工+加

(2)E{x'Ax)=￡卜'(彳為矛)]=班r(xxN)]=tr忸(才X⑷]=ti\E(xx'M]

(3)由(2)知5(X%Y)=tr(Z4)+"AR,

所以：2=卑=空粵…⑷”(/』)

(J-ba-P

6、性質(zhì)(3)設(shè)X?/y=cx+b,其中c為rxp維常數(shù)矩陣，b為

r維常數(shù)向量則y~Nr(〃+Z?,cEc")o

證明：對(duì)任意a'y=a1ex+a'b,因?yàn)閄是多元正態(tài)變量，而abx是X

的一個(gè)線性函數(shù)

從而由性質(zhì)(2)的必要性知：

目5是一元正態(tài)變量，所以是一元正態(tài)變量；

再由性質(zhì)⑵的充分性知：

y是一個(gè)r元正態(tài)變量，又由于￡(y)=c￡'(x)+b=cju+b

因而：y--Nr（〃十A,c￡（?）

7、設(shè)a為P維常數(shù)向量,則a，x?NG?/,d￡d）。

證明：因?yàn)閄?/（〃,2）,a為P維常數(shù)向量，令y=a，y,則有：

所以:a，x?N（a〃d￡a）

8、設(shè)X?132）,這里x/x],〃=網(wǎng)，E=[：竺口則

\X2）\^2）（57。）

毛一巧=（LT）x服從一元正態(tài)分布。

證明：￡（儲(chǔ)->2）=（1,-1）!"1=A-〃2

G

即xx-*2~N（4]-“2,\+&-20sb2）

’300、

9、設(shè)X?加3（M2）,其中z=05-1貝!和人不獨(dú)立，事和（巧，人）獨(dú)立。

1°-1U

證明:因?yàn)?（々，々）。。,所以巧和*3不獨(dú)立；

因?yàn)樾?（巧，0）]=0,所以不和（々，入3）獨(dú)立。

’0、

1、已知初始距離〃一（dij）x=\\要求用最短距離法進(jìn)行聚類，并畫

LL乙U

<5340,

出聚類樹形圖。

3、例6.3.1設(shè)有五個(gè)樣品，每個(gè)只測(cè)量了一個(gè)指標(biāo)，分別是1、2、6、8、

11,使用最短距離法將它們分類。

解：記G]={1},G2={2},G3={6},<94={8},G5={11},樣品間采用絕

對(duì)值距離。

Ro)

GG?G3G4G5

0

G210

G3540

G47620

G5109530

A)

G&G3G4G5

G,0

G340

G4620

G59530

其中G6=G1UG2

°(2)

G65G5

G60

G40

G5930

其中G]=G3UG4

G&Gg

G60

Gg40

其中G6=G1UG2

最短距離法樹形圖

4、為了研究遼寧省等5省區(qū)某年城鎮(zhèn)居民生活消費(fèi)的分布規(guī)律，根據(jù)調(diào)查

資料做類型劃分

省X1X?X3后魅%x7居

份

遼7.9039.78.4912.919.211.02.013.2

寧747549

11.3

浙7.6850.3513.319.214.52.714.8

江705957

8.20

河9.4227.98.1416.11.59.76

9.019.42

南375

9.169.329.1011.3

10.5

甘27.915.91.85

10.0210.0

肅

68598.39210.8

青28.616.11.91

海486

解：

5、例1對(duì)某地區(qū)農(nóng)村的6名2周歲男嬰的身高、胸圍、上半臂圍進(jìn)行

測(cè)量得樣本數(shù)據(jù)如表1所示。根據(jù)以往資料該地區(qū)城市2歲男嬰的這三個(gè)

指標(biāo)的均值〃o=(90,58,16)，，現(xiàn)欲在多元正態(tài)性假定下檢驗(yàn)該地區(qū)農(nóng)村男

嬰是否與城市男嬰有相同的均值。這是假設(shè)檢驗(yàn)問題：H°?.k外,小

N豐出

表1某地區(qū)農(nóng)村男嬰的體格測(cè)量數(shù)據(jù)

編號(hào)身高(cm)胸圍(cm)上半臂圍(cm)

17860.616.5

27658.112.5

39263.214.5

48159.014.0

58160.815.5

68459.514.0

82.0-8.031.6008.0400.500、

X=

S-普想藕件聾覲英騰能嘴翰卜，

即認(rèn)為農(nóng)

村與城市的2周歲[8.9464-37.376035.5936>

6、例721設(shè)燈區(qū),履用廠詢卜施堀陣當(dāng)

(002)

其特征值為：4=5.83,4=2.00,^3=0.17

相應(yīng)的特征向量為：

若只取一個(gè)主成分，則貢獻(xiàn)率為：

5.83/(5.83+2.00+0.17)=0.72875=72.875%

E與齒,％）對(duì)每個(gè)原始變量的貢獻(xiàn)率:

可見，再對(duì)第三個(gè)變量的貢獻(xiàn)率為零，這是因?yàn)樘炫cX1與名都不相關(guān)，

在K中

未包含一點(diǎn)有關(guān)藥的信息，這時(shí)僅取一個(gè)主成分就顯得不夠了，故應(yīng)再取

此時(shí)累計(jì)貢獻(xiàn)率為

（5.83+2.00）/8=97.875%

屆,2=85.5%p，2=99.6%,0；［2=100%

tn,g）對(duì)每個(gè)變量號(hào)的貢獻(xiàn)率分別為，

都比較高。

7、例7.2.2設(shè)用（苞,履,瑪）'的協(xié)方差矩陣為

經(jīng)計(jì)算,N瀛征值有盤隼向盟心《=109.793,4=6.469,

4=0.7380.041，G=0.1200.992

、0.951,[0.308,、-0.C02,

相應(yīng)的主成分分別為：^=0.305^+0.041^+0.951^

/=0.944%+0.120盟-0.308&

%=-0.127X1+0.992瑪-0.002號(hào)

可見，方差大的原始變量瑪在很大程度上控制了第一主成分必，

方差小的原始變量名

幾乎完全控制了第三主成分為，方差介于中間的3則基本控制

了第二主成分為。必

的貢獻(xiàn)率為:

這么高的貢獻(xiàn)率首先歸因于&的方差比X1與廊的方差大得多，其

次是不相互之間存

在著一定的相關(guān)性。%的特征值相對(duì)很小，表明耳，題,次之間有這

樣一個(gè)線性依賴關(guān)系:

一0.127X1+0.9928一0.002與

其中廣一0.127〃1+0.992〃2一0.002〃3為一常

數(shù)。

T00、

8、設(shè)三元總體X的協(xié)方差陣為2=o30從z出發(fā),求總體主成分

006

并求前兩個(gè)主成分的累積貢獻(xiàn)率。

解：特征方程阿-4=0,得特征根：4=6,4=3,4=1

500,X10